Materiał zawiera zadania dotyczące: okręgów oraz wzajemnego położenia dwóch okręgów lub prostej i okręgu. Jeżeli chcesz przypomnieć sobie podstawowe wiadomości zajrzyj do materiałów Koła i okręgiPFnUSfojkKoła i okręgi oraz Wzajemne położenie prostej i okręguPJiWzrpoPWzajemne położenie prostej i okręgu. Natomiast jeśli chcesz poznać konstrukcje stycznych do okręgu zapoznaj się z materiałem Konstrukcje stycznej do okręguPYMwsCusTKonstrukcje stycznej do okręgu.
1
Ćwiczenie 1
Który element na rysunku uznasz za koło, a który za okrąg?
Który element monety uznasz za koło, a który za okrąg?
RtgCRl3x0voW71
Grafika przedstawia awers monety pięciozłotowej pochodzącej z tysiąc dziewięćset dziewięćdziesiątego czwartego roku. Przedstawiona jest na niej podobizna orła z napisem Rzeczpospolita Polska.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSrBu7jQhKGai
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Pamiętaj, że okrąg, to zbiór wszystkich punktów równo odległych od środka okręgu, a koło to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka koła jest mniejsza lub równa długości jego promienia.
Złote wnętrze monety to koło, a okręgiem będzie sam brzeg monety.
1
Ćwiczenie 2
Za pomocą cyrkla narysuj poniższe kwiatki.
R9G7q8VuND5qX1
Trzy kwiatki narysowane za pomocą cyrkla.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zaprojektuj wzorek zbudowany z okręgów.
R8EYuHkLNU0S6
Szkicownik.
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Opisz, jak za pomocą okręgów można skonstruować rysunek kwiatka.
RkMJBxh70z3Bd
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Zastanów się, z ilu jednakowych elementów zbudowane są powyższe kwiatki.
Prosty rysunek kwiatka może składać się tylko z jego środka oraz kilku płatków.
Pierwszy kwiatek składa się z czterech przystających półokręgów. Środki tych półokręgów są wierzchołkami kwadratu o przekątnej długości . Drugi kwiatek jest złożeniem pierwszego kwiatka i jego obrazów w obrocie dookoła punktu styczności. Trzeci kwiatek składa się z sześciu przystających okręgów, których środkami są wierzchołki sześciokąta foremnego o boku równym promieniowi okręgów.
Wzorek może wyglądać w ten sposób.
R13TEdI8ZcMy9
Rysunek kwiatka zbudowany z okręgów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Jeden okrąg będzie środkiem kwiatka. Reszta rysowanych okręgów, o środkach w okolicach brzegu pierwszego okręgu, będzie tworzyć płatki.
1
Ćwiczenie 3
Narysuj okrąg o środku w punkcie i promieniu . Zaznacz na okręgu dwa różne punkty i .
Jaką długość ma średnica tego okręgu?
Jaką długość ma odcinek ?
Jaką największą długość może mieć odcinek ?
RGVZJtiM2llId
Szkicownik.
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pamiętaj, że średnica każdego okręgu jest dwa razy większa od jego promienia.
R2p5DulL0OoVm
Ćwiczenie 3
Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu równym . Zaznaczono na okęgu dwa różne punkty i . Jaką największą długość może mieć odcinek ? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R13OKi8WQYAiK1
Ćwiczenie 4
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Okrąg o środku w punkcie i promieniu to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu Możliwe odpowiedzi: 1. jest równa ., 2. jest mniejsza lub równa ., 3. jest większa lub równa ., 4. jest równa .
jest równa
jest mniejsza lub równa
jest większa lub równa
jest równa
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DTu6KJqbopE1
Ćwiczenie 5
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Koło o środku w punkcie i promieniu to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu Możliwe odpowiedzi: 1. jest równa ., 2. jest mniejsza lub równa ., 3. jest większa lub równa ., 4. jest równa .
jest równa
jest mniejsza lub równa
jest większa lub równa
jest równa
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFH1ZuzCWYjOR2
Ćwiczenie 6
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Promieniem okręgu nazywamy Możliwe odpowiedzi: 1. każdą z cięciw., 2. każdy odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu, a drugi leży na okręgu., 3. każdy odcinek, którego końce leżą na okręgu., 4. każdą z cięciw, która przechodzi przez środek okręgu.
każdą z cięciw
każdy odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu, a drugi leży na okręgu
każdy odcinek, którego końce leżą na okręgu
każdą z cięciw, która przechodzi przez środek okręgu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLNZHsAt2EOKD2
Ćwiczenie 7
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Średnicą okręgu nazywamy Możliwe odpowiedzi: 1. każdą z cięciw., 2. odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu, a drugi leży na okręgu., 3. cięciwę, do której należy środek okręgu., 4. każdy odcinek, którego końce leżą na okręgu.
każdą z cięciw
odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu, a drugi leży na okręgu
cięciwę, do której należy środek okręgu
każdy odcinek, którego końce leżą na okręgu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MeIfVpH22d22
Ćwiczenie 8
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Cięciwą okręgu nazywamy Możliwe odpowiedzi: 1. odcinek równy długości połowy średnicy., 2. każdy odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu, a drugi leży na okręgu., 3. połowę średnicy., 4. każdy odcinek, którego końce leżą na okręgu.
odcinek równy długości połowy średnicy
każdy odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu, a drugi leży na okręgu
połowę średnicy
każdy odcinek, którego końce leżą na okręgu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1BWzMdGGmueV2
Ćwiczenie 9
Uzupełnij poniższe zdania podanymi słowami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Jeśli prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem, to odległość środka okręgu od prostej jest 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa od promienia okręgu.Jeśli prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, to odległość środka okręgu od prostej jest 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa promieniowi okręgu.Jeśli prosta ma dwa różne punkty wspólne z okręgiem, to odległość środka okręgu od tej prostej jest 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa od promienia okręgu.Jeśli prosta jest 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa do okręgu, to kąt między tą prostą a promieniem poprowadzonym z punktu 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa jest kątem prostym.
Uzupełnij poniższe zdania podanymi słowami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Jeśli prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem, to odległość środka okręgu od prostej jest 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa od promienia okręgu.Jeśli prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, to odległość środka okręgu od prostej jest 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa promieniowi okręgu.Jeśli prosta ma dwa różne punkty wspólne z okręgiem, to odległość środka okręgu od tej prostej jest 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa od promienia okręgu.Jeśli prosta jest 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa do okręgu, to kąt między tą prostą a promieniem poprowadzonym z punktu 1. mniejsza, 2. większa, 3. styczności, 4. styczna, 5. równa jest kątem prostym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10
Rnv2zvd7ZXntt
Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu oraz prosta . > Określ, jak położona jest ta prosta względem okręgu, jeżeli odległość punktu od tej prostej jest równa podanym poniżej długościom. Połącz odpowiednie elementy w pary. Możliwe odpowiedzi: 1. sieczna, 2. nie ma punktów wspólnych z okręgiem, 3. styczna Możliwe odpowiedzi: 1. sieczna, 2. nie ma punktów wspólnych z okręgiem, 3. styczna Możliwe odpowiedzi: 1. sieczna, 2. nie ma punktów wspólnych z okręgiem, 3. styczna
Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu oraz prosta . > Określ, jak położona jest ta prosta względem okręgu, jeżeli odległość punktu od tej prostej jest równa podanym poniżej długościom. Połącz odpowiednie elementy w pary. Możliwe odpowiedzi: 1. sieczna, 2. nie ma punktów wspólnych z okręgiem, 3. styczna Możliwe odpowiedzi: 1. sieczna, 2. nie ma punktów wspólnych z okręgiem, 3. styczna Możliwe odpowiedzi: 1. sieczna, 2. nie ma punktów wspólnych z okręgiem, 3. styczna
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11
Narysuj okrąg o środku w punkcie i dowolnym promieniu. Zaznacz punkt leżący na tym okręgu. Skonstruuj dwoma sposobami styczną do okręgu przechodzącą przez punkt .
R19hGMqemgd2K
Szkicownik.
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Opisz konstrukcje stycznej do okręgu o środku w punkcie i dowolnym promieniu przechodzącej przez punkt leżący na tym okręgu. Zrób to na dwa sposoby.
RLpfH0EPKGiDL
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Skorzystaj z konstrukcji stycznej do okręgu, przechodzącej przez dany punkt leżący na okręgu.
RYxyAqZRIfOKD
Na grafice ukazane są dwa okręgi o środku w punkcie S. Na obu rysunkach zaznaczono punkt W, leżący na okręgu. Dwoma sposobami skonstruowano styczną do okręgu, przechodzącą przez punkt W.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Sposób Przez punkty i prowadzimy prostą. Na powstałej prostej zaznaczamy punkt w taki sposób, aby odcinek miał taką samą długość jak odcinek . Możemy zauważyć, że punkt znajduje się dokładnie w połowie odcinka . Konstruujemy symetralną odcinka . Otrzymana prosta to styczna do okręgu w punkcie . Sposób Wyznaczamy odcinek . Następnie kreślimy łuk o środku w punkcie i promieniu tak, aby przecinał bazowy okrąg w jednym miejscu. Punkt przecięcia łuku i okręgu oznaczamy jako punkt . Przez punkty i prowadzimy prostą. Na prostej zaznaczamy punkt w taki sposób, aby długość odcinka była taka sama jak długość odcinka . Możemy zauważyć, że punkt znajduje się w połowie odcinka . Ostatecznie prowadzimy prostą przechodzącą przez punkty i . Narysowana prosta to styczna do okręgu o środku w punkcie .
2
Ćwiczenie 12
Narysuj okrąg o środku w punkcie i dowolnym promieniu. Zaznacz punkt nieleżący na tym okręgu. Skonstruuj styczne do okręgu przechodzące przez punkt .
RrpyRGCHe9p03
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Opisz konstrukcje stycznych do okręgu o środku w punkcie i dowolnym promieniu przechodzących przez punkt nieleżący na tym okręgu.
RTVbW3TmyHoI3
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Skorzystaj z konstrukcji stycznej do okręgu przechodzącej przez dany punkt nieleżący na okręgu.
R19BK6Lor1hfK
Okrąg o środku w punkcie S. Zaznaczono punkt P, nieleżący na tym okręgu. Skonstruowano styczne do okręgu, przechodzące przez punkt P.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
W pierwszym kroku kreślimy odcinek , a następnie wyznaczamy symetralną tego odcinka. Punkt przecięcia symetralnej z odcinkiem oznaczamy punktem . Następnie kreślimy łuk o środku w tym punkcie i promieniu równym (ponieważ punkt znajduje się w połowie odcinka to odcinki i są równej długości), który przecina nasz okrąg bazowy w dwóch miejscach. Punkty przecięcia łuku z okręgiem oznaczamy jako i . Ostatecznie kreślimy proste przechodzące przez punkty i oraz i . Narysowane proste to styczne do okręgu o środku w punkcie , przechodzące przez punkt .
2
Ćwiczenie 13
Dany jest okrąg o środku w punkcie i punkt nieleżący na tym okręgu.
Z punktu poprowadzono dwie proste styczne do okręgu odpowiednio w punktach i . Proste i przecinają się pod kątem . Oblicz miarę kąta .
R1J8gi1WLaxKn
Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie S. Poprowadzono dwie styczne do tego okręgu, jedną w punkcie A, a drugą w punkcie B. Styczne przecinają się ze sobą w punkcie P i tworzą kąt 70 stopni. Zaznaczono na niebiesko kąt środkowy B S A.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8MlG0alw0VVg
Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Miara kąta wynosi Tu uzupełnij.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Miara kąta wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RtLi2qezmUcTO2
Ćwiczenie 14
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Okręgi o wspólnym środku mają jednakowe promienie., 2. Średnica okręgu jest jego cięciwą., 3. Każda sieczna przecina koło dokładnie w dwóch punktach., 4. Styczna do okręgu ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.
Okręgi o wspólnym środku mają jednakowe promienie.
Średnica okręgu jest jego cięciwą.
Każda sieczna przecina koło dokładnie w dwóch punktach.
Styczna do okręgu ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RCtKHKGYhFIoG2
Ćwiczenie 15
Dany jest okrąg o środku w punkcie . Punkty oraz leżą na okręgu. Czy trójkąt jest równoramienny? Wybierz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Tak, ponieważ dwa boki trójkąta są równe promieniowi okręgu., 2. Nie, ponieważ trójkąt jest prostokątny., 3. Tak, ponieważ trójkąt jest prostokątny., 4. Nie, ponieważ dwa boki trójkąta są równe promieniowi okręgu.
Tak, ponieważ dwa boki trójkąta są równe promieniowi okręgu.
Nie, ponieważ trójkąt jest prostokątny.
Tak, ponieważ trójkąt jest prostokątny.
Nie, ponieważ dwa boki trójkąta są równe promieniowi okręgu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Gmi1FMSZWBN2
Ćwiczenie 16
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Promień okręgu jest większy od średnicy tego okręgu., 2. Cięciwa okręgu jest zawsze mniejsza od średnicy., 3. Długość promienia okręgu może być równa długości cięciwy tego okręgu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 17
RQmn0wpmYP8rD
Połącz zależności między długością odcinka łączącego środki dwóch okręgów a ich promieniami z odpowiednim rodzajem okręgów. Okręgi styczne zewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy różnicy promieni tych okręgów., 2. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy sumie promieni tych okręgów., 3. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest większy od sumy promieni tych okręgów., 4. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest mniejszy od różnicy długości promieni tych okręgów. Okręgi styczne wewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy różnicy promieni tych okręgów., 2. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy sumie promieni tych okręgów., 3. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest większy od sumy promieni tych okręgów., 4. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest mniejszy od różnicy długości promieni tych okręgów. Okręgi rozłączne zewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy różnicy promieni tych okręgów., 2. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy sumie promieni tych okręgów., 3. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest większy od sumy promieni tych okręgów., 4. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest mniejszy od różnicy długości promieni tych okręgów. Okręgi rozłączne wewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy różnicy promieni tych okręgów., 2. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy sumie promieni tych okręgów., 3. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest większy od sumy promieni tych okręgów., 4. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest mniejszy od różnicy długości promieni tych okręgów.
Połącz zależności między długością odcinka łączącego środki dwóch okręgów a ich promieniami z odpowiednim rodzajem okręgów. Okręgi styczne zewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy różnicy promieni tych okręgów., 2. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy sumie promieni tych okręgów., 3. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest większy od sumy promieni tych okręgów., 4. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest mniejszy od różnicy długości promieni tych okręgów. Okręgi styczne wewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy różnicy promieni tych okręgów., 2. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy sumie promieni tych okręgów., 3. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest większy od sumy promieni tych okręgów., 4. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest mniejszy od różnicy długości promieni tych okręgów. Okręgi rozłączne zewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy różnicy promieni tych okręgów., 2. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy sumie promieni tych okręgów., 3. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest większy od sumy promieni tych okręgów., 4. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest mniejszy od różnicy długości promieni tych okręgów. Okręgi rozłączne wewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy różnicy promieni tych okręgów., 2. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest równy sumie promieni tych okręgów., 3. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest większy od sumy promieni tych okręgów., 4. Odcinek łączący środki dwóch okręgów jest mniejszy od różnicy długości promieni tych okręgów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RsjC14Ajm41qB2
Ćwiczenie 18
Dane są okręgi i , gdzie , , . Zaznacz stwierdzenie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Okręgi te są styczne zewnętrznie., 2. Okręgi te są rozłączne., 3. Okręgi te przecinają się w dwóch punktach., 4. Okręgi te są współśrodkowe.
są styczne zewnętrznie
są rozłączne
przecinają się w dwóch punktach
są współśrodkowe
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IFEQz6QvP5b2
Ćwiczenie 19
Odległość środków okręgów stycznych zewnętrznie jest równa . Promienie pozostają w stosunku . Jaka jest ich długość? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. i , 2. i , 3. i , 4. i
i
i
i
i
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 20
Ile różnych okręgów może przechodzić przez dwa różne punkty?
A przez trzy? A przez cztery? Uzasadnij odpowiedź.
RfknLM7PmkgrO
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Dwa różne punkty mogą być dwoma wierzchołkami nieskończenie wielu trójkątów. Na każdym trójkącie można opisać okrąg.
Trzy różne punkty niewspółliniowe są wierzchołkami trójkąta. Na każdym trójkącie można opisać jeden okrąg.
Przez dwa różne punkty może przechodzić nieskończenie wiele okręgów.
Przez trzy różne punkty współliniowe nie przechodzi okrąg.
Przez trzy różne punkty niewspółliniowe przechodzi jeden okrąg.
Przez cztery różne punkty nie może przechodzić okrąg, jeśli co najmniej trzy z nich są współliniowe lub gdy te cztery różne punkty są wierzchołkami czworokąta, na którym nie można opisać okręgu.
Przez cztery różne punkty może przechodzić jeden okrąg, jeśli są one wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.
Ciekawostka
Można udowodnić, że jeśli przez punkt nieleżący na okręgu przechodzą dwie proste styczne do tego okręgu odpowiednio w punktach oraz , to .
3
Ćwiczenie 21
Pani Aneta ma na działce trawnik w kształcie koła o promieniu . Chce wysypać żwirem ścieżki. Oblicz łączną długość tych ścieżek. Na rysunku ścieżkom odpowiadają odcinki: , , , . Przy czym .
RaEkH8ao1yVzq
Na animacji przedstawiona jest działka pani Anety, która jest opisana w treści ćwiczenia.
Na animacji przedstawiona jest działka pani Anety, która jest opisana w treści ćwiczenia.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Na animacji przedstawiona jest działka pani Anety, która jest opisana w treści ćwiczenia.
RC0du3oz3QV2Z
Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Łączna długość ścieżek wynosi Tu uzupełnij .
Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Łączna długość ścieżek wynosi Tu uzupełnij .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 22
R1BtpWS366jYD
Wierzchołek czworokąta jest środkiem okręgu o promieniu . Punkty , są punktami styczności prostych i z okręgiem. Bok czworokąta ma długość . Oblicz obwód czworokąta. Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Obwód czworokąta wynosi Tu uzupełnij .
Wierzchołek czworokąta jest środkiem okręgu o promieniu . Punkty , są punktami styczności prostych i z okręgiem. Bok czworokąta ma długość . Oblicz obwód czworokąta. Uzupełnij lukę w odpowiedzi, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Obwód czworokąta wynosi Tu uzupełnij .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
