W tym rozdziale zajmiemy się funkcjami zwanymi wielomianami. Każda funkcja liniowa fx=ax+b i każda funkcja kwadratowa gx=ax2+bx+c jest wielomianem. Innymi przykładami wielomianów są funkcje

Wx=x3-2x, Vx=2x7-3x2+3, Rx=10x5.
Wielomian
Definicja: Wielomian

Wielomianem zmiennej x stopnia n, (n – liczba naturalna dodatnia) nazywamy funkcję określoną wzorem

Wx=anxn+an-1xn-1++a1x+a0,

gdzie x, an0 oraz an-1, an-2, , a1, a0 są liczbami rzeczywistymi. Liczby
an, an-1, an-2, , a1, a0 nazywamy współczynnikami wielomianu.

  • Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała Wx=a0, gdzie a00, jest wielomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową Wx=0 nazywamy wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.

  • Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa fx=ax+b jest wielomianem stopnia pierwszego, gdy a0, a funkcja kwadratowa

    gx=ax2+bx+c,

    jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście a0, gdyż inaczej nie byłaby to funkcja kwadratowa.

Przykład 1
  • Funkcja określona wzorem Wx=2x7+x2-3x jest wielomianem stopnia 7. Współczynniki tego wielomianu są równe odpowiednio a7=2, bo taka liczba stoi przy x7, a6=a5=a4=a3=0, bo te potęgi x nie występują we wzorze funkcji, a2=1, a1=-3 oraz a0=0, gdyż wyraz wolny nie występuje we wzorze funkcji. Wzór tej funkcji moglibyśmy zapisać w postaci

    Wx=2x7+0·x6+0·x5+0·x4+0·x3+x2-3x+0.
  • Funkcja Px=5x+5x3+7x2 jest wielomianem stopnia 3, choć wielomian ten nie został zapisany w postaci uporządkowanej, jaką byłaby postać

    Px=5x3+7x2+5x.
  • Funkcja Vx=5x3+7x2+5x nie jest wielomianem, ponieważ we wzorze tej funkcji występuje 5x, czyli 5x12, a więc zmienna x nie występuje tu w potędze o wykładniku naturalnym.

  • Funkcja Qx=2x+3x2 nie jest wielomianem, gdyż 1x=x-1 nie jest naturalną potęgą zmiennej x.

  • Funkcja Rx=5 jest wielomianem stopnia zerowego.

1
Przykład 2

Przyjrzyj się wykresom niektórych funkcji wielomianowych.

RoeX6fsd6PVkv1
"Animacja prezentuje układ współrzędnych, w którym rysowane są wykresy następujących funkcji: f(x) = a razy x +b
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z opisami wykresów niektórych funkcji wielomianowych.

Najprostszymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym fx=ax+b. Są to funkcje liniowe, a wykresami takich funkcji jest zawsze pewna prosta. Parametry a wpływa na nachylenie tej prsotej, a parametr b wpływa na położenie tej prostej.

  • Dla parametrów a=2b=2 wykres przedstawia prostą rosnącą, która przecina oś X w puncie -1, 0 i przecina oś Y w punkcie 0, 2. Wykres tej funkcji przechodzi przez pierwszą, drugą i trzecią ćwiartkę układu.

  • Dla parametrów a=-1b=-4 wykres przedstawia prostą malejącą, która przecina oś X w punkcie -4, 0 i przecina oś Y w punkcie 0, -4. Wykres tej funkcji przechodzi przez drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu.

Kolejnymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym fx=ax2+bx+c. Są to funkcje kwadratowe, a wykresami takich funkcji jest zawsze pewna parabola. Parametr a wpływa na rozwartość oraz kierunek ramion paraboli, a parametry b i c wpływają na jej położenie w układzie. Wartość parametru c zawsze odpowiada drugiej współrzędnej punktu przecięcia paraboli z osią Y.

  • Dla parametrów a=2, b=4c=2 wykres przedstawia parabolę z ramionami skierowanymi do góry o wierzchołku w punkcie -1, 0. Parabola przecina oś Y w punkcie 0, 2.

  • Dla parametrów a=-4, b=0c=1 wykres przedstawia parabolę z ramionami skierowanymi w dół o wierzchołku w punkcie 0, 1. Parabola przecina oś X w punktach 0,-120, 12.

Kolejnymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym  fx=ax3+bx2+cx+d. Są to funkcje wielomianowe trzeciego stopnia, a wykresami takich funkcji jest zawsze pewna krzywa. Parametry a, b, c i d wpływają na kształt oraz położenie tej krzywej.

  • Dla parametrów a=1, b=-4, c=3, d=2 wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w minus nieskończoności, przecina oś X w okolicach punktu -25, 0 i rośnie aż do okolic punktu 12, 212. Następnie funkcja maleje do okolic punktu 2,-14 przecinając chwilę wcześniej oś X. W kolejnym etapie funkcja ponownie przecina oś X i szybko rośnie do nieskończoności.

  • Dla parametrów a=-2, b=1, c=3, d=0 wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w nieskończoności, przecina oś X w punkcie -1, 0 i maleje do okolic punktu -12,-1. Następnie funkcja rośnie, przecinając oś X w punkcie 0, 0, do okolic punktu 1, 2. W kolejnym etapie funkcja ponownie maleje, tym razem do minus nieskończoności, przecinając wcześniej oś X w punkcie 0, 112.

Kolejnymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym fx=ax4+bx3+cx2+dx+e. Są to funkcje wielomianowe czwartego stopnia, a wykresami takich funkcji jest zawsze pewna krzywa. Parametry a, b, c, d i e wpływają na kształt oraz położenie tej krzywej.

  • Dla parametrów a=1, b=2, c=-1, d=1e=2 wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w nieskończoności, przecina oś X w okolicach punktu -2, 0 i maleje do okolic punktu -2,-414. Następnie funkcja zaczyna rosnąć, przecina oś X w okolicach punktu -1, 0, i rośnie aż do punktu 0, 2. Mijając ten punkt wykres lekko się zakrzywia, ale nie przestaje rosnąć i rośnie aż do nieskończoności.

  • Dla parametrów a=-2, b=-4, c=1, d=4e=3 wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w minus nieskończoności, przecina oś X w okolicach punktu -212, 0 i rośnie do okolic punktu -2, 212. Następnie funkcja zaczyna maleć do okolic punktu -12, 112. Mijając ten punkt wykres zaczyna rosnąć, przecina oś Y w punkcie 0, 3 i rośnie aż do okolic punktu 12, 412. W ostatnim etapie funkcja szybko maleje, przecinając oś X w okolicach punktu 1, 0, do minus nieskończoności.

Przykład 3

Wielomian jest funkcją zmiennej x. Możemy obliczyć jego wartość dla danego argumentu x. Obliczmy na przykład wartość wielomianu Wx=x3-2x dla x=-2 oraz dla x=-2.

  • W miejsce x podstawiamy liczbę -2 i otrzymujemy

    W-2=-23-2·-2=-8+4=-4.
  • W miejsce x podstawiamy liczbę -2 i otrzymujemy

    W-2=-23-2·-2=-22+22=0.

Zauważmy, że W-2=0, zatem liczba x=2 jest miejscem zerowym wielomianu Wx=x3-2x. Miejsce zerowe wielomianu nazywamy często, podobnie jak miejsce zerowe funkcji kwadratowej, pierwiastkiem tego wielomianu.

Na wielomianach możemy wykonywać różne działania, między innymi możemy je dodawać, odejmować i mnożyć. Działania na wielomianach wykonujemy podobnie jak działania na wyrażeniach algebraicznych.

Przykład 4

Dodamy wielomiany Vx=2x3-3x2+3 oraz Px=-2x2+x-7.

Suma tych wielomianów jest równa

Vx+Px=2x3-3x2+3+-2x2+x-7.

Wyrazy podobne to takie składniki sumy, w których x występuje w tej samej potędze. W rozważanej sumie występują dwie pary wyrazów podobnych

Vx+Px=2x3-3x2+3-2x2+x-7.

Wyrazy podobne redukujemy, a więc

-3x2-2x2=-5x2

oraz

+3-7=-4.

Ostatecznie otrzymujemy

Vx+Px=2x3-5x2+x-4.

Zatem sumą wielomianów VxPx jest również wielomian.

Przykład 5

Odejmijmy wielomiany Vx=2x3-3x2+3Px=-2x2+x-7.

Różnica wielomianów VxPx jest równa

Vx-Px=2x3-3x2+3--2x2+x-7.

Zapiszmy tę różnicę bez użycia nawiasów, pamiętając, że znak minus przed drugim nawiasem powoduje, że opuszczając go, zmieniamy znaki wszystkich składników sumy w tym nawiasie na przeciwne.

Vx-Px=2x3-3x2+3+2x2-x+7.

Następnie, tak jak przy dodawaniu, wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Otrzymujemy

Vx-Px=2x3-3x2+3+2x2-x+7=2x3-x2-x+10.

Zatem różnica dwóch wielomianów też jest wielomianem.

Przykład 6

Pomnożymy wielomiany Wx=x3-2x oraz Qx=3x-5.

Ich iloczyn jest równy

Wx·Qx=x3-2x3x-5.

Mnożymy każdy wyraz sumy z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz sumy z drugiego nawiasu

x3·3x+x3·-5-2x·3x-2x·-5.

Po uporządkowaniu wyrażenia, otrzymujemy

Wx·Qx=3x4-5x3-6x2+10x.

Zatem iloczyn dwóch wielomianów też jest wielomianem.

Przykład 7

Wykonamy działania

x2-32-2xx3-2x+4=x22-2x23+32-2xx3-
+2x-2x-2x4=x4-6x2+9-2x4+4x2-8x.

Wykonamy redukcję wyrazów podobnych

x4-6x2+9-2x4+4x2-8x=-x4-2x2-8x+9.
Przykład 8

Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi liczbami całkowitymi. Jakim wzorem wyrazi się pole powierzchni i objętość tego prostopadłościanu w zależności od długości najkrótszej krawędzi prostopadłościanu?

Oznaczmy przez x długość najkrótszej krawędzi prostopadłościanu. Wtedy pozostałe dwie krawędzie są równe x+1 oraz x+2, gdzie x jest liczbą naturalną dodatnią.

RFADpyV9eF9ia1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami. Zatem pole Pc powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe

Pc=2xx+1+2xx+2+2x+1x+2=2x2+2x+2x2+4x+
+2x2+x+2x+2=4x2+6x+2x2+2x+4x+4=6x2+12x+4.

Objętość V tego prostopadłościanu jest równa

V = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = ( x 2 + x ) ( x + 2 ) = x 3 + x 2 + 2 x 2 + 2 x = x 3 + 3 x 2 + 2 x .
Przykład 9

Wyznacz wszystkie wartości a, dla których wartość wielomianu

Wx=ax3+1-a2x2+5ax+3a+3

dla argumentu 2 jest równa 3.

Chcemy wyznaczyć wszystkie te wartości parametru a, dla których W2=3.

Podstawiamy więc 2 w miejsce x i otrzymujemy

a23+1-a222+5a2-3a+3=3.

Przekształcając to równanie do postaci

8a+4-4a2+10a-3a=0,

a następnie porządkując je, otrzymujemy równanie kwadratowe

-4a2+15a+4=0,

dla którego Δ=289.

Równanie to ma więc dwa rozwiązania a1=-15-17-8=4 oraz a2=-15+17-8=-14.

R1ar122Ckd66A1
Ćwiczenie 1
Wx=x3+x2+x+1 oraz Vx=-x2+3x-1. Wtedy wielomian Wx-Vx jest równy: Możliwe odpowiedzi: 1. 3x3-2x+2, 2. x3+2x2-2x+2, 3. x3+4x, 4. x3-2x2-2x-2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1VZMyGP096H11
Ćwiczenie 2
Wartość wielomianu Wx=x4-9x+3 dla argumentu 3 jest równa: Możliwe odpowiedzi: 1. 0, 2. -63+3, 3. 63+3, 4. -183
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RNrvtuOPh6rI72
Ćwiczenie 3
Który z podanych wielomianów dla argumentu x=-2 przyjmuje wartość 0? Możliwe odpowiedzi: 1. Wx=x3-2x2, 2. Wx=2x4+x3-2x, 3. Wx=x4+2x3, 4. Wx=-2x3+4x2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IeDz8IuA3f12
Ćwiczenie 4
Wielomian Wx=2x4-ax3+x2-a dla argumentu -2 przyjmuje wartość -1. Wtedy: Możliwe odpowiedzi: 1. a=-377, 2. a=3, 3. a=2,5, 4. a=-2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HiHesNlIYn02
Ćwiczenie 5
Dla wielomianu Wx=x4-2x2+7. Możliwe odpowiedzi: 1. W2>W-2, 2. W0>7, 3. W1>W-3, 4. W100=W-100
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RkVI0ZMTKpD6j2
Ćwiczenie 6
Wybierz wielomian, który przyjmuje tylko wartości ujemne. Możliwe odpowiedzi: 1. Wx=x2-x4, 2. Wx=-x5-x3, 3. Wx=-x4-x2-2, 4. Wx=-x5+1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RglvtWiIdLAM62
Ćwiczenie 7
Wielomian Wx=2x3-4x2+5 jest sumą wielomianu Px=x4+4x2+5 oraz wielomianu Qx.
Wtedy: Możliwe odpowiedzi: 1. Qx=x4-8x2, 2. Qx=-x4+2x3-8x2, 3. Qx=x4+2x3+10, 4. Qx=-x4+2x3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RN7HYs39v38jN2
Ćwiczenie 8
Wielomian Wx=2-3x2+3x4+9x2 jest równy: Możliwe odpowiedzi: 1. 16-81x4, 2. 16+81x4, 3. 4+9x22, 4. 4-9x22
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9
R1ISRtJuctZ2x
Dane są wielomiany Wx=3x7+4x3-2x5 oraz Vx=2x7-2x5-x3.
Wtedy: Możliwe odpowiedzi: 1. Wx+Vx=5x7+2x3-3x5, 2. Wx-Vx=x7+5x3, 3. Wx+Vx=5x7+3x3-4x5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10
R1FVW8LehBHIi
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja Wx=7x3+2x-9 jest wielomianem stopnia 9., 2. Funkcja Vx=2x+7 jest wielomianem stopnia 2., 3. Funkcja Px=7x jest wielomianem stopnia 1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 11
R1SlJ581Ei8j4
Wykonaj działanie WxVx, gdy Wx=-4x5+2x4+x3 oraz Vx=x2-2x. Wynikiem tego działania jest wielomian: Możliwe odpowiedzi: 1. -4x7+10x6-3x5-2x4, 2. -2x7+10x6-3x5-4x4, 3. -6x7+15x6-5x5-1x4, 4. -4x7+20x6-6x5-2x4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 12
Rv0KhnPQYzSjD
Dane są wielomiany Px=-3x3-3x2+7 oraz Qx=2x3+3x2. Oblicz i przeciągnij odpowiednie wielomiany w puste pola. 1. Px+Qx = 1. 3x3-2x2+7, 2. -14x5-15x2+16, 3. -12x3-15x2+14, 4. -x3-5, 5. -5x3-6x2+7, 6. -6x6-15x5-9x4+14x3+21x2, 7. -6x6-10x5-9x4+16x3+23x2, 8. -x3+7
2. Px-Qx = 1. 3x3-2x2+7, 2. -14x5-15x2+16, 3. -12x3-15x2+14, 4. -x3-5, 5. -5x3-6x2+7, 6. -6x6-15x5-9x4+14x3+21x2, 7. -6x6-10x5-9x4+16x3+23x2, 8. -x3+7
3. 2Px-3Qx = 1. 3x3-2x2+7, 2. -14x5-15x2+16, 3. -12x3-15x2+14, 4. -x3-5, 5. -5x3-6x2+7, 6. -6x6-15x5-9x4+14x3+21x2, 7. -6x6-10x5-9x4+16x3+23x2, 8. -x3+7
4. PxQx = 1. 3x3-2x2+7, 2. -14x5-15x2+16, 3. -12x3-15x2+14, 4. -x3-5, 5. -5x3-6x2+7, 6. -6x6-15x5-9x4+14x3+21x2, 7. -6x6-10x5-9x4+16x3+23x2, 8. -x3+7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 13
RTVshGGycHGUc
Oblicz wartość wielomianu Wx-3Vx+2Px dla x=-1, gdy Wx=3x5-x4+6x2, Vx=x5+x4+2x, Px=3x4-3x+7. Wynik wpisz w puste pole. Wartość wielomianu wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 14

Znajdź wielomian Wx=VxPx-2Qx i określ jego stopień, jeżeli Vx=2x-3, Px=x2+3, Qx=x3-3x2-7.

RXKO6WGPgDwoF
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 15
R1ecu1iA6ZZwZ
Sprawdź, które z liczb a=0, b=7, c=4 są pierwiastkami wielomianu Wx=x3-7x2. Możliwe odpowiedzi: 1. a oraz b, 2. a oraz c, 3. b oraz c
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16
R17PYfFoREvKA
Dla jakiej wartości a wartość wielomianu Wx=x5-5x3+a2-1x-7 dla argumentu x=2 jest równa 1. Możliwe odpowiedzi: 1. a=3 lub a=-3, 2. a=2 lub a=-2, 3. a=4 lub a=-4, 4. a=5 lub a=-5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 17
RV0O5O6IMU3Fs
Dla jakiej wartości a wielomian Wx=ax3-5-ax2-a2x przyjmuje dla argumentu -1 taką samą wartość jak wielomian Px=5x4+7x? Wielomian przyjmuje taką samą wartość dla 1. a=4 lub a=-4, 2. a=5 lub a=-5, 3. a=3 lub a=-3, 4. a=2 lub a=-2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 18

Udowodnij, że wielomiany Px=x2-9x2-16 oraz Qx=x2-x-12x2+x-12 przyjmują taką samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

RHXmEBMZbxSPy
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 19

Udowodnij, że dla dowolnego x wartość wielomianu Wx=-x4+10x2-25 jest liczbą niedodatnią.

R1ItlGky4Oee4
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 20

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x takiej, że x3 wartość wielomianu Wx=-x4+6x2-9 jest liczbą ujemną.

Rv2oxtz5jSKlT
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.