Wielokąty podobne - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są wiadomości na temat wielokątów podobnych, w szczególności wielokątów foremnych i prostokątów. Poznasz też złoty prostokąt, wykorzystywany często w architekturze i sztuce. Rozwiązując ćwiczenia – sprawdzisz ukształtowane umiejętności.

Podobieństwo wielokątów

RIQsGwDPVhnDy1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Rysunki przedstawiają wielokąty. W każdej parze oba wielokąty mają tę samą liczbę boków.

Określ, które z rysunków nie przedstawiają wielokątów podobnych i dlaczego.

R1cL9w9574hsU1

Rysunki wielokątów. Na pierwszym rysunku pięciokąt wypukły i pięciokąt wklęsły. Na drugim rysunku dwa różne sześciokąty wklęsłe. Na trzecim rysunku dwa sześciokąty foremne o bokach różnej długości. Na czwartym rysunku dwie strzałki złożone z odcinków różnej długości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli dwa wielokąty o tej samej liczbie boków wyraźnie różnią się kształtem, od razu możemy powiedzieć, że nie są podobne. W przeciwnym wypadku, trudno od razu stwierdzić lub wykluczyć ich podobieństwo.

Przykład 2

Zaobserwuj, jakie cechy wspólne mają wielokąty podobne.

R1GlAAFbHSfwg1

Odpowiedź:

Wielokąty podobne mają odpowiednie kąty równe.

Przykład 3

Czworokąty na rysunku są podobne.

R8wnRYb217ka31

Rysunek dwóch czworokątów podobnych. W czworokącie A B C D boki mają długości: AB =5, BC =6, CD =2 i DA =4. W czworokącie E F G H boki mają długości: EF =3, FG =1, GH =2 i HE =2,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najdłuższy bok czworokąta $A B C D$ to $B C$ , a najkrótszy to $D C$ . Najdłuższy bok wielokąta $E F G H$ to $E F$ , a najkrótszy to $F G$ .

Obliczmy w obu wielokątach stosunek boku najdłuższego do najkrótszego.

\frac{|B C|}{|C D|} = \frac{6}{2} = 3

\frac{|E F|}{|F G|} = \frac{3}{1} = 3

Zauważmy, że stosunki te są równe. Obliczmy jeszcze odpowiadające sobie stosunki pozostałych boków.

\frac{|A B|}{|A D|} = \frac{5}{4} = 1, 25

\frac{|E H|}{|H G|} = \frac{2, 5}{2} = 1, 25

W każdym przypadku stosunek dwóch boków w jednym wielokącie jest równy stosunkowi odpowiednich boków w drugim wielokącie.

Zauważmy, że wielokąt $E F G H$ jest obrazem wielokąta $A B C D$ w skali $1 : 2$ , zatem miary odpowiednich kątów tych wielokątów są równe.

Ważne!

W wielokątach podobnych odpowiednie boki są proporcjonalne. Odpowiednie kąty w tych wielokątach są równe.

RRartYw1O5N2W1

Rysunek dwóch podobnych sześciokątów wklęsłych. W obu wielokątach tym samym kolorem oznaczono odpowiednie boki proporcjonalne oraz odpowiednie kąty o tych samych miarach. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Trzy kąty czworokąta $F$ są równe: $20 °$ , $80 °$ , $120 °$ . Trzy kąty czworokąta $W$ są równe: $120 °$ , $80 °$ , $130 °$ .

Wykaż, że czworokąty te nie są podobne.

Korzystając z tego, że suma kątów czworokąta jest równa $360 °$ , obliczymy miarę czwartego z kątów w czworokącie $F$ i miarę czwartego kąta w czworokącie $W$ .

360 ° - (20 ° + 80 ° + 120 °) = 140 °

360 ° - (120 ° + 80 ° + 130 °) = 30 °

Kąty czworokąta $F$ są więc równe: $20 °$ , $80 °$ , $120 °$ , $140 °$ ,

a kąty czworokąta $W$ : $120 °$ , $80 °$ , $130 °$ , $30 °$ .

Czworokąty mają dwa kąty o różnych miarach, nie są więc wielokątami podobnymi.

Przykład 5

Trapez prostokątny $A B C D$ jest podobny do trapezu $E F G H$ . Podstawy trapezu $A B C D$ mają długości $20 cm$ i $29 cm$ . Wysokość tego trapezu jest równa $40 cm$ .

Wysokość trapezu $E F G H$ jest równa $25 cm$ . Oblicz obwód trapezu $E F G H$ .

RSFWaOxtYHpRQ1

Rysunek trapezu prostokątnego A B C D. Wysokość trapezu poprowadzona z wierzchołka C do dolnej podstawy CM =40 cm. Utworzony trójkąt prostokątny C M B ma przeciwprostokątną długości x oraz przyprostokątne długości 9 cm i 40 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby obliczyć obwód trapezu $E F G H$ , trzeba znać długości jego wszystkich boków.

Obliczmy najpierw długość $x$ ramienia $C B$ trapezu $A B C D$ . Niech $C M$ będzie wysokością trapezu $A B C D$ poprowadzoną z wierzchołka $M$ .

Trójkąt $C M B$ jest prostokątny, możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

x^{2} = 4 0^{2} + 9^{2}

x^{2} = 1681

x = \sqrt{1681} = 41

x > 0

Wysokość trapezu $A B C D$ jest równa $40 cm$ , a trapezu $E F G H$ jest równa $25 cm$ .

Zatem trapez $E F G H$ jest podobny do trapezu $A B C D$ w skali

k = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}

Niech $E F$ , $F G$ , $G H$ , $H E$ będą bokami trapezu $E F G H$ odpowiadającymi odpowiednio bokom $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ trapezu $A B C D$ .

Obliczamy długości boków trapezu $E F G H$ .

R7G9l1xrGKIbt1

Rysunek trapezu prostokątnego E F G H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

|E F| = k \cdot 29

|E F| = \frac{5}{8} \cdot 29 = 18, 125

|F G| = k \cdot 41

|F G| = \frac{5}{8} \cdot 41 = 25, 625

|G H| = k \cdot 20

|G H| = \frac{5}{8} \cdot 20 = 12, 5

|H E| = k \cdot 40

|H E| = \frac{5}{8} \cdot 40 = 25

Obliczamy obwód trapezu.

L = 18, 125 + 25, 625 + 12, 5 + 25 = 81, 25

Obwód trapezu jest równy $81, 25 cm$ .

Przykład 6

Miary kątów czworokąta $W$ są równe miarom kątów czworokąta $K$ . Boki wielokąta $W$ mają długości $5 cm$ , $15 cm$ , $6 cm$ i $10 cm$ . Boki wielokąta $K$ mają długości $19 cm$ , $14 cm$ , $6 cm$ , $5 cm$ .

Podobieństwo czworokątów sprawdzimy dwoma sposobami.

sposób $I$ :

Sprawdzamy, czy stosunki długości boków w czworokącie $W$ są równe odpowiednim stosunkom długości boków w czworokącie $K$ .

Zapiszmy długości boków obu wielokątów w kolejności rosnącej, uzyskamy w ten sposób w kolumnach pary odpowiadających sobie boków.

Wielokąt $W$	Wielokąt $K$
$5 cm$	$5 cm$
$6 cm$	$6 cm$
$10 cm$	$14 cm$
$15 cm$	$19 cm$

Badamy równość odpowiednich stosunków.

\frac{6}{5} = \frac{6}{5}

\frac{15}{10} \neq \frac{19}{14}

\frac{10}{6} \neq \frac{14}{6}

Nie wszystkie z zapisanych stosunków są równe, zatem choć miary ich kątów są równe, wielokąty nie są podobne.

sposób $II$ :

Sprawdzamy, czy boki obu czworokątów są proporcjonalne.

\frac{5}{5} = \frac{6}{6} \neq \frac{10}{14} \neq \frac{15}{19}

Boki nie są proporcjonalne – czworokąty nie są podobne.

Podobieństwo wielokątów foremnych

Rysując przekątne pięciokąta foremnego, otrzymujemy wielokąt gwiaździsty, zwany pentagramem. Pentagram uważany był przez pitagorejczyków za symbol doskonałości.

R98AHyRDADMlE11

Ciekawostka

Z pentagramu można otrzymać gwiazdę pięcioramienną, która występuje na flagach wielu państw.

R1d2eDonthGGe1

Rysunki prostokątów z gwiazdami pięcioramiennymi, które ilustrują flagi państw. Flaga Maroka – na czerwonym tle, w środku złote boki pentagramu. Flaga Somalii – na niebieskim tle, w środku biały pentagram. Flaga Chińskiej Republiki Ludowej – na czerwonym tle, w prawym górnym rogu jeden duży i cztery małe, żółte pentagramy. Flaga Wietnamu – na czerwonym tle, w środku żółty pentagram. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zastanówmy się, czy pięciokąt, w który jest wpisany pentagram, i pięciokąt, na którym zbudowane są ramiona pentagramu, to wielokąty podobne.

RDJwdJ5Y01e3c11

W każdym z tych pięciokątów miara kąta wewnętrznego wynosi $108 °$ .

Pięciokąty te mają więc równe kąty.

Ponieważ wszystkie boki pięciokąta foremnego są równe, zatem boki większego z pięciokątów i mniejszego są proporcjonalne.

Stwierdzamy zatem, że wielokąty te są podobne.

Zauważmy, że w podobny sposób można uzasadnić podobieństwo wielokątów foremnych o tej samej liczbie boków.

Ważne!

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Przykład 7

Obwód sześciokąta foremnego $G$ jest równy $120 mm$ . Sześciokąt $K$ jest podobny do sześciokąta $G$ w skali $1 : 5$ . Oblicz długość dłuższej przekątnej sześciokąta $K$ .

W sześciokącie $G$ wszystkie boki są równe. Zatem długość jednego boku wynosi

\frac{120 mm}{6} = 20 mm

Sześciokąt $K$ jest podobny do sześciokąta foremnego, jest więc również sześciokątem foremnym.

Długość jego boku wynosi

\frac{20 mm}{5} = 4 mm

RlBpH1MeYie4U1

Rysunek sześciokąta foremnego złożonego z sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku 4 mm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego przecinając się, tworzą trójkąty równoboczne. Przekątna zatem jest dwa razy dłuższa od boku sześciokąta.

2 \cdot 4 mm = 8 mm

Dłuższa przekątna sześciokąta $K$ ma długość $8 mm$ .

Podobieństwo prostokątów

Wiemy już, że dwa wielokąty są podobne, gdy mają równe kąty i odpowiednie ich boki są proporcjonalne.

W prostokącie każdy kąt ma miarę $90 °$ , więc dla każdych dwóch prostokątów zawsze jest spełniony pierwszy z warunków podobieństwa.

Zatem do stwierdzenia podobieństwa prostokątów wystarczy zbadanie proporcjonalności ich odpowiednich boków.

Przykład 8

Sprawdzimy, czy koperty o standardowych rozmiarach $114 mm$ na $152 mm$ , $110 mm$ na $220 mm$ i $162 mm$ na $229 mm$ są w kształcie prostokątów podobnych.

R1JG4Bs3LEDlu1

Rysunki prostokątnych kopert o rozmiarach C6 (114 mm na 162 mm), DL (110 mm na 220 mm) i C5 (162 mm na 229 mm). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$ :

Badamy, czy boki odpowiednich prostokątów są proporcjonalne.

$C 6$ i $D L$ : $\frac{114}{110} = 1, 03636 . . .$ , $\frac{152}{220} = 0, 69090 . . .$ , $\frac{114}{110} \neq \frac{152}{220}$ – prostokąty nie są podobne;

$C 6$ i $C 5$ : $\frac{114}{162} = 0, 7037 . . . \approx 0, 7$ , $\frac{152}{229} = 0, 6637 . . . \approx 0, 7$ , $\frac{114}{162} \approx \frac{152}{229}$ – można przyjąć, że prostokąty są podobne;

$D L$ i $C 5$ : $\frac{110}{162} = 0, 6790 . . .$ , $\frac{220}{229} = 0, 9606 \dots$ , $\frac{110}{162} \neq \frac{220}{229}$ – prostokąty nie są podobne

sposób $II$ :

Obliczymy w każdym z prostokątów, odpowiadających kopertom, stosunek szerokości do długości.

C 6

\frac{114}{152} = 0, 75

D L

\frac{110}{220} = 0, 5

C 5

\frac{162}{229} = 0, 7074 . . . \approx 0, 7

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń możemy przyjąć, że jedynie koperty o symbolach $C 6$ i $C 5$ są w kształcie prostokątów podobnych.

Przykład 9

Wykaż, że jeżeli dwa prostokąty są podobne w skali $k$ , to stosunek ich obwodów jest równy $k$ .

Rozważmy prostokąt $A B C D$ o bokach długości $a$ i $b$ oraz prostokąt $E F G H$ podobny do niego w skali $k$ .

Wówczas prostokąt $E F G H$ ma boki długości $k a$ i $k b$ .

R1ePJGMuXW07c1

Rysunek dwóch prostokątów. Prostokąt A B C D ma boki długości a i b. Prostokąt E F G H ma boki odpowiednio długości k razy a oraz k razy b. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy obwody prostokątów.

L_{A B C D} = 2 (a + b)

L_{E F G H} = 2 (k a + k b) = 2 k (a + b)

Obliczamy stosunek obwodów prostokątów $E F G H$ i $A B C D$ .

\frac{L_{E F G H}}{L_{A B C D}} = \frac{2 k (a + b)}{2 (a + b)} = k

Stosunek obwodów prostokątów jest równy skali podobieństwa $k$ , co należało wykazać.

Ciekawostka

Narysujmy prostokąt o bokach $a$ , $b$ . Do dłuższego boku dobudujmy kwadrat.

R4s8eKVnTlSsj

Rysunek prostokąta o bokach a i b. Po jego prawej stronie narysowano prostokąt o bokach a i b z dobudowanym do dłuższego boku kwadratem o boku b. Powstał prostokąt o bokach a + b, b. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powstał w ten sposób prostokąt o bokach $a + b$ , $b$ .

Jeżeli dla boków tego prostokąta spełniony jest warunek

\frac{a}{b} = \frac{b}{a + b}

to taki prostokąt nazywamy złotym prostokątem.

R14XlnlowpulL1

Złoty prostokąt wykorzystywany był często w architekturze antycznej, romańskiej oraz sztuce renesansu i klasycyzmu.

RkvSAhtUpZOEj1

RL7Rs7Vztb75h11

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LYq6PorW0ow11

Ćwiczenie 2

$30 °, 50 °, 110 °, 160 °$
$50 °, 80 °, 110 °, 160 °$
$40 °, 50 °, 110 °, 120 °$
$40 °, 50 °, 110 °, 160 °$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rc7Hzcbby5FzL11

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Określ współrzędne wierzchołków wielokąta podobnego w skali $1$ do wielokąta $A B C D$ , gdy:
$A = (0, 0)$ ,
$B = (- 3, 2)$ ,
$C = (5, 6)$ ,
$D = (8, 0)$ .

Rpa6wPODissfu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Szukany wielokąt można znaleźć, przekształcając wielokąt $A B C D$ w symetrii względem jednej z osi układu współrzędnych lub początku układu.

Współrzędne wielokąta symetrycznego do wielokąta $A B C D$ w symetrii względem początku układu, to: $A' = (0, 0)$ , $B' = (3, - 2)$ , $C' = (- 5, - 6)$ , $D' = (- 8, 0)$ .

RQwLTn3qzzVrV21

Ćwiczenie 5

$4$
$2$
$68$
$8$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15CYkbpxuiy921

Ćwiczenie 6

$7,5$
$5,5$
$12$
$15$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RK0VTmB9V1QdV21

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4d0fssLDQljr21

Ćwiczenie 8

$5 cm$ na $10 cm$ i $6 cm$ na $8 cm$
$4 cm$ na $10 cm$ i $6 cm$ na $4 cm$
$5 cm$ na $20 cm$ i $6 cm$ i $1,5 cm$
$10 cm$ na $6 cm$ i $12 cm$ na $22 cm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14NeqGaSFdSs21

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5X8uN93DfPMK21

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JzuBlSqhLUr21

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ri1gOXvPVPYBa21

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

RjVSkhOx0WMZ321

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwGOaKoh7uMdK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Wykaż, że podobne są prostokąty, w których:

Kąty, pod jakimi przecinają się ich przekątne, mają równe miary.
Odpowiadające sobie kąty pomiędzy przekątnymi, a bokami mają równe miary.

Ryq0ssWNE7iq4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cQn5Bt9BIIR

Rysunek dwóch prostokątów ABCD i EFGH. Prostokąt EFGH jest znacznie mniejszy od prostokąta ABCD. Przekątne prostokąta ABCD przecinają się w punkcie S, a przekątne prostokąta EFGH przecinają się w punkcie O. Miara kątów DSA, CSB, HOE, GOF jest taka sama i wynosi alfa. Miara kątów DSC, ASB, HOG, EOF jest taka sama i wynosi 180 stopni minus alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty $A S B$ , $D S C$ , $O H G$ , $E O F$ są równoramienne, ponieważ przekątne prostokąta dzielą się w połowie. Ponadto

$|∢ D C S| = |∢ C D S| = |∢ S A B| = |∢ S B A| = (180 ° - (180 ° - α)) : 2 = \frac{α}{2}$ .

Widzimy, że taką samą miarę mają kąty $O H G$ , $O G H$ , $O F E$ , $O E F$ , ponieważ możemy obliczyć je dokładnie w ten sam sposób.

Trójkąty $D S A$ , $C S B$ , $H O E$ , $G O F$ też są równoramienne oraz

$|∢ S D A| = |∢ S A D| = |∢ S C B| = |∢ S B C| = (180 ° - α) : 2 = 90 - \frac{α}{2}$ .

W ten sam sposób dostajemy, że kąty $O H E$ , $O E H$ , $O G F$ , $O F G$ są tej samej miary, czyli $90 - \frac{α}{2}$ .

Na mocy cechy podobieństwa kąt‑kąt‑kąt trójkąty $A S D$ , $B S C$ są podobne do trójkątów $E O H$ , $F O G$ , a trójkąty $A S B$ , $D S C$ są podobne do trójkątów $E O F$ , $H O G$ .

Stąd otrzymujemy, że prostokąty są podobne.

R1AWOQX8w7mgz

Jak widać na załączonym rysunku, na mocy cechy kąt‑kąt‑kąt trójkaty $A' S' D'$ , $B' S' C'$ są podobne do trójkątów $E' O' H'$ , $F' O' G'$ , a trójkąty $A' S' B'$ , $D' S' C'$ są podobne do trójątów $E' O' F'$ , $H' O' G'$ , więc stosunek długości odcinków będących bokami prostokąta $A' B' C' D'$ do długości odcinków będących bokami prostokąta $E' F' G' H'$ jest stały, wszystkie kąty są równe, więc te prostokąty są podobne.

RNpL86Tn8MG3E21

Ćwiczenie 15

Długości boków prostokąta

A B C D

są równe

a

b

. Oblicz i przeciągnij w odpowiednie miejsce obwód prostokąta

E F G H

podobnego do prostokąta

A B C D

w skali

k

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Niech

k = \frac{2}{5}

a = 2

b = 10

, wtedy obwód prostokąta to 1.

7

, 2.

31

, 3.

\frac{80}{3}

, 4.

24

, 5.

9, 6

, 6.

\frac{23}{3}

. Niech

k = 2

a : b = 3

a = 5

, wtedy obwód prostokąta to 1.

7

, 2.

31

, 3.

\frac{80}{3}

, 4.

24

, 5.

9, 6

, 6.

\frac{23}{3}

. Niech

k = 1 \frac{1}{2}

a + b = 8

, wtedy obwód prostokąta to 1.

7

, 2.

31

, 3.

\frac{80}{3}

, 4.

24

, 5.

9, 6

, 6.

\frac{23}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rcl1WPo7xm9rM21

Ćwiczenie 16

Jeśli obwód prostokąta $M$ jest równy $0,5$ , to obwód prostokąta $K$ jest równy $0,1$ .
Szerokość prostokąta $K$ jest równa $2 \frac{3}{4}$ , a szerokość prostokąta $M$ wynosi $13,75$ .
Jeśli różnica długości boków prostokąta $K$ jest równa $16$ , to różnica długości boków prostokąta $M$ jest równa $3,2$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCWlmESwBysqH21

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtEKTQ2jvtoy221

Ćwiczenie 18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhaDQUFy8doJi21

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRdn3nuqe1KOe21

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTblxQ2NNEmVV21

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

Narysuj czworokąt $A' B' C' D'$ podobny w skali $k = 2$ do czworokąta $A B C D$ o wierzchołkach: $A = (0, 0)$ , $B = (- 3, 2)$ , $C = (5, 6)$ , $D = (8, 0)$ .

RCb6ET96t7W7y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz współrzędne wierzchołków czworokąta $A' B' C' D'$ podobnego w skali $k = 2$ do czworokąta $A B C D$ o wierzchołkach: $A = (0, 0)$ , $B = (- 3, 2)$ , $C = (5, 6)$ , $D = (8, 0)$ .

Każdy bok czworokąta musi być dwa razy dłuższy, więc możemy narysować figurę o współrzędnych
$A' = (0, 0)$ ,
$B' = (- 6, 4)$ ,
$C' = (10, 12)$ ,
$D' = (16, 0)$ .

Każdy bok czworokąta musi być dwa razy dłuższy, więc współrzędne trzech punktów (pomijając punkt, który wyznacza środek układu współrzędnych) możemy zwiększyć dwukrotnie tak, aby każdy bok był dwa razy dłuższy.

R1aAeHcssVQRG

Każdy bok czworokąta musi być dwa razy dłuższy, więc możemy narysować figurę o współrzędnych
$A' = (0, 0)$ ,
$B' = (- 6, 4)$ ,
$C' = (10, 12)$ ,
$D' = (16, 0)$ .

Ćwiczenie 23

R1SCC1YDv3HcL21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5gGxovLmS8tc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QPZGl1tTF6F

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GESuoVrKgEW31

Ćwiczenie 24

W prostokącie

A B C D

symetralna jednego z jego boków dzieli go na dwa prostokąty podobne do

A B C D

. Jaki jest stosunek długości dłuższego boku prostokąta

A B C D

do jego krótszego boku? Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odpowiedź: Stosunek długości dłuższego boku prostokąta do krótszego boku wynosi 1.

2

, 2.

\sqrt{3}

, 3.

\sqrt{2}

, 4.

\frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzDDlY5fAwjT031

Ćwiczenie 25

Pewien prostokąt ma tę własność, że można go rozciąć na cztery jednakowe prostokąty podobne do niego. Uzupełnij poniższe zdania, przeciągając w lukę odpowiednie z podanych liczb. Prostokąt ten jest podobny do każdego z mniejszych prostokątów w skali

k =

\frac{1}{4}

, 2.

4

, 3.

4

, 4.

2

, 5.

2

, 6.

\frac{1}{2}

. Stosunek długości dłuższego boku do krótszego w każdym z tych prostokątów wynosi 1.

\frac{1}{4}

, 2.

4

, 3.

4

, 4.

2

, 5.

2

, 6.

\frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1S22adIt1cos31

Ćwiczenie 26

Pewien prostokąt ma tę własność, że można go rozciąć na

n

(

n > 2

) jednakowych prostokątów podobnych do niego. Uzupełnij poniższe zdania, przeciągając w lukę odpowiednie z podanych liczb. Prostokąt ten jest podobny do każdego z mniejszych prostokątów w skali

k =

\sqrt{n}

, 2.

2 n

, 3.

\sqrt{n}

, 4.

2 n

, 5.

\frac{n}{4}

, 6.

\frac{n}{3}

. Stosunek długości dłuższego boku do krótszego w każdym z tych prostokątów jest równy 1.

\sqrt{n}

, 2.

2 n

, 3.

\sqrt{n}

, 4.

2 n

, 5.

\frac{n}{4}

, 6.

\frac{n}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10f7TSlefP0i31

Ćwiczenie 27

Półokrąg

P'

jest podobny do półokręgu

P

w skali

2

. W półokrąg

P

wpisano trapez

A B C D

o podstawach

|A B| = 10

|C D| = 6

. Podstawa

A B

jest średnicą półokręgu

P

. W półokrąg

P'

wpisano trapez o podstawach

A' B'

C' D'

. Podstawa

A' B'

jest średnicą półokręgu

P'

, a trapez

A' B' C' D'

jest podobny do trapezu

A B C D

w skali

2

. Oblicz pole trapezu

A' B' C' D'

. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Pole trapezu

A' B' C' D'

wynosi Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.