Ostrosłup i jego własności - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Ostrosłup

Definicja: Ostrosłup

Ostrosłup to taki wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Ćwiczenie 1

Uruchom poniższy aplet i wykonaj ćwiczenie, korzystając z przytoczonej wcześniej definicji ostrosłupa.

R1dFLNbs2fT9F11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykonaj poniższe ćwiczenie, korzystając z przytoczonej wcześniej definicji ostrosłupa.

R1S608SEjNjQ2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Podstawą ostrosłupa może być np. dowolny trójkąt, dowolny czworokąt i dowolny sześciokąt.

RtMEA3CfT4luc1

Ilustracja przedstawia trzy bryły umieszczone obok siebie. Są to ostrosłupy, które mają różne wielokąty w podstawie. Od lewej mamy kolejno: ostrosłup trójkątny z trójkątem w podstawie, ostrosłup czworokątny z czworokątem w podstawie oraz ostrosłup sześciokątny z sześciokątem w podstawie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny itd...), a spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie, to mówimy, że taki ostrosłup jest prawidłowy.

R3yczOHVBT1wM1

Odcinki w ostrosłupie

Przykład 1

Chcąc narysować ostrosłup prosty, po narysowaniu podstawy zaznaczamy środek okręgu opisanego na podstawie. Następnie rysujemy wysokość – odcinek prostopadły do płaszczyzny podstawy o początku w spodku wysokości. Koniec narysowanej wysokości, który nie leży na podstawie, łączymy z wierzchołkami podstawy.

R11D1fTjCh7tP1

Przykład 2

W przypadku ostrosłupów prawidłowych, po narysowaniu podstawy zaznaczamy spodek wysokości, który jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, a następnie rysujemy wysokość i krawędzie boczne. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości leży na przecięciu wysokości podstawy.

RUHoctxlIewUk1

Polecenie 1

Uruchom aplet. Wybierając konkretne elementy budowy ostrosłupa, obserwuj na animacji znajdującej się po prawej stronie, gdzie te elementy się znajdują.

RucM5iObcNQfh11

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PKXyie7SO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15nCppniHn1K

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie pojęcia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Elementy budowy ostrosłupa:
wielokąt, na który upuszczono wysokość bryły to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne, punkty, w których łączą się boki wielokąta w podstawie bryły to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne,boki czworokąta będącego podstawą to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne,punkt wspólny wszystkich ścian bryły to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne,boki figur będących ścianami bryły to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne,trójkąty oparte na podstawie ostrosłupa to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne,odcinek łączący wierzchołek bryły z krawędzią podstawy, będący do tej krawędzi prostopadły to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne,odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki podstawy to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne,odcinek upuszczony z wierzchołka ostrosłupa na podstawę bryły, będący prostopadły do podstawy to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne,rzut prostopadły wierzchołka bryły na płaszczyznę podstawy to 1. wierzchołki podstawy, 2. wysokość ściany bocznej, 3. spodek wysokości, 4. podstawa ostrosłupa, 5. ściany boczne, 6. przekątna podstawy, 7. wysokość ostrosłupa, 8. krawędzie podstawy, 9. wierzchołek ostrosłupa, 10. krawędzie boczne.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe, to taki ostrosłup nazywamy prostym.
Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznym, i nazywać będziemy czworościanem.
RGrAIB55IIHEL1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty w ostrosłupie

Polecenie 2

Uruchom aplet. Wybierając konkretne kąty ostrosłupa z listy po lewej stronie, obserwuj na animacji znajdującej się po prawej stronie, gdzie te kąty się znajdują.

R14p33iBCPLQF11

R1dqBPgAnzBwq

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie pojęcia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Mamy ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat

A B C D

, a jego wierzchołek znajduje się w punkcie

S

. Punkt

E

jest środkiem boku

A B

, punkt

F

leży na krawędzi

B S

w taki sposób, że odcinek

E F

jest prostopadły do krawędzi

B S

, a punkt

P

jest spodkiem wysokości bryły.
Nazwijmy poszczególne kąty w ostrosłupie:

∢ S A C

to 1. kąt nachylenia ściany bocznej do krawędzi podstawy, 2. kąt między sąsiednimi ścianami, 3. kąt między sąsiednimi krawędziami bocznymi, 4. kąt nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy, 5. kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi,

∢ S E P

∢ B S C

∢ A S C

∢ A F C

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

Zapamiętaj!

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe

P_{c} = P_{p} + P_{b}

gdzie $P_{p}$ oznacza pole podstawy ostrosłupa, a $P_{b}$ – pole powierzchni bocznej.

W szczególności pole całkowite czworościanu o krawędzi $a$ jest równe:

P_{c} = a^{2} \sqrt{3}

Zapoznaj się z poniższą animacją przedstawiającą siatkę ostrosłupa.

Ru1OeF1JUJuBY1

Zapoznaj się z poniższą animacją przedstawiającą siatkę ostrosłupa.

RaalEH8d3tFPb1

Ostrosłup jest trójwymiarową bryłą przypominającą piramidę. Składa się z podstawy, która jest pewnym wielokątem oraz z trójkątnych ścian bocznych. W ostrosłupie ścian bocznych jest tyle, ile krawędzi posiada jego podstawa. Ostrosłup możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się z kilku figur: wielokąta w kształcie podstawy oraz odpowiedniej liczby trójkątów, które są ścianami bocznymi.
Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie zawsze odpowiednia liczba trójkątów wraz z odpowiednią podstawą mogą utworzyć ostrosłup. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody określmy, że nasz ostrosłup ma w podstawie kwadrat, a jego ściany boczne to cztery identyczne trójkąty równoramienne.
1. Weźmy kwadrat, który stanowi jego podstawę. Do jego lewej krawędzi przylega jeden z trójkątów swoją podstawą. Ten trójkąt przylega lewym ramieniem do prawego ramienia drugiego trójkąta, który z kolei lewym ramieniem dolega do prawego ramienia trzeciego trójkąta. Ostatni trójkąt przylega swoim prawym ramieniem do lewego ramienia trójkąta trzeciego.
2. Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od kwadratu. Do jego prawego boku przylega pierwszy trójkąt swoją podstawą, a do jego lewego boku przylega drugi trójkąt, również swoją podstawą. Do górnego oraz dolnego boku kwadratu przylegają trójkąty odpowiednio trzeci i czwarty, również swoimi podstawami.

Zapamiętaj!

Objętość ostrosłupa jest równa

V = \frac{1}{3} P_{p} \cdot H

gdzie $P_{p}$ oznacza pole podstawy graniastosłupa, a $H$ – wysokość bryły.

W szczególności objętość:

czworościanu o krawędzi $a$ jest równa $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ ,
ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $H$ jest równa $V = \frac{1}{3} a^{2} \cdot H$ .

Przykład 3

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $72 {cm}^{2}$ . Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ , takim że $tg α = 0, 6$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

R13vXNBqiXW571

Rozwiązanie:

Najpierw wprowadźmy oznaczenia:

$A B C D$ – kwadrat w podstawie ostrosłupa,

$H$ – wysokość bryły,

$S$ – wierzchołek bryły,

$O$ – spodek wysokości bryły.

Pole podstawy ostrosłupa jest kwadratem o polu równym $72 {cm}^{2}$ . Zapiszmy wzór na pole podstawy kwadratu.

$P_{P} = \frac{1}{2} d_{P}^{2}$

Wynika z tego, że

$72 = \frac{1}{2} d_{P}^{2}$ ,

czyli $d_{P} = 12$ .

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy jest zawarty w trójkącie prostokątnym $C O S$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych wynika, że $tg α = \frac{H}{\frac{1}{2} d_{P}}$ .

Zatem

$0, 6 = \frac{H}{\frac{1}{2} \cdot 12}$ , czyli

$H = 3, 6$ .

Objętość ostrosłupa równa jest $V = \frac{1}{3} P_{P} \cdot H$ .

Podstawiając liczby do wzoru, mamy

$V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 3, 6 = 86, 4 ({cm}^{3})$ .

Odpowiedź:

Objętość tego ostrosłupa wynosi $V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 3, 6 = 86, 4 ({cm}^{3})$ .

Przykład 4

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $9 cm$ , a ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy po kątem $60 °$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły.

RFjQYJdfw9z581

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia: $A B C D$ – kwadrat w podstawie ostrosłupa,

$a = |A B| = |B C| = |C D| = |D A|$ – boki kwadratu w podstawie bryły,

$P_{C}$ – pole powierzchni całkowitej,

$P_{P}$ – pole powierzchni podstawy,

$P_{B}$ – pole powierzchni bocznej,

$P_{△}$ – pole powierzchni jednej ściany bocznej będącej trójkątem,

$S$ – wierzchołek ostrosłupa,

$O$ – spodek wysokości ostrosłupa,

$P$ – środek krawędzi $B C$ ,

$H$ – wysokość ostrosłupa,

$h_{B}$ – wysokość ściany bocznej.

Powierzchnia całkowita ostrosłupa składa się z podstawy i czterech trójkątów równoramiennych. Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa przedstawia się wzorem

$P_{C} = P_{P} + P_{B} = P_{P} + 4 P_{△}$ .

Zauważmy, że odcinek $|O P| = \frac{1}{2} a$ . Ściana boczna bryły to trójkąt. Wszystkie ściany są równe. Weźmy na przykład ścianę $B C S$ . Z górnego wierzchołka $S$ upuszczono wysokość ściany bocznej na środek podstawy. Wysokość tę oznaczymy jako $h_{B}$ .

Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest zawarty między wysokością ściany bocznej a podstawą bryły. Kąt ten jest zawarty w trójkącie $P O S$ .

Połową pionowego przekroju bryły jest trójkąt prostokątny $O P S$ , gdzie $|S O| = H$ , $|O P| = \frac{1}{2} a$ .

W trójkącie tym są następujące kąty wewnętrzne: przy wierzchołku $O$ znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku $P$ znajduje się kąt $60 °$ , a przy wierzchołku $S$ znajduje się kąt $30 °$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy, że $tg 60 ° = \frac{H}{\frac{1}{2} a}$ .

Wynika z tego, że $\sqrt{3} = \frac{9}{\frac{1}{2} a}$ ,

czyli $a = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6 \sqrt{3}$ .

Zatem pole podstawy bryły wynosi

$P_{P} = {(6 \sqrt{3})}^{2} = 36 \cdot 3 = 108$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych w tym samym trójkącie prostokątnym $O P S$ wynika, że $\sin 60 ° = \frac{H}{h_{B}}$ ,

czyli $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{h_{B}}$ ,

więc $h_{B} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6 \sqrt{3}$ .

Pole boczne to powierzchnia łączna wszystkich czterech ścian bryły. Mamy więc

$P_{B} = 4 \cdot P_{△} = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_{B} = 2 \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 6 \sqrt{3} = 216 ({cm}^{2})$ .

Ostatecznie więc pole całkowite ostrosłupa wynosi

$P_{C} = 108 + 216 = 324 ({cm}^{2})$ .

Odpowiedź:

Pole całkowite ostrosłupa wynosi $P_{C} = 108 + 216 = 324 ({cm}^{2})$ .

Przykład 5

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku $2 : 3$ . Trójkąt $A C S$ jest równoboczny, a jego pole jest równe $27 \sqrt{3} {dm}^{2}$ . Oblicz objętość ostrosłupa.

RvH7mAcJHrDd31

Przykład 6

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, którego wysokość jest równa $9 \sqrt{3} cm$ . Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem $60 °$ . Oblicz objętość ostrosłupa.

RDHPylOqYIA5W1

Przykład 7

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $9 \sqrt{3} {dm}^{3}$ . Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $α$ , którego $tg α = \frac{9}{4}$ . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

R925YyIkmZqJo1

Ćwiczenie 2

RqdKWfmGDLkHn1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7jZluLY26QUi

Połącz w pary opisy ostrosłupów prawidłowych z odpowiadającymi im objętościami. Ostrosłup trójkątny o krawędzi podstawy równej

6

i krawędzi bocznej równej

6

. Możliwe odpowiedzi: 1.

V = \frac{32 \sqrt{17}}{3}

, 2.

V = 6 \sqrt{3}

, 3.

V = 18 \sqrt{39}

Ostrosłup czworokątny o krawędzi podstawy równej

4 \sqrt{2}

i wysokości ściany bocznej równej

5

. Możliwe odpowiedzi: 1.

V = \frac{32 \sqrt{17}}{3}

, 2.

V = 6 \sqrt{3}

, 3.

V = 18 \sqrt{39}

Ostrosłup sześciokątny o krawędzi podstawy równej

6

i krawędzi bocznej równej

7

. Możliwe odpowiedzi: 1.

V = \frac{32 \sqrt{17}}{3}

, 2.

V = 6 \sqrt{3}

, 3.

V = 18 \sqrt{39}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R1Kr4zIbNgqJY1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R771YisAwRMDc

Połącz w pary opisy ostrosłupów, których podstawą jest czworokąt, z odpowiadającymi im objętościami. Podstawa ostrosłupa ma długość równą

2

i szerokość równą

4

, a krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość

6

. Możliwe odpowiedzi: 1.

V = 80

, 2.

V = 64 \sqrt{3}

, 3.

V = \frac{8}{3} \sqrt{31}

Podstawa ostrosłupa ma długość

6

i szerokość

8

, a krawędzie boczne tego ostrosłupa są nachylone do jego podstawy pod kątem

45 °

. Możliwe odpowiedzi: 1.

V = 80

, 2.

V = 64 \sqrt{3}

, 3.

V = \frac{8}{3} \sqrt{31}

Wysokość tego ostrosłupa to

6

, jego krawędź boczna ma długość

8

, a jego ściany boczne są nachylone do podstawy pod kątem

60 °

. Możliwe odpowiedzi: 1.

V = 80

, 2.

V = 64 \sqrt{3}

, 3.

V = \frac{8}{3} \sqrt{31}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1ScbIZ5ASv3m2

Wysokość ściany bocznej czworościanu foremnego jest równa

9 cm

. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego czworościanu. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

V =

102 \sqrt{5} {cm}^{2}

, 2.

56 \sqrt{2} {cm}^{3}

, 3.

54 \sqrt{2} {cm}^{3}

, 4.

108 \sqrt{3} {cm}^{2}

, 5.

108 \sqrt{2} {cm}^{2}

, 6.

108 \sqrt{8} {cm}^{2}

, 7.

54 \sqrt{6} {cm}^{3}

, 8.

52 \sqrt{3} {cm}^{3}

, 9.

118 \sqrt{7} {cm}^{2}

P_{c} =

102 \sqrt{5} {cm}^{2}

, 2.

56 \sqrt{2} {cm}^{3}

, 3.

54 \sqrt{2} {cm}^{3}

, 4.

108 \sqrt{3} {cm}^{2}

, 5.

108 \sqrt{2} {cm}^{2}

, 6.

108 \sqrt{8} {cm}^{2}

, 7.

54 \sqrt{6} {cm}^{3}

, 8.

52 \sqrt{3} {cm}^{3}

, 9.

118 \sqrt{7} {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1X3p41TdoteQ2

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o przekątnej długości

12 cm

. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

60 °

. Oblicz objętość ostrosłupa, a następnie uzupełnij równość, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

V =

142 \sqrt{3} {cm}^{3}

, 2.

144 \sqrt{3} {cm}^{3}

, 3.

144 \sqrt{8} {cm}^{3}

, 4.

142 \sqrt{5} {cm}^{3}

, 5.

144 \sqrt{5} {cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1TAV7sQvrqkp

Wykorzystaj fakt, że wysokość tego ostrosłupa tworzy z połową przekątnej podstawy oraz z krawędzią boczną trójkąt prostokątny o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ .

Ćwiczenie 6

R1abMIKSDUTHo2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1KQ5Qnccl5An2

Ćwiczenie 7

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości

10 cm

. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem

60 °

. Oblicz objętość ostrosłupa, a następnie uzupełnij równość, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

V =

175 \frac{2}{3} \sqrt{2} {cm}^{3}

, 2.

152 \frac{1}{4} \sqrt{3} {cm}^{3}

, 3.

166 \frac{2}{3} \sqrt{2} {cm}^{3}

, 4.

144 \frac{1}{2} \sqrt{2} {cm}^{3}

, 5.

185 \frac{2}{3} \sqrt{3} {cm}^{3}

, 6.

166 \frac{2}{3} \sqrt{2} {cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Rfseawf4diZye2

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

α

, którego

\sin α = \frac{3}{4}

. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, wiedząc, że jego wysokość jest równa

15 dm

, a następnie uzupełnij równość, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

P_{c} =

(200 + 200 \sqrt{5}) {dm}^{2}

, 2.

305 {dm}^{2}

, 3.

(700 + 400 \sqrt{7}) {dm}^{2}

, 4.

200 \sqrt{5} {dm}^{2}

, 5.

1100 {dm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznijmy od obliczenia wysokości ściany bocznej tego ostrosłupa. Korzystając z sinusa kąta $α$ wiemy, że stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się na przeciw tego kąta oraz przeciwprostokątnej wynosi $3 : 4$ . Oznacza to, że wysokość ściany bocznej wynosi $20 dm$ .

Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako $a$ . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć połowę długości krawędzi podstawy.

{(\frac{a}{2})}^{2} + 15^{2} = 20^{2}

{(\frac{a}{2})}^{2} = 175

\frac{a}{2} = 5 \sqrt{7}

a = 10 \sqrt{7}

Teraz możemy obliczyć pole całkowite tego ostrosłupa.

P = {(10 \sqrt{7})}^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \sqrt{7} \cdot 20

P = 700 + 400 \sqrt{7} ({dm}^{2})

RYbToZW9XEAny2

Ćwiczenie 9

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa krawędzi podstawy. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe

48 {dm}^{2}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa, a następnie uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

V =

\frac{35 \sqrt{3}}{3} {dm}^{3}

, 2.

\frac{33 \sqrt{3}}{2} {dm}^{3}

, 3.

\frac{32 \sqrt{3}}{3} {dm}^{3}

, 4.

\frac{35 \sqrt{3}}{2} {dm}^{3}

, 5.

\frac{32 \sqrt{5}}{3} {dm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RQhJPytWVmeEg2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznijmy od wyznaczenia długości krawędzi podstawy, korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 64 \sqrt{3}

a^{2} = 256

a = 16

Teraz wyznaczmy wysokość tego trójkąta, również korzystając z odpowiedniego wzoru.

h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}

Zauważmy, że $\frac{1}{3}$ długości wysokości podstawy tworzy z wysokością ściany bocznej oraz z wysokością ostrosłupa trójkąt prostokątny. Wykorzystajmy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia wysokości $H$ ostrosłupa.

H^{2} = {(\frac{11 \sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{3} \cdot 8 \sqrt{3})}^{2}

H^{2} = 40 \frac{1}{3} - 21 \frac{1}{3}

H^{2} = 19

H = \sqrt{19}

Obliczmy zatem objętość tego ostrosłupa.

V = \frac{1}{3} \cdot 64 \sqrt{3} \cdot \sqrt{19} = \frac{64 \sqrt{57}}{3}

Ćwiczenie 11

R1eeEzf8XSYE22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że krawędź boczna ostrosłupa tworzy z połową przekątnej podstawy oraz z wysokością ostrosłupa trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ .

Zacznijmy od wyznaczenia boków podstawy. Wykorzystamy w tym celu wzór na pole prostokąta oraz podaną zależność między długościami boków. Oznaczmy przez $a$ długość dłuższego boku, a przez $b$ długość krótszego boku podstawy.

a \cdot b = 30

a \cdot 0, 6 a = 30

a^{2} = 50

a = 5 \sqrt{2}

b = 0, 6 \cdot 5 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}

Teraz możemy wyznaczyć długość $l$ przekątnej tego prostokąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

l^{2} = {(5 \sqrt{2})}^{2} + {(3 \sqrt{2})}^{2}

l^{2} = 50 + 18 = 68

l = 2 \sqrt{17}

Oznacza to, że połowa długości przekątnej podstawy ma długość $\sqrt{17}$ .

Korzystając z własności trójkąta o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ możemy wyznaczyć wysokość ostrosłupa.

H = \sqrt{17} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{51}

Ostatecznie możemy obliczyć objętość ostrosłupa.

V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot \sqrt{51} = 10 \sqrt{51} ({cm}^{3})

Ćwiczenie 12

RgrhZd6dIjSmt2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że wysokość tego ostrosłupa tworzy z połową dłuższej przekątnej sześciokąta oraz z krawędzią boczną ostrosłupa trójkąt prostokątny. Sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy to stosunek wysokości ostrosłupa do długości krawędzi bocznej ostrosłupa.

Zacznijmy od obliczenia wysokości $H$ ostrosłupa. Wykorzystajmy wzór na jego objętość.

48 \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 24 \sqrt{3} \cdot H

H = 6

Połowa długości dłuższej podstawy w sześciokącie foremnym ma taką samą długość jak jego krawędź. Każdy sześciokąt foremny składa się z sześciu jednakowych trójkątów równobocznych. Obliczmy pole jednego z tych trójkątów.

\frac{24 \sqrt{3}}{6} = 4 \sqrt{3}

Wykorzystując wzór na pole trójkąta równobocznego, obliczmy długość boku $a$ tego trójkąta.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3}

a^{2} = 16

a = 4

Oznacza to, że długość połowy dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego wynosi $4$ . Teraz możemy obliczyć długość $l$ krawędzi bocznej tego ostrosłupa, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

l^{2} = 4^{2} + 6^{2}

l^{2} = 16 + 36 = 52

l = 2 \sqrt{13}

Ostatecznie sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy to

\sin α = \frac{6}{2 \sqrt{13}} = \frac{6 \sqrt{13}}{2 \cdot 13} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}

Ćwiczenie 13

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $10$ , zaś wysokość jego podstawy jest równa $5$ . Oblicz długość krawędzi podstawy $a,$ długość wysokości $H$ tego ostrosłupa, długość wysokości ściany bocznej $h_{b},$ objętość $V$ oraz pole powierzchni całkowitej $P_{c}$ .

R8i6QJtKPOtj5

REVE2wBITiZ9N

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. W pierwszej luce musi znajdować się odpowiedni ułamek.

a =

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

H =

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

h_{b} =

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

V =

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

P_{c} =

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

(

25 \sqrt{3}

+

\frac{5}{3}

, 2.

\sqrt{2}

, 3.

\frac{20}{3}

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

\frac{500}{27}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\sqrt{3}

, 8.

\sqrt{33}

, 9.

\frac{10}{3}

, 10.

75 \sqrt{11}

)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RqFRgfYPIQFse

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa

10

, zaś wysokość jego podstawy jest równa

5

. Oblicz długość krawędzi podstawy

a,

długość wysokości

H

tego ostrosłupa, długość wysokości ściany bocznej

h_{b},

objętość

V

oraz pole powierzchni całkowitej

P_{c}

.

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość krawędzi podstawy

a

wynosi 1.

\frac{500}{27} \sqrt{6}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{33}

, 3.

\frac{7}{3} \sqrt{5}

, 4.

\frac{10}{3} \sqrt{3}

, 5.

\frac{80}{27} \sqrt{21}

, 6.

\frac{1}{3} (25 \sqrt{3} + 75 \sqrt{11})

, 7.

\frac{20}{3} \sqrt{2}

.Długość wysokości

H

tego ostrosłupa wynosi 1.

\frac{500}{27} \sqrt{6}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{33}

, 3.

\frac{7}{3} \sqrt{5}

, 4.

\frac{10}{3} \sqrt{3}

, 5.

\frac{80}{27} \sqrt{21}

, 6.

\frac{1}{3} (25 \sqrt{3} + 75 \sqrt{11})

, 7.

\frac{20}{3} \sqrt{2}

.Długość wysokości ściany bocznej

h_{b}

wynosi 1.

\frac{500}{27} \sqrt{6}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{33}

, 3.

\frac{7}{3} \sqrt{5}

, 4.

\frac{10}{3} \sqrt{3}

, 5.

\frac{80}{27} \sqrt{21}

, 6.

\frac{1}{3} (25 \sqrt{3} + 75 \sqrt{11})

, 7.

\frac{20}{3} \sqrt{2}

.Objętość

V

wynosi 1.

\frac{500}{27} \sqrt{6}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{33}

, 3.

\frac{7}{3} \sqrt{5}

, 4.

\frac{10}{3} \sqrt{3}

, 5.

\frac{80}{27} \sqrt{21}

, 6.

\frac{1}{3} (25 \sqrt{3} + 75 \sqrt{11})

, 7.

\frac{20}{3} \sqrt{2}

.Pole powierzchni całkowitej

P_{c}

wynosi 1.

\frac{500}{27} \sqrt{6}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{33}

, 3.

\frac{7}{3} \sqrt{5}

, 4.

\frac{10}{3} \sqrt{3}

, 5.

\frac{80}{27} \sqrt{21}

, 6.

\frac{1}{3} (25 \sqrt{3} + 75 \sqrt{11})

, 7.

\frac{20}{3} \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że w trójkącie równobocznym zachodzi równość $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ , gdzie $a$ - długość boku tego trójkąta, $h$ - długość wysokości opadającej na ten bok.
Ponadto wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa, połowa krawędzi podstawy i krawędź boczna ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny. Podobnie wysokość tego ostrosłupa, trzecia część wysokości podstawy i wysokość ściany bocznej także tworzą trójkąt prostokątny.

Ćwiczenie 14

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $10$ , zaś długość krawędzi jego podstawy jest równa $\frac{10}{3}$ . Oblicz długość przekątnej podstawy $d$ , długość wysokości $H$ tego ostrosłupa, długość wysokości ściany bocznej $h_{b}$ , objętość $V$ oraz pole powierzchni całkowitej $P_{c}$ .

RLxmdFW2AruIi

R1tC7Loy8PV4f

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. W pierwszej luce musi znajdować się odpowiedni ułamek.

d =

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

H =

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

h_{b} =

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

V =

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

P_{c} =

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

(1 +

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{100}{9}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\frac{10}{3}

, 5.

\frac{500}{81}

, 6.

\sqrt{34}

, 7.

\sqrt{2}

, 8.

\frac{5}{3}

, 9.

\sqrt{34}

, 10.

\sqrt{35}

)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCgyUfyZuiVZg

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa

10

, zaś długość krawędzi jego podstawy jest równa

\frac{10}{3}

. Oblicz długość przekątnej podstawy

d

, długość wysokości

H

tego ostrosłupa, długość wysokości ściany bocznej

h_{b}

, objętość

V

oraz pole powierzchni całkowitej

P_{c}

.

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość przekątnej podstawy

d

wynosi 1.

\frac{10}{3} \sqrt{2}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{34}

, 3.

\frac{8}{3} \sqrt{3}

, 4.

\frac{100}{9} (1 + \sqrt{35})

, 5.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 6.

\frac{21}{25} \sqrt{35}

, 7.

\frac{500}{81} \sqrt{34}

.Długość wysokości

H

tego ostrosłupa wynosi 1.

\frac{10}{3} \sqrt{2}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{34}

, 3.

\frac{8}{3} \sqrt{3}

, 4.

\frac{100}{9} (1 + \sqrt{35})

, 5.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 6.

\frac{21}{25} \sqrt{35}

, 7.

\frac{500}{81} \sqrt{34}

.Długość wysokości ściany bocznej

h_{b}

wynosi 1.

\frac{10}{3} \sqrt{2}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{34}

, 3.

\frac{8}{3} \sqrt{3}

, 4.

\frac{100}{9} (1 + \sqrt{35})

, 5.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 6.

\frac{21}{25} \sqrt{35}

, 7.

\frac{500}{81} \sqrt{34}

.Objętość

V

wynosi 1.

\frac{10}{3} \sqrt{2}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{34}

, 3.

\frac{8}{3} \sqrt{3}

, 4.

\frac{100}{9} (1 + \sqrt{35})

, 5.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 6.

\frac{21}{25} \sqrt{35}

, 7.

\frac{500}{81} \sqrt{34}

.Pole powierzchni całkowitej

P_{c}

wynosi 1.

\frac{10}{3} \sqrt{2}

, 2.

\frac{5}{3} \sqrt{34}

, 3.

\frac{8}{3} \sqrt{3}

, 4.

\frac{100}{9} (1 + \sqrt{35})

, 5.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 6.

\frac{21}{25} \sqrt{35}

, 7.

\frac{500}{81} \sqrt{34}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że w kwadracie zachodzi równość $d = a \sqrt{2}$ , gdzie $a$ - długość boku tego kwadratu, $d$ - długość przekątnej kwadratu.
Ponadto wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa, połowa krawędzi podstawy i krawędź boczna ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny. Podobnie wysokość tego ostrosłupa, odcinek długości połowy krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej także tworzą trójkąt prostokątny.

Ćwiczenie 15

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $10$ , zaś długość krawędzi jego podstawy jest równa $\frac{5}{3}$ . Oblicz długość odcinka $h_{Δ},$ długość wysokości $H$ tego ostrosłupa, długość wysokości ściany bocznej $h_{b},$ objętość $V$ oraz pole powierzchni całkowitej $P_{c}$ .

R1RmROlSYQOMA

RV0sxTKrYPzK1

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. W pierwszej luce musi znajdować się odpowiedni ułamek.

h_{Δ} =

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

H =

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

h_{b} =

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

V =

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

P_{c} =

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

(25 \sqrt{3} +

\frac{5}{6}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\sqrt{35}

, 4.

\sqrt{143}

, 5.

25 \sqrt{143}

, 6.

\frac{125}{54}

, 7.

\frac{5}{3}

, 8.

\frac{5}{6}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

\sqrt{105}

)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XtefvKx2nrN

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa

10

, zaś długość krawędzi jego podstawy jest równa

\frac{5}{3}

. Oblicz długość odcinka

h_{Δ}

, który jest wysokością jednego z sześciu trójkątów równobocznych, z których składa się podstawa ostrosłupa, długość wysokości

H

tego ostrosłupa, długość wysokości ściany bocznej

h_{b}

, objętość

V

oraz pole powierzchni całkowitej

P_{c}

.

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość odcinka

h_{∆}

wynosi 1.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 2.

\frac{4}{7} \sqrt{31}

, 3.

\frac{1}{6} (25 \sqrt{3} + 25 \sqrt{143})

, 4.

\frac{91}{13} \sqrt{21}

, 5.

\frac{125}{54} \sqrt{105}

, 6.

\frac{5}{6} \sqrt{143}

, 7.

\frac{5}{6} \sqrt{3}

.Długość wysokości

H

tego ostrosłupa wynosi 1.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 2.

\frac{4}{7} \sqrt{31}

, 3.

\frac{1}{6} (25 \sqrt{3} + 25 \sqrt{143})

, 4.

\frac{91}{13} \sqrt{21}

, 5.

\frac{125}{54} \sqrt{105}

, 6.

\frac{5}{6} \sqrt{143}

, 7.

\frac{5}{6} \sqrt{3}

.Długość wysokości ściany bocznej

h_{b}

wynosi 1.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 2.

\frac{4}{7} \sqrt{31}

, 3.

\frac{1}{6} (25 \sqrt{3} + 25 \sqrt{143})

, 4.

\frac{91}{13} \sqrt{21}

, 5.

\frac{125}{54} \sqrt{105}

, 6.

\frac{5}{6} \sqrt{143}

, 7.

\frac{5}{6} \sqrt{3}

.Objętość

V

wynosi 1.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 2.

\frac{4}{7} \sqrt{31}

, 3.

\frac{1}{6} (25 \sqrt{3} + 25 \sqrt{143})

, 4.

\frac{91}{13} \sqrt{21}

, 5.

\frac{125}{54} \sqrt{105}

, 6.

\frac{5}{6} \sqrt{143}

, 7.

\frac{5}{6} \sqrt{3}

.Pole powierzchni całkowitej

P_{c}

wynosi 1.

\frac{5}{3} \sqrt{35}

, 2.

\frac{4}{7} \sqrt{31}

, 3.

\frac{1}{6} (25 \sqrt{3} + 25 \sqrt{143})

, 4.

\frac{91}{13} \sqrt{21}

, 5.

\frac{125}{54} \sqrt{105}

, 6.

\frac{5}{6} \sqrt{143}

, 7.

\frac{5}{6} \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych.
Ponadto wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa, połowa krawędzi podstawy i krawędź boczna ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny. Podobnie wysokość tego ostrosłupa, odcinek $h_{△}$ i wysokość ściany bocznej także tworzą trójkąt prostokątny.

Ćwiczenie 16

R1HhI9YMM6yDe3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwASVfsePwju4

Długość krawędzi czworościanu foremnego jest równa

6 .

Oblicz długość wysokości podstawy

h_{Δ},

długość wysokości ostrosłupa

H,

objętość

V

oraz pole powierzchni całkowitej

P_{c}

czworościanu foremnego.

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość wysokości podstawy

h_{∆}

wynosi 1.

2 \sqrt{6}

, 2.

3 \sqrt{5}

, 3.

5 \sqrt{7}

, 4.

36 \sqrt{3}

, 5.

18 \sqrt{2}

, 6.

3 \sqrt{3}

.Długość wysokości ostrosłupa

H

wynosi 1.

2 \sqrt{6}

, 2.

3 \sqrt{5}

, 3.

5 \sqrt{7}

, 4.

36 \sqrt{3}

, 5.

18 \sqrt{2}

, 6.

3 \sqrt{3}

.Objętość

V

wynosi 1.

2 \sqrt{6}

, 2.

3 \sqrt{5}

, 3.

5 \sqrt{7}

, 4.

36 \sqrt{3}

, 5.

18 \sqrt{2}

, 6.

3 \sqrt{3}

.Pole powierzchni całkowitej

P_{c}

wynosi 1.

2 \sqrt{6}

, 2.

3 \sqrt{5}

, 3.

5 \sqrt{7}

, 4.

36 \sqrt{3}

, 5.

18 \sqrt{2}

, 6.

3 \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że czworościan foremny składa się z czterech trójkątów równobocznych. Ponadto, w trójkącie równobocznym zachodzi równość $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ , gdzie $a$ - długość boku tego trójkąta, $h$ - długość wysokości opadającej na ten bok.
Zauważ też, że wysokość tego czworościanu, trzecia część wysokości podstawy i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny.