Wielokąty podobne
W tym materiale zawarte są wiadomości na temat wielokątów podobnych, w szczególności wielokątów foremnych i prostokątów. Poznasz też złoty prostokąt, wykorzystywany często w architekturze i sztuce. Rozwiązując ćwiczenia – sprawdzisz ukształtowane umiejętności.
Podobieństwo wielokątów
Rysunki przedstawiają wielokąty. W każdej parze oba wielokąty mają tę samą liczbę boków.
Określ, które z rysunków nie przedstawiają wielokątów podobnych i dlaczego.
Jeśli dwa wielokąty o tej samej liczbie boków wyraźnie różnią się kształtem, od razu możemy powiedzieć, że nie są podobne. W przeciwnym wypadku, trudno od razu stwierdzić lub wykluczyć ich podobieństwo.
Zaobserwuj, jakie cechy wspólne mają wielokąty podobne.
Odpowiedź:
Wielokąty podobne mają odpowiednie kąty równe.
Czworokąty na rysunku są podobne.
Najdłuższy bok czworokąta to , a najkrótszy to . Najdłuższy bok wielokąta to , a najkrótszy to .
Obliczmy w obu wielokątach stosunek boku najdłuższego do najkrótszego.
Zauważmy, że stosunki te są równe. Obliczmy jeszcze odpowiadające sobie stosunki pozostałych boków.
W każdym przypadku stosunek dwóch boków w jednym wielokącie jest równy stosunkowi odpowiednich boków w drugim wielokącie.
Zauważmy, że wielokąt jest obrazem wielokąta w skali , zatem miary odpowiednich kątów tych wielokątów są równe.
W wielokątach podobnych odpowiednie boki są proporcjonalne. Odpowiednie kąty w tych wielokątach są równe.
Trzy kąty czworokąta są równe: , , . Trzy kąty czworokąta są równe: , , .
Wykaż, że czworokąty te nie są podobne.
Korzystając z tego, że suma kątów czworokąta jest równa , obliczymy miarę czwartego z kątów w czworokącie i miarę czwartego kąta w czworokącie .
Kąty czworokąta są więc równe: , , , ,
a kąty czworokąta : , , , .
Czworokąty mają dwa kąty o różnych miarach, nie są więc wielokątami podobnymi.
Trapez prostokątny jest podobny do trapezu . Podstawy trapezu mają długości i . Wysokość tego trapezu jest równa .
Wysokość trapezu jest równa . Oblicz obwód trapezu .
Aby obliczyć obwód trapezu , trzeba znać długości jego wszystkich boków.
Obliczmy najpierw długość ramienia trapezu . Niech będzie wysokością trapezu poprowadzoną z wierzchołka .
Trójkąt jest prostokątny, możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
bo
Wysokość trapezu jest równa , a trapezu jest równa .
Zatem trapez jest podobny do trapezu w skali
Niech , , , będą bokami trapezu odpowiadającymi odpowiednio bokom , , , trapezu .
Obliczamy długości boków trapezu .
Obliczamy obwód trapezu.
Obwód trapezu jest równy .
Miary kątów czworokąta są równe miarom kątów czworokąta . Boki wielokąta mają długości , , i . Boki wielokąta mają długości , , , .
Podobieństwo czworokątów sprawdzimy dwoma sposobami.
sposób :
Sprawdzamy, czy stosunki długości boków w czworokącie są równe odpowiednim stosunkom długości boków w czworokącie .
Zapiszmy długości boków obu wielokątów w kolejności rosnącej, uzyskamy w ten sposób w kolumnach pary odpowiadających sobie boków.
Wielokąt | Wielokąt |
---|---|
Badamy równość odpowiednich stosunków.
Nie wszystkie z zapisanych stosunków są równe, zatem choć miary ich kątów są równe, wielokąty nie są podobne.
sposób :
Sprawdzamy, czy boki obu czworokątów są proporcjonalne.
Boki nie są proporcjonalne – czworokąty nie są podobne.
Podobieństwo wielokątów foremnych
Rysując przekątne pięciokąta foremnego, otrzymujemy wielokąt gwiaździsty, zwany pentagramem. Pentagram uważany był przez pitagorejczyków za symbol doskonałości.
Z pentagramu można otrzymać gwiazdę pięcioramienną, która występuje na flagach wielu państw.
Zastanówmy się, czy pięciokąt, w który jest wpisany pentagram, i pięciokąt, na którym zbudowane są ramiona pentagramu, to wielokąty podobne.
W każdym z tych pięciokątów miara kąta wewnętrznego wynosi .
Pięciokąty te mają więc równe kąty.
Ponieważ wszystkie boki pięciokąta foremnego są równe, zatem boki większego z pięciokątów i mniejszego są proporcjonalne.
Stwierdzamy zatem, że wielokąty te są podobne.
Zauważmy, że w podobny sposób można uzasadnić podobieństwo wielokątów foremnych o tej samej liczbie boków.
Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.
Obwód sześciokąta foremnego jest równy . Sześciokąt jest podobny do sześciokąta w skali . Oblicz długość dłuższej przekątnej sześciokąta .
W sześciokącie wszystkie boki są równe. Zatem długość jednego boku wynosi
Sześciokąt jest podobny do sześciokąta foremnego, jest więc również sześciokątem foremnym.
Długość jego boku wynosi
Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego przecinając się, tworzą trójkąty równoboczne. Przekątna zatem jest dwa razy dłuższa od boku sześciokąta.
Dłuższa przekątna sześciokąta ma długość .
Podobieństwo prostokątów
Wiemy już, że dwa wielokąty są podobne, gdy mają równe kąty i odpowiednie ich boki są proporcjonalne.
W prostokącie każdy kąt ma miarę , więc dla każdych dwóch prostokątów zawsze jest spełniony pierwszy z warunków podobieństwa.
Zatem do stwierdzenia podobieństwa prostokątów wystarczy zbadanie proporcjonalności ich odpowiednich boków.
Sprawdzimy, czy koperty o standardowych rozmiarach na , na i na są w kształcie prostokątów podobnych.
sposób :
Badamy, czy boki odpowiednich prostokątów są proporcjonalne.
i : , , – prostokąty nie są podobne;
i : , , – można przyjąć, że prostokąty są podobne;
i : , , – prostokąty nie są podobne
sposób :
Obliczymy w każdym z prostokątów, odpowiadających kopertom, stosunek szerokości do długości.
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń możemy przyjąć, że jedynie koperty o symbolach i są w kształcie prostokątów podobnych.
Wykaż, że jeżeli dwa prostokąty są podobne w skali , to stosunek ich obwodów jest równy .
Rozważmy prostokąt o bokach długości i oraz prostokąt podobny do niego w skali .
Wówczas prostokąt ma boki długości i .
Obliczamy obwody prostokątów.
Obliczamy stosunek obwodów prostokątów i .
Stosunek obwodów prostokątów jest równy skali podobieństwa , co należało wykazać.
Narysujmy prostokąt o bokach , . Do dłuższego boku dobudujmy kwadrat.
Powstał w ten sposób prostokąt o bokach , .
Jeżeli dla boków tego prostokąta spełniony jest warunek
to taki prostokąt nazywamy złotym prostokątem.
Złoty prostokąt wykorzystywany był często w architekturze antycznej, romańskiej oraz sztuce renesansu i klasycyzmu.
Określ współrzędne wierzchołków wielokąta podobnego w skali do wielokąta , gdy:
,
,
,
.
Wykaż, że podobne są prostokąty, w których:
Kąty, pod jakimi przecinają się ich przekątne, mają równe miary.
Odpowiadające sobie kąty pomiędzy przekątnymi, a bokami mają równe miary.
Narysuj czworokąt podobny w skali do czworokąta o wierzchołkach: , , , .
Wyznacz współrzędne wierzchołków czworokąta podobnego w skali do czworokąta o wierzchołkach: , , , .