Wielomiany - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym rozdziale zajmiemy się funkcjami zwanymi wielomianami. Każda funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ i każda funkcja kwadratowa $g (x) = a x^{2} + b x + c$ jest wielomianem. Innymi przykładami wielomianów są funkcje

W (x) = x^{3} - 2 x

V (x) = 2 x^{7} - 3 x^{2} + 3

R (x) = 10 x^{5}

Wielomian

Definicja: Wielomian

Wielomianem zmiennej $x$ stopnia $n$ , ( $n$ – liczba naturalna dodatnia) nazywamy funkcję określoną wzorem

W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

gdzie $x \in ℝ$ , $a_{n} \neq 0$ oraz $a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $\dots$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ są liczbami rzeczywistymi. Liczby
$a_{n}$ , $a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $\dots$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ nazywamy współczynnikami wielomianu.

Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała $W (x) = a_{0}$ , gdzie $a_{0} \neq 0$ , jest wielomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową $W (x) = 0$ nazywamy wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.
Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest wielomianem stopnia pierwszego, gdy $a \neq 0$ , a funkcja kwadratowa
$g (x) = a x^{2} + b x + c$ ,
jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście $a \neq 0$ , gdyż inaczej nie byłaby to funkcja kwadratowa.

Przykład 1

Funkcja określona wzorem $W (x) = 2 x^{7} {+ x}^{2} - 3 x$ jest wielomianem stopnia $7$ . Współczynniki tego wielomianu są równe odpowiednio $a_{7} = 2$ , bo taka liczba stoi przy $x^{7}$ , $a_{6} = a_{5} = a_{4} = a_{3} = 0$ , bo te potęgi $x$ nie występują we wzorze funkcji, $a_{2} = 1$ , $a_{1} = - 3$ oraz $a_{0} = 0$ , gdyż wyraz wolny nie występuje we wzorze funkcji. Wzór tej funkcji moglibyśmy zapisać w postaci
$W (x) = 2 x^{7} {+ 0 \cdot x^{6} + 0 \cdot x^{5} + 0 \cdot x^{4} + 0 {\cdot x}^{3} + x}^{2} - 3 x + 0$ .
Funkcja $P (x) = \sqrt{5} x + 5 x^{3} + 7 x^{2}$ jest wielomianem stopnia $3$ , choć wielomian ten nie został zapisany w postaci uporządkowanej, jaką byłaby postać
$P (x) = 5 x^{3} + 7 x^{2} + \sqrt{5} x$ .
Funkcja $V (x) = 5 x^{3} + 7 x^{2} + \sqrt{5 x}$ nie jest wielomianem, ponieważ we wzorze tej funkcji występuje $\sqrt{5 x}$ , czyli $\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , a więc zmienna $x$ nie występuje tu w potędze o wykładniku naturalnym.
Funkcja $Q (x) = \frac{2}{x} + 3 x^{2}$ nie jest wielomianem, gdyż $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ nie jest naturalną potęgą zmiennej $x$ .
Funkcja $R (x) = 5$ jest wielomianem stopnia zerowego.

Przykład 2

Przyjrzyj się wykresom niektórych funkcji wielomianowych.

RoeX6fsd6PVkv1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z opisami wykresów niektórych funkcji wielomianowych.

Najprostszymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym $f (x) = a x + b$ . Są to funkcje liniowe, a wykresami takich funkcji jest zawsze pewna prosta. Parametry $a$ wpływa na nachylenie tej prsotej, a parametr $b$ wpływa na położenie tej prostej.

Dla parametrów $a = 2$ i $b = 2$ wykres przedstawia prostą rosnącą, która przecina oś X w puncie $(- 1, 0)$ i przecina oś Y w punkcie $(0, 2)$ . Wykres tej funkcji przechodzi przez pierwszą, drugą i trzecią ćwiartkę układu.
Dla parametrów $a = - 1$ i $b = - 4$ wykres przedstawia prostą malejącą, która przecina oś $X$ w punkcie $(- 4, 0)$ i przecina oś $Y$ w punkcie $(0, - 4)$ . Wykres tej funkcji przechodzi przez drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu.

Kolejnymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Są to funkcje kwadratowe, a wykresami takich funkcji jest zawsze pewna parabola. Parametr $a$ wpływa na rozwartość oraz kierunek ramion paraboli, a parametry $b$ i $c$ wpływają na jej położenie w układzie. Wartość parametru $c$ zawsze odpowiada drugiej współrzędnej punktu przecięcia paraboli z osią $Y$ .

Dla parametrów $a = 2$ , $b = 4$ i $c = 2$ wykres przedstawia parabolę z ramionami skierowanymi do góry o wierzchołku w punkcie $(- 1, 0)$ . Parabola przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ .
Dla parametrów $a = - 4$ , $b = 0$ i $c = 1$ wykres przedstawia parabolę z ramionami skierowanymi w dół o wierzchołku w punkcie $(0, 1)$ . Parabola przecina oś $X$ w punktach $(0, - \frac{1}{2})$ i $(0, \frac{1}{2})$ .

Kolejnymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Są to funkcje wielomianowe trzeciego stopnia, a wykresami takich funkcji jest zawsze pewna krzywa. Parametry $a$ , $b$ , $c$ i $d$ wpływają na kształt oraz położenie tej krzywej.

Dla parametrów $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 3$ , $d = 2$ wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w minus nieskończoności, przecina oś $X$ w okolicach punktu $(- \frac{2}{5}, 0)$ i rośnie aż do okolic punktu $(\frac{1}{2}, 2 \frac{1}{2})$ . Następnie funkcja maleje do okolic punktu $(2, - \frac{1}{4})$ przecinając chwilę wcześniej oś $X$ . W kolejnym etapie funkcja ponownie przecina oś $X$ i szybko rośnie do nieskończoności.
Dla parametrów $a = - 2$ , $b = 1$ , $c = 3$ , $d = 0$ wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w nieskończoności, przecina oś $X$ w punkcie $(- 1, 0)$ i maleje do okolic punktu $(- \frac{1}{2}, - 1)$ . Następnie funkcja rośnie, przecinając oś $X$ w punkcie $(0, 0)$ , do okolic punktu $(1, 2)$ . W kolejnym etapie funkcja ponownie maleje, tym razem do minus nieskończoności, przecinając wcześniej oś $X$ w punkcie $(0, 1 \frac{1}{2})$ .

Kolejnymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym $f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ . Są to funkcje wielomianowe czwartego stopnia, a wykresami takich funkcji jest zawsze pewna krzywa. Parametry $a$ , $b$ , $c$ , $d$ i $e$ wpływają na kształt oraz położenie tej krzywej.

Dla parametrów $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 1$ , $d = 1$ i $e = 2$ wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w nieskończoności, przecina oś $X$ w okolicach punktu $(- 2, 0)$ i maleje do okolic punktu $(- 2, - 4 \frac{1}{4})$ . Następnie funkcja zaczyna rosnąć, przecina oś $X$ w okolicach punktu $(- 1, 0)$ , i rośnie aż do punktu $(0, 2)$ . Mijając ten punkt wykres lekko się zakrzywia, ale nie przestaje rosnąć i rośnie aż do nieskończoności.
Dla parametrów $a = - 2$ , $b = - 4$ , $c = 1$ , $d = 4$ i $e = 3$ wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w minus nieskończoności, przecina oś $X$ w okolicach punktu $(- 2 \frac{1}{2}, 0)$ i rośnie do okolic punktu $(- 2, 2 \frac{1}{2})$ . Następnie funkcja zaczyna maleć do okolic punktu $(- \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2})$ . Mijając ten punkt wykres zaczyna rosnąć, przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 3)$ i rośnie aż do okolic punktu $(\frac{1}{2}, 4 \frac{1}{2})$ . W ostatnim etapie funkcja szybko maleje, przecinając oś $X$ w okolicach punktu $(1, 0)$ , do minus nieskończoności.

Przykład 3

Wielomian jest funkcją zmiennej $x$ . Możemy obliczyć jego wartość dla danego argumentu $x$ . Obliczmy na przykład wartość wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x$ dla $x = - 2$ oraz dla $x = - \sqrt{2}$ .

W miejsce $x$ podstawiamy liczbę $(- 2)$ i otrzymujemy
$W (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 \cdot (- 2) = - 8 + 4 = - 4$ .
W miejsce $x$ podstawiamy liczbę $(- \sqrt{2})$ i otrzymujemy
$W (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 2 \cdot (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 0$ .

Zauważmy, że $W (- \sqrt{2}) = 0$ , zatem liczba $x = \sqrt{2}$ jest miejscem zerowym wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x$ . Miejsce zerowe wielomianu nazywamy często, podobnie jak miejsce zerowe funkcji kwadratowej, pierwiastkiem tego wielomianu.

Na wielomianach możemy wykonywać różne działania, między innymi możemy je dodawać, odejmować i mnożyć. Działania na wielomianach wykonujemy podobnie jak działania na wyrażeniach algebraicznych.

Przykład 4

Dodamy wielomiany $V (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3$ oraz $P (x) = - 2 x^{2} + x - 7$ .

Suma tych wielomianów jest równa

V (x) + P (x) = (2 x^{3} - 3 x^{2} + 3) + (- 2 x^{2} + x - 7)

Wyrazy podobne to takie składniki sumy, w których $x$ występuje w tej samej potędze. W rozważanej sumie występują dwie pary wyrazów podobnych

V (x) + P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 - 2 x^{2} + x - 7

Wyrazy podobne redukujemy, a więc

- 3 x^{2} - 2 x^{2} = - 5 x^{2}

oraz

+ 3 - 7 = - 4

Ostatecznie otrzymujemy

V (x) + P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 4

Zatem sumą wielomianów $V (x)$ i $P (x)$ jest również wielomian.

Przykład 5

Odejmijmy wielomiany $V (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3$ i $P (x) = - 2 x^{2} + x - 7$ .

Różnica wielomianów $V (x)$ i $P (x)$ jest równa

V (x) - P (x) = (2 x^{3} - 3 x^{2} + 3) - (- 2 x^{2} + x - 7)

Zapiszmy tę różnicę bez użycia nawiasów, pamiętając, że znak minus przed drugim nawiasem powoduje, że opuszczając go, zmieniamy znaki wszystkich składników sumy w tym nawiasie na przeciwne.

V (x) - P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 + 2 x^{2} - x + 7

Następnie, tak jak przy dodawaniu, wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Otrzymujemy

V (x) - P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 + 2 x^{2} - x + 7 = 2 x^{3} - x^{2} - x + 10

Zatem różnica dwóch wielomianów też jest wielomianem.

Przykład 6

Pomnożymy wielomiany $W (x) = x^{3} - 2 x$ oraz $Q (x) = 3 x - 5$ .

Ich iloczyn jest równy

W (x) \cdot Q (x) = (x^{3} - 2 x) \cdot (3 x - 5)

Mnożymy każdy wyraz sumy z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz sumy z drugiego nawiasu

x^{3} \cdot 3 x + x^{3} \cdot (- 5) - 2 x \cdot 3 x - 2 x \cdot (- 5)

Po uporządkowaniu wyrażenia, otrzymujemy

W (x) \cdot Q (x) = 3 x^{4} - 5 x^{3} - 6 x^{2} + 10 x

Zatem iloczyn dwóch wielomianów też jest wielomianem.

Przykład 7

Wykonamy działania

{(x^{2} - 3)}^{2} - 2 x (x^{3} - 2 x + 4) = {(x^{2})}^{2} - 2 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3^{2} - 2 x \cdot x^{3} -

+ 2 x \cdot (- 2 x) - 2 x \cdot 4 = x^{4} - 6 x^{2} + 9 - 2 x^{4} + 4 x^{2} - 8 x

Wykonamy redukcję wyrazów podobnych

x^{4} - 6 x^{2} + 9 - 2 x^{4} + 4 x^{2} - 8 x = - x^{4} - 2 x^{2} - 8 x + 9

Przykład 8

Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi liczbami całkowitymi. Jakim wzorem wyrazi się pole powierzchni i objętość tego prostopadłościanu w zależności od długości najkrótszej krawędzi prostopadłościanu?

Oznaczmy przez $x$ długość najkrótszej krawędzi prostopadłościanu. Wtedy pozostałe dwie krawędzie są równe $x + 1$ oraz $x + 2$ , gdzie $x$ jest liczbą naturalną dodatnią.

RFADpyV9eF9ia1

Rysunek prostopadłościanu o szerokości x+1, głębokości x oraz o wysokości x +2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami. Zatem pole $P_{c}$ powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe

P_{c} = 2 x (x + 1) + 2 x (x + 2) + 2 (x + 1) (x + 2) = 2 x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 4 x +

+ 2 (x^{2} + x + 2 x + 2) = 4 x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x + 4 x + 4 = 6 x^{2} + 12 x + 4

Objętość $V$ tego prostopadłościanu jest równa

V = x (x + 1) (x + 2) = (x^{2} + x) (x + 2) = x^{3} + x^{2} + 2 x^{2} + 2 x = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x

Przykład 9

Wyznacz wszystkie wartości $a$ , dla których wartość wielomianu

W (x) = a x^{3} + (1 - a^{2}) x^{2} + 5 a x + 3 a + 3

dla argumentu $2$ jest równa $3$ .

Chcemy wyznaczyć wszystkie te wartości parametru $a$ , dla których $W (2) = 3$ .

Podstawiamy więc $2$ w miejsce $x$ i otrzymujemy

a \cdot 2^{3} + (1 - a^{2}) {\cdot 2}^{2} + 5 a \cdot 2 - 3 a + 3 = 3

Przekształcając to równanie do postaci

8 a + 4 - 4 a^{2} + 10 a - 3 a = 0

a następnie porządkując je, otrzymujemy równanie kwadratowe

- 4 a^{2} + 15 a + 4 = 0

dla którego $Δ = 289$ .

Równanie to ma więc dwa rozwiązania $a_{1} = \frac{- 15 - 17}{- 8} = 4$ oraz $a_{2} = \frac{- 15 + 17}{- 8} = - \frac{1}{4}$ .

R1ar122Ckd66A1

Ćwiczenie 1

$3 x^{3} - 2 x + 2$
$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 2$
$x^{3} + 4 x$
$x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VZMyGP096H11

Ćwiczenie 2

$0$
$- 6 (\sqrt{3} + 3)$
$6 (\sqrt{3} + 3)$
$- 18 \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNrvtuOPh6rI72

Ćwiczenie 3

$W (x) = x^{3} - 2 x^{2}$
$W (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 2 x$
$W (x) = x^{4} + 2 x^{3}$
$W (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IeDz8IuA3f12

Ćwiczenie 4

$a = - \frac{37}{7}$
$a = 3$
$a = 2,5$
$a = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1HiHesNlIYn02

Ćwiczenie 5

$W (2) > W (- 2)$
$W (0) > 7$
$W (1) > W (- 3)$
$W (100) = W (- 100)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkVI0ZMTKpD6j2

Ćwiczenie 6

$W (x) = x^{2} - x^{4}$
$W (x) = - x^{5} - x^{3}$
${W (x) = - x}^{4} - x^{2} - 2$
$W (x) = - x^{5} + 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RglvtWiIdLAM62

Ćwiczenie 7

$Q (x) = x^{4} - 8 x^{2}$
$Q (x) = - x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2}$
$Q (x) = x^{4} + 2 x^{3} + 10$
$Q (x) = - x^{4} + 2 x^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RN7HYs39v38jN2

Ćwiczenie 8

$16 - 81 x^{4}$
$16 + 81 x^{4}$
${(4 + 9 x^{2})}^{2}$
${(4 - 9 x^{2})}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R1ISRtJuctZ2x

$W (x) + V (x) = 5 x^{7} + 2 x^{3} - 3 x^{5}$
$W (x) - V (x) = x^{7} + 5 x^{3}$
$W (x) + V (x) = 5 x^{7} + 3 x^{3} - 4 x^{5}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$W (x) + V (x) = (3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}) + (2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}) =$
$= 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5} + 2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3} = 5 x^{7} + 3 x^{3} - 4 x^{5}$ .
$W (x) - V (x) = (3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}) - (2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}) =$
$= 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 2 x^{7} + 2 x^{5} + x^{3} = x^{7} + 5 x^{3}$ .

Ćwiczenie 10

R1FVW8LehBHIi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $V (x)$ nie jest wielomianem, ponieważ występuje w niej wyrażenie $2^{x}$ , które nie jest naturalną potęgą zmiennej $x$ .
Funkcja $W (x)$ jest wielomianem, ale stopnia $3$ .
Funkcja $P (x)$ jest to funkcja liniowa i nie jest to funkcja stała, a więc jest to wielomian stopnia pierwszego.

Ćwiczenie 11

R1SlJ581Ei8j4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W (x) \cdot V (x) = (- 4 x^{5} + 2 x^{4} + x^{3}) (x^{2} - 2 x) =

= - 4 x^{5} \cdot x^{2} - 4 x^{5} \cdot (- 2 x) + 2 x^{4} \cdot x^{2} + 2 x^{4} \cdot (- 2 x) + x^{3} \cdot x^{2} + x^{3} \cdot (- 2 x) =

= - 4 x^{7} + 8 x^{6} + 2 x^{6} - 4 x^{5} + x^{5} - 2 x^{4} = - 4 x^{7} + 10 x^{6} - 3 x^{5} - 2 x^{4}

Ćwiczenie 12

Rv0KhnPQYzSjD

Dane są wielomiany

P (x) = - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7

oraz

Q (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2}

. Oblicz i przeciągnij odpowiednie wielomiany w puste pola. 1.

P (x) + Q (x)

=

3 x^{3} - 2 x^{2} + 7

, 2.

- 14 x^{5} - 15 x^{2} + 16

, 3.

- 12 x^{3} - 15 x^{2} + 14

, 4.

- x^{3} - 5

, 5.

- 5 x^{3} - 6 x^{2} + 7

, 6.

- 6 x^{6} - 15 x^{5} - 9 x^{4} + 14 x^{3} + 21 x^{2}

, 7.

- 6 x^{6} - 10 x^{5} - 9 x^{4} + 16 x^{3} + 23 x^{2}

, 8.

- x^{3} + 7

P (x) - Q (x)

=

3 x^{3} - 2 x^{2} + 7

, 2.

- 14 x^{5} - 15 x^{2} + 16

, 3.

- 12 x^{3} - 15 x^{2} + 14

, 4.

- x^{3} - 5

, 5.

- 5 x^{3} - 6 x^{2} + 7

, 6.

- 6 x^{6} - 15 x^{5} - 9 x^{4} + 14 x^{3} + 21 x^{2}

, 7.

- 6 x^{6} - 10 x^{5} - 9 x^{4} + 16 x^{3} + 23 x^{2}

, 8.

- x^{3} + 7

2 P (x) - 3 Q (x)

=

3 x^{3} - 2 x^{2} + 7

, 2.

- 14 x^{5} - 15 x^{2} + 16

, 3.

- 12 x^{3} - 15 x^{2} + 14

, 4.

- x^{3} - 5

, 5.

- 5 x^{3} - 6 x^{2} + 7

, 6.

- 6 x^{6} - 15 x^{5} - 9 x^{4} + 14 x^{3} + 21 x^{2}

, 7.

- 6 x^{6} - 10 x^{5} - 9 x^{4} + 16 x^{3} + 23 x^{2}

, 8.

- x^{3} + 7

P (x) \cdot Q (x)

=

3 x^{3} - 2 x^{2} + 7

, 2.

- 14 x^{5} - 15 x^{2} + 16

, 3.

- 12 x^{3} - 15 x^{2} + 14

, 4.

- x^{3} - 5

, 5.

- 5 x^{3} - 6 x^{2} + 7

, 6.

- 6 x^{6} - 15 x^{5} - 9 x^{4} + 14 x^{3} + 21 x^{2}

, 7.

- 6 x^{6} - 10 x^{5} - 9 x^{4} + 16 x^{3} + 23 x^{2}

, 8.

- x^{3} + 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P (x) + Q (x) = - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7 + 2 x^{3} + 3 x^{2} = 7 - x^{3}$ ,
$P (x) - Q (x) = (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7) - (2 x^{3} + 3 x^{2}) =$
$= - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7 - 2 x^{3} - 3 x^{2} = - 5 x^{3} - 6 x^{2} + 7$ ,
$2 P (x) - 3 Q (x) = 2 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7) - 3 (2 x^{3} + 3 x^{2}) =$
$= - 6 x^{3} - 6 x^{2} + 14 - 6 x^{3} - 9 x^{2} = - 12 x^{3} - 15 x^{2} + 14$ ,
$P (x) \cdot Q (x) = (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7) (2 x^{3} + 3 x^{2}) =$
$= - 6 x^{6} - 6 x^{5} + 14 x^{3} - 9 x^{5} - 9 x^{4} + 21 x^{2} =$
$= - 6 x^{6} - 15 x^{5} - 9 x^{4} + 14 x^{3} + 21 x^{2}$ .

Ćwiczenie 13

RTVshGGycHGUc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$W (x) - 3 V (x) + 2 P (x) = (3 x^{5} - x^{4} + 6 x^{2}) - 3 (x^{5} + x^{4} + 2 x) +$
$+ 2 (3 x^{4} - 3 x + 7) = 3 x^{5} - x^{4} + 6 x^{2} - 3 x^{5} - 3 x^{4} - 6 x + 6 x^{4} - 6 x + 14 =$
$= 3 x^{5} - x^{4} + 6 x^{2} - 3 x^{5} - 3 x^{4} - 6 x + 6 x^{4} - 6 x + 14 = 2 x^{4} + 6 x^{2} - 12 x + 14$ .

Podstawiając w miejsce $x$ liczbę $(- 1)$ , otrzymujemy

2 \cdot {(- 1)}^{4} + 6 \cdot {(- 1)}^{2} - 12 \cdot (- 1) + 14 = 2 + 6 + 12 + 14 = 34

Ćwiczenie 14

Znajdź wielomian $W (x) = V (x) \cdot P (x) - 2 Q (x)$ i określ jego stopień, jeżeli $V (x) = 2 x - 3$ , $P (x) = x^{2} + 3$ , $Q (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 7$ .

RXKO6WGPgDwoF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$W (x) = V (x) \cdot P (x) - 2 Q (x) = (2 x - 3) \cdot (x^{2} + 3) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} - 7) =$
$= 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 14 = 3 x^{2} + 6 x + 5$ .

Jest to wielomian drugiego stopnia, ponieważ najwyższą potęgą, w jakiej występuje $x$ , jest $2$ .

Ćwiczenie 15

R1ecu1iA6ZZwZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawiamy w miejsce $x$ liczbę $a = 0$ i otrzymujemy $W (0) = 0^{3} - 7 {\cdot 0}^{2} = 0$ . Zatem liczba $0$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ .

Podstawiamy w miejsce $x$ liczbę $b = 7$ i otrzymujemy $W (7) = 7^{3} - 7 {\cdot 7}^{2} = 0$ . Liczba $7$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ .

Podstawiamy w miejsce $x$ liczbę $c = 4$ i otrzymujemy $W (4) = 4^{3} - 7 {\cdot 4}^{2} = 64 - 112 = - 48$ , więc liczba $4$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ .

Ćwiczenie 16

R17PYfFoREvKA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wartość wielomianu dla argumentu $x = 2$ jest równa $1$ , czyli $2^{5} - 5 \cdot 2^{3} + (a^{2} - 1) 2 - 7 = 1$ .

Zatem $32 - 5 \cdot 8 + 2 a^{2} - 2 - 7 = 1$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie $2 a^{2} = 18$ , stąd $a^{2} = 9$ .

Ostatecznie $a = 3$ lub $a = - 3$ .

Ćwiczenie 17

RV0O5O6IMU3Fs

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wartość wielomianu $P (x)$ dla argumentu $(- 1)$ jest równa

P (- 1) = 5 \cdot {(- 1)}^{4} + 7 \cdot (- 1) = 5 - 7 = - 2

Zatem szukamy wartości parametru $a$ , dla której $W (- 1) = - 2$ . Wstawiając w miejsce $x$ argument $(- 1)$ , otrzymujemy

W (- 1) = a \cdot {(- 1)}^{3} - (5 - a) \cdot {(- 1)}^{2} - a^{2} \cdot (- 1) = - 2

Przekształcając to równanie równoważnie, mamy $- a - 5 + a + a^{2} + 2 = 0$ , czyli $a^{2} - 3 = 0$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy $(a - \sqrt{3}) (a + \sqrt{3}) = 0$ , stąd ostatecznie odczytujemy dwa rozwiązania $a = \sqrt{3}$ lub $a = - \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 18

Udowodnij, że wielomiany $P (x) = (x^{2} - 9) (x^{2} - 16)$ oraz $Q (x) = (x^{2} - x - 12) (x^{2} + x - 12)$ przyjmują taką samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

RHXmEBMZbxSPy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$ :

Zapiszmy oba wielomiany w postaci sumy
$P (x) = (x^{2} - 9) (x^{2} - 16) = x^{4} - 9 x^{2} - 16 x^{2} + 144 = x^{4} - 25 x^{2} + 144$ oraz
$Q (x) = (x^{2} - x - 12) (x^{2} + x - 12) = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + x^{3} - x^{2} - 12 x - 12 x^{2} +$
$+ 12 x + 144 = x^{4} - 25 x^{2} + 144$ .

Zauważmy, że $P (x)$ oraz $Q (x)$ opisane są tym samym wzorem. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ przyjmują więc tę samą wartość.

sposób $II$ :

Zapiszmy oba wielomiany w postaci iloczynu czynników liniowych.

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, mamy $P (x) = (x - 3) (x + 3) (x - 4) (x + 4)$ .

Wielomian $Q (x)$ jest iloczynem dwóch trójmianów kwadratowych. Każdy z nich przedstawimy w postaci iloczynowej.

Wyróżnik trójmianu $W (x) = x^{2} - x - 12$ jest równy $Δ = 1 - 4 \cdot (- 12) = 49$ , czyli trójmian ten ma dwa miejsca zerowe $x = \frac{1 - 7}{2} = - 3$ oraz $x = \frac{1 + 7}{2} = 4$ .

Wyróżnik trójmianu $x^{2} + x - 12$ jest równy $Δ = 1 - 4 \cdot (- 12) = 49$ , czyli trójmian ten ma również dwa miejsca zerowe $x = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$ oraz $x = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ .

Ostatecznie więc wielomian $Q (x)$ możemy zapisać w postaci

Q (x) = (x + 3) (x - 4) (x + 4) (x - 3) = (x - 3) (x + 3) (x - 4) (x + 4)

Zauważmy, że $P (x)$ oraz $Q (x)$ opisane są tym samym wzorem, przyjmują więc tę samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

Ćwiczenie 19

Udowodnij, że dla dowolnego $x$ wartość wielomianu $W (x) = - x^{4} + 10 x^{2} - 25$ jest liczbą niedodatnią.

R1ItlGky4Oee4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$W (x) = - x^{4} + 10 x^{2} - 25 = - (x^{4} - 10 x^{2} + 25) = - {(x^{2} - 5)}^{2} \leq 0$ .

Ćwiczenie 20

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ takiej, że $|x| \neq \sqrt{3}$ wartość wielomianu $W (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 9$ jest liczbą ujemną.

Rv2oxtz5jSKlT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$W (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 9 = - (x^{4} - 6 x^{2} + 9) = - {(x^{2} - 3)}^{2} \leq 0$ .

Równość zachodzi tylko wtedy, gdy $x^{2} - 3 = 0$ .

Równanie to jest równoważne równaniu $x^{2} = 3$ , które ma dwa rozwiązania $x_{1} = \sqrt{3}$ oraz $x_{2} = - \sqrt{3}$ .

Zauważmy, że dla obu rozwiązań $|x| = \sqrt{3}$ .

Zatem, gdy $|x| \neq \sqrt{3}$ wartość jest liczbą ujemną.