Pole trapezu - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Pokaż ćwiczenia:

W tym materiale przypomnisz sobie podstawowe informacje na temat trapezów oraz ich pól powierzchni. Zawarte są w nim podstawowe definicje oraz własności związane z różnymi trapezami.

W tym materiale mówimy o trapezach, które nie są równoległobokami.

Wysokość trapezu

RYW6d3OBch2zv1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Narysuj dowolny trapez równoramienny i dowolny trapez prostokątny. W każdym z nich narysuj kilka odcinków prostopadłych do obu podstaw, tak by połączyły podstawy.

RX3gwfCGxtrp3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyobraź sobie dowolny trapez równoramienny i dowolny trapez prostokątny. W każdym z nich możemy wyznaczyć odcinek prostopadły do obu podstaw, tak by połączył podstawy. Ile takich odcinków możemy wyznaczyć? Jakie długości będą miały wyznaczone odcinki?

Wysokość trapezu

Definicja: Wysokość trapezu

Odcinek, który łączy obie podstawy trapezu i jest prostopadły do nich, nazywamy wysokością trapezu.

Ważne!

Trapez ma jedną wysokość. Można ją narysować w różnych miejscach. Wysokość trapezu to odcinek, który musi być prostopadły do podstaw i łączy podstawy lub ich przedłużenia.

Ćwiczenie 2

Narysuj wysokości poniższych trapezów.

Zastanów się, które boki poniższych trapezów połączy jego wysokość.

Rsed7vFpS9YFs1

Rysunki czterech różnych trapezów. Trapez A o wierzchołkach A, B, C i D, gdzie boki AB i CD są podstawami, trapez B o wierzchołkach E, F, G i H, gdzie boki EF i GH są równoległe, trapez C o bokach IJ, JK, KL i LI, w którym boki IL i JK są ramionami oraz trapez prostokątny D o wierzchołkach M, N, O i P, w którym podstawy to MN i OP. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R12TaUU4YTx3E

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LWz839qbpXU

W trapezie $A$ wysokość połączy boki $A B$ i $C D$ , w trapezie $B$ wysokość połączy boki $E F$ i $G H$ , w trapezie $C$ wysokość połączy boki $I J$ i $K L$ , a w trapezie $D$ wysokość połączy boki $M N$ i $O P$ .

Pole trapezu – wzór

R1SF9FSW83e1x1

Pole trapezu

Własność: Pole trapezu

Pole trapezu jest połową iloczynu sumy długości jego podstaw oraz wysokości.

R1AKSJiMOFMLk1

Rysunek trapezu o podstawach a i b i wysokości h. Zapis: P=a+b·h2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pola trapezu

Ćwiczenie 3

R1J8Rf66gZmCJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rb38haBL19alk

Połącz w pary opisy trapezów z odpowiadającymi im polami powierzchni. Trapez o podstawach

3 cm

9 cm

oraz wysokości

3 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 {dm}^{2}

, 2.

18 {cm}^{2}

, 3.

7 {cm}^{2}

, 4.

228 {cm}^{2}

, 5.

15 m^{2}

Trapez o podstawach

2 dm

8 dm

oraz wysokości

4 dm

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 {dm}^{2}

, 2.

18 {cm}^{2}

, 3.

7 {cm}^{2}

, 4.

228 {cm}^{2}

, 5.

15 m^{2}

Trapez o podstawach

4 m

6 m

oraz wysokości

3 m

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 {dm}^{2}

, 2.

18 {cm}^{2}

, 3.

7 {cm}^{2}

, 4.

228 {cm}^{2}

, 5.

15 m^{2}

Trapez o podstawach

3 cm

4 cm

oraz wysokości

2 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 {dm}^{2}

, 2.

18 {cm}^{2}

, 3.

7 {cm}^{2}

, 4.

228 {cm}^{2}

, 5.

15 m^{2}

Trapez o podstawach

11 cm

27 cm

oraz wysokości

12 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 {dm}^{2}

, 2.

18 {cm}^{2}

, 3.

7 {cm}^{2}

, 4.

228 {cm}^{2}

, 5.

15 m^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1Kc5SCyWtyMr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdhxAm9kbvfPA

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trapez o podstawach długości

19 cm

11 cm

oraz wysokości

7 cm

ma pole równe 1.

8 cm

, 2.

9 m

, 3.

69 {dm}^{2}

, 4.

5 dm

, 5.

72 {dm}^{2}

, 6.

100 {cm}^{2}

, 7.

4 cm

, 8.

105 {cm}^{2}

, 9.

630 {cm}^{2}

, 10.

2, 4 m^{2}

.Trapez o podstawach długości

8 dm

15 dm

oraz wysokości

6 dm

ma pole równe 1.

8 cm

, 2.

9 m

, 3.

69 {dm}^{2}

, 4.

5 dm

, 5.

72 {dm}^{2}

, 6.

100 {cm}^{2}

, 7.

4 cm

, 8.

105 {cm}^{2}

, 9.

630 {cm}^{2}

, 10.

2, 4 m^{2}

.Trapez o podstawach długości

1,6 m

2, 4 m

oraz wysokości

1, 2 m

ma pole równe 1.

8 cm

, 2.

9 m

, 3.

69 {dm}^{2}

, 4.

5 dm

, 5.

72 {dm}^{2}

, 6.

100 {cm}^{2}

, 7.

4 cm

, 8.

105 {cm}^{2}

, 9.

630 {cm}^{2}

, 10.

2, 4 m^{2}

.Trapez o podstawach długości

17 cm

13 cm

oraz polu równym

60 {cm}^{2}

ma wysokość 1.

8 cm

, 2.

9 m

, 3.

69 {dm}^{2}

, 4.

5 dm

, 5.

72 {dm}^{2}

, 6.

100 {cm}^{2}

, 7.

4 cm

, 8.

105 {cm}^{2}

, 9.

630 {cm}^{2}

, 10.

2, 4 m^{2}

.Trapez o podstawach długości

26 m

34 m

oraz polu równym

270 m^{2}

ma wysokość 1.

8 cm

, 2.

9 m

, 3.

69 {dm}^{2}

, 4.

5 dm

, 5.

72 {dm}^{2}

, 6.

100 {cm}^{2}

, 7.

4 cm

, 8.

105 {cm}^{2}

, 9.

630 {cm}^{2}

, 10.

2, 4 m^{2}

.Trapez o podstawach długości

25 cm

0, 17 m

oraz wysokości

3 dm

ma pole równe 1.

8 cm

, 2.

9 m

, 3.

69 {dm}^{2}

, 4.

5 dm

, 5.

72 {dm}^{2}

, 6.

100 {cm}^{2}

, 7.

4 cm

, 8.

105 {cm}^{2}

, 9.

630 {cm}^{2}

, 10.

2, 4 m^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1AWH3uVoUP0e1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RAvz4C4GPK9rd1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RChxjxrpAbISF1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R1ZXFQZ3LMObs1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Oblicz pole trapezu równoramiennego $A B C D$ przedstawionego na rysunku.

R2xSYrtF9gtED1

Rysunek trapezu równoramiennego A B C D o podstawach DC i AB, i wysokości DE, która jest poprowadzona do podstawy dolnej AB. Podstawa AB podzielona na dwa odcinki AE i EB. Podane długości: CD =3 cm, DE = 4 cm, AE =2,5 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvwBPce5m1MTS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RfgRoyOXXXA2D2

Pole trapezu – zadania

Ćwiczenie 11

Oblicz pola figur. Przyjmij, że bok kratki ma długość $1 dm$ .

R1JPNHhU9fKra1

Rysunki czterech różnych wielokątów. Na rysunku A widzimy figurę składającą się z dwóch trapezów prostokątnych. Pierwszy trapez ma podstawy o długości jednej kratki i dwóch kratek, i wysokość jednej kratki, a drugi ma podstawy o długości dwóch kratek i czterech kratek, i wysokość jednej kratki. Pierwszy trapez przylega całą długością swojej dłuższej podstawy do krótszej podstawy drugiego trapezu. Na rysunku B widzimy figurę składającą się z dwóch trapezów prostokątnych. Pierwszy trapez ma podstawy o długości dwóch kratek i trzech kratek, i wysokość jednej kratki, a drugi ma podstawy o długości dwóch kratek i czterech kratek, i wysokość dwóch kratek. Pierwszy trapez przylega całą długością swojej krótszej podstawy do krótszej podstawy drugiego trapezu. Na rysunku C widzimy figurę składającą się z dwóch takich samych trapezów równoramiennych. Oba trapezy mają podstawy długości dwóch kratek i sześciu kratek, i wysokość dwóch kratek. Trapezy przylegają do siebie swoimi krótszymi podstawami. Na rysunku D widzimy figurę składającą się z dwóch par takich samych trapezów prostokątnych, jedna para to mniejsze trapezy, a druga to większe. Pierwsza para to trapezy o podstawach długości trzech kratek i czterech kratek, i wysokościach jednej kratki, a druga para to trapezy o podstawach długości trzech kratek i pięciu kratek, i wysokościach jednej kratki. Trapezy są ułożone w następujący sposób: lewa krawędź figury to dłuższa podstawa mniejszego trapezu, do krótszej podstawy tego trapezu przylega krótsza podstawa trapezu większego. Do dłuższej podstawy tego trapezu większego przylega dłuższa podstawa drugiego trapezu większego, a do krótszej podstawy drugiego trapezu większego przylega krótsza podstawa drugiego trapezu mniejszego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11UNIyh1rb4g

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znając pole trapezu oraz długość jego wysokości i jednej z podstaw, możemy wyznaczyć długość drugiej podstawy.

Przykład 1

Pole trapezu jest równe $45 {cm}^{2}$ , jego wysokość ma długość $5 cm$ , a jedna z podstaw $10 cm$ . Obliczmy długość drugiej podstawy.
Wiemy, że $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ , więc sposób obliczenia pola tego trapezu można przedstawić za pomocą następującego grafu:

R1aD2QsFSyOtf1

Graf, który ilustruje sposób obliczenia pola trapezu. W pierwszym kroku do liczby a musimy dodać 10 cm, otrzymany wynik mnożymy przez 5 cm, wynik mnożenia dzielimy przez 2 cm i otrzymujemy 45 centymetrów kwadratowych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli wykonamy działania odwrotne, to obliczymy długość podstawy $a$ .

RBmC5spZGSYXB1

Graf, który ilustruje sposób obliczenia długości podstawy a. W pierwszym kroku pole 45 centymetrów kwadratowych musimy pomnożyć przez 2, otrzymany wynik to 90 centymetrów kwadratowych. Następnie 90 centymetrów kwadratowych musimy podzielić przez 5 cm, otrzymany wynik to 18 cm. Kolejny krok to odjęcie dziesięciu centymetrów od 18 cm. Ostateczny wynik to 8 cm, więc szukana liczba a to 8 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczenia te można zapisać także bez grafu.
$45 {cm}^{2} \cdot 2 = 90 {cm}^{2}$
$90 {cm}^{2} : 5 cm = 18 cm$
$18 cm - 10 cm = 8 cm$
Obliczyliśmy więc, że druga podstawa trapezu ma długość $8 cm$ .

Ćwiczenie 12

R1Enbit51JYvz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aFZUwR4bjF2

Krótsza podstawa pewnego trapezu ma długość

6

, a wysokość tego trapezu ma długość

5

. Pole tego trapezu to

40

.
Oblicz długość drugiej podstawy trapezu, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

40 \cdot

10

, 2.

10

, 3.

12

, 4.

6

, 5.

80

, 6.

2

, 7.

80

, 8.

16

=

10

, 2.

10

, 3.

12

, 4.

6

, 5.

80

, 6.

2

, 7.

80

, 8.

16

10

, 2.

10

, 3.

12

, 4.

6

, 5.

80

, 6.

2

, 7.

80

, 8.

16

: 5 =

10

, 2.

10

, 3.

12

, 4.

6

, 5.

80

, 6.

2

, 7.

80

, 8.

16

16 -

10

, 2.

10

, 3.

12

, 4.

6

, 5.

80

, 6.

2

, 7.

80

, 8.

16

=

10

, 2.

10

, 3.

12

, 4.

6

, 5.

80

, 6.

2

, 7.

80

, 8.

16

Druga podstawa trapezu ma długość 1.

10

, 2.

10

, 3.

12

, 4.

6

, 5.

80

, 6.

2

, 7.

80

, 8.

16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

RSlyJq6MSZmZh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1al6hGrgFOWZ

Krótsza podstawa pewnego trapezu ma długość

9

, a dłuższa podstawa tego trapezu ma długość

21

. Pole tego trapezu to

90

.
Oblicz długość wysokości trapezu, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. 1.

90

, 2.

8

, 3.

6

, 4.

21

, 5.

180

, 6.

6

\cdot 2 =

90

, 2.

8

, 3.

6

, 4.

21

, 5.

180

, 6.

6

180 : (9 +

90

, 2.

8

, 3.

6

, 4.

21

, 5.

180

, 6.

6

) =

90

, 2.

8

, 3.

6

, 4.

21

, 5.

180

, 6.

6

Wysokość trapezu ma długość 1.

90

, 2.

8

, 3.

6

, 4.

21

, 5.

180

, 6.

6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

R8vW7kdxkeenu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SLp1L7azdQl

Krótsza podstawa pewnego trapezu ma długość

7, 5

, a wysokość tego trapezu ma długość

10

. Pole tego trapezu to

125

.
Oblicz długość drugiej podstawy trapezu, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. 1.

125

, 2.

7, 5

, 3.

250

, 4.

25

, 5.

250

, 6.

17, 5

, 7.

10

, 8.

15

\cdot 2 =

125

, 2.

7, 5

, 3.

250

, 4.

25

, 5.

250

, 6.

17, 5

, 7.

10

, 8.

15

125

, 2.

7, 5

, 3.

250

, 4.

25

, 5.

250

, 6.

17, 5

, 7.

10

, 8.

15

: 10 =

125

, 2.

7, 5

, 3.

250

, 4.

25

, 5.

250

, 6.

17, 5

, 7.

10

, 8.

15

25 -

125

, 2.

7, 5

, 3.

250

, 4.

25

, 5.

250

, 6.

17, 5

, 7.

10

, 8.

15

=

125

, 2.

7, 5

, 3.

250

, 4.

25

, 5.

250

, 6.

17, 5

, 7.

10

, 8.

15

Druga podstawa trapezu ma długość 1.

125

, 2.

7, 5

, 3.

250

, 4.

25

, 5.

250

, 6.

17, 5

, 7.

10

, 8.

15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

RJGgCbkvhDG5J2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R18NINwcSHAMV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.