Wielomiany
W tym rozdziale zajmiemy się funkcjami zwanymi wielomianami. Każda funkcja liniowa
Wielomianem zmiennej
gdzie
Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała
, gdzie , jest wielomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową nazywamy wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa
jest wielomianem stopnia pierwszego, gdy , a funkcja kwadratowa ,jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście
, gdyż inaczej nie byłaby to funkcja kwadratowa.
Funkcja określona wzorem
jest wielomianem stopnia . Współczynniki tego wielomianu są równe odpowiednio , bo taka liczba stoi przy , , bo te potęgi nie występują we wzorze funkcji, , oraz , gdyż wyraz wolny nie występuje we wzorze funkcji. Wzór tej funkcji moglibyśmy zapisać w postaci .Funkcja
jest wielomianem stopnia , choć wielomian ten nie został zapisany w postaci uporządkowanej, jaką byłaby postać .Funkcja
nie jest wielomianem, ponieważ we wzorze tej funkcji występuje , czyli , a więc zmienna nie występuje tu w potędze o wykładniku naturalnym.Funkcja
nie jest wielomianem, gdyż nie jest naturalną potęgą zmiennej .Funkcja
jest wielomianem stopnia zerowego.
Przyjrzyj się wykresom niektórych funkcji wielomianowych.


Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/Pb0RMZMu3
Zapoznaj się z opisami wykresów niektórych funkcji wielomianowych.
Najprostszymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym
Dla parametrów
i wykres przedstawia prostą rosnącą, która przecina oś X w puncie i przecina oś Y w punkcie . Wykres tej funkcji przechodzi przez pierwszą, drugą i trzecią ćwiartkę układu.Dla parametrów
i wykres przedstawia prostą malejącą, która przecina oś w punkcie i przecina oś w punkcie . Wykres tej funkcji przechodzi przez drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu.
Kolejnymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym
Dla parametrów
, i wykres przedstawia parabolę z ramionami skierowanymi do góry o wierzchołku w punkcie . Parabola przecina oś w punkcie .Dla parametrów
, i wykres przedstawia parabolę z ramionami skierowanymi w dół o wierzchołku w punkcie . Parabola przecina oś w punktach i .
Kolejnymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym
Dla parametrów
, , , wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w minus nieskończoności, przecina oś w okolicach punktu i rośnie aż do okolic punktu . Następnie funkcja maleje do okolic punktu przecinając chwilę wcześniej oś . W kolejnym etapie funkcja ponownie przecina oś i szybko rośnie do nieskończoności.Dla parametrów
, , , wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w nieskończoności, przecina oś w punkcie i maleje do okolic punktu . Następnie funkcja rośnie, przecinając oś w punkcie , do okolic punktu . W kolejnym etapie funkcja ponownie maleje, tym razem do minus nieskończoności, przecinając wcześniej oś w punkcie .
Kolejnymi funkcjami wielomianowymi są funkcje dane wzorem ogólnym
Dla parametrów
, , , i wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w nieskończoności, przecina oś w okolicach punktu i maleje do okolic punktu . Następnie funkcja zaczyna rosnąć, przecina oś w okolicach punktu , i rośnie aż do punktu . Mijając ten punkt wykres lekko się zakrzywia, ale nie przestaje rosnąć i rośnie aż do nieskończoności.Dla parametrów
, , , i wykres przedstawia krzywą, która zaczyna swój bieg w minus nieskończoności, przecina oś w okolicach punktu i rośnie do okolic punktu . Następnie funkcja zaczyna maleć do okolic punktu . Mijając ten punkt wykres zaczyna rosnąć, przecina oś w punkcie i rośnie aż do okolic punktu . W ostatnim etapie funkcja szybko maleje, przecinając oś w okolicach punktu , do minus nieskończoności.
Wielomian jest funkcją zmiennej
W miejsce
podstawiamy liczbę i otrzymujemy .W miejsce
podstawiamy liczbę i otrzymujemy .
Zauważmy, że
Na wielomianach możemy wykonywać różne działania, między innymi możemy je dodawać, odejmować i mnożyć. Działania na wielomianach wykonujemy podobnie jak działania na wyrażeniach algebraicznych.
Dodamy wielomiany
Suma tych wielomianów jest równa
Wyrazy podobne to takie składniki sumy, w których
Wyrazy podobne redukujemy, a więc
oraz
Ostatecznie otrzymujemy
Zatem sumą wielomianów
Odejmijmy wielomiany
Różnica wielomianów
Zapiszmy tę różnicę bez użycia nawiasów, pamiętając, że znak minus przed drugim nawiasem powoduje, że opuszczając go, zmieniamy znaki wszystkich składników sumy w tym nawiasie na przeciwne.
Następnie, tak jak przy dodawaniu, wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Otrzymujemy
Zatem różnica dwóch wielomianów też jest wielomianem.
Pomnożymy wielomiany
Ich iloczyn jest równy
Mnożymy każdy wyraz sumy z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz sumy z drugiego nawiasu
Po uporządkowaniu wyrażenia, otrzymujemy
Zatem iloczyn dwóch wielomianów też jest wielomianem.
Wykonamy działania
Wykonamy redukcję wyrazów podobnych
Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi liczbami całkowitymi. Jakim wzorem wyrazi się pole powierzchni i objętość tego prostopadłościanu w zależności od długości najkrótszej krawędzi prostopadłościanu?
Oznaczmy przez
Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami. Zatem pole
Objętość
Wyznacz wszystkie wartości
dla argumentu
Chcemy wyznaczyć wszystkie te wartości parametru
Podstawiamy więc
Przekształcając to równanie do postaci
a następnie porządkując je, otrzymujemy równanie kwadratowe
dla którego
Równanie to ma więc dwa rozwiązania
Wtedy: Możliwe odpowiedzi: 1.
Wtedy: Możliwe odpowiedzi: 1.
2.
3.
4.
Znajdź wielomian
Udowodnij, że wielomiany
Udowodnij, że dla dowolnego
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej