Rachunki pamięciowe na dużych liczbach
W naszym otoczeniu często spotykamy duże liczby. Ceny niektórych produktów zapisane są za pomocą liczb wielocyfrowych – rower kosztuje ponad , a komputer około . Podróżując, pokonujemy duże odległości. Z Warszawy do Paryża jest , a do Nowego Jorku . Dzięki umiejętności liczenia na dużych liczbach wiemy, że komputer jest droższy od roweru razy, a Paryż jest o bliżej Warszawy niż Nowy Jork.
Do rachunków na takich liczbach nie zawsze potrzebujemy kalkulatora, niektóre można wykonać w pamięci. Jeśli umiemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pamięciowo małe liczby, to powinniśmy poradzić sobie także z działaniami na niektórych większych liczbach.
Jeśli wiemy, że , to dodawanie liczb i sprowadza się do dodania i oraz dopisania do wyniku, czyli , zera.
Analogicznie dodajemy i . Znów dodajemy i i dopisujemy do wyniku, czyli , dwa zera. Dodając i postępujemy tak samo. Dodajemy i , a do wyniku dopisujemy trzy zera.
Większe liczby dodajemy podobnie.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie dodajemy większe liczby.
Wiadomo, że:
Zastanów się, jakich liczb dotyczy ta zależność. Czy wszystkich? A może składniki sum coś łączy? Podaj kilka kolejnych przykładów.
Jeśli potrafimy mnożyć w pamięci liczby w zakresie , to poradzimy sobie również z mnożeniem niektórych dużych liczb.
Najłatwiej mnożyć liczby przez , , , itd.
Aby pomnożyć liczbę przez , wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu jedno zero.
Aby pomnożyć liczbę przez , wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu dwa zera.
Aby pomnożyć liczbę przez , wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu trzy zera.
Aby pomnożyć liczbę przez , wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu cztery zera.
Jak pomnożyć daną liczbę przez , , , , lub przez , , , , ? Czy jest to równie proste?
Jeśli mnożymy liczby, które są zakończone zerami, to:
mnożymy liczby, które zostaną po odrzuceniu zer,
do otrzymanego wyniku dopisujemy tyle zer, ile łącznie odrzuciliśmy.
Dzielenie i mnożenie są działaniami wzajemnie odwrotnymi, stąd:
, zatem
, zatem
, zatem
, zatem
Porównaj zapis dzielnej i ilorazu. Czym różnią się zapisy tych liczb?
Jeżeli dzielimy przez liczbę zakończoną zerem (lub zerami), to jako wynik zapisujemy dzielną bez jednego zera na końcu.
Dzielenie przez możemy zastąpić dwukrotnym dzieleniem przez .
, czyli
, czyli
, czyli
Porównaj zapis dzielnej i ilorazu. Czym teraz różnią się zapisy tych liczb?
Jeżeli dzielimy przez liczbę zakończoną zerami, to jako wynik zapisujemy dzielną z opuszczonymi na końcu dwoma zerami.
Podobnie zapisujemy wynik dzielenia przez , , , Wynikiem jest odpowiednio dzielna bez trzech, czterech, pięciu, zer na końcu.
Przyjrzyj się poniższym przykładom, w których pokazano, jak można ułatwić dzielenie, gdy w dzielnej i dzielniku jest inna liczba zer.
Łatwo możemy pomnożyć w pamięci dwie liczby dwucyfrowe trochę mniejsze od , na przykład i .
Aby wykonać takie działanie, musimy najpierw znaleźć liczby, które są dopełnieniami czynników do , czyli w przypadku jest to
(tyle brakuje do ), a w przypadku jest to (tyle brakuje do ).
Mamy następującą sytuację:
Zaczynamy zapisywać wynik tego mnożenia.
Na początku odejmujemy od dowolnego czynnika liczbę, która jest dopełnieniem drugiego czynnika. Otrzymujemy liczbę ( lub ), która jest początkiem wyniku mnożenia.
Następnie do tej liczby dopisujemy iloczyn liczb, które są dopełnieniami, czyli . Gdy iloczyn dopełnień jest liczbą jednocyfrową, poprzedzamy go cyfrą .
W ten sposób można wprawdzie mnożyć dowolne liczby dwucyfrowe, ale gdy są one znacznie mniejsze niż , to rachunki pamięciowe są uciążliwe.
Spróbuj pomnożyć w ten sposób inne liczby.