Ostrosłupy i ich własności Ludzie od najdawniejszych czasów tworzyli budowle o geometrycznych kształtach. Kiedy szukamy najbardziej znanych przykładów ostrosłupów w architekturze, najczęściej trafiamy na egipskie piramidy. W dawnym Egipcie powstały: Wielka Piramida Cheopsa, Piramida Chefrena i Piramida Mykerinosa oraz kilka mniejszych. Piramida Cheopsa została nawet zaliczona do siedmiu cudów świata.
Riu2uoX7aNGJ3 1 Mapa Egiptu z zaznaczonymi piramidami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Podstawą piramidy jest kwadrat, a ściany boczne są jednakowymi równoramiennymi trójkątami.
Powstało wiele budynków i obiektów mających kształt zbliżony do piramid. Nie nazwiemy ich piramidami, ponieważ podstawami nie są kwadraty, lecz na przykład: trójkąt, sześciokąt lub inne wielokąty. Jeżeli pozostałe ściany są w kształcie trójkąta, to mówimy, że budynki i obiekty mają kształt ostrosłupa.
RYDpSYcd590l4 1 Zdjęcia dwóch budowli o elementach w kształcie figur przestrzennych. Pierwsza budowla ma kształt ostrosłupa i jest wykonana z granitu. Druga budowla również ma kształt ostrosłupa i jest pokryta szkłem.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Jednym z ciekawszych ostrosłupów jest konstrukcja umieszczona przed budynkiem Muzeum Luwr w Paryżu.
Kształt ostrosłupa mogą mieć dachy domów, kościołów czy zamków.
Ważne!
Ostrosłup to figura przestrzenna, która ma podstawę w kształcie wielokąta, a jej ściany boczne są trójkątami.
RpZzXwAPcI9x0 1 Rysunek ostrosłupa. Zaznaczona podstawa, krawędź boczna, ściana boczna, wierzchołek ostrosłupa, wierzchołek podstawy i krawędź podstawy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 1
Rysowanie ostrosłupa.
RtNiyKM2XvE0p 1 Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować ostrosłup.
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować ostrosłup.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RtNiyKM2XvE0p
Objetosc graniastoslupa. Jednostki objetosci_atrapa_1936
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować ostrosłup.
RPtBCWFtYXcH0 1 Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować ostrosłup prawidłowy trójkątny.
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować ostrosłup prawidłowy trójkątny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RPtBCWFtYXcH0
Objetosc graniastoslupa. Jednostki objetosci_atrapa_1938
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować ostrosłup prawidłowy trójkątny.
1
Ćwiczenie 1
RH70UQcLewMuk Uzupełnij, przeciągając nazwy ostrosłupów przedstawionych na rysunku.
Uzupełnij, przeciągając nazwy ostrosłupów przedstawionych na rysunku.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPW8XbQi7Ioma Nazwij opisane niżej ostrosłupy. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ostrosłup obrócony w lewą stronę, który ma cztery ściany boczne, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup stojący w pionie, który ma trzy ściany boczne, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup stojący do góry nogami, który ma w podstawie sześciokąt, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup pochylony, który ma w podstawie trójkąt, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup stojący w pionie, który ma pięć ścian bocznych, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup pochylony, który ma w podstawie czworokąt, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.
Nazwij opisane niżej ostrosłupy. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ostrosłup obrócony w lewą stronę, który ma cztery ściany boczne, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup stojący w pionie, który ma trzy ściany boczne, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup stojący do góry nogami, który ma w podstawie sześciokąt, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup pochylony, który ma w podstawie trójkąt, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup stojący w pionie, który ma pięć ścian bocznych, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.Ostrosłup pochylony, który ma w podstawie czworokąt, nazwiemy ostrosłupem 1. trójkątnym, 2. sześciokątnym, 3. pięciokątnym, 4. trójkątnym, 5. czworokątnym, 6. czworokątnym, 7. sześciokątnym, 8. pięciokątnym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
REjJ7mb7Hr3IZ 1
Ćwiczenie 2
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Ostrosłup pięciokątny ma 6 ścian bocznych., 2. Jeżeli ostrosłup ma 20 krawędzi, to ma 11 ścian., 3. W ostrosłupie siedmiokątnym suma liczby krawędzi bocznych i wierzchołków podstawy jest równa 15 ., 4. Ostrosłup dziewięciokątny ma 3 razy więcej krawędzi niż ostrosłup trójkątny.
Ostrosłup pięciokątny ma 6 ścian bocznych.
Jeżeli ostrosłup ma 20 krawędzi, to ma 11 ścian.
W ostrosłupie siedmiokątnym suma liczby krawędzi bocznych i wierzchołków podstawy jest równa 15 .
Ostrosłup dziewięciokątny ma 3 razy więcej krawędzi niż ostrosłup trójkątny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RKLTwi1hqgJMZ 2
Ćwiczenie 3
Wszystkie krawędzie pewnego ostrosłupa czworokątnego są jednakowej długości, równej 5 cm . Ile wynosi suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 20 cm , 2. 25 cm , 3. 40 cm , 4. 45 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Kp6QP7bE4XY Ćwiczenie 4
Wszystkie ściany boczne pewnego ostrosłupa pięciokątnego są jednakowymi trójkątami równoramiennymi o ramionach długości 12 cm . Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa 110 cm . Jaką długość ma krawędź podstawy? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Krawędź podstawy ma długość Tu uzupełnij cm .
Wszystkie ściany boczne pewnego ostrosłupa pięciokątnego są jednakowymi trójkątami równoramiennymi o ramionach długości 12 cm . Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa 110 cm . Jaką długość ma krawędź podstawy? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Krawędź podstawy ma długość Tu uzupełnij cm .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Siatki ostrosłupów 2
Ćwiczenie 5
R1aWndTVXNgSW Zaznacz wszystkie figury, które są siatkami ostrosłupów.
Zaznacz wszystkie figury, które są siatkami ostrosłupów.
130713
130718
130719
130720
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ROvFtMF5PQgfa Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Z dwóch kwadratów o bokach długości a i czterech trójkątów równoramiennych o ramionach długości a można zbudować siatkę ostrosłupa., 2. Z jednego kwadratu o boku długości a i czterech trójkątów równoramiennych o boku długości a można zbudować siatkę ostrosłupa., 3. Z czterech trójkątów równobocznych można zbudować siatkę ostrosłupa., 4. Z trzech trójkątów równoramiennych można zbudować siatkę ostrosłupa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Siatka ostrosłupa
R1XOBhBMzviN0 1 Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.
Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1XOBhBMzviN0
Matematyka_3D_5007
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.
RKxRBN1v8PaXp 1 Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka – powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.
Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka – powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RKxRBN1v8PaXp
Matematyka_3D_5006
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka – powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.
3
Ćwiczenie 6
Narysuj siatkę ostrosłupa czworokątnego o podstawie kwadratowej, którego wszystkie krawędzie mają długość 3 cm .
Rx8jKEiMOcMI7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Wyobraź sobie siatkę ostrosłupa czworokątnego o podstawie kwadratowej, którego wszystkie krawędzie mają długość 3 cm . Z jakich figur składa się ta siatka?
R1Tm17QkL3a1O (Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Pamiętaj, że każda siatka ostrosłupa musi się składać z figury, która jest jego podstawą i odpowiedniej liczby trójkątów, które są ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
Pokaż odpowiedź Przykładowa siatka:
R4TLrtsPCiimr 1 Rysunek siatki ostrosłupa o podstawie kwadratu. Rozwiązanie zadania.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Siatka składa się z kwadratu o boku 3 cm i czterech trójkątów równobocznych o boku 3 cm .
3
Ćwiczenie 7
Narysuj dwie różne siatki ostrosłupa, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi o boku długości 2 cm .
RTRSAM751uV2T
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Wyobraź sobie siatkę ostrosłupa, który ma cztery ściany i wszystkie jego krawędzie mają długość 2 cm . Z jakich figur składa się ta siatka?
R1HRbiNqQjLiN (Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Pamiętaj, że każda siatka ostrosłupa musi się składać z figury, która jest jego podstawą i odpowiedniej liczby trójkątów, które są ścianami bocznymi tego ostrosłupa. W tym przypadku figura, która będzie podstawą, również będzie trójkątem.
Pokaż odpowiedź Przykładowe siatki:
RKZtMtUf0AGTx 1 Rysunek dwóch różnych siatek ostrosłupa, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. Rozwiązanie zadania.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Siatka składa się z czterech trójkątów równobocznych o boku 2 cm .