Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie

Geografowie określają położenie obiektów na kuli ziemskiej, korzystając z układu współrzędnych geograficznych, które wyznaczają południki, równoleżniki, równik i bieguny. Punkt zaznaczony na siatce geograficznej opisywany jest za pomocą pary liczb, nazywanej jego współrzędnymi geograficznymi. Pierwsza współrzędna to długość geograficzna, a druga – szerokość geograficzna. Punkt przecięcia południka zerowego z równikiem to początek układu współrzędnych.

Przykład 1

Współrzędne punktu $A$ to $60 °$ długości geograficznej wschodniej i $40 °$ szerokości geograficznej północnej.

W zapisie międzynarodowym: $A = (60 ° E, 40 ° N)$ .

Przykład 2

W praktyce do szybkiego wyznaczania położenia obiektu (nawet poruszającego się) wykorzystuje się najczęściej Globalny System Nawigacji (GPS), który obejmuje swym zasięgiem całą kulę ziemską. System ten jest ogólnodostępny, z jego usług może korzystać każda osoba, która posiada odpowiedni odbiornik.

Układy współrzędnych stosuje się również w wielu innych dziedzinach wiedzy, np. w geodezji, fizyce (do opisywania ruchu ciał).

Polecenie 1

Odczytaj współrzędne geograficzne (szerokość i długość) podanych poniżej miejscowości.

RYxVVzwSXV0rM1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Międzyrzec Podlaski: $52 N$ , $23 E$
Tarnów: $50 N$ , $21 E$
Kraków: $50 N$ , $20 E$

RBK2Yjn6tJqDf

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kartezjański układ współrzędnych

W matematyce najczęściej posługujemy się układem współrzędnych, który tworzą dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe. Punkt $O$ przecięcia tych prostych nazywany jest początkiem układu współrzędnych.

RbxjsequMOPsZ1

Rysunek układu współrzędnych. Oś pozioma X przedstawiona jest od minus siedmiu do siedmiu i oznaczona jako oś odciętych, oś pionowa Y przedstawiona jest od minus trzech do czterech i oznaczona jest jako oś rzędnych. Punkt przecięcia osi X i Y to początek układu współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oś pozioma (pierwsza oś) nazywana jest osią odciętych lub osią $X$ .
Oś pionowa (druga oś) nazywana jest osią rzędnych lub osią $Y$ .

Ciekawostka

Prostokątny układ współrzędnych nazywany jest układem kartezjańskim od Kartezjusza (Rene Descartes’a), znakomitego siedemnastowiecznego francuskiego matematyka, przyrodnika i filozofa, którego uważa się za prekursora stosowania metod geometrycznych w zagadnieniach algebraicznych.
Powszechnie znana jest sentencja filozoficzna Kartezjusza „Myślę, więc jestem”.

R108iatHO3vBz1

ilustracja przedstawia Kartezjusza na tle zapisków matematycznych. Mężczyzna jest w średnim wieku, ma ciemne kędzierzawe włosy, wąsy i ma na sobie elegancki surdut z dużym płaskim kołnierzem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne

Definicja: Współrzędne

Każdemu punktowi $P$ zaznaczonemu w układzie współrzędnych odpowiada uporządkowana para liczb $(x, y)$ nazywanych jego współrzędnymi.
Zapisujemy

P = (x, y)

R1Rc49LNgYp3M1

Zapis: P=x,y. Pierwsza współrzędna x to odcięta punktu P. Druga współrzędna y to rzędna punktu P. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwsza współrzędna określa położenie punktu względem osi $X$ , a druga – względem osi $Y$ .

Aby wyznaczyć pierwszą współrzędną $(x)$ punktu $P$ , można zaznaczyć prostą prostopadłą do osi $X$ przechodzącą przez punkt $P$ . Liczba odpowiadająca punktowi, w którym ta prosta przecina oś $X$ , jest pierwszą współrzędną punktu $P$ – odciętą punktu $P$ .
Aby wyznaczyć drugą współrzędną $(y)$ punktu $P$ , można zaznaczyć prostą prostopadłą do osi $Y$ , przechodzącą przez punkt $P$ . Liczba odpowiadająca punktowi, w którym ta prosta przecina oś $Y$ , jest drugą współrzędną punktu $P$ – rzędną punktu $P$ .

Przykład 3

RjBrPaq2fc0k71

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono cztery punkty, każdy w innej ćwiartce układu. Punkty te to: punkt w drugiej ćwiartce A=-2,2, punkt w czwartej ćwiartce B=4,-1, punkt w trzeciej ćwiartce C=-1,-2 i punkt w pierwszej ćwiartce D=2,1 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne punktu $A$ : pierwsza współrzędna to $- 2$ , a druga to $2$ . Zapisujemy $A = (- 2, 2)$ .

Współrzędne punktu $B$ : pierwsza współrzędna to $4$ , a druga to $- 1$ . Zapisujemy $B = (4, - 1)$ .

Współrzędne punktu $C$ : pierwsza współrzędna to $- 1$ , a druga to $- 2$ . Zapisujemy $C = (- 1, - 2)$ .

Współrzędne punktu $D$ : pierwsza współrzędna to $2$ , a druga to $1$ . Zapisujemy $D = (2, 1)$ .

Przykład 4

Najczęściej na obu osiach układu współrzędnych obieramy jednakowe jednostki tak, aby można było zaznaczyć dane punkty.

A = (10, 40)

B = (- 30, - 20)

G = (- 150, 200)

H = (350, - 150)

RRP3bwYKlEZK91

Rysunki dwóch układów współrzędnych. Układ z lewej strony przedstawiony jest na poziomej osi X od minus trzydziestu do trzydziestu z podziałką co 10 i z pionową osią Y od minus dwudziestu do czterdziestu z podziałką co dziesięć. Na płaszczyźnie zaznaczono dwa punkty: w pierwszej ćwiartce A=10,40 oraz w trzeciej ćwiartce B=-30,-20. W prawym układzie współrzędnych pozioma oś X przedstawiona jest od minus trzystu pięćdziesięciu do trzystu pięćdziesięciu z podziałką co 50 oraz pionowa oś Y przedstawiona jest od minus dwustu do dwustu z podziałką co pięćdziesiąt. Na płaszczyźnie zaznaczono dwa punkty: w drugiej ćwiartce G=-150,200 oraz w czwartej ćwiartce punkt H=350,-150. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

W zastosowaniach praktycznych, gdy na osiach układu współrzędnych zaznaczane są różne wielkości, jednostki mogą mieć różne długości.

Ryhs7zBHKZxMI1

Ilustracja przedstawia wykres zależności między objętością względną i temperaturą w stopniach Celsjusza. Na rysunku przedstawiono pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią reprezentującą temperaturę t w stopniach Celsjusza od zera do stu z podziałką co dwadzieścia. Pionowa oś przedstawia objętość względną rtęci V ukośnik V indeks dolny zero koniec indeksu. Podziałka na osi pionowej jest od 1 do 1,020 z podziałką co 0,005 ; Wykres zależności jest ukośnym odcinkiem od początku układu, czyli od punktu o współrzędnych 0;1 i biegnie do punktu krytycznego o współrzędnych 100;1,019 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykres zmiany objętości rtęci w zależności od temperatury.

Przykład 6

W układzie współrzędnych zaznaczone są punkty leżące na osiach układu.

RMAJsXyhWQcvy1

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono 12 następujących punktów: A=0;2, B=-1;0, C=-3;0, D=0;4, E=2;0, F=3;0, G=0;-1, H=0;-3, I=-2;0, J=0;-2, K=1;0, L=0;3 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytajmy ich współrzędne.
Punkty leżące na osi $X$ :
$C = (- 3, 0)$ , $I = (- 2, 0)$ , $B = (- 1, 0)$ , $K = (1, 0)$ , $E = (2, 0)$ , $F = (3, 0)$ .
Punkty leżące na osi $Y$ :
$D = (0, 4)$ , $L = (0, 3)$ , $A = (0, 2)$ , $G = (0, - 1)$ , $J = (0, - 2)$ , $H = (0, - 3)$ .
Zauważmy, że

punkty leżące na osi $X$ mają drugą współrzędną równą $0$ ,
punkty leżące na osi $Y$ mają pierwszą współrzędną równą $0$ .

Początek układu współrzędnych (punkt $O$ ) ma współrzędne $(0, 0)$ .

Polecenie 2

Podaj współrzędne punktu $A$ .

R1WoHoAUIoCRr1

RYMBkhIfvEkQs

Wówczas punkt $A$ ma współrzędne $A = (- 1, 4)$ .

R1ICZ7SqiXTee1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

W układzie współrzędnych ustaw punkt $P$ tak, aby miał dane współrzędne.

R1FgGqlypIYjw1

R57ptv9RZE5RB1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiartki układu współrzędnych

Przykład 7

RnR4jUMbvuxUW1

Rysunek układu współrzędnych. Pozioma oś X oraz pionowa oś Y dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki: pierwsza ćwiartka to prawa górna płaszczyzna, druga ćwiartka to lewa górna płaszczyzna, trzecia ćwiartka to lewa dolna płaszczyzna, czwarta ćwiartka to prawa dolna płaszczyzna. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery części nazywane ćwiartkami.

Ćwiartki numerujemy cyframi rzymskimi: $I$ , $II$ , $III$ , $IV$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Punktów leżących na osiach układu współrzędnych nie zaliczamy do żadnej ćwiartki.

Przykład 8

Zmieniaj położenie punktu zaznaczonego w układzie współrzędnych.
Zaobserwuj znaki pierwszej oraz drugiej współrzędnej punktu w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.

RHzxTgdNCN6OP1

Zwróć uwagę na fakt, iż w zależności od tego, w jakiej ćwiartce znajduje się punkt, takie ma współrzędne. Każda ćwiartka wyznaczona jest z innej kombinacji półosi dodatnich i ujemnych, zatem mamy cztery klasy współrzędnych.

Jeżeli punkt należy do:

$I$ ćwiartki układu współrzędnych, to obie jego współrzędne są liczbami dodatnimi,
$II$ ćwiartki układu współrzędnych, to jego pierwsza współrzędna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią,
$III$ ćwiartki układu współrzędnych, to obie jego współrzędne są liczbami ujemnymi,
$IV$ ćwiartki układu współrzędnych, to jego pierwsza współrzędna jest liczbą dodatnią, a druga ujemną.

R1KwbgBO0EzA01

Rysunek układu współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. W pierwszej ćwiartce zaznaczony punkt R=x,y, dla którego obie współrzędne są liczbami dodatnimi. W drugiej ćwiartce zaznaczono punkt P=x,y, dla którego pierwsza współrzędna, czyli x jest liczbą ujemną, a druga, czyli y jest liczbą dodatnią. W trzeciej ćwiartce zaznaczono punkt M=x,y, dla którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi. W czwartej ćwiartce zaznaczono punkt S=x,y, dla którego pierwsza współrzędna, czyli x jest liczbą dodatnią, a druga, czyli y jest liczbą ujemną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 4

Podaj współrzędne punktów $A$ , $B$ oraz $C$ i sprawdzaj ich poprawność za pomocą testera.

RMoJlb53bl99l

RsznOAxjBdK1Q1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie współrzędne lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Punkty

A = (- 4, 5)

oraz

B =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

leżą na prostej równoległej do osi

X

.Punkty

A = (1, 10)

oraz

B =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

leżą na prostej równoległej do osi

Y

.Punkty

A =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

oraz

B =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

leżą na osi

Y

. Punkty

A =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

oraz

B =

(5, 0)

, 2.

(2, 5)

, 3.

(- 3, 0)

, 4.

(0, 1)

, 5.

(- 4, 2)

, 6.

(4, 10)

, 7.

(0, 9)

, 8.

(1, - 5)

leżą na osi

X

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Narysuj układ współrzędnych; dobierz odpowiednio jednostkę i zaznacz punkty $A$ i $B$ .

$A = (- 200, 300)$ , $B = (100, 500)$
$A = (- 150, - 50)$ , $B = (250, - 50)$
$A = (40, - 60)$ , $B = (20, 100)$
$A = (- 15, 45)$ , $B = (- 30, - 60)$
$A = (1000, - 3000)$ , $B = (2000, 2000)$
$A = (- 1500, - 500)$ , $B = (- 2500, 1500)$

RKntFgLL5kHWI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeanalizuj współrzędne każdej pary punktów. Zauważ w nich schemat i dobierz odpowiednią długość podziałki na osi. Na przykład w podpunkcie a) niech podziałka wskazuje punkty na osi co $100$ jednostek.

R15EKkHpm2usv1

Ćwiczenie 1

Połącz współrzędne punktu z najlepszą jednostką w układzie współrzędnych .

A = (- 200, 300)

B = (100, 500)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (- 150, - 50)

B = (250, - 50)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (40, - 60)

B = (20, 100)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (- 15, 45)

B = (- 30, - 60)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (1000, - 3000)

B = (2000, 2000)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

A = (- 1500, - 500)

B = (- 2500, 1500)

Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek jednostokowy długości

20

., 2. Odcinek jednostokowy długości

500

., 3. Odcinek jednostokowy długości

15

., 4. Odcinek jednostokowy długości

100

., 5. Odcinek jednostokowy długości

50

., 6. Odcinek jednostokowy długości

1000

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXx1rivUEC72f1

Ćwiczenie 2

$P = (0, 0)$
$P = (- 8, 0)$
$P = (0, - 5)$
$P = (6, 0)$
$P = (0, - 100)$
$P = (6, 0)$
$P = (1,2, 0)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzzKmswJbW1Hp1

Ćwiczenie 3

$I$
$II$
$IIII$
$IV$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16FEeX7Sveyd1

Ćwiczenie 4

Tak, ponieważ odcięta jest liczbą ujemną
Nie, ponieważ odcięta jest liczbą ujemną
Tak, ponieważ rzędna jest liczbą ujemną.
Nie, ponieważ obie współrzędne są ujemne.
Tak, ponieważ obie współrzędne są ujemne.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3mlWtYjWEcU71

Ćwiczenie 5

Przyporządkuj punkty do odpowiedniej ćwiartki układu współrzędnych.

I

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

F = (- 809, 9)

, 2.

C = (- 23, - 33)

, 3.

G = (- 91, - 3)

, 4.

A = (12, 32)

, 5.

H = (312, 132)

, 6.

B = (- 26, 187)

, 7.

E = (100, - 765)

, 8.

I = (10, - 1)

, 9.

D = (- 365, 2)

II

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

F = (- 809, 9)

, 2.

C = (- 23, - 33)

, 3.

G = (- 91, - 3)

, 4.

A = (12, 32)

, 5.

H = (312, 132)

, 6.

B = (- 26, 187)

, 7.

E = (100, - 765)

, 8.

I = (10, - 1)

, 9.

D = (- 365, 2)

III

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

F = (- 809, 9)

, 2.

C = (- 23, - 33)

, 3.

G = (- 91, - 3)

, 4.

A = (12, 32)

, 5.

H = (312, 132)

, 6.

B = (- 26, 187)

, 7.

E = (100, - 765)

, 8.

I = (10, - 1)

, 9.

D = (- 365, 2)

IV

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

F = (- 809, 9)

, 2.

C = (- 23, - 33)

, 3.

G = (- 91, - 3)

, 4.

A = (12, 32)

, 5.

H = (312, 132)

, 6.

B = (- 26, 187)

, 7.

E = (100, - 765)

, 8.

I = (10, - 1)

, 9.

D = (- 365, 2)

Przeciągnij punkty do odpowiedniej ćwiartki układu współrzędnych.

I ćwiartka
II ćwiartka
III ćwiartka
IV ćwiartka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7A2HQorKDoYO2

Ćwiczenie 6

$a = - 2$
$a = 0$
$a = 3$
$a = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Znajdź liczbę $m$ , wiedząc, że

punkt $P = (m - 3, - 1)$ leży na osi $Y$ ,
punkt $G = (2, 2 m + 6)$ leży na osi $X$ .

RwjTmxYh74w69

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli punkt leży na osi $Y$ , to oznacza, że pierwsza współrzędna jest równa zero. Jeżeli punkt leży na osi $X$ , to druga współrzędna jest równa zero. Rozwiąż odpowiednie równania.

$m = 3$
$m = - 3$

Polecenie 5

Zapoznaj się z apletem i odpowiedz na pytanie w nim zawarte.

RE2F0iAnJK3Me

R1KhtDTLmeEpi2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8VuGGshheYD12

Ćwiczenie 8

$- 6$
$- 7$
$7$
$0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ry2hWLHEKH8rS2

Ćwiczenie 9

Punkty $A = (- 2, 3)$ i $B = (- 2, - 3)$ mają taką samą rzędną.
Punkty $A = (0, - 4)$ i $B = (0, 3)$ znajdują się na osi odciętych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 6

Zaznacz w układzie współrzędnych cztery różne punkty $P$ , $R$ , $S$ , $T$ , z których każdy znajduje się w innej ćwiartce układu współrzędnych. Odczytaj współrzędne tych punktów, przerysuj poniższą tabelę do zeszytu i uzupełnij odpowiednimi liczbami.

R1Ejcmno876K9

Ilustracja przedstawia tabelę, która ma pięć wierszy i cztery kolumny. W pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie zapisano "Nazwa punktu", w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie zapisano "Pierwsza współrzędna punktu", w pierwszym wierszu i trzeciej kolumnie zapisano "Druga współrzędna punktu", w pierwszym wierszu i czwartej kolumnie zapisano "Numer ćwiartki układu współrzędnych, w której znajduje się punkt". W drugim wierszu i pierwszej kolumnie zapisano P, w trzecim wierszu i pierwszej kolumnie zapisano R, w czwartym wierszu i pierwszej kolumnie zapisano S, w piątym wierszu i pierwszej kolumnie zapisano T. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Zaznacz w układzie współrzędnych taki punkt $P$ , którego

Podaj współrzędne punktu $P$ , którego

obie współrzędne są równe,
druga współrzędna jest o $6$ mniejsza od pierwszej,
pierwsza współrzędna jest dwukrotnie większa od drugiej.

Ry2CIdNoRgMBw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wybierz dwie takie same liczby, aby stały na pierwszym i drugim miejscu współrzędnych punktu $P$ .
Wybierz dowolną liczbę na pierwszą współrzędną, następnie odejmij od niej $6$ aby zaznaczyć drugą współrzędną.
Wybierz dowolną liczbę na pierwszą współrzędną, następnie podziel ją na $2$ , aby wyznaczyć drugą współrzędną.

R10Gtxn5cKaQS

R1SqCnPcYBSdv

RVM4YcFQbxHDz

1. $P = (2, 2)$

2. $P = (4, - 2)$

3. $P = (4, 2)$

Ćwiczenie 11

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Co powiesz o ich wzajemnym położeniu?

Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Co powiesz o ich wzajemnym położeniu?

$A = (2, - 3)$ , $B = (2, - 1)$ , $C = (2, 3)$ , $D = (2, 0)$ , $E = (2, 2)$
$A = (4, - 3)$ , $B = (- 2, - 3)$ , $C = (- 4, - 3)$ , $D = (0, - 3)$ , $E = (1, - 3)$
$A = (1, 1)$ , $B = (- 1, - 1)$ , $C = (4, 4)$ , $D = (- 3, - 3)$ , $E = (0, 0)$

R1ENo4BUWY3vC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że w podpunkcie $(1)$ pierwsza współrzędna jest taka sama, czyli wszystkie punkty leżą na tej samej prostej; podobnie w podpunkcie $(2)$ – wszystkie drugie współrzędne leżą na tej samej prostej. Jakie orientacje mają te proste? W podpunkcie $(3)$ obydwie współrzędne każdego z punktów są takie same, co oznacza, że nie leżą na prostej pionowej ani poziomej.

Ry6qQYYZSAEDK

R161RDJd8sSDQ

RjhpcZLbv0Vxi

Punkty leżą na pionowej prostej.
Punkty leżą na poziomej prostej.
Punkty leżą na prostej nachylonej do osi $X$ pod pewnym kątem $α$ .

Polecenie 7

Korzystając z poniższej mapy, połącz w pary miasta i ich współrzędne geograficzne.

R1U44i9RGEXHa

Mapa polski z zaznaczonymi miastami : Łódź, Szczecin, Toruń, Dzierżoniów, Niepołomice. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19eBmmM7QSD9

Szczecin Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Łódź Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Toruń Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Niepołomice Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Dzierżoniów Możliwe odpowiedzi: 1.

(18.7; 53)

, 2.

(20.4; 50.4)

, 3.

(16.7; 51)

, 4.

(14.7; 53.3)

, 5.

(19.4; 51.9)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBdnsgklxVTPU

Ćwiczenie 12

Połącz w pary punkty leżące na tej samej prostej.

A = (3, 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

B = (4, 2)

, 2.

B = (- 6, - 6)

, 3.

B = (3, - 11)

, 4.

B = (1, - 7)

, 5.

B = (- 4, 2)

A = (- 4, 5)

Możliwe odpowiedzi: 1.

B = (4, 2)

, 2.

B = (- 6, - 6)

, 3.

B = (3, - 11)

, 4.

B = (1, - 7)

, 5.

B = (- 4, 2)

A = (- 2, - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

B = (4, 2)

, 2.

B = (- 6, - 6)

, 3.

B = (3, - 11)

, 4.

B = (1, - 7)

, 5.

B = (- 4, 2)

A = (- 9, - 7)

Możliwe odpowiedzi: 1.

B = (4, 2)

, 2.

B = (- 6, - 6)

, 3.

B = (3, - 11)

, 4.

B = (1, - 7)

, 5.

B = (- 4, 2)

A = (3, - 10)

Możliwe odpowiedzi: 1.

B = (4, 2)

, 2.

B = (- 6, - 6)

, 3.

B = (3, - 11)

, 4.

B = (1, - 7)

, 5.

B = (- 4, 2)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkty skrajne Polski:

R14THkFv7bROH1

Rysunek mapy Polski z zaznaczonymi punktami skrajnymi Polski. Na północy są to przylądek Rozewie i wieś Raczki Elbląskie. Na wschodzie jest to wieś Zosin. Na południu są to szczyty Opołonek i Rysy. Na zachodzie jest to wieś Osinów Dolny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najdalej na północ wysunięty kraniec Polski o współrzędnych $54 ° 50' N$ – miejscowość Jastrzębia Góra w gminie Władysławowo, powiat pucki.
Najdalej na południe wysunięty kraniec Polski $49 ° 00' N$ – szczyt Opołonek w gminie Lutowiska, powiat bieszczadzki.
Najdalej na zachód wysunięty kraniec Polski $14 ° 07' E$ – kolano Odry koło Osinowa Dolnego w gminie Cedynia, powiat gryfiński.
Najdalej na wschód wysunięty kraniec Polski $24 ° 08' E$ – kolano Bugu we wsi Zosin w gminie Horodło, powiat hrubieszowski.

Środek geometryczny Polski znajduje się we wsi Piątek, $15 km$ na wschód od Łęczycy, $19 km$ na południe od Kutna, a $33 km$ na północ od Łodzi.

Ćwiczenie 12

Określ współrzędne geograficzne środka Polski.

RVfAt8yzsT5sX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$52 ° 06' N$ oraz $19 ° 25' E$

R18JAW81Hhk3M2

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3hzZM9oscZYP3

Ćwiczenie 13

Odpowiedz na poniższe pytania, wpisując w luki odpowiednie wartości. Jak jest różnica czasu słonecznego między skrajnymi punktami Polski wschodnim i zachodnim?
Odpowiedź: Różnica wynosi około Tu uzupełnij minut.W Szczecinie jest godzina

12

w południe czasu słonecznego. Która godzina czasu słonecznego jest wtedy w Lublinie?
Odpowiedź: W Lublinie jest godzina Tu uzupełnij:Tu uzupełnij.W Warszawie czas słoneczny określany jest według południka

15 °

. Jaka jest różnica czasu słonecznego między Warszawą a Rzeszowem?
Odpowiedź: Różnica wynosi Tu uzupełnij minut.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 8

Jednym z najbardziej tajemniczych miejsc na ziemi jest Trójkąt Bermudzki.
Określ współrzędne geograficzne jego wierzchołków i dowiedz się, czym się charakteryzuje ten obszar. Skorzystaj z Internetu, aby dowiedzieć się, jakie punkty wchodzą w skład Trójkąta Bermudzkiego i odczytaj ich współrzędne z mapy.

Wierzchołkami Trójkąta Bermudzkiego są Bermudy ( $32 ° 18' N$ , $64 ° 47' W$ ), Puerto Rico ( $18 ° 15' N$ , $66 ° 33' W$ ) oraz południowe wybrzeże Florydy ( $25 ° 54' N$ , $81 ° 41' W$ ). Na tym obszarze dochodzi do niewyjaśnionych zatonięć i zaginięć statków.