Graniastosłupy Graniastosłup prosty Definicja: Graniastosłup prosty
Graniastosłup prosty to taka figura przestrzenna, która ma
Graniastosłupy mogą w podstawie mieć różne figury płaskie. Na przykład:
trójkąty (równoramienne, równoboczne, prostokątne, itp.),
czworokąty (trapezy, romby, kwadraty, itp.),
sześciokąty.
Nazwa graniastosłupa zależy od wielokąta, będącego jego podstawą.
Prostopadłościan i sześcian są przykładami graniastosłupów prostych.
W każdym graniastosłupie można wyróżnić kilka ważnych elementów.
RoZ0IAyj7sutP Na rysunku przedstawiony jest graniastosłup prosty czworokątny z wyróżnionymi elementami takimi jak: krawędź, podstawa, wierzchołek i ściana boczna. W graniastosłupie są dwie podstawy i zawierają się one w dwóch równoległych płaszczyznach. Wierzchołki podstaw połączone są ze sobą za pomocą krawędzi prostopadłych do obu podstaw i wraz z krawędziami podstawy tworzą ściany boczne. Miejsca łączenia się krawędzi w graniastosłupie również nazywamy wierzchołkami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego, w którym mamy n – kąt w podstawie jest postaci:
P c = 2 · P p + n · P b ,
gdzie P p oznacza pole podstawy, a P b pole ściany bocznej.
Ważne!
Wzór na objętość prostopadłościanu jest postaci:
V = a b c ,
gdzie a i b to wymiary podstawy, a c to wysokość bryły.
Ostrosłupy Ostrosłup Definicja: Ostrosłup
Ostrosłup to taki wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.
Ostrosłupy mogą w podstawie mieć różne figury płaskie. Na przykład:
trójkąty (równoramienne, równoboczne, prostokątne, itp.),
czworokąty (trapezy, romby, kwadraty, itp.),
sześciokąty.
Nazwa ostrosłupa zależy od wielokąta, będącego jego podstawą.
W każdym ostrosłupie można wyróżnić kilka ważnych elementów.
R1K2Cy9zDkrwc Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup prosty czworokątny. Posiada on jedynie jedną podstawę, a ściany boczne są trójkątami. Miejsce złożenia się ścian bocznych nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Wierzchołek ostrosłupa łączy się z każdym wierzchołkiem podstawy za pomocą krawędzi. Z wierzchołka ostrosłupa opuszczona jest wysokość prostopadła do powierzchni podstawy, a miejsce ich przecięcia nazywamy spodkiem wysokości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RmtQItkWNwNep 1
Ćwiczenie 1
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Możliwe odpowiedzi: 1. Każdy prostopadłościan ma cztery ściany boczne i 12 krawędzi., 2. W każdym prostopadłościanie dwie ściany są kwadratami, a pozostałe prostokątami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DKzB6JecPVS 1
Ćwiczenie 2
Krawędź sześcianu ma długość 4 cm . Zaznacz, ile wynosi suma długości wszystkich krawędzi sześcianu. Możliwe odpowiedzi: 1. 48 cm , 2. 24 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IQDK26ZcSVL 1
Ćwiczenie 3
Krawędź sześcianu ma długość 4 cm . Zaznacz, ile wynosi pole powierzchni tego sześcianu. Możliwe odpowiedzi: 1. 96 cm 2 , 2. 64 cm 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1LWc0nrjioAZ 1
Ćwiczenie 4
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz właściwą odpowiedź. Graniastosłup sześciokątny ma 12 wierzchołków i 12 krawędzi bocznych.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma 16 wierzchołków i 9 ścian.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz właściwą odpowiedź. Graniastosłup sześciokątny ma 12 wierzchołków i 12 krawędzi bocznych.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma 16 wierzchołków i 9 ścian.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5
Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa. Oblicz obwód podstawy tego graniastosłupa.
RXlvXHR7yTfgf 1 Siatka graniastosłupa o wysokości równej 7 cm. W podstawie graniastosłupa trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 3 cm, 4 cm i przeciwprostokątnej równej 5 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11XWWkoFme4n Obwód podstawy graniastosłupa Tu uzupełnij cm .
Obwód podstawy graniastosłupa Tu uzupełnij cm .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R10N0SDjlf8Vh Ćwiczenie 5
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi graniastosłupa o wysokości równej 7 cm , który w podstawie ma trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm oraz przeciwprostokątnej długości 5 cm , a następnie zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 52 cm , 2. 40 cm , 3. 31 cm , 4. 60 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R7tXNN1x2sInm 2
Ćwiczenie 6
Czy istnieje graniastosłup, który ma 18 ścian i 48 krawędzi? Jeżeli tak, to zaznacz jego nazwę. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7
R1YXnEmZGzmKL Skrzynkę balkonową o długości 64 cm , szerokości 22 cm i wysokości 17 cm pomalowano z zewnątrz farbą. Jaką powierzchnię pomalowano? Pomiń grubość desek, z których wykonano skrzynkę. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pomalowano powierzchnię 1. 4332 , 2. 4342 , 3. 4334 , 4. 4432 cm 2 .
Skrzynkę balkonową o długości 64 cm , szerokości 22 cm i wysokości 17 cm pomalowano z zewnątrz farbą. Jaką powierzchnię pomalowano? Pomiń grubość desek, z których wykonano skrzynkę. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pomalowano powierzchnię 1. 4332 , 2. 4342 , 3. 4334 , 4. 4432 cm 2 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Oblicz pole powierzchni bocznej tej skrzynki, a następnie dodaj do niego pole powierzchni jednej podstawy.
RcPREk0mTjlhQ 2
Ćwiczenie 8
Prostopadłościenny pojemnik na mąkę ma wymiary: 10 cm × 10 cm × 18 cm . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Pojemnik ma pojemność większą niż 1 , 5 litra a mniejszą niż 2 litry., 2. Skoro 1 kg mąki możemy przesypać do 7 szklanek o pojemności 250 cm 3 , to 1 kg mąki zmieści się w tym pojemniku., 3. Pojemnik ma pojemność 1800 l ., 4. Gdy zmniejszymy każdy z wymiarów pojemników o połowę, to objętość również zmniejszy się o połowę.
Prostopadłościenny pojemnik na mąkę ma wymiary: 10 cm x 10 cm x 18 cm . Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Pojemnik ma pojemność większą niż 1,5 lita a mniejszą niż 2 litry.
Skoro 1 kg mąki możemy przesypać do 7 szklanek o pojemności 250 cm ³ , to 1 kg mąki zmieści się w tym pojemniku.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R830SyDy5ZpDj 2
Ćwiczenie 9
Długość basenu w kształcie prostopadłościanu jest równa 25 m , szerokość 10 m , a głębokość jest wszędzie taka sama i równa 160 cm . Ile m 3 wody mieści się w tym basenie? Wybierz odpowiedź spośród podanych. Możliwe odpowiedzi: 1. 400 , 2. 612 , 3. 40000 , 4. 8532
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10
Mała sztabka złota ma kształt prostopadłościanu o wymiarach i masie przedstawionych w tabeli. Oblicz, ile gramów waży cm 3 złota. Podaj wynik zaokrąglony do jedności.
RV20gHvXK0DPb Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Około 1. 15 , 2. 22 , 3. 18 , 4. 19 g .
Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Około 1. 15 , 2. 22 , 3. 18 , 4. 19 g .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11
Figura A składa się z jednakowych sześcianów o krawędzi 2 cm , a figura B składa się z jednakowych prostopadłościanów o wymiarach 1 cm × 1 cm × 2 cm .
Rom8JSeiz9vFg 1 Rysunek dwóch figur. Figura A składa się z sześciu jednakowych sześcianów. Figura B składa się z siedmiu jednakowych prostopadłościanów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Oblicz, o ile cm 3 większą objętość ma figura A .
RyVidmiAHeZGN (Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Oblicz objętość pojedynczego sześcianu i pomnóż ją razy ilość sześcianów występujących w figurze A . Podobnie postępuj w przypadku figury B , oblicz objętość pojedynczego prostopadłościanu i pomnóż razy ilość występujących w niej prostopadłościanów.
Pokaż odpowiedź V A = 48 c m 3 ,
V B = 14 c m 3 ,
V A - V B = 48 cm 3 - 14 cm 3 = 34 cm 3 .
ROmwQ2GtctmSf Ćwiczenie 11
Figura A składa się z sześciu jednakowych sześcianów o krawędzi 2 cm , a figura B składa się z siedmiu jednakowych prostopadłościanów o wymiarach 1 cm × 1 cm × 2 cm . O ile cm 3 większą objętość ma figura A ? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. O 34 cm 3 ., 2. O 20 cm 3 ., 3. O 50 cm 3 ., 4. O 14 cm 3 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 12
RbH9GViCP4IlN 1 Rysunek ostrosłupa o podstawie sześciokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Na podstawie rysunku rozstrzygnij, które zdania są prawdziwe. Zaznacz je.
R12QxJTrHXdYc Możliwe odpowiedzi: 1. Rysunek przedstawia ostrosłup sześciokątny., 2. Figura przestrzenna przedstawiona na rysunku ma 7 wierzchołków i 6 krawędzi., 3. Figura przestrzenna przedstawiona na rysunku ma 7 wierzchołków i 12 krawędzi., 4. Rysunek przedstawia ostrosłup dwunastokątny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 13
R15EkuxVrklr8 Graniastosłup czworokątny o podstawie kwadratu o boku długości 6 cm i sześcian o krawędzi 12 cm mają jednakowe pola powierzchni. Oblicz wysokość graniastosłupa. Wysokośc graniastosłupa wynosi Tu uzupełnij .
Graniastosłup czworokątny o podstawie kwadratu o boku długości 6 cm i sześcian o krawędzi 12 cm mają jednakowe pola powierzchni. Oblicz wysokość graniastosłupa. Wysokośc graniastosłupa wynosi Tu uzupełnij .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zacznij od obliczenia pola powierzchni sześcianu. Wykorzystaj to pole do wyznaczenia pola jednej ściany bocznej graniastosłupa, a następnie oblicz wysokość graniastosłupa, korzystając ze wzoru na pole prostokąta.
RwBju2UlWfhob 2
Ćwiczenie 14
Pole powierzchni i objętość tego samego sześcianu wyrażone są taką samą liczbą. Jaka to liczba? Wskaż poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 27 , 2. 64 , 3. 125 , 4. 216
Pole powierzchni i objętość tego samego sześcianu wyrażone są taką samą liczbą. Jaka to liczba? Wskaż poprawną odpowiedź.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RAe7DtwLy1dNX 3
Ćwiczenie 15
Ostrosłup ma cztery ściany i wszystkie krawędzie równej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 30 cm . Jaka jest długość krawędzi tego ostrosłupa? Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość krawędzi tego ostrosłupa wynosi 1. 5 , 2. 3 , 3. 6 , 4. 4 cm .
Ostrosłup ma cztery ściany i wszystkie krawędzie równej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 30 cm . Jaka jest długość krawędzi tego ostrosłupa? Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość krawędzi tego ostrosłupa wynosi 1. 5 , 2. 3 , 3. 6 , 4. 4 cm .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16
RT3bDB29z7n15 Sala lekcyjna w kształcie prostopadłościanu ma wymiary: długość 10 m , szerokość 6 m i wysokość 3 , 20 m . W sali tej są drzwi o wymiarach 1 , 20 m × 2 m i trzy okna o wymiarach 2 m × 1 , 80 m . Ściany tej sali (bez sufitu) będą dwukrotnie malowane farbą, której litr farby wystarcza na pomalowanie 12 m 2 powierzchni. Jaką najmniejszą ilość puszek farby trzeba kupić, jeżeli jest ona sprzedawana w pięciolitrowych opakowaniach? Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Potrzeba co najmniej Tu uzupełnij puszki.
Sala lekcyjna w kształcie prostopadłościanu ma wymiary: długość 10 m , szerokość 6 m i wysokość 3 , 20 m . W sali tej są drzwi o wymiarach 1 , 20 m × 2 m i trzy okna o wymiarach 2 m × 1 , 80 m . Ściany tej sali (bez sufitu) będą dwukrotnie malowane farbą, której litr farby wystarcza na pomalowanie 12 m 2 powierzchni. Jaką najmniejszą ilość puszek farby trzeba kupić, jeżeli jest ona sprzedawana w pięciolitrowych opakowaniach? Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Potrzeba co najmniej Tu uzupełnij puszki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zacznij od wyznaczenia pola powierzchni bocznej tej sali, a następnie odejmij od otrzymanego wyniku pole drzwi i potrojone pole okna. Pamiętaj, że ściany mają być pomalowane dwukrotnie, więc ostateczny wynik pomnóż przez 2 .