Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale poznasz definicję funkcji oraz nauczysz się określać ją na różne sposoby. Nim przystąpisz do pracy możesz przypomnieć sobie zależności pomiędzy wielkościami w materiale Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcjiDJFP4MOjsDefinicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji.

Funkcja

Definicja: Funkcja

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru $Y$ .
Symbolicznie piszemy $f$ : $X \to Y$ . Czytamy „funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$ ”.

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji $f$ .

Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element $y$ zbioru $Y$ , który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi $x$ , nazywamy wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ , co zapisujemy symbolicznie $y = f (x)$ . Zbiór $Z$ tych elementów $y$ nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Przykład 1

Dane są zbiory $X = \{1, 2, 3, 4\}$ oraz $Y = \{- 3, - 2, 0, 1\}$ . Przedstawimy różne przykłady funkcji określonych na zbiorze $X$ o wartościach ze zbioru $Y$ .

Rozważmy różne sposoby opisu funkcji.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabeli.

$x$	$f (x)$
$1$	$- 3$
$2$	$- 2$
$3$	$- 1$
$4$	$0$

Funkcja $k$ opisana jest za pomocą grafu.

RaEL3q9WasDdi1

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych elips. Graf ilustruje funkcję k:X→Y. Lewa elipsa reprezentuje zbiór liczbowy X składający się z czterech elementów: 1, 2, 3, 4; prawa elipsa reprezentuje zbiór liczbowy U składający się z czterech elementów: minus 3, minus 2, 0 oraz jeden. Wszystkie elementy ze zbioru X przyporządkowane są do elementu 0 ze zbioru Y za pomocą strzałek. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $g$ opisana jest słownie. Funkcja $g$ każdej liczbie nieparzystej ze zbioru $X$ przyporządkowuje wartość $1$ . Każdemu z pozostałych argumentów przyporządkowuje liczbę o $4$ mniejszą.

Zatem: $g (1) = g (3) = 1$ , $g (2) = 2 - 4 = - 2$ i $g (4) = 4 - 4 = 0$ .

Funkcja $w$ opisana jest za pomocą wykresu.
R19jM8WblYAvd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $z$ opisana jest za pomocą wzoru.
$z (x) = \{\begin{matrix} \begin{matrix} - 3 \\ - 2 \end{matrix} & \begin{matrix} dla \\ dla \end{matrix} & \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} dla \\ dla \end{matrix} & \begin{matrix} x = 3 \\ x = 4 \end{matrix} \end{matrix}$ .

Przykład 2

Zapoznaj się z poniższą animacją.

R1El7RbryCDlP1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Podaj przykład funkcji określonej na zbiorze $X = \{1, 4, 5, 7\}$ o wartościach ze zbioru $Y = \{- 4, - 1, 0, 1\}$ .

RMTH952tDADgz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykładem funkcji określonej na zbiorze $X = \{1, 4, 5, 7\}$ o wartościach ze zbioru $Y = \{- 4, - 1, 0, 1\}$ jest

$f (x) = \{\begin{matrix} \begin{matrix} - 4 \\ - 1 \end{matrix} & \begin{matrix} dla \\ dla \end{matrix} & \begin{matrix} x = 1 \\ x = 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} dla \\ dla \end{matrix} & \begin{matrix} x = 5 \\ x = 7 \end{matrix} \end{matrix}$ .

R1UKT6fRwrhE32

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Zapoznaj się z poniższą animacją.

RpNU2W15Drkb81

Przykład 4

Pole kwadratu o boku długości $a$ określamy wzorem $P = a^{2}$ . Wobec tego dla dowolnego $a > 0$ , funkcja $P (a) = a^{2}$ opisuje pole kwadratu o boku $a$ .

Rojzl8c8kM5Ir1

Przykład 5

Długość $d$ przekątnej kwadratu jest funkcją długości $x$ jego boku.
W szczególności $d (3) = 3 \sqrt{2}$ , a ogólnie $d (x) = x \sqrt{2}$ , dla $x > 0$ .

Przykład 6

Wysokość $h$ trójkąta równobocznego i pole $P$ tego trójkąta są funkcjami długości $a$ boku trójkąta.

W szczególności $h (6) = 3 \sqrt{3}$ , $P (4) = 4 \sqrt{3}$ , a ogólnie $h (a) = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ oraz $P (a) = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , dla $a > 0$ .

R1WjGuWtmmvat2

Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory i nierówności lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Funkcja przypisująca promieniowi

r

pole koła o tym promieniu dana jest wzorem

P (r) =

π r

, 2.

2 π r

, 3.

r < 0

, 4.

π r^{2}

, 5.

2 π r^{2}

, 6.

r < 0

, 7.

r > 0

, 8.

r > 0

dla 1.

π r

, 2.

2 π r

, 3.

r < 0

, 4.

π r^{2}

, 5.

2 π r^{2}

, 6.

r < 0

, 7.

r > 0

, 8.

r > 0

.
Funkcja przypisująca promieniowi

r

obwód koła o tym promieniu dana jest wzorem

L (r) =

π r

, 2.

2 π r

, 3.

r < 0

, 4.

π r^{2}

, 5.

2 π r^{2}

, 6.

r < 0

, 7.

r > 0

, 8.

r > 0

dla 1.

π r

, 2.

2 π r

, 3.

r < 0

, 4.

π r^{2}

, 5.

2 π r^{2}

, 6.

r < 0

, 7.

r > 0

, 8.

r > 0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Rzucamy cztery razy sześcienną kostką. Rozpatrzmy funkcję $f$ , która numerowi rzutu przyporządkowuje liczbę wyrzuconych oczek uzyskanych na kostce w tym rzucie. Wówczas dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $\{1, 2, 3, 4\}$ , a jej przeciwdziedziną zbiór $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , przy czym zbiór wartości funkcji jest co najwyżej czteroelementowy.

R1FQ6GIaEc6Nl1

Polecenie 1

Dla danej funkcji określ dziedzinę i zbiór wartości.

R15gXKFwmDoYC1

Rozwiąż poniższe przykłady. Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji.

R1P8XdwZyv13Q

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FeYjhn4VuX2

2. Wykresem funkcji jest ukośny odcinek, który ma początek w zamalowanym punkcie

(- 1; 3)

. Z prawej strony odcinek ograniczony jest niezamalowanym punktem

(2; - 3)

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie zbiory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Dziedziną tej funkcji jest zbiór 1.

⟨ 2;- 3)

, 2.

(2; - 3 ⟩

, 3.

(- 1; 2 ⟩

, 4.

⟨ - 1; 2)

.Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór 1.

⟨ 2;- 3)

, 2.

(2; - 3 ⟩

, 3.

(- 1; 2 ⟩

, 4.

⟨ - 1; 2)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ecAZn7sqAW1

3. Wykresem funkcji jest ukośny odcinek, który z lewej strony ograniczony jest niezamalowanym punktem

(- 10; 5)

. Z prawej strony odcinek ograniczony jest niezamalowanym punktem

(3; - 23)

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Dziedziną tej funkcji jest zbiór 1.

⟨ - 23; 5 ⟩

, 2.

(- 10; 3)

, 3.

⟨ - 10; 3 ⟩

, 4.

(- 23; 5)

.Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór 1.

⟨ - 23; 5 ⟩

, 2.

(- 10; 3)

, 3.

⟨ - 10; 3 ⟩

, 4.

(- 23; 5)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Funkcja $g$ , ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ , określona jest za pomocą tabeli.

Funkcja $g$
$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$g (x)$	$2$	$- 3$	$\frac{1}{2}$	$2, 7$	$\sqrt{2}$

Uzupełnij graf tej funkcji, wpisując odpowiednie liczby w puste pola.

R1CmBSLsBzfkY

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaproponuj graf tej funkcji. Określ zbiór $X$ , zbiór $Y$ oraz wszystkie przyporządkowania.

RavILft1lOiyo

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytaj z tabeli wszystkie argumenty tej funkcji i ich wartości. Zbiorem $X$ będzie zbiór wszystkich argumentów, a zbiorem $Y$ będzie zbiór wszystkich wartości tej funkcji.

Z tabeli odczytujemy, że: $g (1) = 2$ , $g (2) = - 3$ , $g (3) = \frac{1}{2}$ , $g (4) = 2, 7$ , $g (5) = \sqrt{2}$ .
W grafie jest już zaznaczone przyporządkowanie $3 \to \frac{1}{2}$ .
Następnie zauważamy, że:

argumentowi $1$ odpowiada wartość $2$ : $1 \to 2$ ,
wartość $2, 7$ odpowiada argumentowi $4$ : $4 \to 2, 7$ ,
wartość $\sqrt{2}$ odpowiada argumentowi $5$ : $5 \to \sqrt{2}$ ,
ostatnią parą jest argument $2$ i odpowiadająca mu wartość $(- 3)$ : $2 \to - 3$ .

Z tabeli odczytujemy, że: $g (1) = 2$ , $g (2) = - 3$ , $g (3) = \frac{1}{2}$ , $g (4) = 2, 7$ , $g (5) = \sqrt{2}$ .
Rysujemy dwie elipsy, jedną opisujemy jako $X$ , będzie ona zbiorem argumentów, a drugą opisujemy $Y$ , będzie ona zbiorem wartości. W pierwszą elipsę wpisujemy wszystkie argumenty funkcji, czyli $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , a w drugą elipsę wszystkie wartości funkcji, czyli $- 3$ , $\frac{1}{2}$ , $\sqrt{2}$ , $2$ , $2, 7$ . Teraz łączymy strzałkami odpowiednie elementy zbioru $X$ z elementami zbioru $Y$ :

argumentowi $1$ odpowiada wartość $2$ : $1 \to 2$ ,
wartość $2, 7$ odpowiada argumentowi $4$ : $4 \to 2, 7$ ,
wartość $\sqrt{2}$ odpowiada argumentowi $5$ : $5 \to \sqrt{2}$ ,
argumentowi $3$ odpowiada wartość $\frac{1}{2}$ : $3 \to \frac{1}{2}$ ,
ostatnią parą jest argument $2$ i odpowiadająca mu wartość $(- 3)$ : $2 \to - 3$ .

Ćwiczenie 5

Dane są zbiory $X = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ , $Y = \{- 1, 0, 1, 2, 5\}$ oraz funkcja $f : X \to Y$ taka, że

f (x) = \{\begin{matrix} 5 & dla & x < 0 \\ x - 3 & dla & x > 1 \\ x + 1 & dla & x = 0 lub x = 1 \end{matrix}

Uzupełnij tabelkę.

R16B0rVOhmPID

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Interpretujemy warunki podane we wzorze funkcji

$f (x) = 5$ dla $x < 0$ ; wynika z tego, że $f (- 2) = f (- 1) = 5$ ,
$f (x) = x - 3$ dla $x > 1$ ; wynika z tego, że $f (2) = 2 - 3 = - 1$ oraz $f (3) = 3 - 3 = 0$ ,
$f (x) = x + 1$ dla $x = 0$ lub $x = 1$ ; wynika z tego, że $f (0) = 0 + 1 = 1$ oraz $f (1) = 1 + 1 = 2$ .

Zgodnie z obliczeniami wypełniamy tabelę.

Ćwiczenie 6

R1OzYY1qle2Bd

Uczniom klasy

I a

przyporządkowane są w dzienniku kolejne numery od

1

33

. Które z poniższych przyporządkowań jest funkcją? Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Przyporządkowanie, w którym każdemu numerowi ucznia przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym się uczeń urodził, 1. jest, 2. nie jest, 3. nie jest, 4. jest funkcją.Przyporządkowanie, w którym każdemu z

7

dni tygodnia przyporządkowujemy numer z dziennika tego ucznia, który się w tym dniu urodził 1. jest, 2. nie jest, 3. nie jest, 4. jest funkcją.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Takie przyporządkowanie jest funkcją, ponieważ każdemu uczniowi jest przyporządkowany dokładnie jeden dzień tygodnia, zgodnie z dniem urodzenia.
Takie przyporządkowanie nie jest funkcją, ponieważ nie jest możliwe, aby w tym przypadku każdy dzień tygodnia miał przyporządkowany dokładnie jeden numer ucznia. W zadanym przyporządkowaniu jednemu z dni tygodnia przypisano co najmniej $5$ numerów.

Ćwiczenie 7

Funkcja $s$ każdej liczbie dwucyfrowej przypisuje sumę cyfry dziesiątek i podwojonej cyfry jedności.

Oblicz $s (37)$ .
Zapisz w tabeli wartości funkcji $s$ dla argumentów większych od $94$ .

RBZCRi7RHnzB0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że np. $s (15) = 1 + 2 \cdot 5 = 1 + 10 = 11$ .

Ponieważ cyfrą dziesiątek liczby $37$ jest $3$ , a jej cyfrą jedności jest $7$ , to $s (37) = 3 + 2 \cdot 7 = 3 + 14 = 17$ .
Obliczamy: $s (95) = 9 + 2 \cdot 5 = 19$ , $s (96) = 9 + 2 \cdot 6 = 21$ , $s (97) = 9 + 2 \cdot 7 = 23$ , $s (98) = 9 + 2 \cdot 8 = 25$ , $s (99) = 9 + 2 \cdot 9 = 27$ . W tabeli zapisujemy obliczone wartości.

$x$	$s (x)$
$95$	$19$
$96$	$21$
$97$	$23$
$98$	$25$
$99$	$27$

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ , określonej na zbiorze $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ .

RyOJc0qEfJ9lU1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z sześciu punktów o następujących współrzędnych: -2;-2, -1;3, 0;3, 1;2, 2;5 oraz 3;3. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RG7ah73GFrv7K

$f (- 2) + f (2) = 0$
$f (- 1) + f (0) = 6$
$f (0) + f (1) = f (2)$
$f (- 2) + f (0) + f (2) + 1 = f (- 1) + f (1) + f (3)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytujemy z wykresu: $f (- 2) = - 2$ , $f (- 1) = 3$ , $f (0) = 3$ , $f (1) = 2$ , $f (2) = 5$ , $f (3) = 3$ . Wynika stąd, że
$f (- 2) + f (2) = - 2 + 5 = 3 \neq 0$ ,
$f (- 1) + f (0) = 3 + 3 = 6$ ,
$f (0) + f (1) = 3 + 2 = 5 = f (2)$ ,
$f (- 2) + f (0) + f (2) + 1 = - 2 + 3 + 5 + 1 = 7$ ,
$f (- 1) + f (1) + f (3) = 3 + 2 + 3 = 8$ , czyli $f (- 2) + f (0) + f (2) + 1 \neq f (- 1) + f (1) + f (3)$ .

Ćwiczenie 9

R19O6Vn9IGdI5

$f (0) = 3$
$f (- 1) = 0$
$f (1) + f (2) = 10$
$f (3) = f (- 3)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy: $f (- 1) = 6$ , $f (0) = 3$ , $f (1) = 4$ , $f (2) = 9$ , $f (3) = 18$ .

Wynika stąd, że
$f (0) = 2 \cdot 0^{2} - 0 + 3 = 3$ ,
$f (- 1) = 2 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3 = 2 + 1 + 3 = 6 \neq 0$ ,
$f (1) = 2 \cdot 1^{2} - 1 + 3 = 4$ , $f (2) = 2 \cdot 2^{2} - 2 + 3 = 9$ czyli $f (1) + f (2) = 4 + 9 = 13 \neq 10$ ,
$f (3) = 2 \cdot 3^{2} - 3 + 3 = 18$ , $f (- 3) = 2 \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3) + 3 = 24$ czyli $f (3) \neq f (- 3)$ .

Ćwiczenie 10

W klasie jest $31$ uczniów. Każdemu z nich na zakończenie roku szkolnego została wystawiona pozytywna ocena z matematyki. Uzasadnij, że wśród uczniów jest co najmniej siedmiu takich, którzy na zakończenie roku szkolnego uzyskali taką samą ocenę z matematyki.

R1I1pYTQb67Kk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zwróć uwagę, że nikt nie otrzymał oceny negatywnej, zatem zakładamy, że nikt nie dostał jedynki. Spróbuj przeprowadzić dowód nie wprost, to znaczy sprawdź czy jest możliwe, aby każda ocena została przyporządkowana co najwyżej $6$ uczniom.

Wykażemy ten fakt za pomocą dowodu nie wprost.

Załóżmy przeciwnie, że każdemu z uczniów tej klasy wystawiono ocenę i każda ocena została przyporządkowana co najwyżej $6$ uczniom. Ponieważ przypisujemy każdemu z uczniów ocenę ze zbioru pięcioelementowego $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ (nie ma oceny $1$ ), to ogółem uczniów, którym wystawiono oceny jest nie więcej niż $5 \cdot 6$ , czyli $30$ . Ale to jest niemożliwe, bo przecież w tej klasie jest $31$ uczniów.
Otrzymana sprzeczność pokazuje, że w tej klasie jest co najmniej $7$ uczniów, którzy uzyskali tę samą ocenę z matematyki.

Ćwiczenie 11

Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o $n$ wierzchołkach $(n \geq 3)$ .

Oznaczmy:

przez $w (n)$ liczbę wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa,

przez $k (n)$ liczbę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa,

przez $s (n)$ liczbę wszystkich ścian tego graniastosłupa.

Wyznacz: $w (3)$ , $k (4)$ , $s (5)$ .
Wyznacz: $w (31)$ , $k (28)$ , $s (17)$ .
Dla ustalonej liczby naturalnej $n \geq 3$ podaj wzory funkcji: $w (n)$ , $k (n)$ , $s (n)$ .
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 3$ prawdziwa jest równość $w (n) + s (n) - k (n) = 2$ .

RASs0HWwUPgan

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt o $n$ wierzchołkach, to

Wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest tyle, ile w sumie wierzchołków w każdej z dwóch podstaw.
Wobec tego $w (n) = 2 n$ .

Wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest tyle, ile jest krawędzi bocznych i krawędzi w każdej z podstaw razem. Ale krawędzi w każdej z podstaw jest tyle, ile jest tam wierzchołków (czyli $n$ ), a także krawędzi bocznych jest tyle, ile wierzchołków w jednej z podstaw.
Wynika z tego, że $k (n) = 3 n$ .

Wszystkich ścian tego graniastosłupa jest tyle, ile jest podstaw i ścian bocznych razem. Ale podstawy są $2$ , a ścian bocznych jest tyle, ile krawędzi w jednej z podstaw.
A zatem $s (n) = n + 2$ .

Stosujemy otrzymane wzory

$w (3) = 2 \cdot 3 = 6$ , $k (4) = 3 \cdot 4 = 12$ , $s (5) = 5 + 2 = 7$ ,
$w (31) = 2 \cdot 31 = 62$ , $k (28) = 3 \cdot 28 = 84$ , $s (17) = 17 + 2 = 19$ ,
$w (n) = 2 n$ , $k (n) = 3 n$ , $s (n) = n + 2$ ,
dla dowolnego $n \geq 3$ : $w (n) + s (n) - k (n) = 2 n + n + 2 - 3 n = 2$ .

$w (3) = 6$ , $k (4) = 12$ , $s (5) = 7$ ,
$w (31) = 62$ , $k (28) = 84$ , $s (17) = 19$
$w (n) = 2 n$ , $k (n) = 3 n$ , $s (n) = n + 2$
dla dowolnego $n \geq 3$ : $w (n) + s (n) - k (n) = 2 n + n + 2 - 3 n = 2$ , a to właśnie należało udowodnić.