Cechy przystawania trójkątów

Przypomnij sobie warunek na istnienie trójkąta.

Suma długości dwóch podanych boków trójkąta $DEF$ jest równa długości jednego z boków trójkąta $ABC$, co oznacza, że nie jest spełniony warunek budowy trójkąta.

Wykorzystaj poznane cechy przystawania trójkątów i zastanów się, czy trójkąty mogą spełniać chociaż jedną z nich.

1. Aby te trójkąty były przystające, jeden z boków jednego trójkąta musi być równy odpowiedniemu bokowi drugiego trójkąta.

2. Te trójkąty nie są przystające.

3. Te trójkąty nie są przystające.

Zauważ, że rabatki będą miały kształt trójkątów przystających.

Zastanów się, czy otrzymane trójkąty spełniają $\mathrm{I}$ cechę przystawania trójkątów.

Każdy z trójkątów składa się z boku o długości całego ramienia, boku o długości połowy podstawy i ze wspólnej wysokości. Oznacza to, że te trójkąty są przystające na mocy cechy bok – bok – bok. Miary kątów każdego z tych trójkątów to $60°$, $30°$ i $90°$.

Wykorzystaj cechy przystawania trójkątów prostokątnych.

Trójkąty wpisane w okrąg i oparte na średnicy są prostokątne. Mają taką samą jedną przyprostokątną i przeciwprostokątną. Przystawanie trójkątów $ACE$ oraz $ABC$ wynika z cech przystawania trójkątów prostokątnych.

Wykorzystaj fakt, że trójkąty spełniają wszystkie cechy przystawania trójkątów.

$\left|AC\right|=\left|DF\right|$, $\left|AB\right|=\left|EF\right|$, $\left|BC\right|=\left|DE\right|$
$\left|\measuredangle BAC\right|=\left|\measuredangle EFD\right|=34°$
$\left|\measuredangle ACB\right|=\left|\measuredangle EDF\right|=23°$
$\left|\measuredangle ABC\right|=\left|\measuredangle DEF\right|=123°$

Skorzystaj z drugiej cechy przystawania trójkątów.

1. Kąty $AEB$ i $DEC$ są wierzchołkowe, zatem mają taką samą miarę. Przekątne w równoległoboku przecinają się w połowie swoich długości, zatem boki $AE$ i $EC$ mają takie same długości. Ponadto boki $BE$ i $ED$ również mają takie same długości. Oznacza to, że na mocy cechy bok – kąt – bok trójkąty $AEB$ i $DEC$ są przystające.

2. Kąty $AED$ i $CEB$ są wierzchołkowe, zatem mają taką samą miarę. Przekątne w równoległoboku przecinają się w połowie swoich długości, zatem boki $AE$ i $EC$ mają takie same długości. Ponadto boki $BE$ i $ED$ również mają takie same długości. Oznacza to, że na mocy cechy bok – kąt – bok trójkąty $AED$ i $CEB$ są przystające.

Uzasadnij najpierw, że trójkąty $BEF$ i $CDE$ są przystające.

Długość boków $CE$ i $EB$ jest taka sama oraz kąty $CED$ i $BEF$ są wierzchołkowe, zatem mają takie same miary. Korzystając z własności kątów naprzemianległych wiemy, że kąty $DCE$ i $EBF$ mają również takie same miary. Oznacza to, że trójkąty $BEF$ i $CDE$ są przystające. Oznacza to, że pole trapezu $ABCD$ jest równe polu trójkąta $ADF$.

Wykaż, że trójkąty $AOB$ oraz $DOC$ to para trójkątów przystających. Podobnie trójkąty $AOD$ oraz $BOC$ to para trójkątów przystających. Poprowadź również wysokość trójkąta $ABC$ do podstawy $AC$.

R1MyBgOrzr9XO

Rysunek równoległoboku A B C D, którego przekątne przecinają się w punkcie O. Dodatkowo zaznaczono na rysunku wysokość trójkąta A B C, która opada na podstawę AC, która jest jednocześnie przekątną czworokąta.

Przekątne w równoległoboku przecinają się w połowie swoich długości, a kąty wierzchołkowe między przekątnymi mają takie same miary. Oznacza to, że trójkąty $AOB$ i $DOC$ tak samo jak trójkąty $AOD$ oraz $BOC$ są przystające na mocy cechy bok – kąt – bok. Zauważmy, że odcinek $BE$, który jest wysokością trójkąta $ABC$, jest również wysokością trójkątów $BOC$ i $AOB$. Odcinki $AO$ i $OC$ mają takie same długości, więc trójkąty $AOB$ i $BOC$ mają takie same pola. Korzystając z tego faktu oraz z przystawania trójkątów wiemy, że wszystkie trójkąty mają takie same pola. Oznacza to, że pole trójkąta $AOB$ jest czterokrotnie mniejsze od pola równoległoboku $ABCD$.

Uzasadnij najpierw, że trójkąty $AED$ i $BCF$ są przystające.

Odcinek $CF$ również jest wysokością tego trapezu, więc ma długość $5 \mathrm{cm}$. Oznacza to, że trójkąty $AED$ i $BCF$ są przystające na mocy cechy bok – kąt – bok. Możemy teraz wykorzystać fakt, że trójkąty są przystające. Skoro są przystające, to odpowiadające sobie boki trójkątów muszą mieć takie same długości. Oznacza to, że boki $AD$ i $BC$ mają takie same długości, zatem trapez jest równoramienny.

Wykorzystaj odpowiednią własność trójkąta równobocznego.

Każdy trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości. Wysokość każdego trójkąta równobocznego zależy od długości jego boku zgodnie ze wzorem $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Oznacza to, że jeżeli dwa trójkąty równoboczne mają takie same wysokości, to muszą mieć boki tej samej długości, tym samym są przystające.

Narysuj równoległobok i jego dwie wysokości. Uzasadnij, że jeśli te wysokości są równe, to przystające są trójkąty, których bokami są odpowiednie boki rombu i wysokości.

Tak

Wykorzystaj przystawanie odpowiednich trójkątów.

Trapezy będą przystające, jeżeli odpowiednie trójkąty, na które są podzielone, będą przystające.