W tym materiale zapoznasz się z definicją funkcji oraz podstawowymi pojęciami dotyczącymi funkcji. Nauczysz się tworzyć różne przyporządkowania oraz wyznaczać dziedzinę i zbiór wartości funkcji. Nim przystąpisz do pracy możesz przypomnieć sobie zależności pomiędzy wielkościami w materiale Proste modelowanie matematyczne - przykłady zależności między wielkościamiPNNCS0RQyProste modelowanie matematyczne - przykłady zależności między wielkościami.

Funkcja
Definicja: Funkcja
  • Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru Y.

Dziedzina funkcji
Definicja: Dziedzina funkcji

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji.

Przeciwdziedzina funkcji
Definicja: Przeciwdziedzina funkcji

Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji, a każdy element y tego zbioru, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x, nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y=fx.

Symbolicznie funkcję f określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y zapisujemy w postaci

f:XY.
Zbiór wartości funkcji
Definicja: Zbiór wartości funkcji

Zbiór złożony ze wszystkich elementów, które są wartościami funkcji f dla wszystkich argumentów dziedziny, nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy ZW.

Przykład 1

Wyznaczmy dziedzinę i zbiór wartości funkcji f:XY przedstawionej za pomocą poniższego grafu.

RyjEKX9Iw5wiZ
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez X zbiór imion dzieci oraz przez Y zbiór liczb liter występujących w poszczególnych imionach.

Dziedziną funkcji f jest zbiór X={Janek, Ala, Anetka, Kasia, Krysia, Adam}. Jest to zbiór 6–elementowy. Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór ZW=3,4,5,6. Jest to zbiór 4–elementowy.

Przykład 2

Wyznaczmy dziedzinę i zbiór wartości funkcji f:XY przedstawionej za pomocą poniższego grafu.

R13uNFm9RhjOs1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez X – zbiór liczb wyrażających liczbę boków wielokąta oraz przez Y – zbiór liczb wyrażających liczbę przekątnych poprowadzonych z jednego wierzchołka danego wielokąta.

Dziedziną funkcji f jest zbiór 6–elementowy X=3,4,5,6,7,8.

Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór Y=0,1,2,3,4,5. Jest to zbiór 6–elementowy.

1
Ćwiczenie 1
RsSVSqXmRBC4o
Który z poniższych grafów przedstawia funkcję f:XY? Zaznacz poprawną odpowiedź.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R10yrFPnzN9YD
Uzupełnij luki podanymi pojęciami w taki sposób, aby przykłady przedstawiały funkcje. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Funkcja przyporządkowuje nazwom izotopów wodoru ich symbole: prot: 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3, deuter: 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3, tryt: 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3.Funkcja przyporządkowuje układom organy je współtworzące: układ krwionośny 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3, układ nerwowy 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3, układ kostny 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3, układ limfatyczny 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3, układ pokarmowy 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3.Funkcja przyporządkowuje podanym figurom ich pole powierzchni: prostokąt o bokach a=2b=8: 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3, kwadrat o boku a=4: 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3, trójkąt o podstawie a=2 i wysokości na nią upuszczonej h=16: 1. P=8, 2. H1, 3. P=16, 4. włosy, 5. serce, 6. rdzeń kręgowy, 7. P=16, 8. H2, 9. język, 10. P=32, 11. śledziona, 12. H4, 13. P=16, 14. rzepka, 15. H3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1H8TWcgz68Zg1
Ćwiczenie 2
Rozstrzygnij, czy opisane przyporządkowanie jest funkcją, czy nie. Zaznacz odpowiedzi zawierające opis funkcji. Możliwe odpowiedzi: 1. Każdej osobie jest przyporządkowany numer PESEL., 2. Każdej klasie jest przyporządkowany nauczyciel, pełniący funkcję głównego wychowawcy., 3. Każdemu samochodowi jest przyporządkowany numer podwozia., 4. Każdemu człowiekowi jest przyporządkowana grupa krwi, 5. Każdemu dziecku jest przyporządkowane rodzeństwo., 6. Każdemu imieniu przyporządkowujemy ucznia mojej klasy., 7. Każdemu nauczycielowi przyporządkowujemy klasy, w których uczy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RCk5JaouxmKgU1
Ćwiczenie 3
Rozstrzygnij, czy opisane przyporządkowanie jest funkcją, czy nie. Zaznacz odpowiedzi zawierające opis funkcji. Możliwe odpowiedzi: 1. Każdemu z miast Wilnu, Rzymowi, Pradze, Helsinkom jest przyporządkowana nazwa państwa, którego to miasto jest stolicą., 2. Każdej osobie jest przyporządkowana masa jej ciała., 3. Każdej roślinie jest przyporządkowana nazwa rodziny, do której należy., 4. Każdy osobie jest przyporządkowany numer telefonu., 5. Każdej mamie jest przyporządkowane tylko jedno dziecko., 6. Każdej z ocen przyporządkowujemy osoby, które otrzymały daną ocenę z ostatniego sprawdzianu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Polecenie 1

Podaj przykład przyporządkowania, będącego funkcją, które można utworzyć, wykorzystując dane zawarte w:

  1. dowodzie osobistym,

  2. paszporcie.

R1GIotjjhQZ042
Ćwiczenie 4
Wybierz zbiór Y tak, aby przyporządkowanie f:XY określało funkcję. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. X= zbiór książek
    Y= 1. zbiór liczb wyrażających liczbę stron, 2. zbiór nazw gatunków, 3. zbiór liczb wyrażających pole powierzchnię, 4. zbiór liczb liter występujących w imieniu, 5. zbiór numerów PESELX= zbiór miast
    Y= 1. zbiór liczb wyrażających liczbę stron, 2. zbiór nazw gatunków, 3. zbiór liczb wyrażających pole powierzchnię, 4. zbiór liczb liter występujących w imieniu, 5. zbiór numerów PESELX= zbiór zwierząt
    Y= 1. zbiór liczb wyrażających liczbę stron, 2. zbiór nazw gatunków, 3. zbiór liczb wyrażających pole powierzchnię, 4. zbiór liczb liter występujących w imieniu, 5. zbiór numerów PESELX= zbiór mieszkańców Polski
    Y= 1. zbiór liczb wyrażających liczbę stron, 2. zbiór nazw gatunków, 3. zbiór liczb wyrażających pole powierzchnię, 4. zbiór liczb liter występujących w imieniu, 5. zbiór numerów PESELX= zbiór imion
    Y= 1. zbiór liczb wyrażających liczbę stron, 2. zbiór nazw gatunków, 3. zbiór liczb wyrażających pole powierzchnię, 4. zbiór liczb liter występujących w imieniu, 5. zbiór numerów PESEL
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Polecenie 2

Podaj przykład takich dwóch przyporządkowań, które są funkcjami. Określ w każdym przypadku dziedzinę i zbiór wartości funkcji.

Polecenie 3

Podaj przykład takich dwóch przyporządkowań, które nie są funkcjami.

R14vYDVuvVZGV
Ćwiczenie 5
Uzupełnij poniższe zdania tak, aby opisywały one funkcje. Zaznacz poprawne dokończenie zdania, klikając we właściwą odpowiedź. Każdemu trójkątowi przyporządkowujemy jego obwód. miarę jego kąta rozwartego.Każdemu czworokątowi przyporządkowujemy miary jego kątów ostrych. liczbę jego boków.Każdemu wielokątowi przyporządkowujemy jego przekątną. sumę miar jego kątów wewnętrznych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 6

W okresie wakacyjnym dokonano pomiarów temperatur powietrza w wybranych miejscowościach nadmorskich. W wyniku utworzonego zestawienia okazało się, że w miastach takich jak: Kołobrzeg, Ustka i Łeba temperatura powietrza osiągnęła tylko jedną z dwóch następujących wartości: 32°C albo 29°C.

Ile można utworzyć różnych przyporządkowań f:XY będących funkcjami. Czy ich liczba ulegnie zmianie, jeśli rozważymy przyporządkowania g:YX?

Odpowiedź uzasadnij.

RHFyD2rdmQzni1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RqzXgvWR7Pty5
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.