Dlaczego jądro jest trwałe – deficyt masy i energia wiązania

RpEqhPrhsM7pV

Na zdjęciu widoczna jest figura woskowa Alberta Einsteina na tle równania przedstawiającego równoważność masy i energii.
W centralnej części zdjęcia widoczny jest starszy mężczyzna z półdługimi siwymi włosami. Włosy są zmierzwione i formują kształt przypominający grzywę lwa. Mężczyzna ma wąsy i przenikliwe spojrzenie. Ubrany jest w sweter i koszule.
Za mężczyzną widoczny jest fragment równania: <math aria‑label='energia spoczynkowa równa się iloczynowi masy spoczynkowej i prędkości światła w próżni podniesionej do kwadratu'>E=m·c2.

Energia wiązania

Świat zna Alberta EinsteinaAlbert EinsteinAlberta Einsteina głównie dzięki wzorowi $E=m{c}^2$, który okazał się sztandarowym przykładem nowego sposobu postrzegania rzeczywiści przez fizykę współczesną. Wzór ten stwierdza równoważność masy i energii. Zmiana masy układu może zachodzić wskutek wymiany nie tylko substancji z otoczeniem, lecz także energii. Masa i energia stały się jakościowo różnymi postaciami materii.

Jeśli znamy masę protonu i neutronu oraz wiemy, że atom składa się z protonów $\left(Z\right)$ i neutronów $\left(A-Z\right)$, to możemy obliczyć masę jądra atomu. W tym celu korzystamy ze wzoru:

Okazuje się jednak, że wzór ten daje niezgodne wyniki w porównaniu z danymi eksperymentalnymi. Masa jądra jest bowiem zawsze mniejsza niż suma mas jego poszczególnych składników (nukleonów).

Ten ubytek masy, czy też deficyt masydeficyt masydeficyt masy, obliczamy według wzoru:

$∆m=Z·m_p+\left(A-Z\right)·m_n-M_j$,

gdzie $M_j$ to rzeczywista masa jądra danego pierwiastka.

Ubytek masy związany jest z oddziaływaniami jądrowymi i energią potrzebną do utrzymania jądra atomowego w całości. Podczas powstawania jądra energia związana z ubytkiem masy została zamieniona na inną formę energii równą $∆E=∆m{c}^2$.

Obliczmy zatem energię wiązania dla jąder atomowych. Weźmy pod uwagę jądro helu. Składa się ono z $4$ nukleonów: dwóch protonów i dwóch neutronów.
Masa protonu: $1,673·{10}^{-27} \mathrm{kg}$

Masa neutronu: $1,675·{10}^{-27} \mathrm{kg}$

Masa jądra helu: $6,645·{10}^{-27} \mathrm{kg}$

Deficyt masy: $∆m=Z·m_p+\left(A-Z\right)·m_n-M_j$

Czyli:

Jak widać, deficyt masy stanowi zaledwie drobny ułamek masy czterech nukleonów – około $0,7\%$.

Deficytowi masy tej wielkości odpowiada równoważna mu energia obliczona z zależności $∆E=∆m{c}^2$.
Skoro $c=3·{10}^8 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, to:

Energię tę nazywamy energią wiązania jądra danego atomu.

W fizyce obowiązuje międzynarodowy układ jednostek (SISISI), w którym jednostką energii jest jeden dżul $\left(1 \mathrm{J}\right)$. Jednak jednostka ta jest czasami zbyt duża, a czasami – zbyt mała. Przykładowo: gdyby energia elektryczna zużywana w gospodarstwie domowym była wyrażana w dżulach, musielibyśmy operować ogromnymi liczbami sięgającymi setek milionów. Z tego powodu używamy jednostki energii elektrycznej zwanej kilowatogodzinąkilowatogodzinakilowatogodziną (poznaliście ją już w gimnazjum) – $1 \mathrm{kWh}$. Jest ona równa $3600000 \mathrm{J}$.

W świecie atomów i cząstek elementarnych energia jednego dżula jest energią gigantyczną. Z obliczeń wynika (patrz wyżej), że energia wiązania jąder atomów jest równa w odniesieniu do małych jąder około jednej bilionowej dżula, a dla najcięższych jąder – jednej dziesięciomiliardowej dżula. Energia atomu wodoru na poziomie podstawowym wynosi $-2,1·{10}^{-18} \mathrm{J}$. Z tych powodów fizycy używają jednostki energii zwanej elektronowoltemelektronowoltelektronowoltem.

Jeden elektronowolt $\left(\mathrm{eV}\right)$ jest jednostką energii, która jest równoważna pracy wykonywanej przez siły elektryczne, kiedy przemieszczają elektron w polu elektrostatycznym między dwoma punktami, pomiędzy którymi panuje napięcie elektryczne $1 \mathrm{V}$. Odpowiada to w przybliżeniu wartości $1,6·{10}^{-19} \mathrm{J}$. Pracę tę można wyrazić w dżulach, ale wygodniej jest to zrobić w elektronowoltach lub też posłużyć się wielokrotnościami tej jednostki: kiloelektronowoltem $\left(\mathrm{keV}\right)$, megaelektronowoltem $\left(\mathrm{MeV}\right)$ lub gigaelektronowoltem $\left(\mathrm{GeV}\right)$

Współczesne urządzenia do badania cząstek rozpędzają je do energii ponad $100 \mathrm{GeV}$ (gigaelektronowoltów, czyli ${10}^9$ $\mathrm{eV}$), a Wielki Zderzacz Hadronówwielki zderzacz hadronówWielki Zderzacz Hadronów (największa maszyna świata) uzyskuje energię cząstek rzędu kilku $\mathrm{TeV} \left({10}^{12} \mathrm{eV}\right)$, czyli kilku bilionów elektronowoltów. Energie wyrażone w elektronowoltach wydają się być gigantyczne, ale są to tak naprawdę wartości mniejsze niż jedna milionowa dżula. Należy jednak pamiętać, że energiami tymi obdarzone są cząstki o masach rzędu ${10}^{-27} \mathrm{kg}$ (w spoczynku).

Wróćmy teraz do wartości liczbowych zawartych w tabeli energii wiązania wybranych pierwiastków. Dane te można przedstawić graficznie na wykresie zależności energii wiązania jądra od liczby masowej (wykres zawiera dane większej liczby pierwiastków niż w tabelce).

RbAYiV0NHfMgO

Wykres przestawiający zależność energii wiązania jądra atomowego w megaelektronowoltach od jego liczby masowej. Jest to wykres coraz wolniej rosnący. Poprowadzony został przez punkty (2; 2,2), (4;28,4), (7;38), (12;92,4), (16;127,9), (238; 1804,9).

Na podstawie danych z tabeli można zauważyć, że energia wiązania jest tym większa, im większa jest liczba nukleonów w jądrze. Jest to zrozumiałe – większa liczba protonów oznacza większe siły odpychania, zatem jądro może być stabilne, pod warunkiem że energia wiązania będzie większa. Właśnie dlatego ciężkie jądra mają duży nadmiar neutronów.

Ponowna analiza danych umieszczonych w tabeli prowadzi do jeszcze jednego ciekawego wniosku: Energia wiązania każdego nukleonu w jądrze helu jest większa niż energia wiązania takiego nukleonu w jądrze litu. Z wykresu wynika, że energia wiązania rośnie wraz ze wzrostem liczby masowej, ale nie jest to wzrost liniowy (wzrost energii wiązania jest coraz wolniejszy).

Czym jest energia wiązania przypadająca na jeden nukleon? Jest to ilość energii, jaką trzeba dostarczyć do jądra, aby wyrwać z niego jeden nukleon. Jeżeli chcemy zamiast jądra uzyskać niezależne cząstki swobodne, to musimy w tym celu dostarczyć energię równą całkowitej energii wiązania.

Ciekawy wynik otrzymamy, gdy na wykresie przedstawimy zależność energii wiązania przypadającej na jeden nukleon od liczby masowej $\left(\mathrm{A}\right)$ – liczby nukleonów.

RJ78a3ONB9Ls7

Wykres przedstawiający średnią energię wiązania na nukleon w zależności od liczby masowej. Przebiega przez punkty odpowiadające izotopom: deuter, hel‑trzy, tryt, hel‑cztery, lit‑sześć, węgiel‑dwanaście, żelazo‑pięćdziesiąt sześć, uran‑dwieście trzydzieści pięć, uran‑dwieście trzydzieści osiem. Są to kolejno punkty: (2;1,112), (3;2,573), (3;2,827), (4;7,074), (6;5,332), (12;7,68), (56;8,79), (235;7,591), (238;7;57). Tak więc wpierw jest rosnący niemal liniowo, ze szczytem dla Helu‑cztery, ostro spada dla litu, po czym stromo ale coraz wolniej rośnie; za żelazem osiąga maksimum i zaczyna opadać aż do uranu‑dwieście trzydzieści osiem.

Analiza wykresu pozwala stwierdzić, że największa średnia energia wiązania przypada na jądra znajdujące się w środkowej części wykresu. W porównaniu z tymi jądrami zarówno jądra najlżejsze (zaczynając od deuteru, helu czy węgla), jak i te cięższe (takie jak uran) mają mniejszą energię przypadającą na jeden nukleon.

Maksymalną wartość energii wiązania ma żelazo – $8,8 \mathrm{MeV}$ na nukleon. Jest to tylko jeden z wniosków wynikających z przebiegu tego wykresu.

Warto też zwrócić uwagę na fakt dużej, w porównaniu z sąsiednimi jądrami, energii wiązania na nukleon jądra helu ${}_2{}^4 \mathrm{He}$. Lit, który ma większą energię wiązania i większą masę, ma mniejszą energię przypadającą na jeden nukleon. Oznacza to, że jądro helu jest związane silniej niż jądra o mniejszej i nieco większej masie. Z tego wynikają istnienie cząstki $\alpha$ i przekonanie (żywione długo przez Rutherforda), że w jądrach atomów takie cząstki istnieją cały czas. Obszary wykresu dotyczące zarówno mniejszych, jak i większych liczb masowych spowodowały prawdziwą rewolucję. Dzięki niemu możliwa stała się produkcja energii jądrowej na dwa sposoby (ale również możliwość zbudowania dwóch rodzajów bomb jądrowych). Ponadto za pomocą tego wykresu wyjaśniono, co jest źródłem energii gwiazd, a także wytłumaczono, jak tworzyły się pierwiastki podczas powstania i ewolucji Wszechświata. Tymi kwestiami zajmiemy się na najbliższych lekcjach.

Podsumowanie

• Masa i energia całkowita są miarą tej samej wielkości fizycznej. Zmiana masy układu może zachodzić wskutek wymiany nie tylko substancji, lecz także energii.

• Równoważność masy i energii Albert Einstein opisał za pomocą wzoru:
  $E=m{c}^2$,

  gdzie:
  $m$ – masa ciała, $c$ – prędkość światła w próżni.

• Masa jądra jest mniejsza od sumy mas nukleonów, z którego jest ono utworzone. Tę różnicę nazywamy deficytem masy.

• Energia wiązania jest równa wartości pracy, którą należy wykonać, aby układ rozłożyć na pojedyncze cząstki (w przypadku jądra – są to nukleony).

• Energia wiązania jest równa wartości energii $∆E$ związanej z deficytem masy $∆m$:
  $∆E=∆m{c}^2$,
  gdzie: $c$ – prędkość światła w próżni.

• Energia wiązania zmienia się wraz liczbą nukleonów w jądrze; im większa liczba nukleonów, tym jądro jest silniej związane.

• Charakterystyczną wielkością dla danego jądra jest energia wiązania przypadająca na jeden nukleon w jądrze. Jest to energia, jaką trzeba dostarczyć do jądra, aby uwolnić z niego jeden nukleon.

Zadania podsumowujące

Słownik

Biogram

Albert Einstein18‑04‑1955Princeton14‑03‑1879Ulm

RD41Ddw8XQk8w

Czarno‑białe zdjęcie przedstawia twarz i ramiona uczonego Alberta Einsteina. Mężczyzna w wieku około siedemdziesięciu lat. Siwe dłuższe włosy swobodnie opadają z tyłu głowy. Włosy sięgają płatków uszu. Czoło wysokie, pokryte licznymi poziomymi zmarszczkami. Brwi bardzo wyraziste, krzaczaste i czarne. Powieki mocno opadają na oczy. Liczne zmarszczki otaczają oczy. Pod oczami widoczne workowate fałdy skóry. Nos duży i wyrazisty, zaokrąglony na końcu. Duże gęste siwe wąsy. Mężczyzna ubrany w ciemną marynarkę.

Albert Einstein

1879.03.14 Ulm – 1955.04.18 Princeton

[albert ajnsztajn]
Jeden z najwybitniejszych fizyków teoretyków wszech czasów, twórca szczególnej ($\text{1905}$ r.) i ogólnej teorii względności ($\text{1915}$ r.). Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki ($\text{1921}$ r.).