Analizując poniższy materiał poznasz najważniejsze pojęcia związane ze stożkiem, przekroje stożka i siatkę stożka. Dowiesz się, jak obliczyć pole powierzchni stożka.

1
Przykład 1

Zaobserwuj, jaką bryłę otrzymujemy w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. W kształcie jakiej figury jest podstawa bryły? Ile ma wierzchołków?

R1S1Igs0SNPdV1
Aplet przedstawia konstrukcję stożka na płaszczyźnie. Na płaszczyźnie dany jest punkt O, odcinek OW prostopadły do płaszczyzny i okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu leży punkt P. Na płaszczyźnie narysowany jest trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna zawiera się w promieniu okręgu a druga przyprostokątna leży na osi obrotu. Obracając trójkąt prostokątny wokół jednej z przyprostokątnych otrzymujemy stożek
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z poniższym opisem bryły obrotowej, jaką jest stożek.

Wykreślamy prostą, a następnie rysujemy trójkąt prostokątny tak, aby jedna z jego przyprostokątnych pokrywała się z prostą. Prosta ta będzie osią obrotu. Obracając trójkąt wokół tej prostej, otrzymamy stożek. Przeciwprostokątna wyznacza powierzchnię boczną bryły, natomiast podstawą bryły jest koło, którego promieniem jest druga przyprostokątna trójkąta, czyli ta nienależąca do osi obrotu.

W wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej, na której leży jedna z przyprostokątnych, otrzymujemy bryłę, zwaną stożkiem.

Prosta ta jest osią obrotu stożka. Jest to również oś symetrii stożka. Podstawą stożka jest koło. Wysokość H stożka jest równa przyprostokątnej, wokół której obracaliśmy trójkąt, a promień r podstawy jest równy drugiej z przyprostokątnych. Wysokość jest prostopadła do płaszczyzny, na której leży podstawa stożka, a więc i do każdego z promieni podstawy.

Wierzchołek obracanego trójkąta nieleżący na podstawie to wierzchołek stożka.
Przeciwprostokątna obracanego trójkąta zakreśliła powierzchnię boczną stożka. Jest ona tworzącą stożka. Tworzącą stożka jest zatem każdy odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem leżącym na okręgu będącym brzegiem podstawy.

RF44cb8aRb0tF1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WKFvPigYNW811
Aplet przedstawia konstrukcję stożka, który powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. Zaznaczona wysokość stożka H, tworząca stożka l oraz promień podstawy stożka r.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Na oklejenie ronda kartonowej czapeczki w kształcie stożka zużyto 44 cm niebieskiej taśmy.

Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od promienia podstawy. Oblicz tę wysokość. Przyjmij π=227.

Z treści zadania wynika, że długość okręgu, będącego brzegiem podstawy stożka, w kształcie którego jest czapeczka, jest równy 44 cm.

Obliczmy promień r tego okręgu.

2πr=44,
2227r=44,
r=7 cm.

Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od promienia, czyli wynosi

37 cm=21 cm.
Przykład 3

W trójkącie równoramiennym ABC kąt ACB między ramionami ma miarę 120°, a ramię BC ma długość 10 dm.

Trójkąt ten obrócono wokół prostej, na której leży wysokość CD. Oblicz średnicę podstawy tak utworzonego stożka i jego wysokość.

RkdTu8wkpBI4t1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt BCD jest połową kąta ACB, ma zatem miarę 60°.

Trójkąt BCD jest więc trójkątem prostokątnym, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę 60°. Z własności takiego trójkąta wynika, że

CD=12BC=1210=5,
BD=12103=53.

Zatem wysokość stożka jest równa 5 dm, a średnica podstawy ma długość

253 dm=103 dm.

Przekroje stożka

1
Przykład 4

Przyjrzyj się przekrojom stożka. Jaki kształt ma przekrój osiowy? Jaki kształt ma przekrój poprzeczny?

Dowiedz się, jak nazywa się figura otrzymana w wyniku przekroju stożka płaszczyzną, która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do podstawy.

RITYBRbOjVMlL1
Aplet przedstawia różne przekroje stożka. W matematyce popularny szkolny stożek nazywa się półstożkiem. Natomiast stożek to dwa przystające szkolne stożki mające wspólny wierzchołek. Obserwujemy różne przekroje stożka zależnie od położenia płaszczyzny przecinającej bryłę. Jeśli płaszczyzna przecina stożek pod kątem alfa = 0 stopni lub alfa = 180 stopni otrzymujemy w przekroju dwie proste przecinające się. Dla kąta w przedziale od 0 stopni do 45 stopni lub od 135 stopni do 180 stopni otrzymujemy hiperbolę. Dla alfa = 45 stopni lub alfa = 135 stopni – parabolę. W przedziale od 45 stopni do 90 stopni lub od 90 stopni do 135 stopni – elipsę, a dla 90 stopni – koło.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przedstawimy przykłady różnych przekrojów stożka.

Utwórzmy płaszczyznę obracającą się wokół osi, przecinającą dany stożek. W matematyce popularny szkolny stożek nazywa się bardziej precyzyjnie półstożkiem. Natomiast stożek to dokładnie dwa półstożki mające wspólny wierzchołek. Stożek przypomina więc swoim kształtem klepsydrę. W aplecie przedstawiono taki właśnie stożek, zaznaczono jego oś, a także narysowano płaszczyznę przecinającą ten stożek. Omówimy teraz przekroje stożka w zależności od kąta nachylenia przecinającej bryłę płaszczyzny.

Przekroje stożka są następujące:

  1. dwie proste przecinające się dla kąta nachylenia płaszcyzny α=0°,

  2. dwie gałęzie hiperboli dla kąta nachylenia płaszczyzny 0°<α<45°,

  3. parabola dla kąta nachylenia płaszcyzny α=45°,

  4. elipsa dla kąta nachylenia płaszczyzny 45°<α<90°,

  5. koło dla kąta nachylenia płaszcyzny α=90°,

  6. elipsa dla kąta nachylenia płaszczyzny 90°<α<135°,

  7. parabola dla kąta nachylenia płaszcyzny α=135°,

  8. dwie gałęzie hiperboli dla kąta nachylenia płaszczyzny 135°<α<180°,

  9. dwie proste przecinające się dla kąta nachylenia płaszcyzny α=180°.

Ważne!

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Podstawa tego trójkąta jest równa średnicy podstawy stożka, ramię jest równe tworzącej, a wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami jest równa wysokości stożka.

R1bDd3bGePHy21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Przekrój poprzeczny stożka jest kołem. Promień tego koła jest nie większy od promienia podstawy stożka.

RZEXkEi7FxjcO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 5

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem, w którym jeden z kątów ma miarę 160°.

Znajdź miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Trójkąt będący przekrojem osiowym stożka jest równoramienny. Kąt o mierze 160° jest kątem rozwartym, zatem jest kątem między ramionami tego trójkąta. Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają równe miary.

Każdy z nich jest więc równy

180°-160°2=10°.

Pozostałe kąty trójkąta są równe 10°, 10°.

Przykład 6

Wysokość stożka jest równa 12, a średnica podstawy ma długość 7. W odległości 5 od wierzchołka przecięto stożek płaszczyzną prostopadłą do wysokości. Oblicz pole tak utworzonego przekroju.

R1R41ACL3uqqp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

  • B – wierzchołek stożka,

  • C – środek przekroju poprzecznego,

  • CD=x – promień przekroju poprzecznego,

  • SA=r – promień podstawy stożka,

  • H – wysokość stożka.

Zauważmy, że trójkąty BCDBSA są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt–kąt–kąt.

Istotnie:

Oba trójkąty są prostokątne, kąt SBA jest kątem wspólnym obu trójkątów i CDB=SAB – jako kąty odpowiadające przy prostych równoległych.

Zapisujemy proporcję wynikającą z podobieństwa tych trójkątów i wyznaczamy promień przekroju poprzecznego.

5x=Hr,
5x=1272,
12x=352,
x=352112,
x=3524.

Obliczamy pole przekroju.

P=πx2,
P=35242π,
P=1225π576=273576π.

Pole przekroju stożka jest równe 273576π.

Siatka stożka

Przykład 7

Wytnij z papieru trzy koła.

Pierwsze koło przetnij na pół. Drugie przetnij wzdłuż średnic na 4 równe części. Z trzeciego wytnij dowolny wycinek koła. Zwiń wycięte figury tak, aby otrzymać „czapeczkę”.

Jaki ma kształt każda z otrzymanych „czapeczek”?

RAaoaDoSn2NPg1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy wykonać papierowe czapeczki w kształcie pola bocznego stożka.
Przykład 8

Wytnij z papieru koło. Oznacz jego środek S, a promień r. Przetnij koło wzdłuż promienia i zwiń tak, aby promienie wyznaczone przez miejsce przecięcia pokryły się. Zepnij tak otrzymaną powierzchnię boczną stożka.

  1. Jaka jest długość tworzącej ?

  2. Jak obliczyć promień podstawy?

  3. Który z punktów koła jest wierzchołkiem stożka?

  4. W jakim kształcie jest powierzchnia boczna stożka?

  5. Z jakich figur składa się powierzchnia całkowita stożka?

1
Przykład 9

Zaobserwuj, jak zmienia się powierzchnia boczna stożka, gdy zmieniamy jego wysokość.

Jaka jest długość promienia podstawy stożka, a jaka tworzącej, gdy powierzchnia boczna jest półkolem?

RzetY8pLXIcSf1
Animacja pokazuje oraz uzasadnia prawdziwość wzoru na pole powierzchni całkowitej stożka. W pierwszym etapie pokazana jest siatka ostrosłupa. Jak wiemy, każda siatka ostrosłupa składa się z koła o pewnym promieniu r oraz z wycinka koła o pewnym promieniu l. W kolejnym etapie obliczono pole powierzchni podstawy oraz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wzór na pole powierzchni podstawy to: Pp=πr2, a pole powierzchni bocznej to: Pb=πrl. W trzecim etapie zsumowano oba pola, otrzymując tym samym wzór na pole całkowite ostrosłupa: Pb=πrl+r. Jak widać jest ono równe polu prostokąta o bokach pi r, oraz l + r.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powierzchnia boczna stożka, po rozłożeniu na płaszczyźnie, jest wycinkiem kołowym.

Siatka stożka składa się z koła, będącego podstawą stożka i wycinka koła, będącego powierzchnią boczną.

Ważne!
R17P8rc18oFfL1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Tworząca stożka jest równa promieniowi wycinka koła, będącego powierzchnią boczną stożka.

Obwód podstawy stożka jest równy długości łuku wyznaczonego przez wycinek koła, będący powierzchnią boczną.

RJgiCZ987uonQ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 10

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest półkolem, którego promień jest równy 8. Oblicz wysokość stożka.

Obliczamy najpierw promień r podstawy stożka.

2πr=2π82,
r=4.

Aby obliczyć wysokość H stożka, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta, którego boki mają długości H, r, l.

RAyJqgCUqiz5h1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
H2+r2=l2,
H2+42=82,
H2=64-16,
H2=48,
H=48=163=43.

Wysokość stożka jest równa 43.

Przykład 11

Podstawą stożka jest koło o promieniu r=16 cm. Powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu 18 cm. Obliczymy miarę kąta środkowego wyznaczającego ten wycinek.

Obliczamy obwód podstawy stożka.

L=2πr,
L=2π16,
L=32π cm.

Oznaczmy:

α – miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek, będący powierzchnią boczną stożka.

Obliczamy długość łuku wyznaczającego wycinek koła.

LW=α360°2π·18,
LW=α10°π cm.

Porównujemy obwód podstawy stożka i długość łuku wycinka koła i wyznaczamy α.

32π=α10°π,
α=320°.

Miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek koła, będący powierzchnią boczną stożka, jest równa 320°.

Pole powierzchni stożka

Przykład 12

Obliczymy pole powierzchni bocznej stożka, która po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu l. Promień podstawy tego stożka jest równy r.

Pole powierzchni bocznej Pb obliczymy jako pole wycinka koła. Niech α będzie kątem środkowym tego wycinka. Wtedy

Pb=α360°πl2.

Zapisujemy i przekształcamy równość wynikającą z tego, że długość łuku okręgu wyznaczonego przez wycinek jest równa obwodowi podstawy stożka.

α360°2πl=2πr,
α360°l=r,
α360°=rl.

Stąd

Pb=α360°πl2=rlπl2=πrl.

Pole powierzchni bocznej jest równe πrl.

Ważne!

Obejrzyj animację pokazującą otrzymywanie siatki stożka.

R8KEdIk8r7QEQ1
Animacja 3D pokazuje stojące na drodze pachołki drogowe w kształcie stożka. Kreślone są krawędzie jednego pachołka - powstaje stożek, który następnie rozkłada się na siatkę stożka.
Ważne!

Obejrzyj, jak z danej siatki otrzymać stożek.

R3BWpF54Rbqwv1
Animacja 3D pokazuje siatkę stożka, która następnie składa się w stożek. Stożek zamienia się w pachołek drogowy. Na drodze stoją cztery pachołki.

Stożek jest trójwymiarową bryłą przypominająca szpikulec. Składa się on z podstawy w kształcie koła, oraz z powierzchni bocznej, która nie posiada żadnych pionowych krawędzi. Stożek możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się z dwóch figur: koła, które jest podstawą bryły oraz z pewnego wycinka koła, które stanowi powierzchnię boczną. W każdej siatce koło, które jest podstawą stożka musi być styczne do wycinka koła na łuku tego wycinka. Jeżeli koło będzie styczne do ramienia takiego wycinka, wtedy nie uda się nam poprawnie złożyć ostrosłupa.

R1JlzFf1nj8mn11
Animacja przedstawia stożek o środku podstawy w punkcie A i siatkę stożka. Siatka stożka składa się z koła o promieniu r i wycinka koła o promieniu l. Zmieniając długość promienia lub wysokość stożka zmieniamy wymiary siatki stożka.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Pole powierzchni całkowitej Pc stożka o promieniu podstawy r i tworzącej l jest równe

Pc=Pb+Pp,

gdzie:

Pb – pole powierzchni bocznej,

Pp – pole podstawy.

Ponieważ Pb=πrl, Pp=πr2, stąd

Pc=πrl+πr2.
Przykład 13

Obliczymy, ile dm2 szkła zużyto na wykonanie klosza do lampy, który ma kształt stożka o wysokości 400 mm i promieniu podstawy 90 mm.

Aby obliczyć ile dm2 szkła użyto, obliczymy pole powierzchni bocznej stożka, w kształcie którego jest klosz.

Pb=πrl, gdzie r=90 mm.

Najpierw jednak, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczymy długość tworzącej odpowiedniego stożka.

R2MKNaWp1mnM71
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
l2=4002+902,
l2=160000+8100,
l2=168100,
l=410 mm.

Zapisujemy wymiary stożka w decymetrach.

r=90 mm=0,9 dm,
l=410 mm=4,1 dm.

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka.

P=π0,94,1,
P=3,69π dm2.

Na wykonanie klosza potrzeba 3,69π dm2 szkła.

Przykład 14

Obliczymy pole powierzchni całkowitej stożka o tworzącej długości 4,2 cm i promieniu podstawy 2 cm.

Pole powierzchni całkowitej stożka obliczamy jako sumę pola powierzchni bocznej i pola podstawy.

