Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Ten materiał jest dobrym wprowadzeniem do zadań o funkcji liniowej. Możesz je znaleźć w materiałach:

Zadania obliczeniowe oraz wyznaczanie wzoru funkcji na podstawie jej wykresuD3xjEcqdWZadania obliczeniowe oraz wyznaczanie wzoru funkcji na podstawie jej wykresu,
Odczytywanie i obliczanie argumentów oraz wartości funkcjiDGLkv2CseOdczytywanie i obliczanie argumentów oraz wartości funkcji,
Zadania obliczeniowe dotyczące funkcji liniowej. Część ID1CWYfW9hZadania obliczeniowe dotyczące funkcji liniowej. Część I.

Przykład 1

Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

f (x) = 2 x - 1

Ponieważ $f (0) = - 1$ oraz $f (1) = 1$ , zatem wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, - 1)$ i przechodzi przez punkt $(1, 1)$ .

RlFuG3vp0x0Zc1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus czterech do pięciu. W układzie narysowany jest wykres funkcji liniowej f(x) =2x -1. Zaznaczono punkty (0, -1) i (1, 1), przez które przechodzi wykres funkcji. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o $1$ odpowiadająca mu wartość funkcji $f$ zwiększa się o $2$ .

Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą $x_{1}$ . Wtedy

f (x_{1}) = 2 x_{1} - 1

a także

f (x_{1} + 1) = 2 (x_{1} + 1) - 1 = 2 x_{1} + 2 - 1 = 2 x_{1} + 1

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

f (x_{1} + 1) - f (x_{1}) = 2 x_{1} + 1 - (2 x_{1} - 1) = 2 x_{1} + 1 - 2 x_{1} + 1 = 2

Punkt $A$ jest dowolnym punktem należącym do wykresu funkcji $f$ . Aby znaleźć punkt $B$ , którego pierwsza współrzędna jest o $1$ większa od pierwszej współrzędnej punktu $A$ , przesuwamy się o $1$ jednostkę wzdłuż osi $X$ i o $2$ jednostki wzdłuż
osi $Y$ .

RBTDXwPyCxSF91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

f (x) = - x + 1

Ponieważ $f (0) = 1$ oraz $f (1) = 0$ , to wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 1)$ i przechodzi przez punkt $(1, 0)$ .

R12WbPZbUgJJy1

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o $1$ odpowiadająca mu wartość funkcji $f$ zmniejsza się o $1$ .

Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą $x_{1}$ . Wtedy

f (x_{1}) = - x_{1} + 1

a także

f (x_{1} + 1) = - (x_{1} + 1) + 1 = - x_{1} - 1 + 1 = - x_{1}

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

f (x_{1} + 1) - f (x_{1}) = - x_{1} - (- x_{1} + 1) = - x_{1} + x_{1} - 1 = - 1

RYbicJSbrZDh51

Przykład 3

Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

f (x) = - \frac{1}{2} x + 2

Ponieważ $f (0) = 2$ oraz $f (2) = 1$ , to wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ i przechodzi przez punkt $(2, 1)$ .

R13TtUZE05Ts21

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o $1$ odpowiadająca mu wartość funkcji $f$ zmniejsza się o $\frac{1}{2}$ .

Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą $x_{1}$ . Wtedy

f (x_{1}) = - \frac{1}{2} x_{1} + 2

a także

f (x_{1} + 1) = - \frac{1}{2} (x_{1} + 1) + 2 = - \frac{1}{2} x_{1} + 1 \frac{1}{2}

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

f (x_{1} + 1) - f (x_{1}) = - \frac{1}{2} x_{1} + 1 \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2} x_{1} + 2) =

= - \frac{1}{2} x_{1} + 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x_{1} - 2 = - \frac{1}{2}

Wobec tego, wybierając dowolny punkt $A$ na wykresie funkcji $f$ , znajdziemy na wykresie inny punkt, który powstaje z przesunięcia punktu $A$ o $1$ jednostkę wzdłuż osi $X$ i o $(- \frac{1}{2})$ jednostki wzdłuż osi $Y$ . Można też znaleźć kolejny punkt, który powstaje z przesunięcia punktu $A$ o $2$ jednostki wzdłuż osi $X$ i o $(- 1)$ jednostkę wzdłuż osi $Y$ .

Rcbfu36wRtW4Y1

Polecenie 1

RdDVdp7ADzsRD11

RULcgK0WXIxtl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wybierzmy na wykresie funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ różne punkty $A$ i $B$ , o współrzędnych $(x_{A}, y_{A})$ i $(x_{B}, y_{B})$ . Wtedy

$y_{A} = f (x_{A}) = a x_{A} + b$ ,
$y_{B} = f (x_{B}) = a x_{B} + b$ .

Zauważmy, że $y_{A} - a x_{A} = b$ , a także $y_{B} - a x_{B} = b$ , więc $y_{B} - a x_{B} = y_{A} - a x_{A}$ , skąd $y_{B} - y_{A} = a x_{B} - a x_{A}$ . Zatem

a (x_{B} - x_{A}) = y_{B} - y_{A}

Ponieważ punkty $A$ i $B$ są różne i leżą na wykresie funkcji, więc $x_{A} \neq x_{B}$ , stąd $x_{B} - x_{A} \neq 0$ . Wobec tego

a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}

jest ilorazem różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów.

Patrząc na dwa różne punkty $A$ i $B$ , leżące na wykresie funkcji

f (x) = a x + b

interpretujemy współczynnik kierunkowy $a$ jako iloraz wartości przesunięcia $y_{B} - y_{A}$ wzdłuż osi $Y$ do odpowiadającej mu wartości przesunięcia $x_{B} - x_{A}$ wzdłuż osi $X$ .

Rj4zDTvVdkssC1

Przykład 4

Na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą punkty $A = (3, 11)$ i $B = (- 2, - 4)$ . Ponieważ

x_{B} - x_{A} = - 2 - 3 = - 5

y_{B} - y_{A} = - 4 - 11 = - 15

więc współczynnik kierunkowy $a$ tej funkcji jest równy

a = \frac{- 15}{- 5} = 3

Liczba $a = 3$ oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji $f$ o jedną jednostkę odpowiada wzrost wartości o $3$ jednostki.

Przykład 5

Na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą punkty $A = (- 2, 1)$ i $B = (- 3, 5)$ . Ponieważ

x_{B} - x_{A} = - 3 - (- 2) = - 1

y_{B} - y_{A} = 5 - 1 = 4

zatem współczynnik kierunkowy $a$ tej funkcji jest równy

a = \frac{4}{- 1} = - 4

Liczba $a = - 4$ oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji $f$ o jedną jednostkę odpowiada zmniejszenie wartości funkcji o $4$ jednostki.

Przykład 6

Na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą punkty $A = (1, 3)$ i $B = (3, 6)$ . Ponieważ

x_{B} - x_{A} = 3 - 1 = 2

y_{B} - y_{A} = 6 - 3 = 3

to współczynnik kierunkowy $a$ tej funkcji jest równy

a = \frac{3}{2}

Wartość $a = \frac{3}{2}$ oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji $f$ o jedną jednostkę, odpowiada wzrost wartości o $\frac{3}{2}$ .

Polecenie 2

Wykonaj polecenia zawarte w poniższym aplecie.

RvBq3CUz4rEft1

Zapoznaj się z wiadomościami zawartymi poniżej.

Każda prosta ma wzór ogólny $y = a x + b$ . Parametr $a$ w tym wzorze to jej współczynnik kierunkowy i odpowiada on za nachylenie prostej do osi $X$ . Współczynnik $b$ odpowiada za przesunięcie prostej wzdłuż osi $Y$ . Wybierając różne parametry funkcji możemy wpływać na jej wygląd. Rozważmy dwa przykłady:

Dla parametrów $a = 2$ i $b = - 1$ wzór prostej to $y = 2 x - 1$ . Jest to prosta, która przechodzi przez pierwszą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu współrzędnych, przecina oś $Y$ w punkcie $(0, - 1)$ , a oś $X$ w punkcie $(\frac{1}{2}, 0)$ .
Dla parametrów $a = - 1$ i $b = 2$ wzór prostej to $y = - x + 2$ . Jest to prosta, która przechodzi przez pierwszą, drugą i czwartą ćwiartkę układu współrzędnych, przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ , a oś $X$ w punkcie $(2, 0)$ .

Z poniższego wzoru możemy obliczyć współczynnik kierunkowy prostej, jeżeli znamy dwa punkty, przez jakie ona przechodzi.

$a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$

Rozważmy prostą, która przechodzi przez punkty $(0, 2)$ i $(2, 0)$ . Zgodnie ze wzorem, jej współczynnik kierunkowy wynosi $a = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{- 2}{2} = - 1$ , co pokrywa się z danymi z drugiego przykładu.