Prędkość i jej jednostki. Odczytywanie prędkości i drogi z wykresów

Bardzo często używasz pojęć szybkość lub prędkość. Mówisz: „Ten samochód porusza się szybciej, a tamten – wolniej (albo jeden porusza się z dużą prędkością, a drugi – z małą)”. Kiedy spacerujesz, poruszasz się z mniejszą prędkością, niż kiedy biegniesz po boisku. Kiedy obserwujesz wskazania prędkościomierza w samochodzie, widzisz, że się one zmieniają. Czy zastanawiałeś się, czym jest prędkość?

R119NnmqFflns

Zdjęcie przedstawia bolid Formuły jeden uchwycony z boku w ruchu z silnie rozmytym tłem. Zbliżenie na centralną część maszyny i kierowcę. — Dla kierowcy wyścigowego bolidu pojęcie „szybko” znaczy zupełnie coś innego niż dla rowerzysty
Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem, należy znać poniższe zagadnienia

sposób w jaki uzasadnić na podstawie przykładów, że ruch ciał jest pojęciem względnym;
przykłady układów odniesienia dla danego ruchu;
w jakich sytuacjach używamy pojęcia „punkt materialny”;
wielkości opisujące ruch;
jak dokonać klasyfikacji ruchów ze względu na ich tor.

Nauczysz się

odróżniać prędkość średnią od prędkości chwilowej;
wzorów na prędkość średnią i chwilową;
posługiwać wykresami zależności prędkości od czasu oraz drogi od czasu;
wyrażać prędkość w różnych jednostkach.

Prędkość średnia i prędkość chwilowa

Kiedy obserwujesz przejeżdżające samochody, możesz zauważyć, że niektóre z nich pokonują te same odcinki drogi w krótszym czasie niż inne auta. Mówisz wówczas, że niektóre samochody poruszały się z większą prędkością. Kiedy jednak opisujesz ruch tych samochodów, widzisz również, że jedne z nich mogą jechać w jedną stronę, a inne – w stronę przeciwną, ale wzdłuż tej samej drogi. Aby opisać ich ruch, nie wystarczy więc powiedzieć, że prędkość wynosi np. $60 \frac{km}{h}$ . Istotne jest to, wzdłuż jakiej drogi i w którą stronę poruszał się samochód, czyli ważne są: kierunek (prosta, wzdłuż której samochód się porusza) i zwrot (w którą stronę tego kierunku porusza się auto). Prędkość jest wielkością wektorową – ma wartość, kierunek i zwrot. Jeżeli nie zależy ci na pełnym opisie ruchu ciała, to używasz pojęcia wartość prędkości. Jest to rzecz jasna wartość wektora prędkości.

średnia wartość prędkości

– wartość, którą uzyskamy, gdy drogę przebytą przez ciało podzielimy przez czas jej przebycia.

Zapamiętaj!

średnia wartość prędkości = \frac{przebyta droga}{czas przebycia tej drogi}

Jeżeli przyjmiemy oznaczenia:
$v_{śred} [\frac{m}{s}]$ – średnia wartość prędkości,
$s [m]$ – droga przebyta z tą wartością prędkości,
$t [s]$ – czas trwania ruchu (czas przebycia tej drogi),
to otrzymamy zależność:

v_{śred} = \frac{s}{t}

Gdy mówimy, że samochód poruszał się z prędkością o średniej wartości $50 \frac{km}{h}$ , nie mamy wcale na myśli tego, że jego prędkość na każdym odcinku przebytej drogi była stała i wynosiła dokładanie $50 \frac{km}{h}$ . Prędkość w czasie jazdy na pewno wielokrotnie ulegała zmianie – samochód jechał raz szybciej, raz wolniej, być może zatrzymał się na skrzyżowaniu, żeby ustąpić pierwszeństwa przejazdu. Prędkościomierz w samochodzie pokazuje wartość prędkości, którą auto ma w danej chwili ruchu. Jest to prędkość chwilowaprędkość chwilowaprędkość chwilowa.

prędkość chwilowa

– prędkość ciała w danej chwili ruchu.

Rekord świata w sprincie (w $2009$ r.) to przebycie $100$ – metrowego odcinka w czasie $9, 58 s$ . Wiadomo jednak, że sprinter po starcie nie porusza się od razu z maksymalną prędkością. Na starcie prędkość biegacza wynosi zero, a potem stopniowo rośnie. Maksymalna wartość uzyskana jest po pokonaniu około $\frac{2}{3}$ dystansu. Wynosi wtedy $45 \frac{km}{h}$ , czyli $12, 5 \frac{m}{s}$ . Gdyby sprinter biegł cały czas z maksymalną prędkością, to dystans $100 m$ przebyłby w $8$ sekund.

Ćwiczenie 1

Oblicz średnią wartość prędkości rekordzisty (Usaina Bolta) podczas rekordowego biegu.

R1c89fILhvj8u

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$v_{śred} = \frac{100 m}{9, 58 s} \approx 10, 44 \cdot \frac{3600 km}{1000 h} \approx 37, 58 \frac{km}{h}$

$v_{śred} = 37, 58 \frac{km}{h}$

Ciekawostka

Różnice wartości prędkości ciał poruszających się w przyrodzie
W przyrodzie możemy zaobserwować ruchy odbywające się z różnymi prędkościami, np. dryft kontynentów odbywa się z prędkością ok. $4 \frac{cm}{rok}$ , a światło w próżni porusza się z prędkością ok. $300000 \frac{km}{s}$ . Jak widać, różnice prędkości mogą być ogromne.

R1TIPFv4ZvDnm

Zestawienie prędkości poruszających się ciał w przyrodzie
Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RRmGAPMueGUt61

Rekord w pływaniu na 100 m stylem dowolnym w 2009 r. należał do Brazylijczyka Césaro Cielo Filho i wynosił 46,91 s. Oblicz prędkość średnią, jaka pozwoliła mu wówczas na ustanowienie rekordu świata i wskaż prawidłową odpowiedź.

2,13 $\frac{m}{s}$
2,00 $\frac{m}{s}$
2,20 $\frac{m}{s}$
2,21 $\frac{m}{s}$
2,15 $\frac{m}{s}$
2,19 $\frac{m}{s}$
2,07 $\frac{m}{s}$
2,10 $\frac{m}{s}$
2,17 $\frac{m}{s}$

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Oblicz średnią prędkość rowerzysty, który podzielił swoją trasę na trzy odcinki. Pierwszy, o długości $10 km$ , pokonał w $0, 5 h$ , drugi, mający $30 km$ , przebył w ciągu $2 h$ . Trzeci odcinek, który miał $5 km$ , przejechał w $0, 5 h$ . Prędkość wyraź zarówno w $[\frac{m}{s}]$ , jak i w $[\frac{km}{h}]$ . Niezbędne obliczenia wykonaj w zeszycie.
Rozwiązanie

Dane:
$s_{1} = 10 km$ ; $t_{1} = 0, 5 h$
$s_{2} = 30 km$ ; $t_{2} = 2 h$
$s_{3} = 5 km$ ; $t_{3} = 0, 5 h$

Szukane:
$s = ?$
$t = ?$
$v_{śred} = ?$

Wzory:
$s = s_{1} + s_{2} + s_{3}$
$t = t_{1} + t_{2} + t_{3}$
$v_{śred} = \frac{s}{t}$

Obliczenia:
$s = 10 km + 30 km + 5 km = 45 km$
$t = 0, 5 h + 2 h + 0, 5 h = 3 h$
$v_{śred} = \frac{45 km}{3 h} = 15 \frac{km}{h}$
Wyrażenie obliczonej prędkości w $[\frac{m}{s}]$ :
$15 \frac{km}{h} = 15 \frac{1000 m}{3600 s} = 15 \frac{10 m}{36 s} = \frac{150 m}{36 s} = \frac{50 m}{12 s} = \frac{25 m}{6 s} = 4 \frac{1}{6} \frac{m}{s}$
Odpowiedź: Średnia prędkość rowerzysty wyniosła $15 \frac{km}{h} = 4 \frac{1}{6} \frac{m}{s}$ .

Wyrażanie prędkości w różnych jednostkach

Wartość prędkości można podawać w różnych jednostkach. Jednostką prędkości w układzie SI jest metr na sekundę $[\frac{m}{s}]$ . Czasami wygodniej jest wyrażać prędkość pojazdu w $\frac{km}{h}$ . Bywa, że chcemy wiedzieć, ile metrów ciało przebywa przez jedną sekundę albo jedną minutę (ślimak przebywa kilka centymetrów w ciągu $1$ minuty). W jaki sposób można przeliczyć jedną jednostkę prędkości na inną? Jest na to bardzo prosty sposób.

Przykładowo: dane ciało poruszało się z prędkością o wartości $72 \frac{km}{h}$ . Jeśli chcemy wyrazić tę wartość w metrach na sekundę, to musimy odpowiedzieć sobie na dwa pytania:
ile metrów przypada na jeden kilometr?
ile sekund zawiera jedna godzina?

Oczywiście, $1 km = 1000 m$ i $1 h = 3600 s$ .
Gdy zamienimy kilometr na metry, a godzinę – na sekundy, to po wykonaniu obliczeń otrzymamy:

$72 \frac{km}{h} = 72 \cdot \frac{1000 m}{3600 s} = \frac{720 m}{36 s} = 20 \frac{m}{s}$ .

Dzięki zamianie jednostek i prostym obliczeniom otrzymaliśmy prędkość wyrażoną w jednostkach układu SI, czyli w $\frac{m}{s}$ .
Podobnie postępujemy, gdy chcemy wyrazić np. $10 \frac{m}{s}$ w $\frac{km}{h}$ . Podczas przekształcania jednostek zawsze należy zastanowić się, jaką częścią nowej jednostki jest stara jednostka danej wielkości fizycznej.

$10 \frac{m}{s} = 10 \frac{\frac{1}{1000} km}{\frac{1}{3600} h} = 10 \frac{3600}{1000} \frac{km}{h} = 10 \frac{36}{10} \frac{km}{h} = 36 \frac{km}{h}$ .

W przeliczaniu jednostek pomocna jest poniższa aplikacja.

RFbyxNvBfZzY911

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Aplikacja przedstawia dwa kalkulatory - jeden do przeliczania jednostek czasu, drugi do przeliczania jednostek drogi. Jednostki czasu to doba, godzina, minuta, sekunda. Jednostki drogi to kilometr, metr, centymetr, milimetr. Wyniki przeliczeń zapisane zostały w poniższych tabelach.

**Przeliczanie jednostek czasu**
jednostka	$1\,\mathrm{doba}$	$1\,\mathrm{h}$	$1\,\mathrm{min}$	$1\,\mathrm{s}$
$1\,\mathrm{doba}$	$1$	$24$	$1440$	$86400$
$1\,\mathrm{h}$	$\frac{1}{24}=0,041(6)$	$1$	$60$	$3600$
$1\,\mathrm{min}$	$\frac{1}{1440}=0,00069(4)$	$\frac{1}{60}=0,01(6)$	$1$	$60$
$1\,\mathrm{s}$	$\frac{1}{86400}=0,0000115(740)$	$\frac{1}{3600}=0,0002(7)$	$\frac{1}{60}=0,01(6)$	$1$

**Przeliczanie jednostek drogi**
jednostka	$1\,\mathrm{km}$	$1\,\mathrm{m}$	$1\,\mathrm{cm}$	$1\,\mathrm{mm}$
$1\,\mathrm{km}$	$1\,\mathrm{km}$	$1000\,\mathrm{m}$	$100000\,\mathrm{cm}$	$1000000\,\mathrm{mm}$
$1\,\mathrm{m}$	$\frac{1}{1000}=0,001$	$1$	$100$	$1000$
$1\,\mathrm{cm}$	$\frac{1}{100000}=0,00001$	$\frac{1}{100}=0,01$	$1$	$10$
$1\,\mathrm{mm}$	$\frac{1}{1000000}=0,000001$	$\frac{1}{1000}=0,001$	$\frac{1}{10}=0,1$	$1$

R1V2DlBNaeSIy21

Ćwiczenie 3

Poniżej przedstawiono wartości prędkości wyrażone w różnych jednostkach. Połącz w pary te, które są sobie równe.

72 \frac{km}{h}

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 \frac{m}{s}

, 2.

0, 15 \frac{km}{s}

, 3.

192 \frac{cm}{doba}

, 4.

0, 01 \frac{m}{s}

, 5.

54 \frac{km}{h}

15 \frac{m}{s}

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 \frac{m}{s}

, 2.

0, 15 \frac{km}{s}

, 3.

192 \frac{cm}{doba}

, 4.

0, 01 \frac{m}{s}

, 5.

54 \frac{km}{h}

540 000 \frac{m}{s}

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 \frac{m}{s}

, 2.

0, 15 \frac{km}{s}

, 3.

192 \frac{cm}{doba}

, 4.

0, 01 \frac{m}{s}

, 5.

54 \frac{km}{h}

8 \frac{cm}{h}

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 \frac{m}{s}

, 2.

0, 15 \frac{km}{s}

, 3.

192 \frac{cm}{doba}

, 4.

0, 01 \frac{m}{s}

, 5.

54 \frac{km}{h}

36 \frac{m}{s}

Możliwe odpowiedzi: 1.

20 \frac{m}{s}

, 2.

0, 15 \frac{km}{s}

, 3.

192 \frac{cm}{doba}

, 4.

0, 01 \frac{m}{s}

, 5.

54 \frac{km}{h}

Dopasuj do siebie takie same wartości prędkości wyrażone w różnych jednostkach.

$72 \frac{km}{h}$
$15 \frac{m}{s}$
$540 000 \frac{m}{h}$
$8 \frac{cm}{h}$
$36 \frac{m}{h}$

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Wykres zależności wartości prędkości i drogi od czasu

Wielkości fizyczne opisujące zjawiska lub procesy fizyczne wygodniej jest przedstawiać w formie graficznej. Kiedy opisujemy ruch, najczęściej przedstawiamy graficznie zależność przebytej drogi od czasu $s (t)$ , a także sporządzamy wykresy ilustrujące zależność wartości prędkości od czasu $v (t)$ .

Polecenie 1

Przebyta droga, czas i prędkość to wielkości ściśle ze sobą związane. Aby się o tym przekonać, zagraj w grę. Spróbuj przetrwać na torze wyścigowym i jednocześnie obserwuj, jak zmieniają się droga i prędkość twojego ruchu.

R1Z2jC0hIbAAI11

Jak będzie zmieniać się droga pokonywana przez wyścigówkę, gdy będzie ona zwiększała swoją prędkość? Co w przypadku, gdy prędkość będzie zmniejszana? Ewentualne notatki możesz zapisać w polu poniżej.

RQXj9fJUsQRgy

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Na podstawie poniższego wykresu uzupełnij zdanie, wpisując odpowiednie liczby w puste pola.

R8akW8E8nDwlw

Schemat przedstawia wykres zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Opis osi: oś odciętych - od 0 do 24, co 2, opisana „t, s”; oś rzędnych – od 0 do 225, co 25, opisana „s, m”. Na osi narysowano czerwony odcinek, mający początek w początku układu współrzędnych. Odcinek nachylony do osi odciętych pod kątem nieco mniejszym niż 45 stopni. Z wykresu można odczytać, że odcinek przechodzi przez punkty (8, 75) i (16, 150). Kończy się w punkcie (21, 200). — Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Ru85r6VfVRMeE2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Podsumowanie

Jeżeli drogę przebytą przez ciało podzielimy przez czas jej przebycia, to obliczymy średnią wartość prędkości. Oblicza się ją za pomocą wzoru:
$v_{śred} = \frac{s}{t}$ ,
gdzie: $v_{śred} [\frac{m}{s}]$ – prędkość średnia; $s [m]$ – droga przebyta przez ciało; $t [s]$ – czas przebycia drogi (przedział czasu).
Prędkość chwilowa to prędkość ciała w danej chwili ruchu (w bardzo krótkim przedziale czasu). Jeśli dokonujemy pomiarów prędkości w długim przedziale czasu, to prędkość średnia zwykle znacznie różni się od prędkości chwilowych. Gdy przedział czasu jest bardzo mały (dąży do zera), to prędkość średnia zbliża się do prędkości chwilowej.
Aby przedstawić graficznie zależności pomiędzy wielkościami fizycznymi opisującymi zjawiska lub procesy, posługujemy się wykresami. Wykres zależności drogi od czasu opisujemy jako $s (t)$ , a zależność wartości prędkości od czasu – jako $v (t)$ . Wykresy niosą wiele interesujących informacji dotyczących przebiegu zjawisk fizycznych. Zawsze, jeśli to możliwe, korzystaj z wykresów!

Ćwiczenie 5

Na podstawie poniższego wykresu oblicz prędkość trzech ciał na poszczególnych etapach trwania ruchu (w przedziałach $0$ – $4$ sekund oraz $4$ – $6$ sekund). Jaka jest zależność pomiędzy kątem nachylenia wykresu do osi czasu a wartością prędkości ciał na danym odcinku drogi?

R5fhoDWvsgyTq

Ilustracja przedstawia wykres zależności drogi od czasu dla trzech ciał: A, B, C. A – kolor czerwony. B – kolor zielony. C – kolor niebeski. Oś odcięty od 0 do 6, co 1, opisana „t, s”. Oś rzędnych od 0 do 13, co 1, opisana „s, m”. Wykres dla ciała A przebiega przez następujące punkty, połączone odcinkami: (0,0) - początek; (4, 12), (6, 13) – koniec. Wykres dla ciała B (tworzący odcinek) przebiega przez następujące punkty: (0,0) - początek; (6, 12) – koniec. Wykres dla ciała C przebiega przez następujące punkty, połączone odcinkami: (0,0) - początek; (4, 4), (6, 9) – koniec. — Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

RSYPVzL4SUZVV

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Im większy kąt nachylenia wykresu od osi czasu, tym większa wartość prędkości ciała na danym odcinku.
Średnia prędkość w przedziale $0$ – $4$ sekund:
$v_{A} = 3 \frac{m}{s}$ ,
$v_{B} = 2 \frac{m}{s}$ ,
$v_{C} = 1 \frac{m}{s}$ .

Średnia prędkość w przedziale $4$ – $6$ sekund:
$v_{A} = 0, 5 \frac{m}{s}$ ,
$v_{B} = 2 \frac{m}{s}$ ,
$v_{C} = 2, 5 \frac{m}{s}$ .

Ćwiczenie 6

Na podstawie poniższego wykresu oblicz drogę przebytą przez ciała $M$ , $N$ i $O$ oraz ich średnią prędkość.

R4lZGwixsV9HW

Ilustracja przedstawia wykres zależności prędkości od czasu dla trzech ciał: O, M, N. O – kolor niebieski. M – kolor pomarańczowy. N – kolor różowy. Oś odcięty od 0 do 6, co 1, opisana „t, s”. Oś rzędnych od 0,0 do 3,0, co 0,5; opisana „v, m/s”. Wykres dla ciała O składa się z dwóch odcinków. Pierwszy: początek (0; 1) i koniec (4; 1,0). Drugi: początek (4; 2,5) i koniec 6; 2,5). Wykres dla ciała M składa się z jednego odcinka. Początek (0; 2,0) i koniec (6; 2,0). Wykres dla ciała N składa się z dwóch odcinków. Pierwszy: początek (0; 3,0) i koniec (4; 3,0). Drugi: początek (4; 0,5) i koniec 6; 0,5). — Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

R1ITQqbQ9MFrP

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ciało $M$ : $s_{M} = 12 m$ , $v_{śred, M} = 2 \frac{m}{s}$ .
Ciało $N$ : $s_{N} = 5 m$ , $v_{śred, N} = 0, 83 \frac{m}{s}$ .
Ciało $O$ : $s_{O} = 17 m$ , $v_{śred, O} = 2, 84 \frac{m}{s}$ .

Ćwiczenie 7

RaR69sZCXZqD2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zobacz także

Pomiary w fizyce. Niepewność pomiaru. Przeliczanie wielokrotności i podwielokrotnościP57LDHIsZPomiary w fizyce. Niepewność pomiaru. Przeliczanie wielokrotności i podwielokrotności
Ruch i spoczynek. Względność ruchuPYKk05W6KRuch i spoczynek. Względność ruchu

Zadania podsumowujące

Ćwiczenie 8

Wykres przedstawia zależność przebytej drogi od czasu dla pewnego ciała. Ile wynosi średnia wartość prędkości tego ciała?

R1FqAp9HEUDN1

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na osi pionowej odłożona droga w metrach, od zera do dziewięćdziesięciu co pięć metrów. Na osi poziomej odłożony czas w sekundach, od zera do trzydziestu, co dwie i pół sekundy. Wykres jest liniowy, od punktu (0;0) do punktu (30;90). wykres oznaczony jest czerwonym kolorem — Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

RanVNlK5VLxiw

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

REYUiDD8Szcnh3

Uzupełnij luki.

Królik przebiegł 100 m w czasie 8 s. Wartość jego prędkości wynosiła ............ $\frac{m}{s}$ .
Samochód przejechał 2 km w czasie 0,05 h. Jego wartość prędkości wynosiła ............ $\frac{km}{h}$ .
Samolot myśliwski przeleciał 2000 m w czasie 0,24 min. Jego wartość prędkości wynosiła ............ $\frac{km}{h}$ .

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Prędkość królika: $v = \frac{100 m}{8 s} = 12, 5 \frac{m}{s}$ .
Prędkość samochodu: $v = \frac{2 km}{0, 05 h} = 40 \frac{km}{h}$ .
Prędkość samolotu: $v = \frac{2000 m}{0, 24 min} = \frac{2 km}{0, 004 h} = 500 \frac{km}{h}$ .