Pc=Pb+Pp,
Pc=π24,2+π22,
Pc=8,4π+4π,
Pc=12,4π cm2.

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 12,4π cm2.

Przykład 15

Pole przekroju osiowego stożka jest równe 660. Pole podstawy wynosi 121π. Obliczymy pole powierzchni bocznej.

Pole podstawy stożka wynosi 121π, zatem promień podstawy stożka jest równy 121=11.

R1KsFdZo1orvl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole przekroju osiowego to połowa iloczynu wysokości stożka i średnicy jego podstawy. Wiedząc, że pole to jest równe 660, a średnica 211=22, można obliczyć wysokość stożka.

H=60.

Teraz musimy jeszcze wyznaczyć długość tworzącej – korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

l2=H2+r2,
l2=602+112,
l2=3721,
l=61.

Obliczamy pole powierzchni bocznej.

Pb=πrl,
Pb=π1161,
Pb=671π.

Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 671π.

Przykład 16

Pole powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem koła o kącie środkowym 72° i promieniu 15 dm.

Obliczymy pole powierzchni całkowitej stożka.

R1YjUrogJEDFm1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka, jako pole wycinka koła.

Pb=72°360°π152,
Pb=15π225,
Pb=45π.

Teraz wyznaczamy promień r podstawy stożka.

2πr=72°360°2π15,
r=1515,
r=3 dm.

Obliczamy pole podstawy.

Pp=π32=9π.

Dodajemy wyznaczone wartości, obliczając pole powierzchni całkowitej stożka.

Pc=Pb+Pp,
Pc=45π+9π=54π.

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 54π dm2.

Przykład 17

Trójkąt prostokątny o bokach długości 5, 12, 13 obracamy wokół przeciwprostokątnej. Obliczymy pole powierzchni tak powstałej bryły.

W wyniku obrotu trójkąta wokół przeciwprostokątnej powstała bryła składająca się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Tworzące stożków są równe przyprostokątnym trójkąta. Większy stożek ma tworzącą długości 12, a mniejszy ma tworzącą długości 5. Promienie podstaw obu stożków są równe.

Zauważmy, że promień r jest wysokością obracanego trójkąta. Jego długość obliczymy, porównując pole trójkąta obliczone dwoma sposobami.

1213r=12125,
13r=60 |:13,
r=6013.

Obliczamy pole powierzchni bryły jako sumę pól powierzchni bocznych dwóch stożków.

P=π601312+π60135,
P=720π13+300π13,
P=102013π,
P=78613π.

Pole powierzchni bryły jest równe 78613π.

R14eml6qSAAtY1
Ćwiczenie 1
Połącz w pary trójkąty prostokątne z promieniami r podstaw i wysokościami H stożków, które powstały w wyniku obrotu tych trójkątów wokół ich krótszych przyprostokątnych. długość jednej z przyprostokątnych jest równa 24, a przeciwprostokątna ma długość 25 Możliwe odpowiedzi: 1. r=4,53, H=4,5, 2. r=15, H=8, 3. r=24, H=7 pole jest równe 60, a jedna z przyprostokątnych ma długość 15 Możliwe odpowiedzi: 1. r=4,53, H=4,5, 2. r=15, H=8, 3. r=24, H=7 jeden z kątów ostrych ma miarę 30°, a przeciwprostokątna ma długość 9 Możliwe odpowiedzi: 1. r=4,53, H=4,5, 2. r=15, H=8, 3. r=24, H=7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RKMWLN0lM8hvg1
Ćwiczenie 2
Połącz w pary opis otrzymania stożka z polem powierzchni powstałego stożka. Trójkąt równoboczny o boku długości 6 obrócono wokół prostej, na której leży jedna z wysokości trójkąta. Możliwe odpowiedzi: 1. P=27π, 2. P=200π1+2, 3. P=192π+1283π Trójkąt równoramienny obrócono wokół wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta między ramionami. Wysokość ta jest równa 8, a miara jednego z kątów 120°. Możliwe odpowiedzi: 1. P=27π, 2. P=200π1+2, 3. P=192π+1283π Trójkąt prostokątny równoramienny obrócono wokół prostej, na której leży jedna z przyprostokątnych. Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe 100π. Możliwe odpowiedzi: 1. P=27π, 2. P=200π1+2, 3. P=192π+1283π
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLvTdjoLzyUOj2
Ćwiczenie 3
Wysokość poniższych stożków jest równa 12. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeżeli pole podstawy stożka jest równe 256π, to jego pole boczne wynosi 1. 65π, 2. 180π, 3. 83π, 4. 74π, 5. 320π, 6. 96π.Jeżeli tworząca stożka ma długość 13, to jego pole boczne wynosi 1. 65π, 2. 180π, 3. 83π, 4. 74π, 5. 320π, 6. 96π.Jeżeli przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, to jego pole boczne wynosi 1. 65π, 2. 180π, 3. 83π, 4. 74π, 5. 320π, 6. 96π.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RhZzrnF3nFq5w2
Ćwiczenie 4
Oblicz, ile dm2 srebrnego kartonu użyto na wykonanie 4 dekoracyjnych jednakowych choinek. Każda choinka ma kształt stożka (bez podstawy) o wysokości 0,5 m i promieniu podstawy 1,5 dm. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 dm2. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Ok. 98,35 dm2, 2. Ok. 96,30 dm2, 3. Ok. 94,45 dm2, 4. Ok. 92,40 dm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RG0IA4QSgPYDo2
Ćwiczenie 5
Oblicz, ile cm2 szkła użyto na wykonanie szklanego klosza do lampki nocnej. Klosz ma kształt stożka o promieniu podstawy 3 cm i wysokości 10 cm. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 98,35 cm2, 2. 96,55 cm2, 3. 94,75 cm2, 4. 92,95 cm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1bDWjsWNXT3J2
Ćwiczenie 6
Podstawą stożka jest koło o polu 400π. Pole powierzchni bocznej jest równe 580π.
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Wysokość stożka jest o  1 większa od średnicy podstawy., 2. Pole przekroju osiowego wynosi 420 ., 3. Tworząca jest o  9 dłuższa od promienia podstawy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IcpyViYzHAn2
Ćwiczenie 7
Tabela opisuje wymiary stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnej długości 2 . Uzupełnij tabelkę przeciągając odpowiedzi w puste miejsca.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8

Średnica podstawy stożka jest równa 175, a jego wysokość 70. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy.

Średnica tak otrzymanego przekroju poprzecznego ma długość 70.

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, który otrzymano w wyniku przekroju.

R3gq1NMYI26Xa1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ROHofke0mrfGp
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXrr0GEGgeXkX2
Ćwiczenie 9
Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeżeli taki przekrój osiowy ma pole równe 163 cm2, to pole powierzchni bocznej stożka wynosi 1. 14, 2. 12,5π, 3. 24π, 4. 17,5, 5. 32π, 6. 16π cm2.Jeżeli taki przekrój osiowy ma obwód równy 15 cm, to pole powierzchni bocznej stożka wynosi 1. 14, 2. 12,5π, 3. 24π, 4. 17,5, 5. 32π, 6. 16π cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R88dIInb8Bt9V2
Ćwiczenie 10
Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 3864π, a pole podstawy 3136π. Oblicz wysokość stożka. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wysokość stożka wynosi 1. 975, 2. 565, 3. 735, 4. 355.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1cfMuMVwun5Y2
Ćwiczenie 11
Kąt rozwarcia stożka jest równy 120°, a tworząca jest równa 8. Oblicz obwód podstawy i wysokość stożka. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. L=8π3, H=4, 2. L=4π3, H=2, 3. L=6π3, H=8, 4. L=10π3, H=6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 12

Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła przedstawionym na rysunku.

