Graniastosłup prosty i jego własności. Związki miarowe w graniastosłupach

Materiał ten poświęcony jest graniastosłupowi prostemu oraz jego własnościom. Zawarta jest w nim podstawowa definicja takiego graniastosłupa, własności dotyczące jego kątów i przekrojów, a także przykłady, pokazujące jak wykorzystać różne własności tej bryły w zadaniach.

Graniastosłup prosty

Definicja: Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami.

Polecenie 1

R1cEGUJP1Q10G1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JD0sJBe9NpO

Określ liczbę wierzchołków, krawędzi lub ścian w graniastosłupach o różnych podstawach.
Kliknij w lukę, aby wyświetlić listę rozwijalną i wybierz poprawną odpowiedź. Graniastosłup prosty trójkątny posiada 1.

10

, 2.

12

, 3.

20

, 4.

18

, 5.

6

, 6.

7

wierzchołków.W graniastosłupie prostym pięciokątnym jest 1.

10

, 2.

12

, 3.

20

, 4.

18

, 5.

6

, 6.

7

ścian.Graniastosłup prosty sześciokątny posiada 1.

10

, 2.

12

, 3.

20

, 4.

18

, 5.

6

, 6.

7

krawędzi.W graniastosłupie prostym ośmiokątnym jest 1.

10

, 2.

12

, 3.

20

, 4.

18

, 5.

6

, 6.

7

ścian.Graniastosłup prosty dziesięciokątny posiada 1.

10

, 2.

12

, 3.

20

, 4.

18

, 5.

6

, 6.

7

wierzchołków.Graniastosłup prosty czworokątny posiada 1.

10

, 2.

12

, 3.

20

, 4.

18

, 5.

6

, 6.

7

krawędzi.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RlS5Agww86Rb91

Przykład 1

RoqsbpwWYdxko1

Ważne!

Podstawą graniastosłupa może być np. trójkąt, czworokąt i sześciokąt.

R1WRYvKCeqFpu1

Rysunek przedstawia kolejno graniastosłup trójkątny, czworokątny oraz sześciokątny z zaznaczonymi wszystkimi krawędziami. Podstawy w każdym z tych graniastosłupów są zamalowane na niebiesko. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Jeżeli podstawą graniastosłupa jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny itd.), to mówimy, że taki graniastosłup jest prawidłowy.

Ru5n3zcfsN3671

Rysunek trzech graniastosłupów prawidłowych: trójkątnego o krawędzi podstawy równej y, czworokątnego o krawędzi podstawy równej x i sześciokątnego o krawędzi podstawy równej a. Podstawy w każdym z tych graniastosłupów są zamalowane na niebiesko. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JvgbMkvRaLK1

Graniastosłup, którego podstawą jest prostokąt, nazywać będziemy prostopadłościanem.

Własności prostopadłościanu

R1ZWwZOR3zWL511

Opiszemy dokładnie własności prostopadłościanu, czyli graniastosłupa, którego podstawą jest prostokąt.

Prostopadłościan posiada $8$ wierzchołków i krawędzi podstawy. Krawędzi bocznych ma $4$ .

Podstawy prostopadłościanu to dwa przystające prostokąty leżące w płaszczyznach równoległych. Ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami.

Każda z podstaw prostopadłościanu ma dwie przekątne. Każda ściana boczna również posiada dwie przekątne. Prostopadłościan ma cztery przekątne, każdą wychodzącą z jednego z czterech wierzchołków podstawy prostopadłościanu.

Kąty w prostopadłościanie

R1MWQvxOjuVIc11

R10gQdIF4aFwr1

Przekroje w prostopadłościanie

Ważne!

Sześcian to taki prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami.

Przykład 2

Krawędź sześcianu jest równa $6 cm$ . Obliczymy długość przekątnej sześcianu.

Rf2zfV1fMauPr1

Przykład 2

Krawędź sześcianu jest równa $6 cm$ . Obliczymy długość przekątnej sześcianu.

Rozwiązanie:

Obliczamy długość przekątnej sześcianu o krawędzi równej $6 cm$ . Przekątną podsatwy jest przekątna kwadratu o boku $6 cm$ , czyli

$d_{p} = a \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ .

Przekątna sześcianu jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym, którego jedną przeciwprostokątną jest przekątna kwadratu, a drugą długość krawędzi bocznej. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

$d^{2} = 6^{2} + (6 \sqrt{2})^{2}$

$d^{2} = 36 + 72 = 108$

$d = \sqrt{108} = 6 \sqrt{3} (cm)$ .

Długość przekątnej sześcianu jest równa $6 \sqrt{3} (cm)$ .

Zauważ, że jeśli podobne obliczenia wykonamy dla dowolnego sześcianu o krawędzi $a$ , to otrzymamy wzór na przekątne sześcianu.

Zapamiętaj!

Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ jest równa

d = a \sqrt{3}

RqbfBJNvWI0Ws1

Rysunek przedstawia sześcian o krawędzi równej a i przekątnej sześcianu d. Zaznaczono również przekątną podstawy oznaczoną d indeks dolny p. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Siatka sześcianu

R1VZTid03uHRO1

R1Zciw8RcK6Oy1

Sześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu, którego wszystkie ściany są identyczne i są kwadratami.
Sześcian możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się sześciu takich samych kwadratów. Tak samo jak w przypadku prostopadłościanu, układ siatki nie jest przypadkowy. Nie każde sześć identycznych kwadratów może utworzyć sześcian. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody ponumerujemy ściany boczne sześcianu liczbami od 1 do 4.

Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana 1 . Po prawej stronie tej ściany znajdują się kolejno przylegające ściany 2, 3 i 4. Do dolnego boku ściany 1 przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna.
Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od górnej podstawy. Do jej prawego boku przylega ściana 1, do lewego boku przylega ściana 2, do górnego boku przylega ściana 3, a do dolnego boku przylega ściana 4 .Do dolnego boku ściany 4 przylega dolna podstawa.

Siatka prostopadłościanu

RSH3INKYcbX0g1

REA6GdjI8ytqP1

Prostopadłościan jest trójwymiarową bryłą przypominającą klocek. Składa się on z czterech prostokątnych ścian połączonych ze sobą bokami dokładnie w taki sam sposób jak na przykład ściany pokoju. Bryła ta posiada również dwie podstawy: górną i dolną, które w naszym porównaniu byłyby sufitem i podłogą pokoju. Prostopadłościan możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się z sześciu figur: dwóch par identycznych prostokątów, czyli przeciwległych ścian oraz dwóch identycznych prostokątów będących podstawami. Oznacza to, że nie wszystkie ściany bryły muszą być identyczne. Prostopadłościan może bowiem być „spłaszczony”.
Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie każde trzy pary identycznych prostokątów mogą utworzyć prostopadłościan. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody określmy, że nasz prostopadłościan składa się z pary identycznych ścian A, pary identycznych ścian B oraz podstawy górnej i dolnej. Oczywiście ściany A i B mogą być w szczególności identyczne, jeśli tylko podstawy są kwadratami.

Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana A. Po bokach tej ściany znajdują przylegające do niej ściany B. Do dolnego boku ściany A przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna, a do dolnego boku dolnej podstawy przylega ściana A.
Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od ściany B. Do jej prawego boku przylega ściana A. Do prawego boku ściany A przylega druga ściana B. Do prawego boku drugiej ściany B przylega druga ściana A, do której górnego i dolnego boku przylegają obie podstawy.

Siatka graniastosłupa sześciokątnego

RAtgT0raD067M1

R1Q3GHU0RbYTp1

Graniastosłup sześciokątny jest trójwymiarową bryłą, która składa się z sześciu prostokątnych ścian połączonych ze sobą bokami. Bryła ta posiada również dwie podstawy: górną i dolną. Taki graniastosłup możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się z ośmiu figur: dwóch identycznych sześciokątów, czyli przeciwległych podstaw oraz sześciu identycznych prostokątów, będących ścianami bocznymi.
Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie z każdych dwóch sześciokątów i sześciu prostokątów możemy ułożyć siatkę graniastosłupa sześciokątnego. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody ponumerujemy ściany boczne sześcianu liczbami od 1 do 6.

Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana 1 . Po prawej stronie tej ściany znajdują się kolejno przylegające ściany 2, 3, 4, 5 i 6. Do dolnego boku ściany 1 przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna.
Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od górnej podstawy. Do każdego boku podstawy przylega jedna ściana boczna, a do dolnego boku dowolnej ze ścian przylega dolna podstawa.

Przykład 3

Punkty $M$ i $K$ są środkami krawędzi sześcianu jak na rysunku. Obliczymy pole powierzchni czworokąta $A B K M$ .

R15jJOCpSAm9u1

Rysunek przedstawia sześcian o krawędzi równej 10 oraz zaznaczoną płaszczyzną przekroju - czworokątem A B K M, gdzie punkty A, B są wierzchołkami dolnej podstawy, a punkty K, M środkami górnych krawędzi podstawy sześcianu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie

R1eaRyNpZILHf1

Przykład 3

Punkty $M$ i $K$ są środkami krawędzi górnej podsatwy sześcianu. Obliczamy pole powierzchni czworokąta $ABKM$ , gdzie $A$ i $B$ są wierzchołkami dolnej podstawy.

Rozwiązanie:

Odcinki $AB$ i $MK$ leża na płaszczyznach równoległych i są sobie równe. Podobnie odcinki $A M | | B K$ oraz $| A M | = | B K |$ . Ponadto odcinek $BK$ leży na płaszczyźnie prostopadłej do podstawy sześcianu i jest postopadły do krawędzi $AB$ . Wynika z tego , że czworokąt $ABKM$ jest prostokątem. Obliczymy długości boków prostokąta $ABKM$ .

Bok $AB$ jest krawędzią sześcianu, czyli $| A B | = 10$ .

Bok $BK$ jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym i oznaczamy go jako $x$ . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$x^{2} = 10^{2} + 5^{2}$ ,

$x^{2} = 125$ ,

$x = 5 \sqrt{5}$ .

Pole prostokąta $ABKM$ jest równe

$P_{A B K M} = 10 \cdot 5 \sqrt{5} = 50 \sqrt{5}$ .

Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.

Zapamiętaj!

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe

P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

gdzie $P_{p}$ oznacza pole podstawy graniastosłupa, a $P_{b}$ – pole powierzchni bocznej.

W szczególności pole całkowite

prostopadłościanu o krawędziach $a$ , $b$ , $c$ jest równe

P_{c} = 2 (a b + a c + b c)

sześcianu o krawędzi $a$ jest równe

P_{c} = 6 a^{2}

graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $H$ jest równe

P_{c} = 2 a^{2} + 4 a H

Zapamiętaj!

Objętość graniastosłupa jest równa

V = P_{p} \cdot H

gdzie $P_{p}$ oznacza pole podstawy graniastosłupa, a $H$ – wysokość bryły.

W szczególności objętość

prostopadłościanu o krawędziach $a$ , $b$ , $c$ jest równa $V = a b c$
sześcianu o krawędzi $a$ jest równa

V = a^{3}

graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $H$ jest równa

V = a^{2} \cdot H

Przykład 4

Przekątna podstawy sześcianu ma długość $12$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

ReBVHl1lVPeL71

Rysunek przedstawia sześcian o krawędzi równej a. Zaznaczono również przekątną dolnej podstawy sześcianu o długości 12. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna kwadratu jest równa $a \sqrt{2}$ , zatem otrzymujemy równanie $a \sqrt{2} = 12$ , czyli $a = 6 \sqrt{2}$ .

Wynika z tego, że objętość sześcianu jest równa

V = a^{3} = (6 \sqrt{2})^{3} = 432 \sqrt{2}

a pole powierzchni całkowitej

P_{c} = 6 a^{2} = 6 \cdot {(6 \sqrt{2})}^{2} = 432

Przykład 5

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość $6 cm$ , a przekątna ściany bocznej $10 cm$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

RdpXZBLPtfhXb1

Przykład 5

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość $6 cm$ , a przekątna ściany bocznej $10 cm$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej.

Rozwiązanie:

Przypomnijmy wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa $P_{c} = 2 P_{p} + P_{b}$ , czyli $P_{c} = 2 a^{2} + 4 a H$ .

Przekątna podstawy to przekątna kwadratu o boku $a$ .

Przekątna kwadratu jest równa $d_{p} = a \sqrt{2}$ , zatem $6 = a \sqrt{2}$ , czyli $a = 3 \sqrt{2}$ .

Przekątna ściany bocznej jest przeciprostokątną w trójkącie prostokatnym, którego przyprostokątne to krawędzi podsatwy i krawędź boczna, czyli wysokość $H$ . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy :

$100 = H^{2} + (3 \sqrt{2})^{2}$ , czyli $H = \sqrt{82} (cm)$ .

Po wstawieniu do wzoru na pole powierzchni całkowitej otrzymujemy

$P_{c} = 2 \cdot 18 + 4 \cdot 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{82}$ ,

$P_{c} = 36 + 24 \sqrt{41} (c m^{2})$ .

Przykład 6

Obliczymy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość $6 \sqrt{2} cm$ , a przekątna graniastosłupa jest $2$ razy dłuższa od przekątnej podstawy.

RaENh6FCQx6j01

Przykład 6

Rozwiązanie:

Przypomnijmy wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa $P_{c} = 2 P_{p} + P_{b}$ , czyli $P_{c} = 2 a^{2} + 4 a H$ .

Podstawą bryły jest kwadrat o boku $a = 6 \sqrt{2}$ , czyli $P_{p} = (6 \sqrt{2} cm)^{2} = 72 c m^{2}$ .

Przekątna podstawy to przekątna kwadratu o boku $a = 6 \sqrt{2}$ , czyli $d_{p} = 6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12 cm$ .

Przekątna bryły jest $2$ razy dłuższa od przekątne podstawy. Wysokośc bryły jest przyprostokątną w trójkącie prostokątnym w którym drugą przyprosotkątną jest przekątna podsatwy, a przeciwprostokątną jest przekątna bryły. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$H^{2} = (2 d_{p})^{2} - {d_{p}}^{2} = 3 {d_{p}}^{2}$ ,

$H^{2} = 3 \cdot 144$ , czyli $H = 12 \sqrt{3} (c m)$ .

Po wsatwieniu do wzoru na pole powierzchni całkowitej otrzymujemy:

$P_{c} = 2 \cdot 72 + 4 \cdot 6 \sqrt{2} \cdot 12 \sqrt{3}$ ,

$P_{c} = 144 + 288 \sqrt{6} (c m^{2})$ .

Przykład 7

Przekątna prostopadłościanu ma długość $6 cm$ i jest nachylona do podstawy pod kątem $30 °$ . Pole podstawy prostopadłościanu jest równe $24 {cm}^{2}$ . Obliczymy objętość bryły.

R1EnDtw6WYRZP1

Przykład 7

Przekątna prostopadłościanu ma długość $6 cm$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem $30 °$ . Pole podstawy prostopadłościanu jest równe $24 c m^{2}$ . Obliczymy objętość bryły.

Rozwiązanie:

Podsatwą prostopadłościanu jest prostokąt o polu równym $P_{p} = 24 c m^{2}$ .

Kąt zwarty między przekątna prostopadłościanu i przekątną podstawy jest równy $30 °$ .

Powstaje trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to odpowiednią przekątna podstawy i wysokość prostopadłościanu, natomiast przeciwprostokątna to przekątna bryły. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:

$\sin 30 ° = \frac{H}{6}$ , czyli $\frac{1}{2} = \frac{H}{6}$ .

Wynika z tego, że $H = 3 (c m)$ .

Objętość prostopadłościanu jest równa $V = P_{p} \cdot H$ zatem $V = 24 \cdot 3 = 72 (c m^{3})$ .

Przykład 8

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny o polu $12 \sqrt{3}$ . Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem $60 °$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej bryły.

Ri2V2erUiL5nC1

Przykład 8

Obliczymy pole powierzchni całkowitej bryły.

Rozwiązanie:

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny. Pole trójkąta równobocznego jest równe

$P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , czyli $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 12 \sqrt{3}$ .

Wynika z tego, że $a = 4 \sqrt{3}$ .

Ściana boczna graniastosłupa jest prostokątem, którego przekątna jest nachylona do boku pod kątem $60 °$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym otrzymujemy $t g 60^{\circ} = \frac{H}{4 \sqrt{3}}$ , czyli $\sqrt{3} = \frac{H}{4 \sqrt{3}}$ .

Wynika z tego, że $H = 12$ .

Zatem pole ściany bocznej jest równe $P_{ś b} = a \cdot H = 4 \sqrt{3} \cdot 12 = 48 \sqrt{3}$ .

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe $P_{c} = 2 \cdot P_{p} + 3 \cdot P_{ś b}$ , czyli $P_{c} = 2 \cdot 12 \sqrt{3} + 3 \cdot 48 \sqrt{3} = 168 \sqrt{3}$ .

Przykład 9

Objętość graniastosłupa o podstawie kwadratu jest równa $72 \sqrt{3}$ . Przekątna ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30 °$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

R17HB9TVYYtfc1

Rysunek graniastosłupa o podstawie kwadratu. Zaznaczono przekątną ściany bocznej łącząca wierzchołek A indeks dolny 1 z wierzchołkiem B. Poprowadzona przekątna jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 30 stopni. Przekątna jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych a i H, gdzie H oznacza wysokość graniastosłupa, a jest długością krawędzi podstawy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe $P_{c} = 2 a^{2} + 4 a H$ – zatem do jego obliczenia będzie potrzebna długość krawędzi podstawy i wysokość bryły.

W trójkącie prostokątnym $A B A_{1}$ mamy:

tg 30 ° = \frac{H}{a}

zatem

\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{H}{a}

czyli

H = a \frac{\sqrt{3}}{3}

Objętość graniastosłupa jest równa $V = a^{2} \cdot H$ , czyli $72 \sqrt{3} = a^{2} \cdot H$ .

Wstawiając wyznaczoną wcześniej wartość $H$ , otrzymamy
$72 \sqrt{3} = a^{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$ , czyli $a^{3} = 216$ . Wynika z tego, że $a = 6$ oraz

H = a \frac{\sqrt{3}}{3} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}

Zatem pole powierzchni całkowitej jest równe:

P_{c} = 2 a^{2} + 4 a H = 2 \cdot 6^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 2 \sqrt{3} = 72 + 48 \sqrt{3}

Przykład 10

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $75 {dm}^{3}$ . Przekątna podstawy graniastosłupa ma długość $5 dm$ . Oblicz sinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

REEn4GytU4G8S1

Przykład 10

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $75 d m^{3}$ . przekątna podsatwy graniastoslupa ma długość $5 dm$ . Oblicz sinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

W podanym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym możemy wyznaczyć trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to przekątna podstawy oraz wysokość bryły, natomiast przeciwprostokątna to przekątna graniastosłupa. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wiemy, że sinus kąta zwartego między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy jest równy :

$\sin α = \frac{H}{d}$ .

Z treści zadania wynika, że

$V = a^{2} \cdot H$ , czyli $75 = a^{2} \cdot H$ .

Podstawą graniastosłupa jest kwadrat, którego przekątna jest równa $5$ . Zatem

$a \sqrt{2} = 5$ , czyli $a = \frac{5 \sqrt{2}}{2} (d m)$ .

Po wstawieniu do wzoru na objętość graniastosłupa otrzymujemy:

$75 = (\frac{5 \sqrt{2}}{2})^{2} \cdot H$ , czyli $H = 6 (c m)$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:

$d^{2} = 5^{2} + 6^{2}$ , czyli $d = \sqrt{61} (d m)$ .

Wynika z tego, że

$\sin α = \frac{H}{d} = \frac{6}{\sqrt{61}} = \frac{6 \sqrt{61}}{61}$ .

Ćwiczenie 1

RxTjNxP4iBZwI1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznijmy od wyznaczenia krawędzi podstawy tego graniastosłupa. W podstawie znajduje się kwadrat, a jego przekątna ma długość $4 \sqrt{2} cm$ . Oznacza to, że krawędź podstawy ma długość $4 cm$ .

Wykorzystamy pole powierzchni bocznej do wyznaczenia wysokości tego graniastosłupa.

P_{b} = 286 - 2 \cdot 16 = 254 ({cm}^{2})

Oznacza to, że pole jednej ściany bocznej wynosi $63, 5 {cm}^{2}$ . Znamy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, zatem

H = 63, 5 : 4 = 15, 875 (cm)

Obliczamy objętość graniastosłupa korzystając z odpowiedniego wzoru.

V = 16 \cdot 15, 875 = 254 ({cm}^{3})

Objętość tego graniastosłupa wynosi $254 ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 2

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $144 {cm}^{2}$ , a suma długości wszystkich krawędzi jest równa $60 cm$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

R1Q5yYfGSXrhy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wyraża się wzorem $P_{c} = 2 \cdot a^{2} + 4 \cdot a \cdot H$ , gdzie $a$ to długość krawędzi podstawy, a $H$ to wysokość tego graniastosłupa i jest ono równe $144 {cm}^{2}$ . Z informacji zawartych w zadaniu wiemy, że $8 \cdot a + 4 \cdot H = 60 cm$ . Aby obliczyć objętość tego graniastosłupa należy rozwiązać układ złożony z tych dwóch równań. Zwróć uwagę na to, że taki układ ma dwa rozwiązania.

Są dwa takie graniastosłupy: $V_{1} = 108 {cm}^{3}$ , $V_{2} = 112 {cm}^{3}$ .

Ćwiczenie 3

REDrgmRQWyamI1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że w podstawach znajdują się trójkąty równoboczne, a ścianami bocznymi są kwadraty. Oznacza to, że wysokość tego graniastosłupa jest równa długości krawędzi jego podstawy. Korzystając ze wzoru na pole powierzchni trójkąta równobocznego możemy obliczyć długość krawędzi tego trójkąta. Wynosi ona

a = \sqrt{\frac{27 \sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{3}}} = 6 \sqrt{3}

Obliczamy objętość tego graniastosłupa z odpowiedniego wzoru.

V = 27 \sqrt{3} \cdot 6 \sqrt{3} = 486

Objętość tego graniastosłupa to $486$ .

Ćwiczenie 4

R1PMbwYKh96tQ2

Jedna z krawędzi podstawy prostopadłościanu jest

3

razy większa od drugiej. Przekątna prostopadłościanu ma długość

2 \sqrt{5} cm

i jest nachylona do podstawy pod kątem

60 °

. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
Kliknij w lukę, aby wyświetlić listę rozwijalną i wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Objętość tego prostopadłościanu wynosi 1.

\frac{1}{2} \sqrt{12}

, 2.

\frac{5}{2} \sqrt{15}

, 3.

\frac{3}{2} \sqrt{15}

, 4.

\frac{7}{3} \sqrt{5}

{cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Do wyznaczenia długości boków podstawy tego prostopadłościanu wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa oraz własności trójkąta o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ .

Zauważmy, że przekątna prostopadłościanu, przekątna podstawy prostopadłościanu oraz wysokość prostopadłościanu tworzą trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ .
Długość przekątnej prostokąta w podstawie możemy wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Niech $a$ oznacza krótszy bok prostokąta w podstawie, wtedy przekątna podstawy ma długość

\sqrt{a^{2} + {(3 a)}^{2}} = \sqrt{a^{2} + 9 a^{2}} = \sqrt{10} a

Korzystając z własności trójkąta o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ wiemy, że przekątna podstawy ma długość $\sqrt{5} cm$ , a wysokość prostopadłościanu ma długość $\sqrt{15} cm$ . Wyznaczmy długość boku $a$ .

a = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} (cm)

Oznacza to, że długość dłuższego boku podstawy to $\frac{3 \sqrt{2}}{2} cm$ .

Obliczamy objętość tego graniastosłupa.

V = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{15} = \frac{3}{2} \sqrt{15} ({cm}^{3})

Ćwiczenie 5

Ru0FA3T9veCLI2

Przekątna podstawy sześcianu ma długość

5 cm

. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego sześcianu.
Uzupełnij luki w odpowiedzi. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu wynosi 1.

\frac{125 \sqrt{2}}{4}

, 2.

\frac{123 \sqrt{5}}{4}

, 3.

78

, 4.

70

, 5.

\frac{121 \sqrt{4}}{2}

, 6.

72

, 7.

\frac{130 \sqrt{2}}{4}

, 8.

75

{cm}^{2}

, a objętość tego sześcianu wynosi 1.

\frac{125 \sqrt{2}}{4}

, 2.

\frac{123 \sqrt{5}}{4}

, 3.

78

, 4.

70

, 5.

\frac{121 \sqrt{4}}{2}

, 6.

72

, 7.

\frac{130 \sqrt{2}}{4}

, 8.

75

{cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że przekątna kwadratu o długości boku $a$ ma długość $a \sqrt{2}$ . Oznacza to, że długość krawędzi tego sześcianu obliczysz rozwiązując równanie $a \sqrt{2} = 5$ . Następnie oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego sześcianu korzystając z odpowiednich wzorów.

Ćwiczenie 6

Pole powierzchni całkowitej sześcianu $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ jest równe $432 {cm}^{2}$ . Oblicz pole trójkąta $A_{1} B C_{1}$ .

R19kFk0pwkdmw1

Rysunek sześcianu o wierzchołkach A B C D A jeden B jeden C jeden D jeden. Wierzchołki A B C D znajdują się dolnej podstawie, a wierzchołki A jeden B jeden C jeden D jeden w górnej podstawie. Poprowadzono przekątne trzech ścian sześcianu. Pierwsza przekątna łączy wierzchołek A jeden z wierzchołkiem B, druga przekątna łączy wierzchołek A jeden z wierzchołkiem C jeden, trzecia przekątna łączy wierzchołek C jeden z wierzchołkiem B. Tak poprowadzone przekątne tworzą trójkąt A jeden B C jeden. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDTcYek7Wr9sJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RA10E02tE0G4G3

Przekątna sześcianu jest o

5 cm

dłuższa od jego krawędzi. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego sześcianu.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu wynosi 1.

\frac{115 (3 \sqrt{3} + 5)}{8}

, 2.

\frac{125 (4 \sqrt{3} + 5)}{6}

, 3.

70 (2 + \sqrt{3})

, 4.

\frac{125 (3 \sqrt{3} + 5)}{4}

, 5.

65 (4 + \sqrt{3})

, 6.

75 (2 + \sqrt{3})

{cm}^{2}

, a jego objętość to 1.

\frac{115 (3 \sqrt{3} + 5)}{8}

, 2.

\frac{125 (4 \sqrt{3} + 5)}{6}

, 3.

70 (2 + \sqrt{3})

, 4.

\frac{125 (3 \sqrt{3} + 5)}{4}

, 5.

65 (4 + \sqrt{3})

, 6.

75 (2 + \sqrt{3})

{cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz długość krawędzi $a$ rozwiązując równanie $a + 5 = a \sqrt{3}$ . Następnie oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego sześcianu korzystając z odpowiednich wzorów.

Jeżeli przekątna sześcianu jest o $5 cm$ dłuższa od jego krawędzi to zachodzi równość

a + 5 = a \sqrt{3}

Z powyższej równości wyznaczamy $a$ i otrzymujemy

a = \frac{5}{\sqrt{3} - 1} = \frac{5 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} = \frac{5 \sqrt{3} + 5}{2} (cm)

Obliczamy pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

P_{c} = 6 \cdot {(\frac{5 \sqrt{3} + 5}{2})}^{2} = 6 \cdot \frac{25 \cdot 3 + 2 \cdot 25 \sqrt{3} + 25}{4} = 6 \cdot 25 \cdot \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4} =

= 75 (2 + \sqrt{3}) ({cm}^{2})

Obliczamy objętość tego sześcianu.

V = {(\frac{5 \sqrt{3} + 5}{2})}^{3} = \frac{{(5 \sqrt{3})}^{3} + 3 \cdot 25 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 \sqrt{3} \cdot 25 + 125}{8} =

= \frac{125 (3 \sqrt{3} + 9 + 3 \sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{125 (6 \sqrt{3} + 10)}{8} = \frac{125 (3 \sqrt{3} + 5)}{4} ({cm}^{3})

Ćwiczenie 8

R1GZU8LQ2EAnk3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.