Wycinek i odcinek koła

Przypomnijmy wzory na pole i obwód koła.

Pole koła $P=\pi r^2$ oraz obwód koła $L=2\mathrm{\pi r}$, gdzie $\pi \approx \mathrm{3,14159}$ jest stałą matematyczną definiowaną jako stosunek obwodu koła do jego średnicy.

Wycinek koła

Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa promienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt środkowy pomiędzy tymi promieniami nazywamy kątem wycinka.

R16Wj6LWpuRxV1

Rysunek przedstawia koło o środku w punkcie S  oraz promieniu SC = SA . Zaznaczony został wycinek koła o kącie ASC =alfa.

Przykład 1

Obliczmy pole wycinka koła o promieniu $3$, którego kąt jest równy $\alpha =45°$.

Zastanówmy się, jaką częścią całego koła jest ten wycinek.

R1OzakB5wIDgs1

Rysunek przedstawia koła o środku S z zaznaczonym wycinkiem koła o kącie równym 45 stopni. Dodatkowo przerywanymi liniami zaznaczonych jest jeszcze siedem takich samych wycinków koła.

Zauważmy, że $\frac{45°}{360°}=\frac{1}{8}$. Zatem pole wycinka stanowi ósmą część pola koła.

$$P_{\mathrm{wycinka}}=\frac{1}{8}{P}_{\mathrm{koła}}$$

$$P_{\mathrm{wycinka}}= \frac{1}{8}{\mathrm{\pi r}}^2$$

$$P_{\mathrm{wycinka}}= \frac{1}{8}·\pi ·3^2=\frac{9}{8}\pi$$.

 Odcinek koła

Definicja:  Odcinek koła

Odcinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części, na jakie dzieli to koło jego cięciwa wraz z tą cięciwą i łukiem okręgu.

RHdkhWvpsJeKz1

Rysunek koła o środku S z poprowadzoną cięciwą AB. Rysunek pokazuje definicję odcinka koła na krótszym łuku AB.

R6rPGIn2bwtvv1

Rysunek koła o środku S z poprowadzoną cięciwą AB. Rysunek pokazuje definicję odcinka koła na dłuższym łuku AB..

Obliczymy pole odcinka koła.

• przypadek $\mathrm{I}$

Środek koła leży na zewnątrz odcinka koła. Wtedy pole tego odcinka jest mniejsze od połowy pola koła.

Połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego $ASB$, a kąt $\alpha$ między ramionami $SA$ i $SB$ jest kątem wycinka koła $ASB$. Pole odcinka koła obliczymy, odejmując od pola wycinka pole trójkąta $ASB$.

R16Cdsp7hj6CF1

Rysunek przedstawia koło o środku w punkcie S i kącie wycinka koła opartego na łuku AB równym alfa. Poprowadzono w nim cięciwę AB i zaznaczono odcinek koła pomiędzy cięciwą AB, a łukiem o tych samych końcach nie zawierającym środek okręgu S..

• przypadek $\mathrm{II}$

Środek koła leży wewnątrz odcinka koła. Pole odcinka jest wtedy większe od połowy pola koła. Tak jak poprzednio, połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu.

Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego $ASB$. Między ramionami $SA$ i $SB$ znajduje się kąt $\alpha$. Pole odcinka koła obliczymy, dodając pole trójkąta $ASB$ do pola wycinka.

RkXZgfvCoBhSy1

Rysunek przedstawia koło o środku w punkcie S i kącie wycinka koła opartego na łuku AB równym alfa. Poprowadzono w nim cięciwę AB i zaznaczono odcinek koła pomiędzy cięciwą AB, a łukiem o tych samych końcach zawierającym środek okręgu S.

• przypadek $\mathrm{III}$

Środek koła leży na cięciwie $AB$.

Cięciwa $AB$ jest wtedy średnicą koła o promieniu $r$. Każdy z dwóch wyznaczonych przez nią odcinków koła jest półkolem o polu $\frac{\pi r^2}{2}$.