Stożek. Pole powierzchni stożka - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Analizując poniższy materiał poznasz najważniejsze pojęcia związane ze stożkiem, przekroje stożka i siatkę stożka. Dowiesz się, jak obliczyć pole powierzchni stożka.

Przykład 1

Zaobserwuj, jaką bryłę otrzymujemy w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. W kształcie jakiej figury jest podstawa bryły? Ile ma wierzchołków?

R1S1Igs0SNPdV1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z poniższym opisem bryły obrotowej, jaką jest stożek.

Wykreślamy prostą, a następnie rysujemy trójkąt prostokątny tak, aby jedna z jego przyprostokątnych pokrywała się z prostą. Prosta ta będzie osią obrotu. Obracając trójkąt wokół tej prostej, otrzymamy stożek. Przeciwprostokątna wyznacza powierzchnię boczną bryły, natomiast podstawą bryły jest koło, którego promieniem jest druga przyprostokątna trójkąta, czyli ta nienależąca do osi obrotu.

W wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej, na której leży jedna z przyprostokątnych, otrzymujemy bryłę, zwaną stożkiem.

Prosta ta jest osią obrotu stożka. Jest to również oś symetrii stożka. Podstawą stożka jest koło. Wysokość $H$ stożka jest równa przyprostokątnej, wokół której obracaliśmy trójkąt, a promień $r$ podstawy jest równy drugiej z przyprostokątnych. Wysokość jest prostopadła do płaszczyzny, na której leży podstawa stożka, a więc i do każdego z promieni podstawy.

Wierzchołek obracanego trójkąta nieleżący na podstawie to wierzchołek stożka.
Przeciwprostokątna obracanego trójkąta zakreśliła powierzchnię boczną stożka. Jest ona tworzącą stożka. Tworzącą stożka jest zatem każdy odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem leżącym na okręgu będącym brzegiem podstawy.

RF44cb8aRb0tF1

Ilustracja przedstawia stożek, w którym zaznaczono zielony trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z krawędzią boczną stożka, nazywamy ją tworzącą. Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta to wysokość stożka, a krótsza przyprostokątna do promień podstawy tego stożka. Wierzchołek trójkąta, przy którym leży kąt prosty to środek podstawy stożka. Wierzchołkiem stożka nazywamy wierzchołek tego trójkąta, który leży na końcu wysokości bryły, który nie leży na podstawie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WKFvPigYNW811

Przykład 2

Na oklejenie ronda kartonowej czapeczki w kształcie stożka zużyto $44 cm$ niebieskiej taśmy.

Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od promienia podstawy. Oblicz tę wysokość. Przyjmij $π = \frac{22}{7}$ .

Z treści zadania wynika, że długość okręgu, będącego brzegiem podstawy stożka, w kształcie którego jest czapeczka, jest równy $44 cm$ .

Obliczmy promień $r$ tego okręgu.

2 π r = 44

2 \cdot \frac{22}{7} \cdot r = 44

r = 7 cm

Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od promienia, czyli wynosi

3 \cdot 7 cm = 21 cm

Przykład 3

W trójkącie równoramiennym $A B C$ kąt $A C B$ między ramionami ma miarę $120 °$ , a ramię $B C$ ma długość $10 dm$ .

Trójkąt ten obrócono wokół prostej, na której leży wysokość $C D$ . Oblicz średnicę podstawy tak utworzonego stożka i jego wysokość.

RkdTu8wkpBI4t1

Rysunek stożka z zaznaczonym wewnątrz trójkątem równoramiennym A B C . Wierzchołki A i B są końcami średnicy stożka, punkt C jest wierzchołkiem stożka. W trójkącie kąt A C B ma miarę 120 stopni (kąt znajduje się przy wierzchołku C). Poprowadzona wysokość trójkąta CD prostopadła do podstawy AB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt $B C D$ jest połową kąta $A C B$ , ma zatem miarę $60 °$ .

Trójkąt $B C D$ jest więc trójkątem prostokątnym, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę $60 °$ . Z własności takiego trójkąta wynika, że

|C D| = \frac{1}{2} |B C| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5

|B D| = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}

Zatem wysokość stożka jest równa $5 dm$ , a średnica podstawy ma długość

2 \cdot 5 \sqrt{3} dm = 10 \sqrt{3} dm

Przekroje stożka

Przykład 4

Przyjrzyj się przekrojom stożka. Jaki kształt ma przekrój osiowy? Jaki kształt ma przekrój poprzeczny?

Dowiedz się, jak nazywa się figura otrzymana w wyniku przekroju stożka płaszczyzną, która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do podstawy.

RITYBRbOjVMlL1

Przedstawimy przykłady różnych przekrojów stożka.

Utwórzmy płaszczyznę obracającą się wokół osi, przecinającą dany stożek. W matematyce popularny szkolny stożek nazywa się bardziej precyzyjnie półstożkiem. Natomiast stożek to dokładnie dwa półstożki mające wspólny wierzchołek. Stożek przypomina więc swoim kształtem klepsydrę. W aplecie przedstawiono taki właśnie stożek, zaznaczono jego oś, a także narysowano płaszczyznę przecinającą ten stożek. Omówimy teraz przekroje stożka w zależności od kąta nachylenia przecinającej bryłę płaszczyzny.

Przekroje stożka są następujące:

dwie proste przecinające się dla kąta nachylenia płaszcyzny $α = 0 °$ ,
dwie gałęzie hiperboli dla kąta nachylenia płaszczyzny $0 ° < α < 45 °$ ,
parabola dla kąta nachylenia płaszcyzny $α = 45 °$ ,
elipsa dla kąta nachylenia płaszczyzny $45 ° < α < 90 °$ ,
koło dla kąta nachylenia płaszcyzny $α = 90 °$ ,
elipsa dla kąta nachylenia płaszczyzny $90 ° < α < 135 °$ ,
parabola dla kąta nachylenia płaszcyzny $α = 135 °$ ,
dwie gałęzie hiperboli dla kąta nachylenia płaszczyzny $135 ° < α < 180 °$ ,
dwie proste przecinające się dla kąta nachylenia płaszcyzny $α = 180 °$ .

Ważne!

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Podstawa tego trójkąta jest równa średnicy podstawy stożka, ramię jest równe tworzącej, a wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami jest równa wysokości stożka.

R1bDd3bGePHy21

Rysunki dwóch stożków z zaznaczonym przekrojem osiowym w kształcie trójkąta równoramiennego. Na pierwszym stożku zaznaczono H – wysokość stożka, l – tworząca stożka i r – promień podstawy stożka. Na drugim stożku zaznaczono kąt rozwarcia stożka znajdujący się przy wierzchołku. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Przekrój poprzeczny stożka jest kołem. Promień tego koła jest nie większy od promienia podstawy stożka.

RZEXkEi7FxjcO1

Rysunek stożka o promieniu podstawy r oraz zaznaczonym przekrojem poprzecznym w kształcie koła o promieniu r z indeksem dolnym jeden. Na rysunku zaznaczono również promień podstawy stożka, czyli r. Podpis: r1≤r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem, w którym jeden z kątów ma miarę $160 °$ .

Znajdź miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Trójkąt będący przekrojem osiowym stożka jest równoramienny. Kąt o mierze $160 °$ jest kątem rozwartym, zatem jest kątem między ramionami tego trójkąta. Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają równe miary.

Każdy z nich jest więc równy

\frac{180 ° - 160 °}{2} = 10 °

Pozostałe kąty trójkąta są równe $10 °$ , $10 °$ .

Przykład 6

Wysokość stożka jest równa $12$ , a średnica podstawy ma długość $7$ . W odległości $5$ od wierzchołka przecięto stożek płaszczyzną prostopadłą do wysokości. Oblicz pole tak utworzonego przekroju.

R1R41ACL3uqqp1

Rysunek stożka o promieniu podstawy S A = r oraz zaznaczonym przekrojem poprzecznym w kształcie koła o promieniu C D = x. Punkty A i D leżą na tworzącej stożka. Wysokość stożka to odcinek B S podzielony na dwa odcinki S C = H oraz CB = 5 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

$B$ – wierzchołek stożka,
$C$ – środek przekroju poprzecznego,
$|C D| = x$ – promień przekroju poprzecznego,
$|S A| = r$ – promień podstawy stożka,
$H$ – wysokość stożka.

Zauważmy, że trójkąty $B C D$ i $B S A$ są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt–kąt–kąt.

Istotnie:

Oba trójkąty są prostokątne, kąt $S B A$ jest kątem wspólnym obu trójkątów i $|∢ C D B| = |∢ S A B|$ – jako kąty odpowiadające przy prostych równoległych.

Zapisujemy proporcję wynikającą z podobieństwa tych trójkątów i wyznaczamy promień przekroju poprzecznego.

\frac{5}{x} = \frac{H}{r}

\frac{5}{x} = \frac{12}{\frac{7}{2}}

12 x = \frac{35}{2}

x = \frac{35}{2} \cdot \frac{1}{12}

x = \frac{35}{24}

Obliczamy pole przekroju.

P = π x^{2}

P = {(\frac{35}{24})}^{2} \cdot π

P = \frac{1225 π}{576} = 2 \frac{73}{576} π

Pole przekroju stożka jest równe $2 \frac{73}{576} π$ .

Siatka stożka

Przykład 7

Wytnij z papieru trzy koła.

Pierwsze koło przetnij na pół. Drugie przetnij wzdłuż średnic na $4$ równe części. Z trzeciego wytnij dowolny wycinek koła. Zwiń wycięte figury tak, aby otrzymać „czapeczkę”.

Jaki ma kształt każda z otrzymanych „czapeczek”?

RAaoaDoSn2NPg1

Przykład 8

Wytnij z papieru koło. Oznacz jego środek $S$ , a promień $r$ . Przetnij koło wzdłuż promienia i zwiń tak, aby promienie wyznaczone przez miejsce przecięcia pokryły się. Zepnij tak otrzymaną powierzchnię boczną stożka.

Jaka jest długość tworzącej ?
Jak obliczyć promień podstawy?
Który z punktów koła jest wierzchołkiem stożka?
W jakim kształcie jest powierzchnia boczna stożka?
Z jakich figur składa się powierzchnia całkowita stożka?

Przykład 9

Zaobserwuj, jak zmienia się powierzchnia boczna stożka, gdy zmieniamy jego wysokość.

Jaka jest długość promienia podstawy stożka, a jaka tworzącej, gdy powierzchnia boczna jest półkolem?

RzetY8pLXIcSf1

Powierzchnia boczna stożka, po rozłożeniu na płaszczyźnie, jest wycinkiem kołowym.

Siatka stożka składa się z koła, będącego podstawą stożka i wycinka koła, będącego powierzchnią boczną.

Ważne!

R17P8rc18oFfL1

Ilustracja przedstawia trzy rysunki obok siebie. Rysunek pierwszy od lewej przedstawia stożek z tworzącą l i promieniem podstawy r. Drugi rysunek przedstawia rozwiniętą na płaszczyźnie powierzchnię boczną stożka z oznaczoną tworzącą l. Na rysunku trzecim przedstawiono koło w promieniem r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Tworząca stożka jest równa promieniowi wycinka koła, będącego powierzchnią boczną stożka.

Obwód podstawy stożka jest równy długości łuku wyznaczonego przez wycinek koła, będący powierzchnią boczną.

RJgiCZ987uonQ1

Rysunek powierzchni bocznej stożka, który jest wycinkiem koła o kącie środkowym alfa i promieniu l oraz koła o promieniu r. Długość łuku wyznaczonego przez wycinek koła równy jest licznik ułamka alfa mianownik 360 stopni razy 2 pi l. Obwód podstawy stożka równy jest 2 pi r. Zapis: ułamek licznik alfa mianownik 360 stopni razy 2 pi l =2 pi r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 10

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest półkolem, którego promień jest równy $8$ . Oblicz wysokość stożka.

Obliczamy najpierw promień $r$ podstawy stożka.

2 π r = \frac{2 π \cdot 8}{2}

r = 4

Aby obliczyć wysokość $H$ stożka, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta, którego boki mają długości $H$ , $r$ , $l$ .

RAyJqgCUqiz5h1

Rysunek stożka z zaznaczoną wysokością H, tworzącą stożka l i promieniem podstawy r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

H^{2} + r^{2} = l^{2}

H^{2} + 4^{2} = 8^{2}

H^{2} = 64 - 16

H^{2} = 48

H = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3}

Wysokość stożka jest równa $4 \sqrt{3}$ .

Przykład 11

Podstawą stożka jest koło o promieniu $r = 16 cm$ . Powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu $18 cm$ . Obliczymy miarę kąta środkowego wyznaczającego ten wycinek.

Obliczamy obwód podstawy stożka.

L = 2 π r

L = 2 π \cdot 16

L = 32 π cm

Oznaczmy:

$α$ – miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek, będący powierzchnią boczną stożka.

Obliczamy długość łuku wyznaczającego wycinek koła.

L_{W} = \frac{α}{360 °} \cdot 2 π \cdot 18

L_{W} = \frac{α}{10 °} π cm

Porównujemy obwód podstawy stożka i długość łuku wycinka koła i wyznaczamy $α$ .

32 π = \frac{α}{10 °} \cdot π

α = 320 °

Miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek koła, będący powierzchnią boczną stożka, jest równa $320 °$ .

Pole powierzchni stożka

Przykład 12

Obliczymy pole powierzchni bocznej stożka, która po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu $l$ . Promień podstawy tego stożka jest równy $r$ .

Pole powierzchni bocznej $P_{b}$ obliczymy jako pole wycinka koła. Niech $α$ będzie kątem środkowym tego wycinka. Wtedy

P_{b} = \frac{α}{360 °} \cdot π \cdot l^{2}

Zapisujemy i przekształcamy równość wynikającą z tego, że długość łuku okręgu wyznaczonego przez wycinek jest równa obwodowi podstawy stożka.

\frac{α}{360 °} \cdot 2 \cdot π \cdot l = 2 \cdot π \cdot r

\frac{α}{360 °} l = r

\frac{α}{360 °} = \frac{r}{l}

Stąd

P_{b} = \frac{α}{360 °} \cdot π \cdot l^{2} = \frac{r}{l} \cdot π \cdot l^{2} = π r l

Pole powierzchni bocznej jest równe $π r l$ .

Ważne!

Obejrzyj animację pokazującą otrzymywanie siatki stożka.

R8KEdIk8r7QEQ1

Ważne!

Obejrzyj, jak z danej siatki otrzymać stożek.

R3BWpF54Rbqwv1

Stożek jest trójwymiarową bryłą przypominająca szpikulec. Składa się on z podstawy w kształcie koła, oraz z powierzchni bocznej, która nie posiada żadnych pionowych krawędzi. Stożek możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się z dwóch figur: koła, które jest podstawą bryły oraz z pewnego wycinka koła, które stanowi powierzchnię boczną. W każdej siatce koło, które jest podstawą stożka musi być styczne do wycinka koła na łuku tego wycinka. Jeżeli koło będzie styczne do ramienia takiego wycinka, wtedy nie uda się nam poprawnie złożyć ostrosłupa.

R1JlzFf1nj8mn11

Ważne!

Pole powierzchni całkowitej $P_{c}$ stożka o promieniu podstawy $r$ i tworzącej $l$ jest równe

P_{c} = P_{b} + P_{p}

gdzie:

$P_{b}$ – pole powierzchni bocznej,

$P_{p}$ – pole podstawy.

Ponieważ $P_{b} = π r l$ , $P_{p} = π r^{2}$ , stąd

P_{c} = π r l + π r^{2}

Przykład 13

Obliczymy, ile ${dm}^{2}$ szkła zużyto na wykonanie klosza do lampy, który ma kształt stożka o wysokości $400 mm$ i promieniu podstawy $90 mm$ .

Aby obliczyć ile ${dm}^{2}$ szkła użyto, obliczymy pole powierzchni bocznej stożka, w kształcie którego jest klosz.

$P_{b} = π r l$ , gdzie $r = 90 mm$ .

Najpierw jednak, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczymy długość tworzącej odpowiedniego stożka.

R2MKNaWp1mnM71

Rysunek stożka z poprowadzoną wysokością równą 400, promieniem podstawy długości 90 oraz tworzącą l. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

l^{2} = 40 0^{2} + 9 0^{2}

l^{2} = 160000 + 8100

l^{2} = 168100

l = 410 mm

Zapisujemy wymiary stożka w decymetrach.

r = 90 mm = 0, 9 dm

l = 410 mm = 4, 1 dm

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka.

P = π \cdot 0, 9 \cdot 4, 1

P = 3, 69 π {dm}^{2}

Na wykonanie klosza potrzeba $3, 69 π {dm}^{2}$ szkła.

Przykład 14

Obliczymy pole powierzchni całkowitej stożka o tworzącej długości $4, 2 cm$ i promieniu podstawy $2 cm$ .

Pole powierzchni całkowitej stożka obliczamy jako sumę pola powierzchni bocznej i pola podstawy.

P_{c} = P_{b} + P_{p}

P_{c} = π \cdot 2 \cdot 4, 2 + π \cdot 2^{2}

P_{c} = 8, 4 π + 4 π

P_{c} = 12, 4 π {cm}^{2}

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe $12, 4 π {cm}^{2}$ .

Przykład 15

Pole przekroju osiowego stożka jest równe $660$ . Pole podstawy wynosi $121 π$ . Obliczymy pole powierzchni bocznej.

Pole podstawy stożka wynosi $121 π$ , zatem promień podstawy stożka jest równy $\sqrt{121} = 11$ .

R1KsFdZo1orvl1

Rysunek stożka z poprowadzoną wysokością H, tworzącą stożka l i promieniem podstawy r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole przekroju osiowego to połowa iloczynu wysokości stożka i średnicy jego podstawy. Wiedząc, że pole to jest równe $660$ , a średnica $2 \cdot 11 = 22$ , można obliczyć wysokość stożka.

H = 60

Teraz musimy jeszcze wyznaczyć długość tworzącej – korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

l^{2} = H^{2} + r^{2}

l^{2} = 6 0^{2} + 1 1^{2}

l^{2} = 3721

l = 61

Obliczamy pole powierzchni bocznej.

P_{b} = π r l

P_{b} = π \cdot 11 \cdot 61

P_{b} = 671 π

Pole powierzchni bocznej stożka jest równe $671 π$ .

Przykład 16

Pole powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem koła o kącie środkowym $72 °$ i promieniu $15 dm$ .

Obliczymy pole powierzchni całkowitej stożka.

R1YjUrogJEDFm1

Rysunek wycinka koła o kącie środkowym 72 stopnie i promieniu równym 15 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka, jako pole wycinka koła.

P_{b} = \frac{72 °}{360 °} \cdot π \cdot 15^{2}

P_{b} = \frac{1}{5} \cdot π \cdot 225

P_{b} = 45 π

Teraz wyznaczamy promień $r$ podstawy stożka.

2 π r = \frac{72 °}{360 °} \cdot 2 π \cdot 15

r = \frac{1}{5} \cdot 15

r = 3 dm

Obliczamy pole podstawy.

P_{p} = π \cdot 3^{2} = 9 π

Dodajemy wyznaczone wartości, obliczając pole powierzchni całkowitej stożka.

P_{c} = P_{b} + P_{p}

P_{c} = 45 π + 9 π = 54 π

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe $54 π {dm}^{2}$ .

Przykład 17

Trójkąt prostokątny o bokach długości $5$ , $12$ , $13$ obracamy wokół przeciwprostokątnej. Obliczymy pole powierzchni tak powstałej bryły.

W wyniku obrotu trójkąta wokół przeciwprostokątnej powstała bryła składająca się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Tworzące stożków są równe przyprostokątnym trójkąta. Większy stożek ma tworzącą długości $12$ , a mniejszy ma tworzącą długości $5$ . Promienie podstaw obu stożków są równe.

Zauważmy, że promień $r$ jest wysokością obracanego trójkąta. Jego długość obliczymy, porównując pole trójkąta obliczone dwoma sposobami.

\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5

13 r = 60 | : 13

r = \frac{60}{13}

Obliczamy pole powierzchni bryły jako sumę pól powierzchni bocznych dwóch stożków.

P = π \cdot \frac{60}{13} \cdot 12 + π \cdot \frac{60}{13} \cdot 5

P = \frac{720 π}{13} + \frac{300 π}{13}

P = \frac{1020}{13} π

P = 78 \frac{6}{13} π

Pole powierzchni bryły jest równe $78 \frac{6}{13} π$ .

R14eml6qSAAtY1

Ćwiczenie 1

Połącz w pary trójkąty prostokątne z promieniami

r

podstaw i wysokościami

H

stożków, które powstały w wyniku obrotu tych trójkątów wokół ich krótszych przyprostokątnych. długość jednej z przyprostokątnych jest równa

24

, a przeciwprostokątna ma długość

25

Możliwe odpowiedzi: 1.

r = 4, 5 \sqrt{3}

H = 4, 5

, 2.

r = 15

H = 8

, 3.

r = 24

H = 7

pole jest równe

60

, a jedna z przyprostokątnych ma długość

15

Możliwe odpowiedzi: 1.

r = 4, 5 \sqrt{3}

H = 4, 5

, 2.

r = 15

H = 8

, 3.

r = 24

H = 7

jeden z kątów ostrych ma miarę

30 °

, a przeciwprostokątna ma długość

9

Możliwe odpowiedzi: 1.

r = 4, 5 \sqrt{3}

H = 4, 5

, 2.

r = 15

H = 8

, 3.

r = 24

H = 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKMWLN0lM8hvg1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary opis otrzymania stożka z polem powierzchni powstałego stożka. Trójkąt równoboczny o boku długości

6

obrócono wokół prostej, na której leży jedna z wysokości trójkąta. Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 27 π

, 2.

P = 200 π (1 + \sqrt{2})

, 3.

P = 192 π + 128 \sqrt{3} π

Trójkąt równoramienny obrócono wokół wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta między ramionami. Wysokość ta jest równa

8

, a miara jednego z kątów

120 °

. Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 27 π

, 2.

P = 200 π (1 + \sqrt{2})

, 3.

P = 192 π + 128 \sqrt{3} π

Trójkąt prostokątny równoramienny obrócono wokół prostej, na której leży jedna z przyprostokątnych. Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe

100 π

. Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 27 π

, 2.

P = 200 π (1 + \sqrt{2})

, 3.

P = 192 π + 128 \sqrt{3} π

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RLvTdjoLzyUOj2

Ćwiczenie 3

Wysokość poniższych stożków jest równa

12

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeżeli pole podstawy stożka jest równe

256 π

, to jego pole boczne wynosi 1.

65 π

, 2.

180 π

, 3.

83 π

, 4.

74 π

, 5.

320 π

, 6.

96 π

.Jeżeli tworząca stożka ma długość

13

, to jego pole boczne wynosi 1.

65 π

, 2.

180 π

, 3.

83 π

, 4.

74 π

, 5.

320 π

, 6.

96 π

.Jeżeli przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, to jego pole boczne wynosi 1.

65 π

, 2.

180 π

, 3.

83 π

, 4.

74 π

, 5.

320 π

, 6.

96 π

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhZzrnF3nFq5w2

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RG0IA4QSgPYDo2

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1bDWjsWNXT3J2

Ćwiczenie 6

Wysokość stożka jest o $1$ większa od średnicy podstawy.
Pole przekroju osiowego wynosi $420$ .
Tworząca jest o $9$ dłuższa od promienia podstawy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IcpyViYzHAn2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Średnica podstawy stożka jest równa $175$ , a jego wysokość $70$ . Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy.

Średnica tak otrzymanego przekroju poprzecznego ma długość $70$ .

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, który otrzymano w wyniku przekroju.

R3gq1NMYI26Xa1

Rysunek stożka o średnicy podstawy równej 175 i wysokości równej siedemdziesiąt. Zaznaczony przekrój poprzeczny stożka o średnicy równej 70 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROHofke0mrfGp

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość odciętego stożka wynosi $28$ , a tworząca $\sqrt{2009}$ .

$P_{c} = 1225 π + 35 π \sqrt{2009}$ .

RXrr0GEGgeXkX2

Ćwiczenie 9

Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeżeli taki przekrój osiowy ma pole równe

16 \sqrt{3} {cm}^{2}

, to pole powierzchni bocznej stożka wynosi 1.

14

, 2.

12, 5 π

, 3.

24 π

, 4.

17, 5

, 5.

32 π

, 6.

16 π

{cm}^{2}

.Jeżeli taki przekrój osiowy ma obwód równy

15 cm

, to pole powierzchni bocznej stożka wynosi 1.

14

, 2.

12, 5 π

, 3.

24 π

, 4.

17, 5

, 5.

32 π

, 6.

16 π

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R88dIInb8Bt9V2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cfMuMVwun5Y2

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła przedstawionym na rysunku.

R15oyoC1f0Dq51

Rysunki trzech wycinków koła. a) wycinek o promieniu równym 5 i kącie 30 stopni dopełniającym do kąta środkowego. b) wycinek to półkole o promieniu równym siedem, c) wycinek o promieniu 2 i kącie środkowym 240 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6X6FTrwFMFIW

Oblicz pola podstaw stożków. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole podstawy stożka, o powierzchni bocznej przedstawionej na rysunku

A

, wynosi 1.

\frac{16}{9} π

, 2.

\frac{25}{9} π

, 3.

\frac{49}{4} π

, 4.

\frac{2890}{169} π

, 5.

\frac{3025}{144} π

, 6.

\frac{64}{7} π

.Pole podstawy stożka, o powierzchni bocznej przedstawionej na rysunku

B

, wynosi 1.

\frac{16}{9} π

, 2.

\frac{25}{9} π

, 3.

\frac{49}{4} π

, 4.

\frac{2890}{169} π

, 5.

\frac{3025}{144} π

, 6.

\frac{64}{7} π

.Pole podstawy stożka, o powierzchni bocznej przedstawionej na rysunku

C

, wynosi 1.

\frac{16}{9} π

, 2.

\frac{25}{9} π

, 3.

\frac{49}{4} π

, 4.

\frac{2890}{169} π

, 5.

\frac{3025}{144} π

, 6.

\frac{64}{7} π

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RM2Gau0uGypva2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9W9d10pmSKDc2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RiWgQ2UjJuOkn2

Ćwiczenie 15

Przekrój stożka może być trójkątem rozwartokątnym.
Każdy przekrój stożka jest kołem.
Stożek jest bryłą obrotową.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Oceń prawdziwość zdania.

Istnieje stożek, którego pole powierzchni bocznej jest równe polu powierzchni jego podstawy. Odpowiedź uzasadnij.

RZycvnAs38Cts

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nie ma takiego stożka. Gdyby był taki stożek, to $l = r$ . A to jest niemożliwe, bo $l > r$ (jako przeciwprostokątna trójkąta utworzonego przez wysokość, promień i tworzącą).

R18ZWNPDLa03R3

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjTp34jtZ3NEy3

Ćwiczenie 18

Koło o promieniu długości

10 cm

rozcięto na dwa wycinki kołowe. Jeden z wycinków odpowiada kątowi środkowemu o mierze

60 °

. Z każdego wycinka utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz sumę długości promieni podstaw tych stożków. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Suma długości tych promieni wynosi 1.

10

, 2.

20

, 3.

30

, 4.

40

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rugar2oVV74Cd3

Ćwiczenie 19

Koło o promieniu długości

a cm

rozcięto na dwa wycinki kołowe. Jeden z wycinków odpowiada kątowi środkowemu o mierze

α °

. Z każdego wycinka utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz sumę długości promieni podstaw tych stożków. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednie wyrażenie lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Suma długości tych promieni wynosi 1.

3 a

, 2.

2 a

, 3.

4 a

, 4.

a

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbLsFgrpBJTs43

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAq1kn3CB8Ra83

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

Naszkicuj bryłę powstałą w wyniku obrotu trapezu prostokątnego wokół jego dłuższej podstawy. Podstawy trapezu mają długości $5 cm$ i $8 cm$ , a wysokość trapezu ma długość $4 cm$ .

RKGGmBEnrZaqa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmLqS1Sebg88S3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHNZ0XfsitUvN

Długość tworzącej $l$ stożka na szczycie bryły obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

l = \sqrt{3^{2} + 4^{2}}

l = 5

Powierzchnia całkowita tej bryły składa się z powierzchni bocznej stożka o promieniu równym $4$ i tworzącej równej $5$ , powierzchni bocznej pewnego walca o promieniu równym $4$ i wysokości równej $5$ , oraz z koła o promieniu $4$ .

Obliczamy pole powierzchni bocznej tego stożka

π \cdot 4 \cdot 5 = 20 π

pole powierzchni bocznej walca

2 π \cdot 4 \cdot 5 = 40 π

oraz pole koła o promieniu $4$

π \cdot 4^{2} = 16 π

Ostatecznie, pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły wynosi $76 π {cm}^{2}$ .

RJcwgFUQlZnj93

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej.