Ostrosłup i jego własności
Ostrosłup to taki wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.
Uruchom poniższy aplet i wykonaj ćwiczenie, korzystając z przytoczonej wcześniej definicji ostrosłupa.
Wykonaj poniższe ćwiczenie, korzystając z przytoczonej wcześniej definicji ostrosłupa.
Podstawą ostrosłupa może być np. dowolny trójkąt, dowolny czworokąt i dowolny sześciokąt.
Jeżeli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny itd...), a spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie, to mówimy, że taki ostrosłup jest prawidłowy.
Odcinki w ostrosłupie
Chcąc narysować ostrosłup prosty, po narysowaniu podstawy zaznaczamy środek okręgu opisanego na podstawie. Następnie rysujemy wysokość – odcinek prostopadły do płaszczyzny podstawy o początku w spodku wysokości. Koniec narysowanej wysokości, który nie leży na podstawie, łączymy z wierzchołkami podstawy.
W przypadku ostrosłupów prawidłowych, po narysowaniu podstawy zaznaczamy spodek wysokości, który jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, a następnie rysujemy wysokość i krawędzie boczne. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości leży na przecięciu wysokości podstawy.
Uruchom aplet. Wybierając konkretne elementy budowy ostrosłupa, obserwuj na animacji znajdującej się po prawej stronie, gdzie te elementy się znajdują.
Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe, to taki ostrosłup nazywamy prostym.
Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznym, i nazywać będziemy czworościanem.
RGrAIB55IIHEL1
Kąty w ostrosłupie
Uruchom aplet. Wybierając konkretne kąty ostrosłupa z listy po lewej stronie, obserwuj na animacji znajdującej się po prawej stronie, gdzie te kąty się znajdują.
Pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe
gdzie oznacza pole podstawy ostrosłupa, a – pole powierzchni bocznej.
W szczególności pole całkowite czworościanu o krawędzi jest równe:
Zapoznaj się z poniższą animacją przedstawiającą siatkę ostrosłupa.
Zapoznaj się z poniższą animacją przedstawiającą siatkę ostrosłupa.
Ostrosłup jest trójwymiarową bryłą przypominającą piramidę. Składa się z podstawy, która jest pewnym wielokątem oraz z trójkątnych ścian bocznych. W ostrosłupie ścian bocznych jest tyle, ile krawędzi posiada jego podstawa. Ostrosłup możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się z kilku figur: wielokąta w kształcie podstawy oraz odpowiedniej liczby trójkątów, które są ścianami bocznymi.
Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie zawsze odpowiednia liczba trójkątów wraz z odpowiednią podstawą mogą utworzyć ostrosłup. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody określmy, że nasz ostrosłup ma w podstawie kwadrat, a jego ściany boczne to cztery identyczne trójkąty równoramienne.
1. Weźmy kwadrat, który stanowi jego podstawę. Do jego lewej krawędzi przylega jeden z trójkątów swoją podstawą. Ten trójkąt przylega lewym ramieniem do prawego ramienia drugiego trójkąta, który z kolei lewym ramieniem dolega do prawego ramienia trzeciego trójkąta. Ostatni trójkąt przylega swoim prawym ramieniem do lewego ramienia trójkąta trzeciego.
2. Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od kwadratu. Do jego prawego boku przylega pierwszy trójkąt swoją podstawą, a do jego lewego boku przylega drugi trójkąt, również swoją podstawą. Do górnego oraz dolnego boku kwadratu przylegają trójkąty odpowiednio trzeci i czwarty, również swoimi podstawami.
Objętość ostrosłupa jest równa
gdzie oznacza pole podstawy graniastosłupa, a – wysokość bryły.
W szczególności objętość:
czworościanu o krawędzi jest równa ,
ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy i wysokości jest równa .
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe . Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem , takim że . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Najpierw wprowadźmy oznaczenia:
– kwadrat w podstawie ostrosłupa,
– wysokość bryły,
– wierzchołek bryły,
– spodek wysokości bryły.
Pole podstawy ostrosłupa jest kwadratem o polu równym . Zapiszmy wzór na pole podstawy kwadratu.
Wynika z tego, że
,
czyli .
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy jest zawarty w trójkącie prostokątnym .
Z definicji funkcji trygonometrycznych wynika, że .
Zatem
, czyli
.
Objętość ostrosłupa równa jest .
Podstawiając liczby do wzoru, mamy
.
Odpowiedź:
Objętość tego ostrosłupa wynosi .
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , a ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy po kątem . Oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły.
Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia: – kwadrat w podstawie ostrosłupa,
– boki kwadratu w podstawie bryły,
– pole powierzchni całkowitej,
– pole powierzchni podstawy,
– pole powierzchni bocznej,
– pole powierzchni jednej ściany bocznej będącej trójkątem,
– wierzchołek ostrosłupa,
– spodek wysokości ostrosłupa,
– środek krawędzi ,
– wysokość ostrosłupa,
– wysokość ściany bocznej.
Powierzchnia całkowita ostrosłupa składa się z podstawy i czterech trójkątów równoramiennych. Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa przedstawia się wzorem
.
Zauważmy, że odcinek . Ściana boczna bryły to trójkąt. Wszystkie ściany są równe. Weźmy na przykład ścianę . Z górnego wierzchołka upuszczono wysokość ściany bocznej na środek podstawy. Wysokość tę oznaczymy jako .
Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest zawarty między wysokością ściany bocznej a podstawą bryły. Kąt ten jest zawarty w trójkącie .
Połową pionowego przekroju bryły jest trójkąt prostokątny , gdzie , .
W trójkącie tym są następujące kąty wewnętrzne: przy wierzchołku znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku znajduje się kąt , a przy wierzchołku znajduje się kąt .
Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy, że .
Wynika z tego, że ,
czyli .
Zatem pole podstawy bryły wynosi
.
Z definicji funkcji trygonometrycznych w tym samym trójkącie prostokątnym wynika, że ,
czyli ,
więc .
Pole boczne to powierzchnia łączna wszystkich czterech ścian bryły. Mamy więc
.
Ostatecznie więc pole całkowite ostrosłupa wynosi
.
Odpowiedź:
Pole całkowite ostrosłupa wynosi .
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku . Trójkąt jest równoboczny, a jego pole jest równe . Oblicz objętość ostrosłupa.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, którego wysokość jest równa . Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem . Oblicz objętość ostrosłupa.
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa . Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem , którego . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa , zaś wysokość jego podstawy jest równa . Oblicz długość krawędzi podstawy długość wysokości tego ostrosłupa, długość wysokości ściany bocznej objętość oraz pole powierzchni całkowitej .
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , zaś długość krawędzi jego podstawy jest równa . Oblicz długość przekątnej podstawy , długość wysokości tego ostrosłupa, długość wysokości ściany bocznej , objętość oraz pole powierzchni całkowitej .
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa , zaś długość krawędzi jego podstawy jest równa . Oblicz długość odcinka długość wysokości tego ostrosłupa, długość wysokości ściany bocznej objętość oraz pole powierzchni całkowitej .