Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt

Określanie monotoniczności funkcji na podstawie jej wykresu - ćwiczenia. Cześć I

1
Pokaż ćwiczenia:

Podczas badania przebiegu zmienności funkcji określamy własności tej funkcji, w tym jej monotoniczność na całej dziedzinie albo na przedziałach. W tym materiale:

  • określisz monotoniczność funkcji na podstawie jej wykresu,

  • wskażesz wykres funkcji o podanej monotoniczności.

Jeżeli potrzebujesz przypomnieć sobie pojęcia związane z monotonicznością funkcji, skorzystaj z lekcji: Monotoniczność funkcjiDRBFgBGnPMonotoniczność funkcji. Do ponownego przeanalizowania przykładów odpowiednia będzie lekcja Odczytywanie przedziałów monotoniczności funkcji z wykresu. PrzykładyDI2XCNHT0Odczytywanie przedziałów monotoniczności funkcji z wykresu. Przykłady.

1
Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R1Qshc7fDCMjR1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do trzech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch odcinków. Pierwszy z nich ma zamalowane końce w punktach o współrzędnych -7;1 i -3;4. Drugi odcinek ograniczony jest lewostronnie niezamalowanym punktem o współrzędnych -2;3 oraz prawostronnie przez zamalowany punkt o współrzędnych 2;-1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R16PaCxTp190n
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. stała, 4. niemonotoniczna
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R4YHGPXFHWibS1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Dla każdego punktu należącego do krzywej wraz ze wzrostem argumentów wzrasta wartość funkcji. Do wykresu funkcji f należą punkty 0;1 oraz 2;4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15RiGWDorJMy
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. stała, 4. niemonotoniczna
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

RfzuSHWLIYlGP1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą dwóch odcinków o końcach w następujących punktach kolejno od lewej: -6;5, -3;2, 4;2. Dziedziną funkcji jest przedział obustronnie domknięty od minus sześciu do czterech.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1QRDWdPIYsYa
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. niemalejąca, 5. stała, 6. niemonotoniczna
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

RzpxGArUbCXYH1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z siedmiu punktów o współrzędnych (-4, 5), (-3, 2), (-2, 3), (-1, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 4).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1aid1hqbxL4F
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. niemalejąca, 5. stała, 6. niemonotoniczna
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R11Irv5qxocj01
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji w postaci prostej równoległej do osi X. Prosta przecina oś Y w punkcie o współrzędnych (0, 3).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1X2w3ap9CrKY
Dokończ zdanie, wybierając wszystkie poprawne odpowiedzi.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca., 2. malejąca., 3. nierosnąca., 4. niemalejąca., 5. stała., 6. niemonotoniczna.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

Rm3G6pLdLriTi1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą odcinków o końcach w następujących punktach kolejno od lewej: -4;-2, -3;-2, -2;-1, 1;1, 3;1, 4;3. Dziedziną funkcji jest przedział obustronnie domknięty od minus czterech do czterech
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RpzUHqt4TRSog
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. niemalejąca, 5. stała, 6. niemonotoniczna
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

RTU60dmPjSgHe1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Dla każdego punktu należącego do krzywej wraz ze wzrostem argumentów maleje wartość funkcji. Do wykresu funkcji f należy punkt 1;1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NRPfQv2nRSF
Dokończ zdanie, wybierając wszystkie poprawne odpowiedzi.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca., 2. malejąca., 3. nierosnąca., 4. niemalejąca., 5. stała., 6. niemonotoniczna.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R1MgSh6KEedCg1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z siedmiu punktów leżących w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Dla każdego punktu wraz ze wzrostem argumentu maleje wartość funkcji. Do wykresu funkcji f należy punkt 1;1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RrMfzI1a8i9dK
Dokończ zdanie, wybierając wszystkie poprawne odpowiedzi.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca., 2. malejąca., 3. nierosnąca., 4. niemalejąca., 5. stała., 6. niemonotoniczna.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

RhFVNY4qV1txN1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z poziomych odcinków lewostronnie otwartych o długości dwa. Na płaszczyźnie zaznaczono: odcinek o początku w niezamalowanym punkcie -5;0 ograniczony prawostronnie zamalowanym punktem -3;0, następnie odcinek o początku w niezamalowanym punkcie -3;1 ograniczony prawostronnie zamalowanym punktem -1;1, następnie odcinek o początku w niezamalowanym punkcie -1;2 ograniczony prawostronnie zamalowanym punktem 1;2, następnie odcinek o początku w niezamalowanym punkcie 1;3 ograniczony prawostronnie zamalowanym punktem 3;3, następnie odcinek o początku w niezamalowanym punkcie 3;4 ograniczony prawostronnie zamalowanym punktem 5;4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1azw9YksGNAX
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. niemalejąca, 5. stała, 6. niemonotoniczna
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

RihJ8LGUqTMAu1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dziewięciu punktów o współrzędnych (-6, 1), (-5, 1), (-4, 1), (-3, 1), (-2, 1), (-1, 2), (0, 3), (1, 4), (2, 5).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RbTAkk5pa8XOl
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Jest to funkcja: Możliwe odpowiedzi: 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. niemalejąca, 5. stała, 6. niemonotoniczna
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.

R11ONk2lBrzYz1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą odcinków o końcach w następujących punktach kolejno od lewej: -5;2, -1;4, 1;-2, 6;3. Dziedziną funkcji g jest przedział obustronnie domknięty od minus pięciu do sześciu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnbMX8AICW2eW
Dokończ zdanie, wybierając wszystkie poprawne odpowiedzi.
Funkcja g jest rosnąca w przedziale: Możliwe odpowiedzi: 1. -5,0, 2. - 5 , - 1 , 3. - 1 , 4 , 4. 1 , 6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.

R1SF8MExndo1R1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z łamanej i jednego odcinka. Łamana składa się z połączonych ze sobą odcinków o końcach w następujących punktach kolejno od lewej: -6;7, -2;-2 i 2;1. Łamana jest ograniczona prawostronnie niezamalowanym punktem oraz prawostronnie zamalowanym punktem. Odcinek ma końce w niezamalowanych punktach o współrzędnych 3;7 i 6;3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rg6SYFMynLHEu
Dokończ zdanie, wybierając wszystkie poprawne odpowiedzi.
Funkcja h jest malejąca w przedziale: Możliwe odpowiedzi: 1. - 4 , - 2 , 2. - 2 , 2 , 3. - 6 , 2 , 4. 3 , 6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
31
Ćwiczenie 13
RhVT0CKDyoLP4
Wskaż zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f jest rosnąca jeśli dla każdego x1<x2 prawdziwy jest warunek fx1<fx2, 2. Funkcja f jest rosnąca jeśli dla każdego x1>x2 prawdziwy jest warunek fx1>fx2, 3. Funkcja f jest rosnąca jeśli dla każdego x1<x2 prawdziwy jest warunek fx1≤fx2, 4. Funkcja f jest rosnąca jeśli dla każdego x1>x2 prawdziwy jest warunek fx1≥fx2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1CDCxCWQ8xti
Wskaż wykres funkcji rosnącej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 14

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

R1BIEmzKhulGi1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą odcinków o końcach w następujących punktach kolejno od lewej: -3;2, -1;2, 1;1, 2;-2, 4;-2. Dziedziną funkcji f jest przedział obustronnie domknięty od minus trzech do czterech.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1QDvaJM0dTV1
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest malejąca, jest przedział: Możliwe odpowiedzi: 1. 1 , 2 , 2. 1 , 2 , 3. - 1 , 2 , 4. - 3 , 4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 15
R18Ir0Hy2PpWN
Wskaż zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja fx=x2 jest malejąca w przedziale −∞,0, a rosnąca w przedziale 0,+∞., 2. Funkcja fx=x2 jest rosnąca w przedziale −∞,0, a malejąca w przedziale 0,+∞., 3. Funkcja fx=x jest rosnąca w całej swojej dziedzinie., 4. Funkcja fx=x2 jest malejąca w przedziale −∞,1, a rosnąca w przedziale 1,+∞.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1VoedEpP3ufy
Wskaż wykres funkcji, która rośnie w przedziale -1,1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 16

Jakie funkcje przedstawiono na poniższych ilustracjach? Uzupełnij puste luki, wpisując jedno z określeń: malejąca, rosnąca, niemonotoniczna.

R16n9usyf6yM0
a)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R185PKsWxzR6N
b)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RV9LYHZqHCQkV
c)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RKp4n5EMOTwN2
d)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RRWyW3xTt7LBN
e)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R3S5sBmJfqRR0
f)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rdj2icmquKims
g)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ReA7rdtlGET6u
h)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11imjHdtO7ym
i)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgKWklieVUae7
j)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FELOgjU4Wsf
k)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rq2VG0JNDEHTR
l)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1EwvKi4l6FBa
m)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1JQAWdWCH4D4
n)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFAid778kQyyQ
o)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RRyERcmiti6JZ
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa, znaki lub wyrażenia, lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Dziedziną pewnej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykres funkcji rośnie na przedziale -∞, 5 i maleje na przedziale 5,∞. Powiemy wówczas, że funkcja ta jest 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. fx1≠fx2, 5. fx1≥fx2, 6. fx1≤fx2, 7. fx1=fx2, 8. monotoniczna przedziałami, 9. niemonotoniczna.Funkcja f jest niemalejąca w przedziale a,b, jeżeli dla dowolnych x1,x2∈a,b takich, że x1<x2, spełniony jest warunek: 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. fx1≠fx2, 5. fx1≥fx2, 6. fx1≤fx2, 7. fx1=fx2, 8. monotoniczna przedziałami, 9. niemonotoniczna.Funkcja f jest 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. fx1≠fx2, 5. fx1≥fx2, 6. fx1≤fx2, 7. fx1=fx2, 8. monotoniczna przedziałami, 9. niemonotoniczna w przedziale a,b, jeżeli dla dowolnych x1,x2∈a,b takich, że x1<x2, spełniony jest warunek: fx1≥fx2.Funkcję f nazywamy stałą w przedziale a,b, jeżeli dla dowolnych x1,x2∈a,b takich, że x1<x2, spełniony jest warunek: 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. fx1≠fx2, 5. fx1≥fx2, 6. fx1≤fx2, 7. fx1=fx2, 8. monotoniczna przedziałami, 9. niemonotoniczna.Funkcja f jest 1. rosnąca, 2. malejąca, 3. nierosnąca, 4. fx1≠fx2, 5. fx1≥fx2, 6. fx1≤fx2, 7. fx1=fx2, 8. monotoniczna przedziałami, 9. niemonotoniczna w przedziale a,b jeżeli dla dowolnych x1,x2∈a,b takich, że x1<x2, spełniony jest warunek: fx1>fx2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.