Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta

W tym materiale zajmiesz się badaniem i opisywaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi. Wykorzystasz między innymi wzór na długość odcinka do wyznaczania pola wielokąta, określisz współrzędne środka odcinka, znajdziesz równanie prostej.

Przykład 1

Dane są punkty $A = (- 1, 1)$ i $B = (5, - 1)$ . Wyznacz równanie symetralnej odcinka $A B$ .

Pokażemy dwa sposoby rozwiązania tego zadania.

sposób $I$

Symetralna odcinka jest prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek.

Współrzędne $S$ środka odcinka o końcach w punktach $A = (- 1, 1)$ i $B = (5, - 1)$ są równe

$x_{S} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ i $y_{S} = \frac{1 - 1}{2} = 0$ , czyli $S = (2, 0)$ .

Współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy

a = \frac{- 1 - 1}{5 + 1} = - \frac{1}{3}

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest więc równy $a_{1} = 3$ . Zatem symetralną można opisać równaniem

y = 3 x + b

Punkt $S = (2, 0)$ leży na symetralnej. Po podstawieniu współrzędnych punktu $S$ do równania otrzymujemy $0 = 3 \cdot 2 + b$ , czyli $b = - 6$ .

Równanie symetralnej ma postać $y = 3 x - 6$ .

sposób $II$

Z własności symetralnej odcinka wynika, że każdy punkt $P$ leżący na symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka.

Rz3IgSGgs1wWV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano odcinek o końcach w punktach A=(-1,1) i B=(5,-1) oraz prostą prostopadłą do tego odcinka. Na prostej zaznaczono punkt P=x,y. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wynika z tego, że $|A P| = |B P|$ .

Wykorzystując wzór na długość odcinka, otrzymujemy

\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2}}

{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(x - 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2}

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia

x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} - 10 x + 25 + y^{2} + 2 y + 1

Stąd otrzymujemy równanie ogólne

12 x - 4 y - 24 = 0

Zapisując to równanie w postaci kierunkowej, mamy

y = 3 x - 6

Przykład 2

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach: $A = (- 3, 6)$ , $B = (0, 2)$ , $C = (4, 4)$ jest prostokątny.

sposób $I$

Trójkąt jest prostokątny, jeśli dwa jego boki są prostopadłe. Sprawdzimy, czy wśród trzech prostych zawierających boki trójkąta jest para prostych prostopadłych.

Obliczymy współczynniki kierunkowe każdej z trzech prostych.

Współczynnik kierunkowy prostej $A B$ : $a_{A B} = \frac{6 - 2}{- 3} = - \frac{4}{3}$ .
Współczynnik kierunkowy prostej $B C$ : $a_{B C} = \frac{4 - 2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Współczynnik kierunkowy prostej $A C$ : $a_{A C} = \frac{6 - 4}{- 3 - 4} = - \frac{2}{7}$ .

Jeśli proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $(- 1)$ .

Sprawdźmy:

$a_{A B} \cdot a_{B C} = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \neq - 1$ , zatem boki $A B$ i $B C$ nie leżą na prostych prostopadłych. Podobnie $a_{B C} \cdot a_{A C} = - \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2} \neq - 1$ , zatem boki $B C$ i $A C$ nie leżą na prostych prostopadłych.

Zauważmy, że boki $A B$ i $A C$ również nie są prostopadłe (ich współczynniki kierunkowe są ujemne, więc ich iloczyn nie może być równy $- 1$ ).

Wynika z tego, że żadne dwa boki trójkąta nie są prostopadłe, więc ten trójkąt nie jest prostokątny.

Uwaga.

Jeśli wcześniej zaznaczymy punkty w układzie współrzędnych, to zauważymy, że tylko boki $A B$ i $A C$ mogą być prostopadłe. Wystarczy w tym przypadku pokazać, że $a_{A B} \cdot a_{A C} \neq - 1$ .

R1RB2lqrzZt0J1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu i pionową osią Y od minus jednego do siedmiu. W układzie zaznaczono trójkąt A B C o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(-3, 6), B =(0, 2), C =(4, 4). Kąt A B C oznaczono niebieskim łukiem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $II$

Krok $1$

Obliczamy długości boków trójkąta.

|A B| = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(2 - 6)}^{2}} = \sqrt{25} = 5

|A C| = \sqrt{{(- 3 - 4)}^{2} + {(6 - 4)}^{2}} = \sqrt{53}

|B C| = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2 - 4)}^{2}} = \sqrt{20}

Krok $2$

Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku. Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek wynikający z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

{|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} = 25 + 20

{|A C|}^{2} = 53

53 \neq 25 + 20

Wynika z tego, że trójkąt nie jest prostokątny.

Przykład 3

Punkty: $A = (- 3, 7)$ , $B = (0, - 2)$ , $C = (6, 0)$ , $D = (3, 9)$ są wierzchołkami czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt $A B C D$ jest prostokątem.

sposób $I$

Obliczymy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki czworokąta.

Krok $1$

Sprawdzimy, czy czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem (ma dwie pary boków równoległych).

a_{A B} = \frac{7 + 2}{- 3} = - 3

a_{B C} = \frac{- 2}{- 6} = \frac{1}{3}

a_{C D} = \frac{9}{3 - 6} = - 3

a_{D A} = \frac{9 - 7}{3 + 3} = \frac{1}{3}

Ponieważ $a_{A B} = a_{C D} = - 3$ i $a_{B C} = a_{D A} = \frac{1}{3}$ , więc czworokąt $A B C D$ ma dwie pary boków równoległych.

Krok $2$

Sprawdzamy, czy kąty wewnętrzne równoległoboku są proste.

Ponieważ $a_{A B} \cdot a_{B C} = - 3 \cdot \frac{1}{3} = - 1$ , to proste zawierające boki $A B$ i $B C$ są prostopadłe. Wynika z tego , że jeden z kątów wewnętrznych równoległoboku jest prosty. Z własności kątów w równoległoboku (suma kątów, których wspólnym ramieniem jest bok równoległoboku jest równa $180 °$ ) wynika, że pozostałe kąty są również proste.

RvuWQqE5M5GOn1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jedenastu do trzynastu i pionową osią Y od minus dwóch do dziesięciu. W układzie zaznaczono czworokąt A B C D o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A = (- 3, 7), B = (0, - 2), C = (6, 0), D = (3, 9). Kąt A B C oznaczono jako kąt prosty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzasadniliśmy, że czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem, którego kąty wewnętrzne są proste, a więc ten czworokąt jest prostokątem.

sposób $II$

Krok $1$

Sprawdzamy, czy przekątne czworokąta są równe.

Długość przekątnej $A C$ : $|A C| = \sqrt{{(- 3 - 6)}^{2} + {(7)}^{2}} = \sqrt{130}$ .

Długość przekątnej $B D$ : $|B D| = \sqrt{{(3)}^{2} + {(9 + 2)}^{2}} = \sqrt{130}$ .

Wynika z tego, że przekątne czworokąta $A B C D$ są równe.

Krok $2$

Sprawdzamy, czy środek przekątnej $A C$ jest jednocześnie środkiem przekątnej $B D$ .

Środek przekątnej $A C$ : $S_{1} = (\frac{- 3 + 6}{2}, \frac{7}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ .

Środek przekątnej $B D$ : $S_{2} = (\frac{3}{2}, \frac{- 2 + 9}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ .

Wynika z tego, że $S_{1} = S_{2}$ . Jest to zatem punkt wspólny obu przekątnych i jednocześnie jest środkiem każdej z nich.

R14fY2S5X7Lm11

Rysunek prostokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A = (- 3, 7), B = (0, - 2), C = (6, 0), D = (3, 9). Poprowadzono przekątne prostokąta. W punkcie przecięcia obu przekątnych, który jest środkiem każdej z nich zapisano S z indeksem dolnym jeden równa się S z indeksem dolnym dwa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem czworokąt $A B C D$ ma równe przekątne, które przecinają się w punkcie dzielącym każdą z nich na połowę. Z tego wynika, że czworokąt $A B C D$ jest prostokątem.

Przykład 4

Oblicz pole trapezu prostokątnego, którego wierzchołkami są punkty:

$A = (- 2, - 1)$ , $B = (6, 3)$ , $C = (- 1, 7)$ , $D = (- 5, 5)$ .

Aby obliczyć pole trapezu, potrzebne są długości obu podstaw trapezu i jego wysokość.

REkwp5XCBVkJH1

Rysunek trapezu prostokątnego A B C D w układzie współrzędnych, gdzie A = (- 2, - 1), B = (6, 3), C = (- 1, 7), D = (- 5, 5). Boki AB równa się b, CD równa się a, AD równa się h. Kąt A D C oznaczono jako kąt prosty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długości podstaw trapezu:

a = |D C| = \sqrt{{(- 1 + 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}

b = |B A| = \sqrt{{(- 2 - 6)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2}} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}

Wysokość trapezu:

h = |D A| = \sqrt{{(- 2 + 5)}^{2} + {(- 1 - 5)}^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}

Pole trapezu:

P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{6 \sqrt{5}}{2} \cdot 3 \sqrt{5} = 9 \cdot 5 = 45

Przykład 5

Punkty: $S_{1} = (4, 5)$ , $S_{2} = (\frac{13}{2}, 1)$ , $S_{3} = (\frac{3}{2}, 0)$ są środkami boków trójkąta $A B C$ .

Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Współrzędne wierzchołków oznaczamy odpowiednio: $A = (x_{A}, y_{A})$ ,
$B = (x_{B}, y_{B})$ , $C = (x_{C}, y_{C})$ . Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, możemy zapisać

S_{1} = (4, 5) = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})

S_{2} = (\frac{13}{2}, 1) = (\frac{x_{B} + x_{C}}{2}, \frac{y_{B} + y_{C}}{2})

S_{3} = (\frac{3}{2}, 0) = (\frac{x_{A} + x_{C}}{2}, \frac{y_{A} + y_{C}}{2})

Stąd otrzymujemy następujące układy równań:

\{\begin{matrix} 4 = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ \frac{13}{2} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} \\ \frac{3}{2} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} \end{matrix} \{\begin{matrix} 5 = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ 1 = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} \\ 0 = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} \end{matrix}

czyli

\{\begin{matrix} 8 = x_{A} + x_{B} \\ 13 = x_{B} + x_{C} \\ 3 = x_{A} + x_{C} \end{matrix} \{\begin{matrix} 10 = y_{A} + y_{B} \\ 2 = y_{B} + y_{C} \\ 0 = y_{A} + y_{C} \end{matrix}

\{\begin{matrix} x_{A} = - 1 \\ x_{B} = 9 \\ x_{C} = 4 \end{matrix} \{\begin{matrix} y_{A} = 4 \\ y_{B} = 6 \\ y_{C} = - 4 \end{matrix}

Wierzchołki trójkąta mają współrzędne: $A = (- 1, 4)$ , $B = (9, 6)$ , $C = (4, - 4)$ .

RxqSa6reKIQWu1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwunastu do siedemnastu i pionową osią Y od minus sześciu do siedmiu. W układzie zaznaczono przerywaną zieloną linią trójkąt A B C, gdzie A = (- 1, 4), B = (9, 6), C = (4, - 4). Zaznaczono środki boków trójkąta: S z indeksem dolnym jeden na boku A B, S z indeksem dwa na boku B C i S z indeksem dolnym trzy boku A C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty: $A = (- 2, 6)$ , $B = (6, - 2)$ , $C = (9, 5)$ .

sposób $I$

Obliczymy pole tego trójkąta, wykorzystując wzór $P_{A B C} = \frac{1}{2} |A B| \cdot h$ . Potrzebna więc będzie długość jednego z boków i długość wysokości opuszczonej na ten bok.

R1V5UTYhVb8pP1

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych, gdzie A = (- 2, 6), B = (6, - 2), C = (9, 5). Z wierzchołka C poprowadzono wysokość h opadającą na podstawę A B w punkcie (4, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Krok $1$

Obliczamy długość boku $A B$ .

|A B| = \sqrt{{(- 2 - 6)}^{2} + {(6 + 2)}^{2}} = 8 \sqrt{2}

Krok $2$

Obliczamy wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $C$ do boku $A B$ .

RuAfja1bHfJC41

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych, gdzie A = (- 2, 6), B = (6, - 2), C = (9, 5). Z wierzchołka C poprowadzono wysokość h = C D opadającą na podstawę A B. Punkt D ma współrzędne (4, 0). Kąt A D C zaznaczono jako kąt prosty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość jest równa długości odcinka $C D$ , gdzie $D$ jest spodkiem tej wysokości na bok $AB$ . Punkt $D$ jest punktem wspólnym prostej zawierającej bok $A B$ i prostej do niej prostopadłej, przechodzącej przez wierzchołek $C$ .

Krok $3$

Wyznaczymy równanie prostej zawierającej bok $A B$ .

Współczynnik kierunkowy $a = \frac{6 + 2}{- 2 - 6} = - 1$ . Do tej prostej należy punkt $A = (- 2, 6)$ , zatem jej równanie można zapisać jako

y = - 1 (x - (- 2)) + 6

y = - x + 4

Krok $4$

Wyznaczymy równanie prostej zawierającej wysokość $C D$ .

Prosta $C D$ jest prostopadła do $A B$ , więc jej współczynnik kierunkowy jest równy $1$ .

Jej równanie możemy zapisać w postaci $y = x + b$ .

Podstawiamy współrzędne punktu $C = (9, 5)$ leżącego na tej prostej i obliczamy współczynnik $b$ .

5 = 9 + b

czyli $b = - 4$ . Równanie prostej $A B$ ma postać

y = x - 4

Krok $5$

Obliczamy współrzędne punktu wspólnego obu wyznaczonych prostych.

Współrzędne punktu $D$ są rozwiązaniem układu równań złożonych z równań obu prostych:

\{\begin{matrix} y = - x + 4 \\ y = x - 4 \end{matrix}

Rozwiązaniem jest $\{\begin{matrix} x = 4 \\ y = 0 \end{matrix}$ . Stąd $D = (4, 0)$ .

Krok $6$

Obliczamy wysokość $h$ .

h = |C D| = \sqrt{{(9 - 4)}^{2} + {(5)}^{2}} = 5 \sqrt{2}

Krok $7$

Obliczymy pole trójkąta $A B C$ .

P = \frac{1}{2} |A B| h = \frac{1}{2} \cdot 8 \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{2} = 40

Uwaga.

Potrzebna do obliczenia pola wysokość trójkąta $h$ jest równa odległości punktu $C$ od prostej zawierającej bok $A B$ .

RN335lb52zFgy1

Rysunek prostej o równaniu A razy x plus B razy y plus C = 0 w układzie współrzędnych. Zaznaczony punkt P = (x z indeksem dolnym zero, y z indeksem dolnym zero). Odległość punktu P od prostej równa d. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odległość punktu $P = (x_{0}, y_{0})$ od prostej o równaniu
$A x + B y + C = 0$ jest równa

d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}

Równanie prostej $A B$ ma postać kierunkową $y = - x + 4$ i ogólną $x + y - 4 = 0$ .

Wysokość $h$ jest odległością punktu $C = (9, 5)$ od prostej o równaniu
$x + y - 4 = 0$ .

Zatem, wstawiając do wzoru odpowiednie liczby, otrzymujemy

h = \frac{|x_{0} + y_{0} - 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{|9 + 5 - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{|10|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}

sposób $II$

Trójkąt $A B C$ możemy wpisać w taki prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych. Wtedy pole trójkąta można obliczyć jako różnicę pól prostokąta i trzech trójkątów prostokątnych.

RbO7oFKmTMpr71

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach: $A = (- 2, 6)$ , $B = (6, - 3)$ , $C = (5, 3)$ .

Pole trójkąta rozwartokątnego $A B C$ można obliczyć jako sumę pól dwóch trójkątów $A C F$ i $C F B$ .

R1PrrfpEGcsNw1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do czternastu i pionową osią Y od minus czterech do siedmiu. W układzie zaznaczono kolorem niebieskim trójkąt P jeden o wierzchołkach w punktach A = (- 2, 6), B = (6, - 3) i C = (5, 3). Przerywaną niebieską linią poprowadzono odcinek o końcach w punktach C = (5, 3) i F = (5, - 1). Odcinek ten jest równoległy do osi Y. W układzie zaznaczono kwadrat o wierzchołkach A = (- 2, 6), G = (5, 6), F = (5, - 1) i E = (- 2,1). Kwadrat ten zawiera lewą część trójkąta A B C, która powstała po przedzieleniu trójkąta przerywanym odcinkiem. Obszar wewnątrz kwadratu zaznaczono na zielono, z wyłączeniem lewej części trójkąta. W układzie zaznaczono również prostokąt o wierzchołkach C = (5, 3), L = (7, 3), B = (6, -3) i K = (5, - 3). Prostokąt ten zawiera prawą część trójkąta A B C, która powstała po przedzieleniu trójkąta przerywanym odcinkiem. Obszar wewnątrz prostokąta zaznaczono na pomarańczowo, z wyłączeniem prawej części trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

P_{A C F} = 7 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 + \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3) = 14

P_{C F B} = 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6) = 4

Pole trójkąta $A B C$ :

P_{A B C} = P_{A C F} + P_{C F B} = 14 + 4 = 18

Przykład 8

Punkt $A$ leży na prostej $k$ o równaniu $y = 2 x - 1$ , a punkt $B$ na prostej $m$ o równaniu $y = - x + 3$ . Wyznacz współrzędne punktów $A$ i $B$ tak, aby punkt $P = (0, 0)$ był środkiem odcinka $A B$ .

R1BmMH0GSt3i41

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu i pionową osią Y od minus jednego do pięciu. W układzie zaznaczono prostą m daną wzorem y = - x + 3 oraz prostą k daną wzorem y = 2x - 1. W układzie zaznaczono również punkt P o współrzędnych (0, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne punktu $A$ możemy zapisać, wykorzystując fakt, że $A$ leży na prostej $y = 2 x - 1$ :

$A = (x_{A}, 2 x_{A} - 1)$ . Podobnie zapisujemy współrzędne punktu $B$ leżącego na prostej $y = - x + 3$ :

$B = (x_{B}, - x_{B} + 3)$ .

Punkt $P = (0, 0)$ jest środkiem odcinka $A B$ , zatem wykorzystując wzory na współrzędne środka odcinka, otrzymujemy:

$\frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 0$ i $\frac{(2 x_{A} - 1) + (- x_{B} + 3)}{2} = 0$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy układ równań

\{\begin{matrix} x_{A} + x_{B} = 0 \\ 2 x_{A} - x_{B} = - 2 \end{matrix}

Rozwiązaniem układu jest $x_{A} = - \frac{2}{3}$ i $x_{B} = \frac{2}{3}$ .

Z tego wynika, że

A = (- \frac{2}{3}, 2 \cdot (- \frac{2}{3}) - 1) = (- \frac{2}{3}, - \frac{7}{3})

B = (\frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + 3) = (\frac{2}{3}, \frac{7}{3})

Ćwiczenie 1

RhtHPZcXWu5HO

Wyznacz równanie symetralnej odcinka

A B

na postawie podanych punktów. Połącz punkty z odpowiednim równaniem symetralnej odcinka

A B

A = (- 2, 4)

B = (3, 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = \frac{1}{4} x

, 2.

y = - x

, 3.

y = - 2 x - 2

, 4.

y = 2 \frac{1}{2} x + 1 \frac{3}{4}

, 5.

y = 4 x - 4

, 6.

y = - x + 3

A = (- 3, - 1)

B = (1, 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = \frac{1}{4} x

, 2.

y = - x

, 3.

y = - 2 x - 2

, 4.

y = 2 \frac{1}{2} x + 1 \frac{3}{4}

, 5.

y = 4 x - 4

, 6.

y = - x + 3

A = (1, 2)

B = (- 2, - 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = \frac{1}{4} x

, 2.

y = - x

, 3.

y = - 2 x - 2

, 4.

y = 2 \frac{1}{2} x + 1 \frac{3}{4}

, 5.

y = 4 x - 4

, 6.

y = - x + 3

A = (6, 3)

B = (- 2, 5)

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = \frac{1}{4} x

, 2.

y = - x

, 3.

y = - 2 x - 2

, 4.

y = 2 \frac{1}{2} x + 1 \frac{3}{4}

, 5.

y = 4 x - 4

, 6.

y = - x + 3

A = (0, - 2)

B = (5, 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = \frac{1}{4} x

, 2.

y = - x

, 3.

y = - 2 x - 2

, 4.

y = 2 \frac{1}{2} x + 1 \frac{3}{4}

, 5.

y = 4 x - 4

, 6.

y = - x + 3

A = (2 \sqrt{2}, - 8 \sqrt{2})

B = (- 2 \sqrt{2}, 8 \sqrt{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = \frac{1}{4} x

, 2.

y = - x

, 3.

y = - 2 x - 2

, 4.

y = 2 \frac{1}{2} x + 1 \frac{3}{4}

, 5.

y = 4 x - 4

, 6.

y = - x + 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R1a39cmG0ieJJ

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową

A D

trójkąta

A B C

, którego wierzchołkami są podane punkty. Połącz w pary punkty, które są wierzchołkami trójkąta

A B C

z jego równaniem środkowej

A D

A = (- 2, 3)

B = (1, - 2)

C = (4, 2)

Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie środkowej

A D

y = - \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}

, 2. Równanie środkowej

A D

y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

, 3. Równanie środkowej

A D

y = 2

, 4. Równanie środkowej

A D

y = \frac{1}{2} x - 2

A = (- 3, 3)

B = (4, - 1)

C = (- 2, 3)

Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie środkowej

A D

y = - \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}

, 2. Równanie środkowej

A D

y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

, 3. Równanie środkowej

A D

y = 2

, 4. Równanie środkowej

A D

y = \frac{1}{2} x - 2

A = (6, 1)

B = (7, 0)

C = (1, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie środkowej

A D

y = - \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}

, 2. Równanie środkowej

A D

y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

, 3. Równanie środkowej

A D

y = 2

, 4. Równanie środkowej

A D

y = \frac{1}{2} x - 2

A = (- 3, 2)

B = (3, 5)

C = (- 2, - 1)

Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie środkowej

A D

y = - \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}

, 2. Równanie środkowej

A D

y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

, 3. Równanie środkowej

A D

y = 2

, 4. Równanie środkowej

A D

y = \frac{1}{2} x - 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach w punktach: $A = (0, 4)$ , $B = (5, 3)$ , $C = (- 1, - 1)$ jest prostokątny. Czy ten trójkąt jest równoramienny?

REwB7CXieDAlX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współczynnik kierunkowy prostej $A B$ : $a_{1} = - \frac{1}{5}$ , współczynnik kierunkowy prostej $A C$ : $a_{2} = 5$ . Wynika z tego, że bok $A B$ jest prostopadły do boku $A C$ . Zatem trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

Trójkąt jest równoramienny, gdyż $|A B| = \sqrt{26}$ , $|A C| = \sqrt{26}$ , czyli $|A B| = |A C|$ .

Ćwiczenie 4

Wykaż, że czworokąt $A B C D$ , którego wierzchołkami są punkty: $A = (4, - 1)$ , $B = (8, 6)$ , $C = (0, 5)$ , $D = (- 4, - 2)$ jest rombem.

R17xQ22b8X5Is

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna $A C$ leży na prostej $y = - \frac{3}{2} x + 5$ , a przekątna $B D$ na prostej $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ . Z tego, że $- \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = - 1$ wynika, że przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.

Punkt $S = (2, 2)$ jest środkiem przekątnej $A C$ i jednocześnie środkiem przekątnej $B D$ . Wynika z tego, że punkt przecięcia się prostopadłych do siebie przekątnych dzieli każdą z nich na połowy. Zatem czworokąt $A B C D$ jest rombem.

Ćwiczenie 5

Rkzc0i8lXnnzJ

Punkty

A = (0, 1)

B = (6, - 1)

C = (7, 2)

są wierzchołkami równoległoboku

A D B C

. Punkt

E

jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt

E

i równoległej do boku

A B

.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Punkt

E

ma współrzędne 1.

- \frac{2}{4} x + 2 \frac{5}{3}

, 2.

(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})

, 3.

- \frac{2}{3} x + 3 \frac{4}{6}

, 4.

(\frac{4}{2}, \frac{1}{2})

, 5.

(\frac{7}{3}, \frac{5}{3})

, 6.

- \frac{1}{3} x + 2 \frac{2}{3}

, a prosta

y

- \frac{2}{4} x + 2 \frac{5}{3}

, 2.

(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})

, 3.

- \frac{2}{3} x + 3 \frac{4}{6}

, 4.

(\frac{4}{2}, \frac{1}{2})

, 5.

(\frac{7}{3}, \frac{5}{3})

, 6.

- \frac{1}{3} x + 2 \frac{2}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RX7lCjJNLab7R

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R1WOuDgiFi2Qg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R17UGW1JH1vIn

W trójkącie

A B C

bok

A B

leży na prostej

y = - x - 2

, wierzchołek

C = (3, 5)

.
Wyznacz równanie wysokości opuszczonej na bok

A B

oraz oblicz długość tej wysokości.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Równaniem wysokości jest 1.

y = x + 3

, 2.

5 \sqrt{3}

, 3.

3 \sqrt{2}

, 4.

y = x + 4

, 5.

y = x + 2

, 6.

5 \sqrt{2}

, jej długość wynosi 1.

y = x + 3

, 2.

5 \sqrt{3}

, 3.

3 \sqrt{2}

, 4.

y = x + 4

, 5.

y = x + 2

, 6.

5 \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RtNELcD4vABZR

Oblicz pole równoległoboku

A B C D

o wierzchołkach w punktach:

A = (11, 4)

B = (5, - 3)

C = (1, - 2)

.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Odpowiedź: Długość boku

|C B| =

4 \sqrt{15}

, 2.

\sqrt{15}

, 3.

32

, 4.

2 \sqrt{17}

, 5.

\sqrt{17}

, 6.

38

, 7.

\sqrt{12}

, 8.

34

, 9.

3 \sqrt{12}

, długość wysokości opuszczonej na bok

C B

jest równa

h =

4 \sqrt{15}

, 2.

\sqrt{15}

, 3.

32

, 4.

2 \sqrt{17}

, 5.

\sqrt{17}

, 6.

38

, 7.

\sqrt{12}

, 8.

34

, 9.

3 \sqrt{12}

.
Pole równoległoboku jest równe

P =

4 \sqrt{15}

, 2.

\sqrt{15}

, 3.

32

, 4.

2 \sqrt{17}

, 5.

\sqrt{17}

, 6.

38

, 7.

\sqrt{12}

, 8.

34

, 9.

3 \sqrt{12}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Rfh045bBDYzOH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.