Działania na potęgach. Część II - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale przypomnisz sobie twierdzenie dotyczące działań na potęgach o tych samych podstawach oraz twierdzenie dotyczące działań na potęgach o tych samych wykładnikach. Rozwiążesz zadania, w których zastosujesz poznane twierdzenia.

Działania na potęgach

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

R1Z1tjwk482bF1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Iloraz potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}

R1HUeWq4VRmFi1

Potęga potęgi

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

{(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}

RDBoa22Rshi5M1

Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}

RGkqhPYvk1uXR1

Iloraz potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}

RS6b7c3hacr1S1

RuE9wrkJ17d7I1

Ćwiczenie 1

Oblicz w pamięci i wstaw w luki prawidłowe odpowiedzi. Kliknij w lukę, aby wyświetlić rozwijaną listę i wybierz poprawną odpowiedź.

2^{- 2} \cdot {(\frac{1}{4})}^{- 2} =

4

, 2.

- 1000

, 3.

8

, 4.

\frac{5}{6}

, 5.

3

, 6.

\frac{1}{16}

, 7.

10

, 8.

\frac{1}{5}

, 9.

- 3

, 10.

- 2 \frac{1}{6}

, 11.

4

, 12.

- \frac{3}{4}

, 13.

- 1000

3^{- 3} \cdot {(\frac{1}{6})}^{- 3} =

4

, 2.

- 1000

, 3.

8

, 4.

\frac{5}{6}

, 5.

3

, 6.

\frac{1}{16}

, 7.

10

, 8.

\frac{1}{5}

, 9.

- 3

, 10.

- 2 \frac{1}{6}

, 11.

4

, 12.

- \frac{3}{4}

, 13.

- 1000

{(- 4)}^{- 1} \cdot {(- \frac{1}{16})}^{- 1} =

4

, 2.

- 1000

, 3.

8

, 4.

\frac{5}{6}

, 5.

3

, 6.

\frac{1}{16}

, 7.

10

, 8.

\frac{1}{5}

, 9.

- 3

, 10.

- 2 \frac{1}{6}

, 11.

4

, 12.

- \frac{3}{4}

, 13.

- 1000

{(\frac{1}{2})}^{- 2} \cdot {(- 8)}^{- 2} =

4

, 2.

- 1000

, 3.

8

, 4.

\frac{5}{6}

, 5.

3

, 6.

\frac{1}{16}

, 7.

10

, 8.

\frac{1}{5}

, 9.

- 3

, 10.

- 2 \frac{1}{6}

, 11.

4

, 12.

- \frac{3}{4}

, 13.

- 1000

{(- 0, 01)}^{- 3} \cdot 10^{- 3} =

4

, 2.

- 1000

, 3.

8

, 4.

\frac{5}{6}

, 5.

3

, 6.

\frac{1}{16}

, 7.

10

, 8.

\frac{1}{5}

, 9.

- 3

, 10.

- 2 \frac{1}{6}

, 11.

4

, 12.

- \frac{3}{4}

, 13.

- 1000

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUFP5R7rtDjn91

Ćwiczenie 2

Oblicz i wstaw w luki prawidłowe odpowiedzi. Kliknij w lukę, aby wyświetlić rozwijaną listę i wybierz poprawną odpowiedź.

{(\frac{1}{2})}^{- 4} \cdot 2^{- 4} =

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

1

, 4.

2 \frac{1}{7}

, 5.

\frac{1}{16}

, 6.

\frac{1}{8}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

1

, 9.

\frac{4}{5}

, 10.

\frac{1}{9}

, 11.

2

, 12.

12

, 13.

- \frac{4}{3}

, 14.

\frac{1}{4}

, 15.

\frac{1}{5}

{(\frac{1}{3})}^{- 2} \cdot 9^{- 2} =

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

1

, 4.

2 \frac{1}{7}

, 5.

\frac{1}{16}

, 6.

\frac{1}{8}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

1

, 9.

\frac{4}{5}

, 10.

\frac{1}{9}

, 11.

2

, 12.

12

, 13.

- \frac{4}{3}

, 14.

\frac{1}{4}

, 15.

\frac{1}{5}

1, 5^{- 1} \cdot 2^{- 1} =

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

1

, 4.

2 \frac{1}{7}

, 5.

\frac{1}{16}

, 6.

\frac{1}{8}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

1

, 9.

\frac{4}{5}

, 10.

\frac{1}{9}

, 11.

2

, 12.

12

, 13.

- \frac{4}{3}

, 14.

\frac{1}{4}

, 15.

\frac{1}{5}

{(\frac{2}{5})}^{- 2} \cdot 10^{- 2} =

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

1

, 4.

2 \frac{1}{7}

, 5.

\frac{1}{16}

, 6.

\frac{1}{8}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

1

, 9.

\frac{4}{5}

, 10.

\frac{1}{9}

, 11.

2

, 12.

12

, 13.

- \frac{4}{3}

, 14.

\frac{1}{4}

, 15.

\frac{1}{5}

{(\frac{3}{4})}^{- 6} \cdot {(1 \frac{1}{3})}^{- 6} =

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

1

, 4.

2 \frac{1}{7}

, 5.

\frac{1}{16}

, 6.

\frac{1}{8}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

1

, 9.

\frac{4}{5}

, 10.

\frac{1}{9}

, 11.

2

, 12.

12

, 13.

- \frac{4}{3}

, 14.

\frac{1}{4}

, 15.

\frac{1}{5}

{(1 \frac{2}{3})}^{- 3} \cdot {(1 \frac{1}{5})}^{- 3} =

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

1

, 4.

2 \frac{1}{7}

, 5.

\frac{1}{16}

, 6.

\frac{1}{8}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

1

, 9.

\frac{4}{5}

, 10.

\frac{1}{9}

, 11.

2

, 12.

12

, 13.

- \frac{4}{3}

, 14.

\frac{1}{4}

, 15.

\frac{1}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwaIn9wkFYyvs11

Ćwiczenie 3

Poniżej przedstawiono iloczyny pewnych liczb i ich rozwiązania. Połącz działanie z poprawnym wynikiem.

2^{- 2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{9}

, 2.

1

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

- \frac{1}{8}

, 5.

- 8

, 6.

- 1

{(- 2)}^{- 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{9}

, 2.

1

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

- \frac{1}{8}

, 5.

- 8

, 6.

- 1

{(- \frac{1}{2})}^{- 3} \cdot 4^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{9}

, 2.

1

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

- \frac{1}{8}

, 5.

- 8

, 6.

- 1

9^{- 2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{9}

, 2.

1

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

- \frac{1}{8}

, 5.

- 8

, 6.

- 1

{(\frac{1}{4})}^{- 3} \cdot {(- 2)}^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{9}

, 2.

1

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

- \frac{1}{8}

, 5.

- 8

, 6.

- 1

- 9^{- 2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{1}{9}

, 2.

1

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

- \frac{1}{8}

, 5.

- 8

, 6.

- 1

Połącz w pary.

$2^{- 2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 2}$
${(- 2)}^{- 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 3}$
${(- \frac{1}{2})}^{- 3} \cdot 4^{- 3}$
$9^{- 2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$
${(\frac{1}{4})}^{- 3} \cdot {(- 2)}^{- 3}$
$- 9^{- 2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18vydq92cxW621

Ćwiczenie 4

Poniżej przedstawiono pewne działania na potęgach. Połącz w pary równe sobie wyrażenia.

(2 x)^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{4 x^{2}}

, 2.

- \frac{1}{4 x^{4}}

, 3.

- \frac{1}{8 x^{3}}

, 4.

- \frac{1}{4 x^{2}}

, 5.

\frac{1}{8 x^{3}}

, 6.

\frac{4}{x^{4}}

(- 2 x)^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{4 x^{2}}

, 2.

- \frac{1}{4 x^{4}}

, 3.

- \frac{1}{8 x^{3}}

, 4.

- \frac{1}{4 x^{2}}

, 5.

\frac{1}{8 x^{3}}

, 6.

\frac{4}{x^{4}}

(- 2 x)^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{4 x^{2}}

, 2.

- \frac{1}{4 x^{4}}

, 3.

- \frac{1}{8 x^{3}}

, 4.

- \frac{1}{4 x^{2}}

, 5.

\frac{1}{8 x^{3}}

, 6.

\frac{4}{x^{4}}

- (2 x)^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{4 x^{2}}

, 2.

- \frac{1}{4 x^{4}}

, 3.

- \frac{1}{8 x^{3}}

, 4.

- \frac{1}{4 x^{2}}

, 5.

\frac{1}{8 x^{3}}

, 6.

\frac{4}{x^{4}}

{(- 2 x^{- 2})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{4 x^{2}}

, 2.

- \frac{1}{4 x^{4}}

, 3.

- \frac{1}{8 x^{3}}

, 4.

- \frac{1}{4 x^{2}}

, 5.

\frac{1}{8 x^{3}}

, 6.

\frac{4}{x^{4}}

- {(2 x^{2})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{4 x^{2}}

, 2.

- \frac{1}{4 x^{4}}

, 3.

- \frac{1}{8 x^{3}}

, 4.

- \frac{1}{4 x^{2}}

, 5.

\frac{1}{8 x^{3}}

, 6.

\frac{4}{x^{4}}

Połącz w pary.

$(2 x)^{- 3}$
$(- 2 x)^{- 3}$
$(- 2 x)^{- 2}$
$- (2 x)^{- 2}$
${(- 2 x^{- 2})}^{2}$
$- {(2 x^{2})}^{- 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6A6XwnLU9WK62

Ćwiczenie 5

Uzupełnij podstawę potęgi, wstawiając w luki prawidłowe liczby. Kliknij w lukę, aby wyświetlić rozwijaną listę i wybierz poprawną odpowiedź.

2^{- 2} \cdot 3^{- 2} =

\frac{1}{6}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

6

, 5.

- \frac{3}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- 10

, 8.

- 5

, 9.

- \frac{4}{7}

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 0, 34

, 13.

\frac{3}{2}

, 14.

1

, 15.

\frac{1}{3}

, 16.

- 0, 1

^{2}

2^{- 3} \cdot {(- 5)}^{- 3} =

\frac{1}{6}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

6

, 5.

- \frac{3}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- 10

, 8.

- 5

, 9.

- \frac{4}{7}

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 0, 34

, 13.

\frac{3}{2}

, 14.

1

, 15.

\frac{1}{3}

, 16.

- 0, 1

^{3}

{(\frac{1}{2})}^{- 4} \cdot 8^{- 4} =

\frac{1}{6}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

6

, 5.

- \frac{3}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- 10

, 8.

- 5

, 9.

- \frac{4}{7}

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 0, 34

, 13.

\frac{3}{2}

, 14.

1

, 15.

\frac{1}{3}

, 16.

- 0, 1

^{4}

{(2 \frac{1}{2})}^{- 3} \cdot {(- 2)}^{- 3} =

\frac{1}{6}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

6

, 5.

- \frac{3}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- 10

, 8.

- 5

, 9.

- \frac{4}{7}

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 0, 34

, 13.

\frac{3}{2}

, 14.

1

, 15.

\frac{1}{3}

, 16.

- 0, 1

^{3}

{(- \frac{3}{2})}^{- 5} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{- 5} =

\frac{1}{6}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

6

, 5.

- \frac{3}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- 10

, 8.

- 5

, 9.

- \frac{4}{7}

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 0, 34

, 13.

\frac{3}{2}

, 14.

1

, 15.

\frac{1}{3}

, 16.

- 0, 1

^{5}

{(- 0, 01)}^{- 2} \cdot 10^{- 2} =

\frac{1}{6}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

6

, 5.

- \frac{3}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- 10

, 8.

- 5

, 9.

- \frac{4}{7}

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 0, 34

, 13.

\frac{3}{2}

, 14.

1

, 15.

\frac{1}{3}

, 16.

- 0, 1

^{2}

{(\frac{1}{2})}^{- 3} \cdot 8^{- 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 3} =

\frac{1}{6}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

6

, 5.

- \frac{3}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- 10

, 8.

- 5

, 9.

- \frac{4}{7}

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 0, 34

, 13.

\frac{3}{2}

, 14.

1

, 15.

\frac{1}{3}

, 16.

- 0, 1

^{3}

{(0, 75)}^{- 2} \cdot {(1 \frac{1}{3})}^{- 2} \cdot 2^{- 2} =

\frac{1}{6}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

- \frac{1}{5}

, 4.

6

, 5.

- \frac{3}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- 10

, 8.

- 5

, 9.

- \frac{4}{7}

, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 0, 34

, 13.

\frac{3}{2}

, 14.

1

, 15.

\frac{1}{3}

, 16.

- 0, 1

^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RY07LlO4GyXvP2

Ćwiczenie 6

Oblicz w pamięci i wstaw w luki prawidłowe wyniki. Kliknij w lukę, aby wyświetlić rozwijaną listę i wybierz poprawną odpowiedź.

2^{- 3} : {(- 2)}^{- 3} =

- 4

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{9}{4}

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

1

, 7.

45

, 8.

25

, 9.

- \frac{1}{4}

, 10.

12

, 11.

32

, 12.

- 7

, 13.

\frac{13}{5}

{(- 3)}^{- 2} : {(- 3)}^{- 2} =

- 4

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{9}{4}

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

1

, 7.

45

, 8.

25

, 9.

- \frac{1}{4}

, 10.

12

, 11.

32

, 12.

- 7

, 13.

\frac{13}{5}

{(\frac{1}{5})}^{- 1} : 5^{- 1} =

- 4

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{9}{4}

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

1

, 7.

45

, 8.

25

, 9.

- \frac{1}{4}

, 10.

12

, 11.

32

, 12.

- 7

, 13.

\frac{13}{5}

0, 2^{- 5} : 0, 4^{- 5} =

- 4

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{9}{4}

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

1

, 7.

45

, 8.

25

, 9.

- \frac{1}{4}

, 10.

12

, 11.

32

, 12.

- 7

, 13.

\frac{13}{5}

{(- \frac{1}{2})}^{- 2} : {(- \frac{1}{4})}^{- 2} =

- 4

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{9}{4}

, 4.

- 1

, 5.

2

, 6.

1

, 7.

45

, 8.

25

, 9.

- \frac{1}{4}

, 10.

12

, 11.

32

, 12.

- 7

, 13.

\frac{13}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cXgJgn2rwbO2

Ćwiczenie 7

Oblicz i wstaw w luki prawidłowe wyniki. Kliknij w lukę, aby wyświetlić rozwijaną listę i wybierz poprawną odpowiedź.

2^{- 4} : 2^{- 4} =

1

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

\frac{5}{9}

, 4.

1, 7

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

2, 4

, 9.

\frac{1}{9}

, 10.

4 \frac{7}{8}

, 11.

\frac{1}{8}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

16

{(\frac{1}{3})}^{- 3} : {(\frac{1}{9})}^{- 3} =

1

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

\frac{5}{9}

, 4.

1, 7

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

2, 4

, 9.

\frac{1}{9}

, 10.

4 \frac{7}{8}

, 11.

\frac{1}{8}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

16

4, 5^{- 2} : 1, 5^{- 2} =

1

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

\frac{5}{9}

, 4.

1, 7

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

2, 4

, 9.

\frac{1}{9}

, 10.

4 \frac{7}{8}

, 11.

\frac{1}{8}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

16

{(\frac{5}{2})}^{- 2} : 10^{- 2} =

1

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

\frac{5}{9}

, 4.

1, 7

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

2, 4

, 9.

\frac{1}{9}

, 10.

4 \frac{7}{8}

, 11.

\frac{1}{8}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

16

{(\frac{2}{3})}^{- 1} : {(\frac{5}{6})}^{- 1} =

1

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

\frac{5}{9}

, 4.

1, 7

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

2, 4

, 9.

\frac{1}{9}

, 10.

4 \frac{7}{8}

, 11.

\frac{1}{8}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

16

{(1 \frac{2}{3})}^{- 3} : {(\frac{5}{6})}^{- 3} =

1

, 2.

2 \frac{3}{4}

, 3.

\frac{5}{9}

, 4.

1, 7

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

1 \frac{1}{4}

, 7.

12

, 8.

2, 4

, 9.

\frac{1}{9}

, 10.

4 \frac{7}{8}

, 11.

\frac{1}{8}

, 12.

\frac{1}{27}

, 13.

16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RveERp6nceCYG21

Ćwiczenie 8

Poniżej przedstawiono ilorazy pewnych liczb i ich rozwiązania. Połącz działanie z poprawnym wynikiem.

2^{- 2} : {(\frac{1}{2})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{16}

, 2.

- 1

, 3.

- \frac{1}{81}

, 4.

- \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

- \frac{1}{8}

{(- 2)}^{- 3} : 2^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{16}

, 2.

- 1

, 3.

- \frac{1}{81}

, 4.

- \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

- \frac{1}{8}

{(- \frac{1}{2})}^{- 3} : {(\frac{1}{4})}^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{16}

, 2.

- 1

, 3.

- \frac{1}{81}

, 4.

- \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

- \frac{1}{8}

9^{- 1} : {(- 3)}^{- 1}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{16}

, 2.

- 1

, 3.

- \frac{1}{81}

, 4.

- \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

- \frac{1}{8}

{(\frac{1}{2})}^{- 3} : {(\frac{1}{4})}^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{16}

, 2.

- 1

, 3.

- \frac{1}{81}

, 4.

- \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

- \frac{1}{8}

- 3^{- 2} : {(- \frac{1}{3})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{16}

, 2.

- 1

, 3.

- \frac{1}{81}

, 4.

- \frac{1}{3}

, 5.

\frac{1}{8}

, 6.

- \frac{1}{8}

Połącz w pary.

$2^{- 2} : {(\frac{1}{2})}^{- 2}$
${(- 2)}^{- 3} : 2^{- 3}$
${(- \frac{1}{2})}^{- 3} : {(\frac{1}{4})}^{- 3}$
$9^{- 1} : {(- 3)}^{- 1}$
${(\frac{1}{2})}^{- 3} : {(\frac{1}{4})}^{- 3}$
$- 3^{- 2} : {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyK4HFLGRxbFR21

Ćwiczenie 9

Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach.

{(\frac{2}{x})}^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{x^{4}}{4}

, 2.

\frac{x^{2}}{4}

, 3.

\frac{x^{4}}{4}

, 4.

\frac{x^{3}}{8}

, 5.

- \frac{x^{2}}{4}

, 6.

- \frac{x^{3}}{8}

{(- \frac{2}{x})}^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{x^{4}}{4}

, 2.

\frac{x^{2}}{4}

, 3.

\frac{x^{4}}{4}

, 4.

\frac{x^{3}}{8}

, 5.

- \frac{x^{2}}{4}

, 6.

- \frac{x^{3}}{8}

{(- \frac{2}{x})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{x^{4}}{4}

, 2.

\frac{x^{2}}{4}

, 3.

\frac{x^{4}}{4}

, 4.

\frac{x^{3}}{8}

, 5.

- \frac{x^{2}}{4}

, 6.

- \frac{x^{3}}{8}

- {(\frac{2}{x})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{x^{4}}{4}

, 2.

\frac{x^{2}}{4}

, 3.

\frac{x^{4}}{4}

, 4.

\frac{x^{3}}{8}

, 5.

- \frac{x^{2}}{4}

, 6.

- \frac{x^{3}}{8}

{(- \frac{2}{x^{2}})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{x^{4}}{4}

, 2.

\frac{x^{2}}{4}

, 3.

\frac{x^{4}}{4}

, 4.

\frac{x^{3}}{8}

, 5.

- \frac{x^{2}}{4}

, 6.

- \frac{x^{3}}{8}

- {(\frac{2}{x^{2}})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{x^{4}}{4}

, 2.

\frac{x^{2}}{4}

, 3.

\frac{x^{4}}{4}

, 4.

\frac{x^{3}}{8}

, 5.

- \frac{x^{2}}{4}

, 6.

- \frac{x^{3}}{8}

Połącz w pary.

${(\frac{2}{x})}^{- 3}$
${(- \frac{2}{x})}^{- 3}$
${(- \frac{2}{x})}^{- 2}$
$- {(\frac{2}{x})}^{- 2}$
${(- \frac{2}{x^{2}})}^{- 2}$
$- {(\frac{2}{x^{2}})}^{- 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBAq5TGs02ZAq2

Ćwiczenie 10

Uzupełnij podstawę potęgi, wstawiając w luki prawidłowe liczby. Kliknij w lukę, aby wyświetlić rozwijaną listę i wybierz poprawną odpowiedź.

20^{- 3} : 10^{- 3} =

- 3

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

4

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

8

, 8.

- 10

, 9.

- \frac{1}{5}

, 10.

2

, 11.

- 3 \frac{1}{4}

, 12.

7

, 13.

1

, 14.

- \frac{1}{2}

, 15.

\frac{1}{2}

^{3}

25^{- 2} : {(- 5)}^{- 2} =

- 3

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

4

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

8

, 8.

- 10

, 9.

- \frac{1}{5}

, 10.

2

, 11.

- 3 \frac{1}{4}

, 12.

7

, 13.

1

, 14.

- \frac{1}{2}

, 15.

\frac{1}{2}

^{2}

{(\frac{1}{2})}^{- 4} : {(\frac{1}{4})}^{- 4} =

- 3

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

4

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

8

, 8.

- 10

, 9.

- \frac{1}{5}

, 10.

2

, 11.

- 3 \frac{1}{4}

, 12.

7

, 13.

1

, 14.

- \frac{1}{2}

, 15.

\frac{1}{2}

^{4}

{(- \frac{3}{2})}^{- 5} : {(- \frac{3}{2})}^{- 5} =

- 3

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

4

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

8

, 8.

- 10

, 9.

- \frac{1}{5}

, 10.

2

, 11.

- 3 \frac{1}{4}

, 12.

7

, 13.

1

, 14.

- \frac{1}{2}

, 15.

\frac{1}{2}

^{5}

{(2 \frac{1}{2})}^{- 4} : {(- \frac{1}{2})}^{- 4} =

- 3

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

4

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

8

, 8.

- 10

, 9.

- \frac{1}{5}

, 10.

2

, 11.

- 3 \frac{1}{4}

, 12.

7

, 13.

1

, 14.

- \frac{1}{2}

, 15.

\frac{1}{2}

^{4}

{(- 0, 01)}^{- 3} : 0, 1^{- 3} =

- 3

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

4

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

8

, 8.

- 10

, 9.

- \frac{1}{5}

, 10.

2

, 11.

- 3 \frac{1}{4}

, 12.

7

, 13.

1

, 14.

- \frac{1}{2}

, 15.

\frac{1}{2}

^{3}

{(\frac{1}{2})}^{- 3} \cdot 8^{- 3} : {(2)}^{- 3} =

- 3

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

4

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

8

, 8.

- 10

, 9.

- \frac{1}{5}

, 10.

2

, 11.

- 3 \frac{1}{4}

, 12.

7

, 13.

1

, 14.

- \frac{1}{2}

, 15.

\frac{1}{2}

^{3}

{(0, 75)}^{- 4} : {(\frac{3}{4})}^{- 4} : 2^{- 4} =

- 3

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

4

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

8

, 8.

- 10

, 9.

- \frac{1}{5}

, 10.

2

, 11.

- 3 \frac{1}{4}

, 12.

7

, 13.

1

, 14.

- \frac{1}{2}

, 15.

\frac{1}{2}

^{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

R1HBIrDCB0DcM2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROsJm3Xnnzfjz2

Ćwiczenie 12

$4^{15}$
${(- 4)}^{- 15}$
${(- 4)}^{15}$
${(- 4)}^{0}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNNr4T485nCWa2

Ćwiczenie 13

$3 x^{6} y^{- 2}$
$\frac{9 y^{2}}{x^{6}}$
$9 x^{6} y^{- 2}$
$\frac{x^{6}}{9 y^{2}}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RndYqmd0kitir2

Ćwiczenie 14

$\frac{3 x^{4} y^{8}}{9 x^{8} y^{4}}$
$\frac{3 x^{4}}{y^{4}}$
$\frac{y^{4}}{3^{4} x^{4}}$
$\frac{3^{4} x^{4}}{y^{4}}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROyTeduUKTTl72

Ćwiczenie 15

Iloczyn $2^{- 3} ∙ 3^{- 3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{- 3} ∙ 2^{- 3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{- 12}$
Iloczyn $2^{- 3} ∙ 3^{- 3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{- 3} ∙ 2^{- 3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{- 3}$
Iloraz ${0,0001}^{- 5} : {0,001}^{- 5}$ zapisany w postaci potęgi to $10^{10}$
Iloraz ${0,0001}^{- 5} : {0,001}^{- 5}$ zapisany w postaci potęgi to $10^{5}$
Wyrażenie ${(- 2 x^{2} y)}^{- 3}$ po uproszczeniu wynosi $\frac{1}{8 x^{6} y^{3}}$
Wyrażenie ${(- 2 x^{2} y)}^{- 3}$ po uproszczeniu wynosi $- \frac{1}{8 x^{6} y^{3}}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZgDPK0BgVtms2

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R188lO8omXtFt2

Ćwiczenie 17

Porównaj poniższe liczby. Kliknij w lukę, aby wyświetlić rozwijaną listę i wybierz odpowiedni znak.

2^{- 3}

>

, 2.

>

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

=

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

<

, 17.

>

, 18.

=

{(2^{2})}^{- 3}

{(4^{- 2})}^{5}

>

, 2.

>

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

=

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

<

, 17.

>

, 18.

=

4^{- 7}

{(\frac{2}{5})}^{- 6}

>

, 2.

>

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

=

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

<

, 17.

>

, 18.

=

{({(\frac{2}{5})}^{2})}^{- 3}

{(0, 3^{- 2})}^{4}

>

, 2.

>

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

=

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

<

, 17.

>

, 18.

=

{(0, 3)}^{- 4}

{(\frac{2}{3})}^{- 8}

>

, 2.

>

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

=

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

<

, 17.

>

, 18.

=

{({(\frac{2}{3})}^{2})}^{- 3}

{(1, 4^{5})}^{- 5}

>

, 2.

>

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

>

, 10.

=

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

<

, 17.

>

, 18.

=

{(1, 4^{3})}^{- 7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RH5WG9UxewN7c2

Ćwiczenie 18

Porównaj poniższe liczby. Kliknij w lukę, aby wyświetlić rozwijaną listę i wybierz odpowiedni znak.

8^{- 3}

=

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

>

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

<

, 9.

=

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

4^{- 3}

3^{- 6}

=

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

>

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

<

, 9.

=

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

12^{- 6}

{0,2}^{- 9}

=

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

>

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

<

, 9.

=

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

{0,3}^{- 9}

{1,4}^{- 5}

=

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

>

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

<

, 9.

=

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

{1,3}^{- 5}

{(\frac{2}{7})}^{- 4}

=

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

>

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

<

, 9.

=

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

{(\frac{1}{4})}^{- 4}

{(0,75)}^{- 7}

=

, 2.

>

, 3.

>

, 4.

>

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

<

, 9.

=

, 10.

<

, 11.

=

, 12.

=

, 13.

<

, 14.

=

, 15.

<

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

>

{(\frac{3}{4})}^{- 7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhaxK7yi8E3Pq2

Ćwiczenie 19

Porównaj poniższe liczby. Kliknij w lukę, aby wyświetlić rozwijaną listę i wybierz odpowiedni znak.

{(- 2,3)}^{- 5}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

>

, 8.

>

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

{(2,3)}^{- 5}

{(- 3,6)}^{- 6}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

>

, 8.

>

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

{3,6}^{- 6}

- {(- 7,7)}^{- 7}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

>

, 8.

>

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

{(- 7,7)}^{- 7}

- (- {(- 0,2)}^{- 9})

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

>

, 8.

>

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

- {(- 0,2)}^{- 9}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyVZNUFwNKR4l21

Ćwiczenie 20

Poniżej przedstawiono pewne działania. Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach.

a^{3} \cdot a^{- 5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0}

, 2.

a \cdot a^{- 3}

, 3.

a^{- 8} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{14}

, 5.

a^{7} \cdot a^{- 4} : a^{8}

, 6.

a^{5} : a^{8}

a^{- 4} \cdot a^{1}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0}

, 2.

a \cdot a^{- 3}

, 3.

a^{- 8} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{14}

, 5.

a^{7} \cdot a^{- 4} : a^{8}

, 6.

a^{5} : a^{8}

a^{- 9} : a^{- 5} \cdot a^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0}

, 2.

a \cdot a^{- 3}

, 3.

a^{- 8} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{14}

, 5.

a^{7} \cdot a^{- 4} : a^{8}

, 6.

a^{5} : a^{8}

a^{- 3} : a^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0}

, 2.

a \cdot a^{- 3}

, 3.

a^{- 8} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{14}

, 5.

a^{7} \cdot a^{- 4} : a^{8}

, 6.

a^{5} : a^{8}

a^{- 16} : a^{- 11}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0}

, 2.

a \cdot a^{- 3}

, 3.

a^{- 8} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{14}

, 5.

a^{7} \cdot a^{- 4} : a^{8}

, 6.

a^{5} : a^{8}

a^{- 8} \cdot a : a^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0}

, 2.

a \cdot a^{- 3}

, 3.

a^{- 8} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{14}

, 5.

a^{7} \cdot a^{- 4} : a^{8}

, 6.

a^{5} : a^{8}

Połącz w pary.

$a^{3} \cdot a^{- 5}$
$a^{- 4} \cdot a^{1}$
$a^{- 9} : a^{- 5} \cdot a^{- 2}$
$a^{- 3} : a^{- 3}$
$a^{- 16} : a^{- 11}$
$a^{- 8} \cdot a : a^{- 3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ARsVgtYPHv63

Ćwiczenie 21

Oblicz, a następnie uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

\frac{2^{5} \cdot 2^{- 3}}{2^{7} : 2^{- 3}} =

\frac{5}{27}

, 2.

256

, 3.

3, 5

, 4.

375

, 5.

12 \frac{4}{5}

, 6.

\frac{1}{5}

, 7.

\frac{17}{144}

, 8.

11

, 9.

\frac{1}{256}

, 10.

4

, 11.

1

\frac{5 \cdot 3^{7}}{3^{8} : 3^{- 2}} =

\frac{5}{27}

, 2.

256

, 3.

3, 5

, 4.

375

, 5.

12 \frac{4}{5}

, 6.

\frac{1}{5}

, 7.

\frac{17}{144}

, 8.

11

, 9.

\frac{1}{256}

, 10.

4

, 11.

1

\frac{4^{- 7} : 4^{- 9}}{17 - 4^{0}} =

\frac{5}{27}

, 2.

256

, 3.

3, 5

, 4.

375

, 5.

12 \frac{4}{5}

, 6.

\frac{1}{5}

, 7.

\frac{17}{144}

, 8.

11

, 9.

\frac{1}{256}

, 10.

4

, 11.

1

\frac{5^{3} - 2 \cdot 5^{2}}{5^{- 1}} =

\frac{5}{27}

, 2.

256

, 3.

3, 5

, 4.

375

, 5.

12 \frac{4}{5}

, 6.

\frac{1}{5}

, 7.

\frac{17}{144}

, 8.

11

, 9.

\frac{1}{256}

, 10.

4

, 11.

1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

ReyLRI9kQG5zw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXOiMFq1lH3JJ31

Ćwiczenie 23

Poniżej umieszczono pewne działania. Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach.

- 64 \cdot 3^{- 1} \cdot {(- 2)}^{- 3} \cdot 27

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{5} \cdot 3^{6}

, 2.

2^{3} \cdot 3^{2}

, 3.

2^{7} \cdot 3

, 4.

2^{7} \cdot 3^{3}

128 \cdot 9 \cdot 2^{- 2} : 3^{0} \cdot {(- 3)}^{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{5} \cdot 3^{6}

, 2.

2^{3} \cdot 3^{2}

, 3.

2^{7} \cdot 3

, 4.

2^{7} \cdot 3^{3}

{(- 2)}^{13} : 64 \cdot 3^{- 3} \cdot (- 81)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{5} \cdot 3^{6}

, 2.

2^{3} \cdot 3^{2}

, 3.

2^{7} \cdot 3

, 4.

2^{7} \cdot 3^{3}

- 243 \cdot 3^{- 2} \cdot 32 : 2 : {(- 2)}^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2^{5} \cdot 3^{6}

, 2.

2^{3} \cdot 3^{2}

, 3.

2^{7} \cdot 3

, 4.

2^{7} \cdot 3^{3}

Połącz w pary.

$- 64 \cdot 3^{- 1} \cdot (- 2)^{- 3} \cdot 27$
$128 \cdot 9 \cdot 2^{- 2} : 3^{0} \cdot (- 3)^{4}$
$(- 2)^{13} : 64 \cdot 3^{- 3} \cdot (- 81)$
$- 243 \cdot 3^{- 2} \cdot 32 : 2 : (- 2)^{- 3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

Załóżmy, że $a \neq 0$ . Zapisz wyrażenie w postaci jednej potęgi.

$(a^{9} \cdot a^{- 4}) : (a^{- 3} \cdot a)$
$a^{8} : [a^{- 9} : (a^{- 2} \cdot a^{4})]$
$\frac{a^{- 3} \cdot a^{2} : a^{- 2}}{a^{- 4} : a^{6}}$
$\frac{a^{3} \cdot [(a^{- 4} \cdot a^{5}) : (a^{- 3} \cdot a^{3})]}{a^{8} : (a^{- 2} \cdot a)}$

RCmRUwFK1LgzI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a^{7}$
$a^{19}$
$a^{11}$
$a^{- 5}$