R15oyoC1f0Dq51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R6X6FTrwFMFIW
Oblicz pola podstaw stożków. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole podstawy stożka, o powierzchni bocznej przedstawionej na rysunku A, wynosi 1. 169π, 2. 259π, 3. 494π, 4. 2890169π, 5. 3025144π, 6. 647π.Pole podstawy stożka, o powierzchni bocznej przedstawionej na rysunku B, wynosi 1. 169π, 2. 259π, 3. 494π, 4. 2890169π, 5. 3025144π, 6. 647π.Pole podstawy stożka, o powierzchni bocznej przedstawionej na rysunku C, wynosi 1. 169π, 2. 259π, 3. 494π, 4. 2890169π, 5. 3025144π, 6. 647π.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RM2Gau0uGypva2
Ćwiczenie 13
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 1. 72π, 2. 78π, 3. 74π, 4. 76π cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R9W9d10pmSKDc2
Ćwiczenie 14
Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi 100π cm. Promień podstawy stożka ma długość 5 cm. Oblicz długość tworzącej tego stożka. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość tworzącej tego stożka wynosi 1. 15, 2. 25, 3. 35, 4. 5 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RiWgQ2UjJuOkn2
Ćwiczenie 15
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Przekrój stożka może być trójkątem rozwartokątnym., 2. Każdy przekrój stożka jest kołem., 3. Stożek jest bryłą obrotową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16

Oceń prawdziwość zdania.

Istnieje stożek, którego pole powierzchni bocznej jest równe polu powierzchni jego podstawy. Odpowiedź uzasadnij.

RZycvnAs38Cts
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R18ZWNPDLa03R3
Ćwiczenie 17
Oblicz pole całkowite powierzchni stożka, którego powierzchnię boczną utworzono z półkola o promieniu długości a. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednie wyrażenie lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni całkowitej jest równe 1. 35πa2, 2. 34πa2, 3. 14πa2, 4. 25πa2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjTp34jtZ3NEy3
Ćwiczenie 18
Koło o promieniu długości 10 cm rozcięto na dwa wycinki kołowe. Jeden z wycinków odpowiada kątowi środkowemu o mierze 60°. Z każdego wycinka utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz sumę długości promieni podstaw tych stożków. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Suma długości tych promieni wynosi 1. 10, 2. 20, 3. 30, 4. 40 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rugar2oVV74Cd3
Ćwiczenie 19
Koło o promieniu długości a cm rozcięto na dwa wycinki kołowe. Jeden z wycinków odpowiada kątowi środkowemu o mierze α°. Z każdego wycinka utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz sumę długości promieni podstaw tych stożków. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednie wyrażenie lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Suma długości tych promieni wynosi 1. 3a, 2. 2a, 3. 4a, 4. a cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RbLsFgrpBJTs43
Ćwiczenie 20
Tworząca stożka ma długość 20 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni tego stożka wynosi 1. 100π23+3, 2. 50π43+3, 3. 50π25+3, 4. 100π45+3 cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RAq1kn3CB8Ra83
Ćwiczenie 21
Kąt między tworzącą i wysokością stożka ma miarę 45°. Promień podstawy stożka ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 1. 255π, 2. 152π, 3. 155π, 4. 252π cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 22

Naszkicuj bryłę powstałą w wyniku obrotu trapezu prostokątnego wokół jego dłuższej podstawy. Podstawy trapezu mają długości 5 cm8 cm, a wysokość trapezu ma długość 4 cm.

RKGGmBEnrZaqa
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RmLqS1Sebg88S3
Uzupełnij zdanie o szukaną liczbę. Pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły jest równe Tu uzupełnijπ cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RJcwgFUQlZnj93
Ćwiczenie 22
Podstawy pewnego trapezu prostokątnego mają długości 5 cm8 cm, a wysokość trapezu ma długość 4 cm. W wyniku obrotu tego trapezu wokół jego dłuższej podstawy powstała bryła. Uzupełnij zdanie o szukaną liczbę. Pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły jest równe 1. 87, 2. 64, 3. 76, 4. 70π cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej.