Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
W tym materiale:
znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej sposobem algebraicznym oraz sposobem graficznym,
określimy liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej na podstawie wzoru lub wykresu tej funkcji,
zapiszemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej (o ile to będzie możliwe).
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość .
Zapoznaj się z poniższym apletem.
Znajdziemy miejsca zerowe funkcji
Rozwiązanie:
Iloczyn i jest równy wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy .
wtedy i tylko wtedy, gdy lub .
wtedy i tylko wtedy, gdy lub . Stąd lub .
Funkcja ma miejsca zerowe i .wtedy i tylko wtedy, gdy lub . Stąd lub . Funkcja ma miejsca zerowe i .
wtedy i tylko wtedy, gdy lub . Stąd lub .
Funkcja ma miejsca zerowe i .wtedy i tylko wtedy, gdy lub . Stąd lub .
Funkcja ma miejsca zerowe i .
Szkicując wykres funkcji w układzie współrzędnych, znajdujemy takie punkty , w których jest argumentem i . Wobec tego do opisu funkcji stosujemy często zapis , gdzie jest wzorem określającym funkcję . Na przykład możemy pisać , a także .
Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Rozwiązanie:
Wzór funkcji przekształcamy do postaci . Wynika z tego, że wtedy i tylko wtedy, gdy . Zatem lub , stąd lub .
Funkcja ma więc dwa miejsca zerowe oraz .Wzór funkcji przekształcamy do postaci . Zatem wtedy i tylko wtedy, gdy . Wobec tego lub , stąd lub .
Funkcja ma więc dwa miejsca zerowe oraz .Wzór funkcji przekształcamy do postaci . Wobec tego wtedy i tylko wtedy, gdy . Zatem , stąd .
Funkcja ma więc jedno miejsce zerowe .Wzór funkcji przekształcamy do postaci . Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji jest , więc nie ma takiej liczby rzeczywistej , dla której ta funkcja przyjmuje wartość . Oznacza to, że funkcja nie ma miejsc zerowych.
Zauważmy, że wzór każdej z funkcji
można było zapisać jako iloczyn dwóch czynników liniowych
co pozwoliło na wyznaczenie wszystkich miejsc zerowych każdej z nich.
Gdyby wzór funkcji można było również zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych, to funkcja ta miałaby miejsca zerowe. Jednak ta funkcja nie ma miejsc zerowych, co stwierdziliśmy, zapisując ją w postaci kanonicznej i odczytując jej zbiór wartości. Zatem jej wzoru nie da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych.
Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej .
Rozwiązanie:
sposób
Zauważmy, że dla otrzymujemy , więc liczba jest miejscem zerowym danej funkcji.
Jeśli ta funkcja ma jeszcze inne miejsce zerowe, to jest ono również rozwiązaniem równania .
Korzystając z tego, że , zapiszemy to równanie w postaci
i przekształcimy równoważnie
Wobec tego lub , stąd lub .
Zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe oraz .
Sposób
Wzór funkcji zapisujemy w postaci kanonicznej
i przekształcamy równoważnie
Wzór funkcji można zatem zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych , więc ma ona dwa miejsca zerowe oraz .
Pokażemy, że jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej i znajdziemy drugie miejsce zerowe tej funkcji.
Sprawdzamy, że dla mamy , czyli jest miejscem zerowym funkcji .
Podamy teraz dwa sposoby poszukiwania drugiego miejsca zerowego.
sposób
Przekształcamy wzór funkcji
a stąd
czyli
Zatem drugim miejscem zerowym jest .
sposób
Wykorzystamy spostrzeżenie, że gdyby wzór funkcji można było zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych, to jednym z nich musiałby być czynnik liniowy, którego miejscem zerowym jest .
Załóżmy, że jest nim czynnik .
Powinniśmy więc znaleźć takie wartości współczynników i , aby dla każdej liczby rzeczywistej zachodziła ta równość
Ale
Równość
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i .
Wobec tego wzór funkcji kwadratowej można zapisać równoważnie w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych
. Stąd wynika, że dana funkcja ma dwa miejsca zerowe oraz .
Zauważmy jeszcze, że po wyłączeniu liczby przed nawias można wzór danej funkcji zapisać jako
Wykażemy, że funkcja nie ma miejsc zerowych.
Przekształcając wzór funkcji do postaci kanonicznej, otrzymujemy
Ponieważ dana funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od , więc nie ma miejsc zerowych.
Znajdziemy, o ile istnieją, miejsca zerowe funkcji .
Wzór tej funkcji również zapiszemy w postaci kanonicznej.
Mamy wtedy:
Wobec tego funkcja każdą z wartości większych od przyjmuje dla dwóch różnych argumentów, ma więc dwa różne miejsca zerowe.
Wyznaczymy te miejsca zerowe, zapisując wzór funkcji w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Wynika z tego, że funkcja ma dwa różne miejsca zerowe oraz .
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Każdą funkcję kwadratową, daną w postaci ogólnej wzorem , można zapisać w postaci kanonicznej . Stąd mamy .
Wynika z tego, że:
jeżeli wyróżnik jest ujemny, to wyrażenie jest dodatnie, więc w tym przypadku funkcja nie ma miejsc zerowych,
jeżeli , to . Jedynym miejscem zerowym funkcji jest ,
jeżeli , to wzór funkcji można przekształcić następująco
w tym przypadku funkcja ma więc dwa różne miejsca zerowe oraz .
Istnienie i liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy zatem od znaku jej wyróżnika.
Funkcja kwadratowa określona wzorem ,
ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste i wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik jest dodatni.
Wówczas wzór funkcji można zapisać w postaci iloczynowej ,
gdzie oraz .ma dokładnie jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy . W tym przypadku wzór funkcji można zapisać w postaci iloczynowej , gdzie .
nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy . Wtedy wzoru funkcji nie można zapisać w postaci iloczynowej.
Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej, przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji , na innym – wykres funkcji , a na jeszcze innym – wykres funkcji .
Funkcje te określone są wzorami:
,
,
.
Na którym rysunku jest wykres funkcji , na którym wykres funkcji , a na którym – wykres funkcji ?
Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej.
1.
2.
3.
4.
Połącz w pary wzór paraboli z jej miejscami zerowymi.
<span aria-label="x, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, x, równa się, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="x, równa się, minus, dwa, przecinek, x, równa się, jeden" role="math"><math><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="x, równa się, minus, trzy, przecinek, x, równa się, cztery" role="math"><math><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="x, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, x, równa się, trzy" role="math"><math><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math></span>
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej .
Funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że każde z nich należy do przedziału .