Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

W tym materiale:

znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej sposobem algebraicznym oraz sposobem graficznym,
określimy liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej na podstawie wzoru lub wykresu tej funkcji,
zapiszemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej (o ile to będzie możliwe).

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$ .

Zapoznaj się z poniższym apletem.

RJ4Ac0KfS2bt511

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 1

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji

$f (x) = (x - 3) (x + 2)$
$f (x) = (2 x + 1) (3 x - 12)$
$f (x) = - 11 (x + 6) (8 - x)$
$f (x) = 2 (5 - x) (4 x + 7)$

Rozwiązanie:

Iloczyn $a$ i $b$ jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy $0$ .

$a \cdot b = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $b = 0$ .

$(x - 3) (x + 2) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x - 3 = 0$ lub $x + 2 = 0$ . Stąd $x = 3$ lub $x = - 2$ .
Funkcja $f (x) = (x - 3) (x + 2)$ ma $2$ miejsca zerowe $3$ i $- 2$ .
$(2 x + 1) (3 x - 12) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(2 x + 1) = 0$ lub $(3 x - 12) = 0$ . Stąd $x = - \frac{1}{2}$ lub $x = 4$ . Funkcja $f (x) = (2 x + 1) (3 x - 12)$ ma $2$ miejsca zerowe $- \frac{1}{2}$ i $4$ .
$- 11 (x + 6) (8 - x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x + 6 = 0$ lub $8 - x = 0$ . Stąd $x = - 6$ lub $x = 8$ .
Funkcja $f (x) = - 11 (x + 6) (8 - x)$ ma $2$ miejsca zerowe $- 6$ i $8$ .
$2 (5 - x) (4 x + 7) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $5 - x = 0$ lub $4 x + 7 = 0$ . Stąd $x = 5$ lub $x = - \frac{7}{4}$ .
Funkcja $f (x) = 2 (5 - x) (4 x + 7)$ ma $2$ miejsca zerowe $5$ i $- \frac{7}{4}$ .

Uwaga!

Szkicując wykres funkcji $f$ w układzie współrzędnych, znajdujemy takie punkty $(x, y)$ , w których $x$ jest argumentem i $y = f (x)$ . Wobec tego do opisu funkcji $f$ stosujemy często zapis $y = f (x)$ , gdzie $f (x)$ jest wzorem określającym funkcję $f$ . Na przykład możemy pisać $f (x) = 2 x^{2} + 1$ , a także $y = 2 x^{2} + 1$ .

Przykład 2

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej

$y = x^{2} - 7 x$
$y = x^{2} - 25$
$y = x^{2} + 2 x + 1$
$y = x^{2} + 2 x + 4$

Rozwiązanie:

Wzór funkcji $y = x^{2} - 7 x$ przekształcamy do postaci $y = x (x - 7)$ . Wynika z tego, że $y = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x (x - 7) = 0$ . Zatem $x = 0$ lub $x - 7 = 0$ , stąd $x = 0$ lub $x = 7$ .
Funkcja $y = x^{2} - 7 x$ ma więc dwa miejsca zerowe $0$ oraz $7$ .
Wzór funkcji $y = x^{2} - 25$ przekształcamy do postaci $y = (x + 5) (x - 5)$ . Zatem $y = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(x - 5) (x + 5) = 0$ . Wobec tego $x - 5 = 0$ lub $x + 5 = 0$ , stąd $x = 5$ lub $x = - 5$ .
Funkcja $y = x^{2} - 25$ ma więc dwa miejsca zerowe $5$ oraz $- 5$ .
Wzór funkcji $y = x^{2} + 2 x + 1$ przekształcamy do postaci $y = {(x + 1)}^{2}$ . Wobec tego $y = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${(x + 1)}^{2} = 0$ . Zatem $x + 1 = 0$ , stąd $x = - 1$ .
Funkcja $y = x^{2} + 2 x + 1$ ma więc jedno miejsce zerowe $- 1$ .
Wzór funkcji $y = x^{2} + 2 x + 4$ przekształcamy do postaci $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ . Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ jest $⟨3, + \infty)$ , więc nie ma takiej liczby rzeczywistej $x$ , dla której ta funkcja przyjmuje wartość $0$ . Oznacza to, że funkcja $y = x^{2} + 2 x + 4$ nie ma miejsc zerowych.

Zauważmy, że wzór każdej z funkcji

y = x^{2} - 7 x

y = x^{2} - 25

y = x^{2} + 2 x + 1

można było zapisać jako iloczyn dwóch czynników liniowych

y = x^{2} - 7 x = x (x - 7)

y = x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)

y = x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2}

co pozwoliło na wyznaczenie wszystkich miejsc zerowych każdej z nich.

Gdyby wzór funkcji $y = x^{2} + 2 x + 4$ można było również zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych, to funkcja ta miałaby miejsca zerowe. Jednak ta funkcja nie ma miejsc zerowych, co stwierdziliśmy, zapisując ją w postaci kanonicznej $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ i odczytując jej zbiór wartości. Zatem jej wzoru nie da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych.

Przykład 3

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej $y = x^{2} + 8 x - 9$ .

Rozwiązanie:

sposób $I$

Zauważmy, że dla $x = 1$ otrzymujemy $y = 1^{2} + 8 \cdot 1 - 9 = 0$ , więc liczba $1$ jest miejscem zerowym danej funkcji.

Jeśli ta funkcja ma jeszcze inne miejsce zerowe, to jest ono również rozwiązaniem równania $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ .

Korzystając z tego, że $1^{2} + 8 \cdot 1 - 9 = 0$ , zapiszemy to równanie w postaci

x^{2} + 8 x - 9 = 1^{2} + 8 \cdot 1 - 9

i przekształcimy równoważnie

x^{2} - 1^{2} + 8 x - 8 \cdot 1 - 9 + 9 = 0

(x - 1) (x + 1) + 8 (x - 1) = 0

(x - 1) ((x + 1) + 8) = 0

(x - 1) (x + 9) = 0

Wobec tego $x - 1 = 0$ lub $x + 9 = 0$ , stąd $x = 1$ lub $x = - 9$ .

Zatem funkcja $y = x^{2} + 8 x - 9$ ma dwa miejsca zerowe $1$ oraz $- 9$ .

Sposób $II$

Wzór funkcji $y = x^{2} + 8 x - 9$ zapisujemy w postaci kanonicznej

y = {(x + 4)}^{2} - 25

i przekształcamy równoważnie

y = {(x + 4)}^{2} - 5^{2}

y = ((x + 4) - 5) ((x + 4) + 5)

y = (x - 1) (x + 9)

Wzór funkcji $y = x^{2} + 8 x - 9$ można zatem zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych $y = (x - 1) (x + 9)$ , więc ma ona dwa miejsca zerowe $1$ oraz $- 9$ .

Przykład 4

Pokażemy, że $- 1$ jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej $y = 3 x^{2} + 14 x + 11$ i znajdziemy drugie miejsce zerowe tej funkcji.

Sprawdzamy, że dla $x = - 1$ mamy $y = 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 14 \cdot (- 1) + 11 = 3 - 14 + 11 = 0$ , czyli $x = - 1$ jest miejscem zerowym funkcji $y = 3 x^{2} + 14 x + 11$ .

Podamy teraz dwa sposoby poszukiwania drugiego miejsca zerowego.

sposób $I$

Przekształcamy wzór funkcji

y = 3 x^{2} + 14 x + 11 = 3 x^{2} + 3 x + 11 x + 11

a stąd

y = 3 x (x + 1) + 11 (x + 1)

czyli

y = (x + 1) (3 x + 11)

Zatem drugim miejscem zerowym jest $- \frac{11}{3}$ .

sposób $II$

Wykorzystamy spostrzeżenie, że gdyby wzór funkcji $y = 3 x^{2} + 14 x + 11$ można było zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych, to jednym z nich musiałby być czynnik liniowy, którego miejscem zerowym jest $- 1$ .

Załóżmy, że jest nim czynnik $x + 1$ .

Powinniśmy więc znaleźć takie wartości współczynników $a$ i $b$ , aby dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodziła ta równość

y = 3 x^{2} + 14 x + 11 = (x + 1) (a x + b)

Ale

(x + 1) (a x + b) = a x^{2} + a x + b x + b = a x^{2} + (a + b) x + b

Równość

y = 3 x^{2} + 14 x + 11 = a x^{2} + (a + b) x + b

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 3$ i $b = 11$ .

Wobec tego wzór funkcji kwadratowej $y = 3 x^{2} + 14 x + 11$ można zapisać równoważnie w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych
$y = (x + 1) (3 x + 11)$ . Stąd wynika, że dana funkcja ma dwa miejsca zerowe $- 1$ oraz $- \frac{11}{3}$ .

Zauważmy jeszcze, że po wyłączeniu liczby $3$ przed nawias można wzór danej funkcji zapisać jako

y = 3 (x + 1) (x + \frac{11}{3})

Przykład 5

Wykażemy, że funkcja $y = 5 x^{2} - 10 x + 11$ nie ma miejsc zerowych.

Przekształcając wzór funkcji do postaci kanonicznej, otrzymujemy

y = 5 x^{2} - 10 x + 11 = 5 {(x - 1)}^{2} + 6

Ponieważ dana funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od $6$ , więc nie ma miejsc zerowych.

Przykład 6

Znajdziemy, o ile istnieją, miejsca zerowe funkcji $y = x^{2} - 8 x + 5$ .

Wzór tej funkcji również zapiszemy w postaci kanonicznej.

Mamy wtedy:

y = x^{2} - 8 x + 5 = {(x - 4)}^{2} - 11

Wobec tego funkcja $y = x^{2} - 8 x + 5$ każdą z wartości większych od $- 11$ przyjmuje dla dwóch różnych argumentów, ma więc dwa różne miejsca zerowe.

Wyznaczymy te miejsca zerowe, zapisując wzór funkcji w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

y = {(x - 4)}^{2} - 11

y = {(x - 4)}^{2} - {\sqrt{11}}^{2}

y = (x - 4 + \sqrt{11}) (x - 4 - \sqrt{11})

Wynika z tego, że funkcja $y = x^{2} - 8 x + 5$ ma dwa różne miejsca zerowe $4 - \sqrt{11}$ oraz $4 + \sqrt{11}$ .

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Każdą funkcję kwadratową, daną w postaci ogólnej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , można zapisać w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}$ . Stąd mamy $f (x) = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}})$ .

Wynika z tego, że:

jeżeli wyróżnik jest ujemny, to wyrażenie ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}$ jest dodatnie, więc w tym przypadku funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych,
jeżeli $Δ = 0$ , to $f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$ . Jedynym miejscem zerowym funkcji $f$ jest $- \frac{b}{2 a}$ ,
jeżeli $Δ > 0$ , to wzór funkcji $f$ można przekształcić następująco

f (x) = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}) = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}) =

= a (x + \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a})

w tym przypadku funkcja $f$ ma więc dwa różne miejsca zerowe $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ oraz $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ .

Istnienie i liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy zatem od znaku jej wyróżnika.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Twierdzenie: Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $(a \neq 0)$

ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste $x_{1}$ i $x_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik $Δ$ jest dodatni.
Wówczas wzór funkcji $f$ można zapisać w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ,
gdzie $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ .
ma dokładnie jedno miejsce zerowe $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ = 0$ . W tym przypadku wzór funkcji $f$ można zapisać w postaci iloczynowej $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ , gdzie $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ < 0$ . Wtedy wzoru funkcji $f$ nie można zapisać w postaci iloczynowej.

Ćwiczenie 1

R1EJID8FpYJ0c1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCEpVjhYNqkoe

Ćwiczenie 1

Przyporządkuj ilość miejsc zerowych do wzoru funkcji kwadratowej.

2

miejsca zerowe Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = 2 x^{2} + x + 10

, 2.

f (x) = - 2 x^{2} - 3 x - 5

, 3.

f (x) = - x^{2} + x - 2

, 4.

f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 12

, 5.

f (x) = - x^{2} + 6 x - 9

, 6.

f (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 3

, 7.

f (x) = x^{2} + 2 x + 1

, 8.

f (x) = 3 x^{2} + x - 6

1

miejsce zerowe Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = 2 x^{2} + x + 10

, 2.

f (x) = - 2 x^{2} - 3 x - 5

, 3.

f (x) = - x^{2} + x - 2

, 4.

f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 12

, 5.

f (x) = - x^{2} + 6 x - 9

, 6.

f (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 3

, 7.

f (x) = x^{2} + 2 x + 1

, 8.

f (x) = 3 x^{2} + x - 6

brak miejsc zerowych Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = 2 x^{2} + x + 10

, 2.

f (x) = - 2 x^{2} - 3 x - 5

, 3.

f (x) = - x^{2} + x - 2

, 4.

f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 12

, 5.

f (x) = - x^{2} + 6 x - 9

, 6.

f (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 3

, 7.

f (x) = x^{2} + 2 x + 1

, 8.

f (x) = 3 x^{2} + x - 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RwBUUthpmPqEy1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Jk1PaBauGJi

Dopasuj postać iloczynową funkcji kwadratowej do opisu jej wykresu.

(x - 2) (x + 2)

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

(x - 3) (x + 3)

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

(x - 3) (x + 2)

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

- (x - 3) (x - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

- (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{3}{2})

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

(x - 3 \frac{1}{2}) (x + \frac{3}{2})

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

Dopasuj postać iloczynową funkcji kwadratowej do opisu jej wykresu.

(x - 2) (x + 2)

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

(x - 3) (x + 3)

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

(x - 3) (x + 2)

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

- (x - 3) (x - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

- (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{3}{2})

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

(x - 3 \frac{1}{2}) (x + \frac{3}{2})

Możliwe odpowiedzi: 1. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

2

3

, 2. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 3

3

, 3. Parabola z ramionami skierowanymi w dół, przecinająca oś

X

w punktach

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

, 4. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

3

, 5. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- \frac{3}{2}

3 \frac{1}{2}

, 6. Parabola z ramionami skierowanymi w górę, przecinająca oś

X

w punktach

- 2

2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aQjTBbnp28x1

Ćwiczenie 3

miejscami zerowymi funkcji $g$ są $1$ oraz $- 5$
miejscami zerowymi funkcji $f$ są $1$ oraz $- 2$
$- 2$ jest miejscem zerowym funkcji $h$
funkcje $f$ i $g$ mają wspólne miejsce zerowe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej, przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji $f$ , na innym – wykres funkcji $g$ , a na jeszcze innym – wykres funkcji $h$ .

Funkcje te określone są wzorami:

$f (x) = (x + 1) (x - 3)$ ,

$g (x) = 2 (x + 1) (x + 3)$ ,

$h (x) = - \frac{1}{2} (x + 3) (x - 1)$ .

Na którym rysunku jest wykres funkcji $f$ , na którym wykres funkcji $g$ , a na którym – wykres funkcji $h$ ?

R1b4q1bbtx3Tq1

Rysunek przedstawia cztery układy współrzędnych oznaczone od A do D, każdy z nich ma poziomią oś X zdefiniowaną od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y zdefiniowaną od minus czterech do trzech. W układzie współrzędnych A widzimy wykres paraboli z ramionami skierowanymi ku górze, przecinającą oś X w punktach o współrzędnych -3;0,1;0 z wierzchołkiem w punkcie -4;-1. W układzie współrzędnych B widzimy wykres paraboli z ramionami skierowanymi ku dołowi, przecinającą oś X w punktach o współrzędnych -3;0,1;0 z wierzchołkiem w punkcie 2;-1. W układzie współrzędnych C widzimy wykres paraboli z ramionami skierowanymi ku górze, przecinającą oś X w punktach o współrzędnych -1;0,3;0 z wierzchołkiem w punkcie 1;-4. W układzie współrzędnych D widzimy wykres paraboli z ramionami skierowanymi ku górze, przecinającą oś X w punktach o współrzędnych -3;0,-1;0 z wierzchołkiem w punkcie -2;-2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R164CpyJxW9Wl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

wykres $f$ – rys. C,

wykres $g$ – rys. D,

wykres $h$ – rys. B.

ROMG2OwvGibIk2

Ćwiczenie 5

Funkcję kwadratową określoną wzorem $y = x^{2} - 7 x + 6$ można zapisać w postaci iloczynowej wzorem $y = (x - 1) (x - 6)$ .
Funkcję kwadratową określoną wzorem $y = 2 x^{2} + 3 x - 5$ można zapisać w postaci iloczynowej wzorem $y = 2 (x + 1) (x - \frac{5}{2})$ .
Funkcji kwadratowej określonej wzorem $y = - x^{2} - 2 x$ nie da się zapisać w postaci iloczynowej.
Funkcję kwadratową określoną wzorem $y = - x^{2} + 3 x + 10$ można zapisać w postaci iloczynowej wzorem $y = - (x + 2) (x - 5)$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej.

R1GH47Hy746yi1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus trzech do czterech. W układzie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w dół o miejscach zerowych x =-1 i x =3 oraz wierzchołku w punkcie (1, 4). Parabola przecina oś Y w punkcie (0, 3). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1calqqdphRfI1

RyQWgOAEB8jki1

RxlwzVImagBzj1

RbTy7Qdn23h2Q

wykres funkcji $f$ przedstawiony jest na rysunku $d)$
wykres funkcji $g$ przedstawiony jest na rysunku $c)$
żaden z tych rysunków nie przedstawia wykresu funkcji $h$
na jednym z tych rysunków przedstawiony jest wykres funkcji $k$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14sVQZ2CdilH2

Ćwiczenie 7

Funkcja kwadratowa $y = x^{2} - 10$ ma dwa różne miejsca zerowe.
Funkcja kwadratowa $y = x^{2} - 6 x + 9$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Funkcja kwadratowa $y = 2 x^{2} + x$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Funkcja kwadratowa $y = - x^{2} + 3$ nie ma miejsc zerowych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1H9KliOpN4LH2

Ćwiczenie 8

dla $c = 0$ funkcja $f$ ma dwa różne miejsca zerowe
dla $c = 5$ funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe
jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest $1$ , to $c = 5$
jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest $- 1$ , to $c = 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XCG2fPYHAcX21

Ćwiczenie 9

Połącz w pary wzór paraboli z jej miejscami zerowymi.

y = x^{2} + x - 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{1}{2}

x = 3

, 2.

x = - 2

x = 1

, 3.

x = - \frac{1}{2}

x = 4 \frac{1}{2}

, 4.

x = - 3

x = 4

2 x^{2} - 2 x - 24

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{1}{2}

x = 3

, 2.

x = - 2

x = 1

, 3.

x = - \frac{1}{2}

x = 4 \frac{1}{2}

, 4.

x = - 3

x = 4

2 x^{2} - 8 x - \frac{9}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{1}{2}

x = 3

, 2.

x = - 2

x = 1

, 3.

x = - \frac{1}{2}

x = 4 \frac{1}{2}

, 4.

x = - 3

x = 4

y = 3 x^{2} - \frac{21}{2} x + \frac{9}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{1}{2}

x = 3

, 2.

x = - 2

x = 1

, 3.

x = - \frac{1}{2}

x = 4 \frac{1}{2}

, 4.

x = - 3

x = 4

Połącz w pary wzór paraboli z jej miejscami zerowymi.

$y = x^{2} + x - 2$
$2 x^{2} - 2 x - 24$
$2 x^{2} - 8 x - \frac{9}{2}$
$y = 3 x^{2} - \frac{21}{2} x + \frac{9}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQUskmAkf3G7z2

Ćwiczenie 10

Funkcja kwadratowa $y = x^{2} - 12 x + 11$ ma dwa różne miejsca zerowe, które są liczbami całkowitymi.
Jedno z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = 2 x^{2} + 9 x + 7$ jest liczbą dodatnią.
Każde z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = x^{2} - 2 x - 10$ należy do przedziału $"⟨"- 2, 4"⟩"$ .
Iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = 3 x^{2} - 11 x + 3$ jest równy 1.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RY4QEzv6ceRw22

Ćwiczenie 11

$x_{1} = - 3, x_{2} = - 5$
$x_{1} = - 3, x_{2} = 5$
$x_{1} = 3, x_{2} = 5$
$x_{1} = 3, x_{2} = - 5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ .

R1mTwBFxKzCFm1

RgA2OX7QCtu82

$f (x) = (x - 1) (x + 2)$
$f (x) = (x - 2) (x + 1)$
$f (x) = - (x - 1) (x + 2)$
$f (x) = - (x - 2) (x + 1)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Abmvm5cPrwa2

Ćwiczenie 13

$y = 2 (x - 3) (x - 4)$
$y = 3 (x + 1) (x + 2)$
$y = - 4 (x + 1) (x - 1)$
$y = - 5 (x + 2) (x + 4)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

R122ZGq4uNoj6

R1OT9ibK4KhYR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1I6b6iwMt7dH2

Ćwiczenie 15

$x_{1} = 1, x_{2} = 5$
$x_{1} = - 1, x_{2} = - 5$
$x_{1} = - 1, x_{2} = 5$
$x_{1} = 1, x_{2} = - 5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ZBBU5cbOGaC2

Ćwiczenie 16

$y = x^{2} + 3 x + 2$
$y = \frac{1}{2} x^{2} + x$
$y = x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$
$y = 2 x^{2} + 3 x - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvyBlEc6wzfrG2

Ćwiczenie 17

$(0, 0)$
$(- 1, 0)$
$(- 2, 0)$
$(3, 0)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LnQMt5viZeW2

Ćwiczenie 18

$3$
$7$
$- 3$
$- 7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgdbGX4Sbucar2

Ćwiczenie 19

$c > 4$
$c = 4$
$c = - 4$
$c < - 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkQnx8Nyp9MHC2

Ćwiczenie 20

Uzupełnij zapisy, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Dla miejsca zerowego

x_{1}

wstaw większą wartość liczbową, natomiast dla

x_{2}

mniejszą.

y = - 6 x (x + 2)

x_{1} =

\frac{1}{4}

, 2.

- \frac{2}{3}

, 3.

- 1

, 4.

- \frac{3}{8}

, 5.

- 1 \frac{2}{3}

, 6.

- 2

, 7.

- 2 \frac{1}{3}

, 8.

0

, 9.

3

, 10.

6

, 11.

- 1 \frac{1}{3}

, 12.

- 11

, 13.

- 9

, 14.

7

, 15.

- 2 \frac{2}{3}

, 16.

- \frac{1}{2}

, 17.

- \frac{5}{8}

, 18.

- 7

x_{2} =

\frac{1}{4}

, 2.

- \frac{2}{3}

, 3.

- 1

, 4.

- \frac{3}{8}

, 5.

- 1 \frac{2}{3}

, 6.

- 2

, 7.

- 2 \frac{1}{3}

, 8.

0

, 9.

3

, 10.

6

, 11.

- 1 \frac{1}{3}

, 12.

- 11

, 13.

- 9

, 14.

7

, 15.

- 2 \frac{2}{3}

, 16.

- \frac{1}{2}

, 17.

- \frac{5}{8}

, 18.

- 7

y = (7 - x) (x + 11)

x_{1} =

\frac{1}{4}

, 2.

- \frac{2}{3}

, 3.

- 1

, 4.

- \frac{3}{8}

, 5.

- 1 \frac{2}{3}

, 6.

- 2

, 7.

- 2 \frac{1}{3}

, 8.

0

, 9.

3

, 10.

6

, 11.

- 1 \frac{1}{3}

, 12.

- 11

, 13.

- 9

, 14.

7

, 15.

- 2 \frac{2}{3}

, 16.

- \frac{1}{2}

, 17.

- \frac{5}{8}

, 18.

- 7

x_{2} =

\frac{1}{4}

, 2.

- \frac{2}{3}

, 3.

- 1

, 4.

- \frac{3}{8}

, 5.

- 1 \frac{2}{3}

, 6.

- 2

, 7.

- 2 \frac{1}{3}

, 8.

0

, 9.

3

, 10.

6

, 11.

- 1 \frac{1}{3}

, 12.

- 11

, 13.

- 9

, 14.

7

, 15.

- 2 \frac{2}{3}

, 16.

- \frac{1}{2}

, 17.

- \frac{5}{8}

, 18.

- 7

y = (3 x + 8) (4 x - 1)

x_{1} =

\frac{1}{4}

, 2.

- \frac{2}{3}

, 3.

- 1

, 4.

- \frac{3}{8}

, 5.

- 1 \frac{2}{3}

, 6.

- 2

, 7.

- 2 \frac{1}{3}

, 8.

0

, 9.

3

, 10.

6

, 11.

- 1 \frac{1}{3}

, 12.

- 11

, 13.

- 9

, 14.

7

, 15.

- 2 \frac{2}{3}

, 16.

- \frac{1}{2}

, 17.

- \frac{5}{8}

, 18.

- 7

x_{2} =

\frac{1}{4}

, 2.

- \frac{2}{3}

, 3.

- 1

, 4.

- \frac{3}{8}

, 5.

- 1 \frac{2}{3}

, 6.

- 2

, 7.

- 2 \frac{1}{3}

, 8.

0

, 9.

3

, 10.

6

, 11.

- 1 \frac{1}{3}

, 12.

- 11

, 13.

- 9

, 14.

7

, 15.

- 2 \frac{2}{3}

, 16.

- \frac{1}{2}

, 17.

- \frac{5}{8}

, 18.

- 7

y = (15 - 5 x) (16 x + 10)

x_{1} =

\frac{1}{4}

, 2.

- \frac{2}{3}

, 3.

- 1

, 4.

- \frac{3}{8}

, 5.

- 1 \frac{2}{3}

, 6.

- 2

, 7.

- 2 \frac{1}{3}

, 8.

0

, 9.

3

, 10.

6

, 11.

- 1 \frac{1}{3}

, 12.

- 11

, 13.

- 9

, 14.

7

, 15.

- 2 \frac{2}{3}

, 16.

- \frac{1}{2}

, 17.

- \frac{5}{8}

, 18.

- 7

x_{2} =

\frac{1}{4}

, 2.

- \frac{2}{3}

, 3.

- 1

, 4.

- \frac{3}{8}

, 5.

- 1 \frac{2}{3}

, 6.

- 2

, 7.

- 2 \frac{1}{3}

, 8.

0

, 9.

3

, 10.

6

, 11.

- 1 \frac{1}{3}

, 12.

- 11

, 13.

- 9

, 14.

7

, 15.

- 2 \frac{2}{3}

, 16.

- \frac{1}{2}

, 17.

- \frac{5}{8}

, 18.

- 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

R1TnXWGaVNNq42

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od wyznaczenia współczynników $a$ tych funkcji, a następnie oblicz ich miejsca zerowe.

Ćwiczenie 22

RBEfqPfB4hOBf2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wystarczy udowodnić, że wyróżniki tych funkcji są równe $0$ .

Ćwiczenie 23

RlpkUJz5b0OVQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19gSp0bucWXo

Połącz wzory funkcji z odpowiadającymi im opisami ich wykresów.

y = (x - 2) (x + 1)

Możliwe odpowiedzi: 1. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 1

x_{2} = 2

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - 2)

., 2. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 3

x_{2} = 1

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - 1)

., 3. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 3

x_{2} = 1

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, 3)

., 4. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 1

x_{2} = 3

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - \frac{1}{2})

y = - (x - 1) (x + 3)

Możliwe odpowiedzi: 1. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 1

x_{2} = 2

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - 2)

., 2. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 3

x_{2} = 1

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - 1)

., 3. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 3

x_{2} = 1

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, 3)

., 4. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 1

x_{2} = 3

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - \frac{1}{2})

y = \frac{1}{3} (x - 1) (x + 3)

Możliwe odpowiedzi: 1. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 1

x_{2} = 2

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - 2)

., 2. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 3

x_{2} = 1

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - 1)

., 3. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 3

x_{2} = 1

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, 3)

., 4. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 1

x_{2} = 3

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - \frac{1}{2})

y = \frac{1}{2} (x - 3) (x + 1)

Możliwe odpowiedzi: 1. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 1

x_{2} = 2

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - 2)

., 2. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 3

x_{2} = 1

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - 1)

., 3. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 3

x_{2} = 1

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, 3)

., 4. Rysunek paraboli o miejscach zerowych

x_{1} = - 1

x_{2} = 3

. Do wykresu należy punkt o współrzędnych

(0, - \frac{1}{2})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

RPrs5tP0F78yx2

Wykaż, że funkcja nie ma miejsc zerowych. Wpisz obliczone wartości

∆

w pierwsze puste pole. Rozstrzygnij, czy jest to wartość większa, mniejsza bądź równa

0

. Wpisz znak

>

<

lub

=

w drugie puste pole.

y = x^{2} + x + 2

∆ =

Tu uzupełnij,

∆

Tu uzupełnij

0

y = x^{2} - 3 x + 3

∆ =

Tu uzupełnij,

∆

Tu uzupełnij

0

y = 2 x^{2} - x + 5

∆ =

Tu uzupełnij,

∆

Tu uzupełnij

0

y = - x^{2} + 5 x - 8

∆ =

Tu uzupełnij,

∆

Tu uzupełnij

0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytaj współczynniki każdej funkcji, a następnie oblicz ich wyróżniki korzystając ze wzoru $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

RFKwXSWKDEjAo2

Ćwiczenie 25

Uzupełnij zapisy, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Dla miejsca zerowego

x_{1}

wstaw większą wartość liczbową, natomiast dla

x_{2}

mniejszą.

y = 2 x^{2} + 3 x - 5

x_{1} =

1

, 2.

2

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

- 4

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

4 \frac{1}{2}

, 9.

4

, 10.

4 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

, 12.

4 \frac{3}{4}

, 13.

- 3

, 14.

\frac{1}{5}

, 15.

3 \frac{1}{4}

, 16.

- 2 \frac{1}{2}

x_{2} =

1

, 2.

2

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

- 4

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

4 \frac{1}{2}

, 9.

4

, 10.

4 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

, 12.

4 \frac{3}{4}

, 13.

- 3

, 14.

\frac{1}{5}

, 15.

3 \frac{1}{4}

, 16.

- 2 \frac{1}{2}

y = 4 x^{2} - 15 x - 19

x_{1} =

1

, 2.

2

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

- 4

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

4 \frac{1}{2}

, 9.

4

, 10.

4 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

, 12.

4 \frac{3}{4}

, 13.

- 3

, 14.

\frac{1}{5}

, 15.

3 \frac{1}{4}

, 16.

- 2 \frac{1}{2}

x_{2} =

1

, 2.

2

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

- 4

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

4 \frac{1}{2}

, 9.

4

, 10.

4 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

, 12.

4 \frac{3}{4}

, 13.

- 3

, 14.

\frac{1}{5}

, 15.

3 \frac{1}{4}

, 16.

- 2 \frac{1}{2}

y = - 3 x^{2} - 14 x - 8

x_{1} =

1

, 2.

2

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

- 4

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

4 \frac{1}{2}

, 9.

4

, 10.

4 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

, 12.

4 \frac{3}{4}

, 13.

- 3

, 14.

\frac{1}{5}

, 15.

3 \frac{1}{4}

, 16.

- 2 \frac{1}{2}

x_{2} =

1

, 2.

2

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

- 4

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

4 \frac{1}{2}

, 9.

4

, 10.

4 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

, 12.

4 \frac{3}{4}

, 13.

- 3

, 14.

\frac{1}{5}

, 15.

3 \frac{1}{4}

, 16.

- 2 \frac{1}{2}

y = - 5 x^{2} + 11 x - 2

x_{1} =

1

, 2.

2

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

- 4

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

4 \frac{1}{2}

, 9.

4

, 10.

4 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

, 12.

4 \frac{3}{4}

, 13.

- 3

, 14.

\frac{1}{5}

, 15.

3 \frac{1}{4}

, 16.

- 2 \frac{1}{2}

x_{2} =

1

, 2.

2

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

- 4

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

- \frac{1}{3}

, 7.

- \frac{2}{3}

, 8.

4 \frac{1}{2}

, 9.

4

, 10.

4 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

, 12.

4 \frac{3}{4}

, 13.

- 3

, 14.

\frac{1}{5}

, 15.

3 \frac{1}{4}

, 16.

- 2 \frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WnSTRvgxYDS2

Ćwiczenie 26

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 27

RiueQwEkuG6zA2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od wyznaczenia miejsc zerowych funkcji $y$ . Możesz to zrobić na wiele sposobów, jednym z nich jest doprowadzenie postaci to funkcji iloczynowej.

RVVEy5QyNF2lA2

Ćwiczenie 28

Uzupełnij zapisy, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Dla miejsca zerowego

x_{1}

wstaw większą wartość liczbową, natomiast dla

x_{2}

mniejszą.

y = x^{2} - 4 x - 6

x_{1} =

- 2 + \sqrt{17}

, 2.

2 - \sqrt{10}

, 3.

2 - 2 \sqrt{6}

, 4.

- 1 - \sqrt{6}

, 5.

- 1 + \sqrt{3}

, 6.

- 4 + \sqrt{23}

, 7.

2 + \sqrt{5}

, 8.

- 1 - \sqrt{3}

, 9.

2 + 2 \sqrt{6}

, 10.

3 + 2 \sqrt{5}

, 11.

- 1 + \sqrt{6}

, 12.

- 4 - \sqrt{23}

, 13.

3 - 2 \sqrt{5}

, 14.

2 + \sqrt{10}

, 15.

- 2 - \sqrt{17}

, 16.

2 - \sqrt{5}

x_{2} =

- 2 + \sqrt{17}

, 2.

2 - \sqrt{10}

, 3.

2 - 2 \sqrt{6}

, 4.

- 1 - \sqrt{6}

, 5.

- 1 + \sqrt{3}

, 6.

- 4 + \sqrt{23}

, 7.

2 + \sqrt{5}

, 8.

- 1 - \sqrt{3}

, 9.

2 + 2 \sqrt{6}

, 10.

3 + 2 \sqrt{5}

, 11.

- 1 + \sqrt{6}

, 12.

- 4 - \sqrt{23}

, 13.

3 - 2 \sqrt{5}

, 14.

2 + \sqrt{10}

, 15.

- 2 - \sqrt{17}

, 16.

2 - \sqrt{5}

y = x^{2} + 2 x - 5

x_{1} =

- 2 + \sqrt{17}

, 2.

2 - \sqrt{10}

, 3.

2 - 2 \sqrt{6}

, 4.

- 1 - \sqrt{6}

, 5.

- 1 + \sqrt{3}

, 6.

- 4 + \sqrt{23}

, 7.

2 + \sqrt{5}

, 8.

- 1 - \sqrt{3}

, 9.

2 + 2 \sqrt{6}

, 10.

3 + 2 \sqrt{5}

, 11.

- 1 + \sqrt{6}

, 12.

- 4 - \sqrt{23}

, 13.

3 - 2 \sqrt{5}

, 14.

2 + \sqrt{10}

, 15.

- 2 - \sqrt{17}

, 16.

2 - \sqrt{5}

x_{2} =

- 2 + \sqrt{17}

, 2.

2 - \sqrt{10}

, 3.

2 - 2 \sqrt{6}

, 4.

- 1 - \sqrt{6}

, 5.

- 1 + \sqrt{3}

, 6.

- 4 + \sqrt{23}

, 7.

2 + \sqrt{5}

, 8.

- 1 - \sqrt{3}

, 9.

2 + 2 \sqrt{6}

, 10.

3 + 2 \sqrt{5}

, 11.

- 1 + \sqrt{6}

, 12.

- 4 - \sqrt{23}

, 13.

3 - 2 \sqrt{5}

, 14.

2 + \sqrt{10}

, 15.

- 2 - \sqrt{17}

, 16.

2 - \sqrt{5}

y = - x^{2} + 6 x + 11

x_{1} =

- 2 + \sqrt{17}

, 2.

2 - \sqrt{10}

, 3.

2 - 2 \sqrt{6}

, 4.

- 1 - \sqrt{6}

, 5.

- 1 + \sqrt{3}

, 6.

- 4 + \sqrt{23}

, 7.

2 + \sqrt{5}

, 8.

- 1 - \sqrt{3}

, 9.

2 + 2 \sqrt{6}

, 10.

3 + 2 \sqrt{5}

, 11.

- 1 + \sqrt{6}

, 12.

- 4 - \sqrt{23}

, 13.

3 - 2 \sqrt{5}

, 14.

2 + \sqrt{10}

, 15.

- 2 - \sqrt{17}

, 16.

2 - \sqrt{5}

x_{2} =

- 2 + \sqrt{17}

, 2.

2 - \sqrt{10}

, 3.

2 - 2 \sqrt{6}

, 4.

- 1 - \sqrt{6}

, 5.

- 1 + \sqrt{3}

, 6.

- 4 + \sqrt{23}

, 7.

2 + \sqrt{5}

, 8.

- 1 - \sqrt{3}

, 9.

2 + 2 \sqrt{6}

, 10.

3 + 2 \sqrt{5}

, 11.

- 1 + \sqrt{6}

, 12.

- 4 - \sqrt{23}

, 13.

3 - 2 \sqrt{5}

, 14.

2 + \sqrt{10}

, 15.

- 2 - \sqrt{17}

, 16.

2 - \sqrt{5}

y = - x^{2} - 8 x + 7

x_{1} =

- 2 + \sqrt{17}

, 2.

2 - \sqrt{10}

, 3.

2 - 2 \sqrt{6}

, 4.

- 1 - \sqrt{6}

, 5.

- 1 + \sqrt{3}

, 6.

- 4 + \sqrt{23}

, 7.

2 + \sqrt{5}

, 8.

- 1 - \sqrt{3}

, 9.

2 + 2 \sqrt{6}

, 10.

3 + 2 \sqrt{5}

, 11.

- 1 + \sqrt{6}

, 12.

- 4 - \sqrt{23}

, 13.

3 - 2 \sqrt{5}

, 14.

2 + \sqrt{10}

, 15.

- 2 - \sqrt{17}

, 16.

2 - \sqrt{5}

x_{2} =

- 2 + \sqrt{17}

, 2.

2 - \sqrt{10}

, 3.

2 - 2 \sqrt{6}

, 4.

- 1 - \sqrt{6}

, 5.

- 1 + \sqrt{3}

, 6.

- 4 + \sqrt{23}

, 7.

2 + \sqrt{5}

, 8.

- 1 - \sqrt{3}

, 9.

2 + 2 \sqrt{6}

, 10.

3 + 2 \sqrt{5}

, 11.

- 1 + \sqrt{6}

, 12.

- 4 - \sqrt{23}

, 13.

3 - 2 \sqrt{5}

, 14.

2 + \sqrt{10}

, 15.

- 2 - \sqrt{17}

, 16.

2 - \sqrt{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKmaeltQ53Hml3

Ćwiczenie 29

Funkcja

f

określona wzorem

f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 7

ma dwa różne miejsca zerowe

x_{1}

x_{2}

. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

x_{1} + x_{2} =

1 \frac{1}{2}

, 2.

1

, 3.

- 3 \frac{1}{2}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 1 \frac{1}{2}

, 6.

- \frac{1}{2}

, 7.

2 \frac{1}{2}

, 8.

- 2 \frac{1}{2}

, 9.

- 1

, 10.

3 \frac{1}{2}

, 11.

- 2

, 12.

2

, 13.

0

x_{1} \cdot x_{2} =

1 \frac{1}{2}

, 2.

1

, 3.

- 3 \frac{1}{2}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 1 \frac{1}{2}

, 6.

- \frac{1}{2}

, 7.

2 \frac{1}{2}

, 8.

- 2 \frac{1}{2}

, 9.

- 1

, 10.

3 \frac{1}{2}

, 11.

- 2

, 12.

2

, 13.

0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 30

Funkcja kwadratowa $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 1$ ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że każde z nich należy do przedziału $(- 1, 3)$ .

RWv5PMVXq6WDS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Można obliczyć pierwiastki: $x_{1} = 1 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ oraz $x_{2} = 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ i pokazać odpowiednie oszacowania (czy też rozwinięcie dziesiętne z kalkulatora), albo zauważyć, że $p = 1 \in (- 1, 3)$ oraz $f (- 1) > 0$ i $f (3) > 0$ .

Ćwiczenie 31

R12sSeRGXAON8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że $- 1$ jest jedynym miejscem zerowym funkcji $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ , a więc $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ . Stąd $b = 2$ .

RPFNY3LQh0LLI3

Ćwiczenie 32

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej

f (x) = - 10 x^{2} + b x + 1

jest liczba

x_{1} = - \frac{1}{2}

. Oblicz

b

oraz drugie miejsce zerowe funkcji

x_{2}

. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

b =

\frac{1}{5}

, 2.

- 2

, 3.

- \frac{4}{5}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

1

, 6.

2

, 7.

\frac{3}{5}

, 8.

- 1

, 9.

- \frac{2}{5}

, 10.

- \frac{1}{4}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 3

, 13.

- \frac{3}{5}

, 14.

3

, 15.

- \frac{1}{2}

, 16.

\frac{2}{5}

, 17.

\frac{1}{2}

x_{2} =

\frac{1}{5}

, 2.

- 2

, 3.

- \frac{4}{5}

, 4.

\frac{4}{5}

, 5.

1

, 6.

2

, 7.

\frac{3}{5}

, 8.

- 1

, 9.

- \frac{2}{5}

, 10.

- \frac{1}{4}

, 11.

\frac{1}{4}

, 12.

- 3

, 13.

- \frac{3}{5}

, 14.

3

, 15.

- \frac{1}{2}

, 16.

\frac{2}{5}

, 17.

\frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 33

R17RDYiplPj6a3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że funkcja $g$ zapisana jest w postaci iloczynowej. Oznacza to, że z łatwością możesz odczytać jej miejsca zerowe. Aby wyznaczyć $b$ i $c$ , rozwiąż układ składający się z dwóch równań. Wykorzystaj otrzymane miejsca zerowe oraz fakt, że wartość funkcji w tych miejscach wynosi $0$ .

Ćwiczenie 34

RZscC6Kg6fQuC

Funkcja

f

określona jest wzorem

f (x) = x^{2} + 6 x + c

. Ile miejsc zerowych istnieje dla funkcji

f

w zależności od wartości współczynnika

c

? Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Dla

c >

Tu uzupełnij liczba miejsc zerowych funkcji

f

to Tu uzupełnij.Dla

c =

Tu uzupełnij liczba miejsc zerowych funkcji

f

to Tu uzupełnij.Dla

c <

Tu uzupełnij liczba miejsc zerowych funkcji

f

to Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ wyróżnik $Δ = 36 - 4 c$ , więc $f$ : ma dwa różne miejsca zerowe dla $c < 9$ , ma dokładnie jedno miejsce zerowe dla $c = 9$ , nie ma miejsc zerowych dla $c > 9$ .

Można też zapisać funkcję w postaci kanonicznej:

$f (x) = {(x + 3)}^{2} + c - 9$ i komentować znak wyrażenia $c - 9$ .