Materiał zawiera zadania dotyczące: okręgów oraz wzajemnego położenia dwóch okręgów lub prostej i okręgu. Jeżeli chcesz przypomnieć sobie podstawowe wiadomości zajrzyj do materiałów Koła i okręgiPFnUSfojkKoła i okręgi oraz Wzajemne położenie prostej i okręguPJiWzrpoPWzajemne położenie prostej i okręgu. Natomiast jeśli chcesz poznać konstrukcje stycznych do okręgu zapoznaj się z materiałem Konstrukcje stycznej do okręguPYMwsCusTKonstrukcje stycznej do okręgu.
1
Ćwiczenie 1
Który element na rysunku uznasz za koło, a który za okrąg?
Który element monety uznasz za koło, a który za okrąg?
RtgCRl3x0voW71
RSrBu7jQhKGai
Pamiętaj, że okrąg, to zbiór wszystkich punktów równo odległych od środka okręgu, a koło to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka koła jest mniejsza lub równa długości jego promienia.
Złote wnętrze monety to koło, a okręgiem będzie sam brzeg monety.
1
Ćwiczenie 2
Za pomocą cyrkla narysuj poniższe kwiatki.
R9G7q8VuND5qX1
Zaprojektuj wzorek zbudowany z okręgów.
R8EYuHkLNU0S6
Opisz, jak za pomocą okręgów można skonstruować rysunek kwiatka.
RkMJBxh70z3Bd
Zastanów się, z ilu jednakowych elementów zbudowane są powyższe kwiatki.
Prosty rysunek kwiatka może składać się tylko z jego środka oraz kilku płatków.
Pierwszy kwiatek składa się z czterech przystających półokręgów. Środki tych półokręgów są wierzchołkami kwadratu o przekątnej długości . Drugi kwiatek jest złożeniem pierwszego kwiatka i jego obrazów w obrocie dookoła punktu styczności. Trzeci kwiatek składa się z sześciu przystających okręgów, których środkami są wierzchołki sześciokąta foremnego o boku równym promieniowi okręgów.
Wzorek może wyglądać w ten sposób.
R13TEdI8ZcMy9
Jeden okrąg będzie środkiem kwiatka. Reszta rysowanych okręgów, o środkach w okolicach brzegu pierwszego okręgu, będzie tworzyć płatki.
1
Ćwiczenie 3
Narysuj okrąg o środku w punkcie i promieniu . Zaznacz na okręgu dwa różne punkty i .
Jaką długość ma średnica tego okręgu?
Jaką długość ma odcinek ?
Jaką największą długość może mieć odcinek ?
RGVZJtiM2llId
Pamiętaj, że średnica każdego okręgu jest dwa razy większa od jego promienia.
R2p5DulL0OoVm
Ćwiczenie 3
R13OKi8WQYAiK1
Ćwiczenie 4
R1DTu6KJqbopE1
Ćwiczenie 5
RFH1ZuzCWYjOR2
Ćwiczenie 6
RLNZHsAt2EOKD2
Ćwiczenie 7
R1MeIfVpH22d22
Ćwiczenie 8
R1BWzMdGGmueV2
Ćwiczenie 9
2
Ćwiczenie 10
Rnv2zvd7ZXntt
2
Ćwiczenie 11
Narysuj okrąg o środku w punkcie i dowolnym promieniu. Zaznacz punkt leżący na tym okręgu. Skonstruuj dwoma sposobami styczną do okręgu przechodzącą przez punkt .
R19hGMqemgd2K
Opisz konstrukcje stycznej do okręgu o środku w punkcie i dowolnym promieniu przechodzącej przez punkt leżący na tym okręgu. Zrób to na dwa sposoby.
RLpfH0EPKGiDL
Skorzystaj z konstrukcji stycznej do okręgu, przechodzącej przez dany punkt leżący na okręgu.
RYxyAqZRIfOKD
Sposób Przez punkty i prowadzimy prostą. Na powstałej prostej zaznaczamy punkt w taki sposób, aby odcinek miał taką samą długość jak odcinek . Możemy zauważyć, że punkt znajduje się dokładnie w połowie odcinka . Konstruujemy symetralną odcinka . Otrzymana prosta to styczna do okręgu w punkcie . Sposób Wyznaczamy odcinek . Następnie kreślimy łuk o środku w punkcie i promieniu tak, aby przecinał bazowy okrąg w jednym miejscu. Punkt przecięcia łuku i okręgu oznaczamy jako punkt . Przez punkty i prowadzimy prostą. Na prostej zaznaczamy punkt w taki sposób, aby długość odcinka była taka sama jak długość odcinka . Możemy zauważyć, że punkt znajduje się w połowie odcinka . Ostatecznie prowadzimy prostą przechodzącą przez punkty i . Narysowana prosta to styczna do okręgu o środku w punkcie .
2
Ćwiczenie 12
Narysuj okrąg o środku w punkcie i dowolnym promieniu. Zaznacz punkt nieleżący na tym okręgu. Skonstruuj styczne do okręgu przechodzące przez punkt .
RrpyRGCHe9p03
Opisz konstrukcje stycznych do okręgu o środku w punkcie i dowolnym promieniu przechodzących przez punkt nieleżący na tym okręgu.
RTVbW3TmyHoI3
Skorzystaj z konstrukcji stycznej do okręgu przechodzącej przez dany punkt nieleżący na okręgu.
R19BK6Lor1hfK
W pierwszym kroku kreślimy odcinek , a następnie wyznaczamy symetralną tego odcinka. Punkt przecięcia symetralnej z odcinkiem oznaczamy punktem . Następnie kreślimy łuk o środku w tym punkcie i promieniu równym (ponieważ punkt znajduje się w połowie odcinka to odcinki i są równej długości), który przecina nasz okrąg bazowy w dwóch miejscach. Punkty przecięcia łuku z okręgiem oznaczamy jako i . Ostatecznie kreślimy proste przechodzące przez punkty i oraz i . Narysowane proste to styczne do okręgu o środku w punkcie , przechodzące przez punkt .
2
Ćwiczenie 13
Dany jest okrąg o środku w punkcie i punkt nieleżący na tym okręgu.
Z punktu poprowadzono dwie proste styczne do okręgu odpowiednio w punktach i . Proste i przecinają się pod kątem . Oblicz miarę kąta .
R1J8gi1WLaxKn
R8MlG0alw0VVg
RtLi2qezmUcTO2
Ćwiczenie 14
RCtKHKGYhFIoG2
Ćwiczenie 15
R1Gmi1FMSZWBN2
Ćwiczenie 16
2
Ćwiczenie 17
RQmn0wpmYP8rD
RsjC14Ajm41qB2
Ćwiczenie 18
R1IFEQz6QvP5b2
Ćwiczenie 19
3
Ćwiczenie 20
Ile różnych okręgów może przechodzić przez dwa różne punkty?
A przez trzy? A przez cztery? Uzasadnij odpowiedź.
RfknLM7PmkgrO
Dwa różne punkty mogą być dwoma wierzchołkami nieskończenie wielu trójkątów. Na każdym trójkącie można opisać okrąg.
Trzy różne punkty niewspółliniowe są wierzchołkami trójkąta. Na każdym trójkącie można opisać jeden okrąg.
Przez dwa różne punkty może przechodzić nieskończenie wiele okręgów.
Przez trzy różne punkty współliniowe nie przechodzi okrąg.
Przez trzy różne punkty niewspółliniowe przechodzi jeden okrąg.
Przez cztery różne punkty nie może przechodzić okrąg, jeśli co najmniej trzy z nich są współliniowe lub gdy te cztery różne punkty są wierzchołkami czworokąta, na którym nie można opisać okręgu.
Przez cztery różne punkty może przechodzić jeden okrąg, jeśli są one wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.
Ciekawostka
Można udowodnić, że jeśli przez punkt nieleżący na okręgu przechodzą dwie proste styczne do tego okręgu odpowiednio w punktach oraz , to .
3
Ćwiczenie 21
Pani Aneta ma na działce trawnik w kształcie koła o promieniu . Chce wysypać żwirem ścieżki. Oblicz łączną długość tych ścieżek. Na rysunku ścieżkom odpowiadają odcinki: , , , . Przy czym .