Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W naszym otoczeniu często spotykamy duże liczby. Ceny niektórych produktów zapisane są za pomocą liczb wielocyfrowych – rower kosztuje ponad 400 zł, a komputer około 4000 zł. Podróżując, pokonujemy duże odległości. Z Warszawy do Paryża jest 1400 km, a do Nowego Jorku 6900 km. Dzięki umiejętności liczenia na dużych liczbach wiemy, że komputer jest droższy od roweru 10 razy, a Paryż jest o 5500 km bliżej Warszawy niż Nowy Jork.

Do rachunków na takich liczbach nie zawsze potrzebujemy kalkulatora, niektóre można wykonać w pamięci. Jeśli umiemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pamięciowo małe liczby, to powinniśmy poradzić sobie także z działaniami na niektórych większych liczbach.

Przykład 1
RJO98WsMXT3OJ1
Animacja przedstawia przykłady pamięciowego dodawania liczb zakończonych zerami.
Przykład 2

Jeśli wiemy, że 2+7=9, to dodawanie liczb 2070 sprowadza się do dodania 27 oraz dopisania do wyniku, czyli 9, zera.

R1Nh2EeNMZXvJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Analogicznie dodajemy 200700. Znów dodajemy 27 i dopisujemy do wyniku, czyli 9, dwa zera. Dodając 2000 7000 postępujemy tak samo. Dodajemy 27, a do wyniku dopisujemy trzy zera.

Większe liczby dodajemy podobnie.

R9jxHtYZUg85q1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Podobnie jak w poprzednim przykładzie dodajemy większe liczby.

R1PGjAwxaKN8g1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 4
RqyLusAN19XJu1
Animacja przedstawia przykłady pamięciowego odejmowania liczb zakończonych zerami.
Przykład 5
RDNqvAMuBIxfc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1eu9H5wlckC11
Ćwiczenie 1
Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 3700+5100=1. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 45900014000+25000=391. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 45903900+4500=1. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 459000270000+540000=1. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 459000009200+4600=1381. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 459012000+97000=1. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 45900005300+200=551. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 459023000+8000=311. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 4590400+1200=1. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 459000434000+25000=1. 008, 2. 16, 3. 81, 4. 161, 5. 000, 6. 00000, 7. 00, 8. 459, 9. 88, 10. 0000, 11. 84, 12. 459, 13. 109, 14. 00, 15. 000, 16. 4590000
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rnc8fWQbxoIUY11
Ćwiczenie 2
Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. 8900-5400=Tu uzupełnij0076000-15000=Tu uzupełnij0006700-2500=42Tu uzupełnij4200000-4100000=Tu uzupełnij000008200-8000=2Tu uzupełnij36000-27000=9Tu uzupełnij9700-4000=57Tu uzupełnij830000-8000=Tu uzupełnij0001100-20=108Tu uzupełnij22200-500=217Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Qb1fSRoDS5V11
Ćwiczenie 3
Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 300+1800=1. 92000, 2. 30000, 3. 2100, 4. 6200, 5. 116000, 6. 40000, 7. 1000, 8. 53000, 9. 11600, 10. 62000, 11. 10000, 12. 119200, 13. 400000, 14. 247000, 15. 5900, 16. 53006700-500=1. 92000, 2. 30000, 3. 2100, 4. 6200, 5. 116000, 6. 40000, 7. 1000, 8. 53000, 9. 11600, 10. 62000, 11. 10000, 12. 119200, 13. 400000, 14. 247000, 15. 5900, 16. 53002000+2400+1500=1. 92000, 2. 30000, 3. 2100, 4. 6200, 5. 116000, 6. 40000, 7. 1000, 8. 53000, 9. 11600, 10. 62000, 11. 10000, 12. 119200, 13. 400000, 14. 247000, 15. 5900, 16. 5300100000-35000-12000=1. 92000, 2. 30000, 3. 2100, 4. 6200, 5. 116000, 6. 40000, 7. 1000, 8. 53000, 9. 11600, 10. 62000, 11. 10000, 12. 119200, 13. 400000, 14. 247000, 15. 5900, 16. 530018000-6400=1. 92000, 2. 30000, 3. 2100, 4. 6200, 5. 116000, 6. 40000, 7. 1000, 8. 53000, 9. 11600, 10. 62000, 11. 10000, 12. 119200, 13. 400000, 14. 247000, 15. 5900, 16. 5300230000+17000=1. 92000, 2. 30000, 3. 2100, 4. 6200, 5. 116000, 6. 40000, 7. 1000, 8. 53000, 9. 11600, 10. 62000, 11. 10000, 12. 119200, 13. 400000, 14. 247000, 15. 5900, 16. 530024000+8000-2000=1. 92000, 2. 30000, 3. 2100, 4. 6200, 5. 116000, 6. 40000, 7. 1000, 8. 53000, 9. 11600, 10. 62000, 11. 10000, 12. 119200, 13. 400000, 14. 247000, 15. 5900, 16. 53007500+2500=1. 92000, 2. 30000, 3. 2100, 4. 6200, 5. 116000, 6. 40000, 7. 1000, 8. 53000, 9. 11600, 10. 62000, 11. 10000, 12. 119200, 13. 400000, 14. 247000, 15. 5900, 16. 5300
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka

Wiadomo, że:

12+21=33=3·11
123+321=444=4·111
234+432=666=6·111
123456+654321=777777=7·111111.

Zastanów się, jakich liczb dotyczy ta zależność. Czy wszystkich? A może składniki sum coś łączy? Podaj kilka kolejnych przykładów.

Pokaż przykładową odpowiedźazurewhite

Jeśli potrafimy mnożyć w pamięci liczby w zakresie 100, to poradzimy sobie również z mnożeniem niektórych dużych liczb.

Najłatwiej mnożyć liczby przez 10, 100, 1000, 10000 itd.

RJuJAvE4l3qAo1
Ćwiczenie 4
Wykonaj wskazane w tabeli mnożenia, używając kalkulatora. Uzupełnij komórki tabeli, wpisując odpowiednie wartości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!
  • Aby pomnożyć liczbę przez 10, wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu jedno zero.

  • Aby pomnożyć liczbę przez 100, wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu dwa zera.

  • Aby pomnożyć liczbę przez 1000, wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu trzy zera.

  • Aby pomnożyć liczbę przez 10000, wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu cztery zera.

Przykład 6

Jak pomnożyć daną liczbę przez 20, 30, 40, 50, lub przez 200, 300, 400, 500, ? Czy jest to równie proste?

R1ObVTcbuRSeP1
Animacja przedstawia przykład pamięciowego mnożenia liczb zakończonych zerami.
Przykład 7
R1ZZO1C86Who91
Animacja przedstawia przykłady pamięciowego mnożenia liczb zakończonych zerami.
Ważne!

Jeśli mnożymy liczby, które są zakończone zerami, to:

  • mnożymy liczby, które zostaną po odrzuceniu zer,

  • do otrzymanego wyniku dopisujemy tyle zer, ile łącznie odrzuciliśmy.

R7UGddomogCiL21
Ćwiczenie 5
Uzupełnij poniższe luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakujące liczby dla każdej równości. 30·600=181. 350, 2. 35, 3. 9000, 4. 80, 5. 3000, 6. 1600000, 7. 0000, 8. 800, 9. 900, 10. 000, 11. 16000000, 12. 300500·700=1. 350, 2. 35, 3. 9000, 4. 80, 5. 3000, 6. 1600000, 7. 0000, 8. 800, 9. 900, 10. 000, 11. 16000000, 12. 3000000200·8000=1. 350, 2. 35, 3. 9000, 4. 80, 5. 3000, 6. 1600000, 7. 0000, 8. 800, 9. 900, 10. 000, 11. 16000000, 12. 300 400·1. 350, 2. 35, 3. 9000, 4. 80, 5. 3000, 6. 1600000, 7. 0000, 8. 800, 9. 900, 10. 000, 11. 16000000, 12. 300=3600001. 350, 2. 35, 3. 9000, 4. 80, 5. 3000, 6. 1600000, 7. 0000, 8. 800, 9. 900, 10. 000, 11. 16000000, 12. 300·2000=16000070·1. 350, 2. 35, 3. 9000, 4. 80, 5. 3000, 6. 1600000, 7. 0000, 8. 800, 9. 900, 10. 000, 11. 16000000, 12. 300=21000
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 8

Dzielenie i mnożenie są działaniami wzajemnie odwrotnymi, stąd:

  • 13·10=130, zatem 130:10=13

  • 50·10=500, zatem 500:10=50

  • 2700·10=27000, zatem 27000:10=2700

  • 4000·10=40000, zatem 40000:10=4000

Porównaj zapis dzielnej i ilorazu. Czym różnią się zapisy tych liczb?

Ważne!

Jeżeli dzielimy przez 10 liczbę zakończoną zerem (lub zerami), to jako wynik zapisujemy dzielną bez jednego zera na końcu.

Przykład 9

Dzielenie przez 100 możemy zastąpić dwukrotnym dzieleniem przez 10.

  • 4500:100=4500:10:10=450:10=45, czyli 4500:100=45

  • 6000:100=6000:10:10=600:10=60, czyli 6000:100=60

  • 970000:100=970000:10:10=97000:10=9700, czyli 970000:100=9700

Porównaj zapis dzielnej i ilorazu. Czym teraz różnią się zapisy tych liczb?

Ważne!
  • Jeżeli dzielimy przez 100 liczbę zakończoną zerami, to jako wynik zapisujemy dzielną z opuszczonymi na końcu dwoma zerami.

  • Podobnie zapisujemy wynik dzielenia przez 1000, 10000, 100000, Wynikiem jest odpowiednio dzielna bez trzech, czterech, pięciu, zer na końcu.

Przykład 10
R1RlNhbxCL5Zq1
Animacja przedstawia przykłady pamięciowego dzielenia liczb zakończonych zerami.
Przykład 11

Przyjrzyj się poniższym przykładom, w których pokazano, jak można ułatwić dzielenie, gdy w dzielnej i dzielniku jest inna liczba zer.

  • 2400:8=300

  • 1800:20=180:2=90

  • 5600000:28000=5600:28=200

RBbvWNAitwprz21
Ćwiczenie 6
Uzupełnij luki, wpisując w nie odpowiednie liczby. 270:10=Tu uzupełnij1450:10=Tu uzupełnij2400:100=Tu uzupełnij7600:10=Tu uzupełnijTu uzupełnij:1000=234600:Tu uzupełnij=46590000=Tu uzupełnij=590Tu uzupełnij:10=3200
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R12Uc3QCj5FpX21
Ćwiczenie 7
Uzupełnij luki, wpisując w nie odpowiednie liczby. 2800:400=Tu uzupełnij480:60=Tu uzupełnij2600:200=Tu uzupełnij81000:9000=Tu uzupełnij3000:500=Tu uzupełnijTu uzupełnij:300=5Tu uzupełnij:70=6035000:Tu uzupełnij=50
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgbaaeKXxGr2h2
Ćwiczenie 8
Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 24000:30=1. 780, 2. 800, 3. 8000, 4. 20, 5. 80, 6. 400, 7. 9000, 8. 1020, 9. 9200, 10. 800, 11. 880, 12. 790, 13. 40, 14. 800, 15. 800, 16. 300, 17. 5300, 18. 4000, 19. 82400:300=1. 780, 2. 800, 3. 8000, 4. 20, 5. 80, 6. 400, 7. 9000, 8. 1020, 9. 9200, 10. 800, 11. 880, 12. 790, 13. 40, 14. 800, 15. 800, 16. 300, 17. 5300, 18. 4000, 19. 820·40=1. 780, 2. 800, 3. 8000, 4. 20, 5. 80, 6. 400, 7. 9000, 8. 1020, 9. 9200, 10. 800, 11. 880, 12. 790, 13. 40, 14. 800, 15. 800, 16. 300, 17. 5300, 18. 4000, 19. 880000:10=1. 780, 2. 800, 3. 8000, 4. 20, 5. 80, 6. 400, 7. 9000, 8. 1020, 9. 9200, 10. 800, 11. 880, 12. 790, 13. 40, 14. 800, 15. 800, 16. 300, 17. 5300, 18. 4000, 19. 8400·2=1. 780, 2. 800, 3. 8000, 4. 20, 5. 80, 6. 400, 7. 9000, 8. 1020, 9. 9200, 10. 800, 11. 880, 12. 790, 13. 40, 14. 800, 15. 800, 16. 300, 17. 5300, 18. 4000, 19. 886000:4300=1. 780, 2. 800, 3. 8000, 4. 20, 5. 80, 6. 400, 7. 9000, 8. 1020, 9. 9200, 10. 800, 11. 880, 12. 790, 13. 40, 14. 800, 15. 800, 16. 300, 17. 5300, 18. 4000, 19. 820·2·20=1. 780, 2. 800, 3. 8000, 4. 20, 5. 80, 6. 400, 7. 9000, 8. 1020, 9. 9200, 10. 800, 11. 880, 12. 790, 13. 40, 14. 800, 15. 800, 16. 300, 17. 5300, 18. 4000, 19. 880000:200=1. 780, 2. 800, 3. 8000, 4. 20, 5. 80, 6. 400, 7. 9000, 8. 1020, 9. 9200, 10. 800, 11. 880, 12. 790, 13. 40, 14. 800, 15. 800, 16. 300, 17. 5300, 18. 4000, 19. 8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RsFhK9OjeY3hW31
Ćwiczenie 9
Nie wykonując obliczeń, uzupełnij luki znakiem: >, < lub =. 1100+2600 Tu uzupełnij 990+260090000+20000 Tu uzupełnij 10000008400-2500 Tu uzupełnij 8400-240010000-1 Tu uzupełnij 999+999360:40 Tu uzupełnij 3600:40050·600  Tu uzupełnij 3000
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1cmTx9tD1R3B31
Ćwiczenie 10
Pan Kowalski kilka razy w tygodniu wypłacał pieniądze z banku.

Uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie kwoty. W poniedziałek otrzymał 10 banknotów po 100 , czyli Tu uzupełnij .We wtorek otrzymał 100 banknotów po 50 , czyli Tu uzupełnij .W czwartek otrzymał 350 banknotów po 10 , czyli Tu uzupełnij .W piątek otrzymał 30 banknotów po 200 , czyli Tu uzupełnij .W sobotę pan Kowalski obliczył, że w ciągu tego tygodnia wypłacił razem Tu uzupełnij .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MmBTPPD9spD31
Ćwiczenie 11
Pani Jola, mieszkanka Warszawy, postanowiła zwiedzić kilka innych stolic. Najpierw poleciała do Tokio, a stamtąd do Pekinu. Przed powrotem do Warszawy zwiedziła jeszcze Kair. W informacji turystycznej dowiedziała się, że z Warszawy do Tokio jest 8600 km, z Tokio do Pekinu – 2100 km, z Pekinu do Kairu – 7500 km, a z Kairu do Warszawy – 2600 km. Jaką łączną długość miała trasa, którą pokonała pani Jola podczas tej wycieczki? Wpisz w lukę prawidłową odpowiedź. Odpowiedź: Trasa miała długość Tu uzupełnij km.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka

Łatwo możemy pomnożyć w pamięci dwie liczby dwucyfrowe trochę mniejsze od 100, na przykład 9695.

Aby wykonać takie działanie, musimy najpierw znaleźć liczby, które są dopełnieniami czynników do 100, czyli w przypadku 96 jest to 4
(tyle brakuje do 100), a w przypadku 95 jest to 5 (tyle brakuje do 100).

Mamy następującą sytuację:

964·955=.

Zaczynamy zapisywać wynik tego mnożenia.

Na początku odejmujemy od dowolnego czynnika liczbę, która jest dopełnieniem drugiego czynnika. Otrzymujemy liczbę 91 (96-5 lub 95-4), która jest początkiem wyniku mnożenia.
Następnie do tej liczby dopisujemy iloczyn liczb, które są dopełnieniami, czyli 20 4·5. Gdy iloczyn dopełnień jest liczbą jednocyfrową, poprzedzamy go cyfrą 0.

964·955=9120.

W ten sposób można wprawdzie mnożyć dowolne liczby dwucyfrowe, ale gdy są one znacznie mniejsze niż 100, to rachunki pamięciowe są uciążliwe.

Spróbuj pomnożyć w ten sposób inne liczby.