Dlaczego ciała poruszają się po okręgu? - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Jak to się dzieje, że planety krążą wokół Słońca, a wokół Jowisza jego księżyce? Co mają wspólnego ruch planet i ruch samochodu na zakręcie? Dzięki tej lekcji poznasz przyczynę zmiany kierunku prędkości i cechy ruchu po okręgu.

R1exRiMPwgkLp

Zdjęcie przedstawia oglądanego z boku rowerzystę wykonującego ciasny skręt w lewo na górskiej drodze. Zakręt jest ostry, w kadrze znajdują się obydwa jego końce. Rozmyte i poruszone wszystkie elementy zdjęcia poza rowerzystą podkreślają to, że jedzie on z dużą prędkością. — Źródło: Nikos Koutoulas, dostępny w internecie: https://www.flickr.com/, licencja: CC BY-NC 3.0.

Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem, należy znać poniższe zagadnienia

znaczenie pojęć: prędkości liniowa, okres obiegu i częstotliwość obiegu;
w jaki sposób można obliczyć wartości tych wielkości;
określenie ruchu jednostajnego po okręgu;
przyczyny ruchu jednostajnego i zmiennego.

Nauczysz się

wyjaśniać ruch po okręgu działaniem siły dośrodkowej;
wskazywać źródła siły dośrodkowej w odniesieniu do konkretnych ruchów po okręgu;
obliczać wartość siły dośrodkowej.

Siła dośrodkowa

Znasz już zasady (prawa) dynamiki. Wynika z nich, że aby zmienić stan ruchu ciała, czyli zwiększyć lub zmniejszyć jego prędkość albo zmienić jej kierunek lub zwrot, musimy działać pewną siłą. Aby zwiększyć prędkość ruchu ciała, trzeba działać siłą o takim samym kierunku i zwrocie, jakie ma prędkość, natomiast aby zmniejszyć wartość prędkości – siła powinna mieć zwrot przeciwny do zwrotu prędkości ciała.

Co powoduje, że ciało poruszające się dotychczas po prostej zaczyna zakręcać i poruszać się po okręgu? Domyślasz się pewnie, że musi działać jakaś siła. Jakie cechy ma ta siła?

Rozpatrujemy ruch jednostajny po okręgu, a zatem wartość prędkości musi być stała. Ma następować jedynie zmiana kierunku prędkości. Oznacza to, że siła, o której myślimy, musi być prostopadła do wektora prędkości ciała i zwrócona do środka okręgu. Taką siłę będziemy nazywać zatem siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową. Od czego może zależeć jej wartość?

Pomińmy kwestie matematyczne związane z wyprowadzeniem wzoru. Zauważymy tylko, że im większa będzie prędkość ciała poruszającego się po linii prostej, tym większą siłę trzeba będzie przyłożyć, aby zmienić kierunek jego ruchu. Logiczne będzie także stwierdzenie, że im większa masa ciała, które ma poruszać się po okręgu, tym większa siła musi na nie działać ( $II$ zasada dynamiki). Okrąg, po którym ma się poruszać ciało, będzie miał jakiś promień. Jeżeli działająca siła będzie niewielka, to ciało również niewiele skręci – będzie się ono poruszało po okręgu o dużym promieniu. Aby uzyskać mały promień okręgu, musimy działać odpowiednio większą siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową.

Rozważania matematyczne prowadzą do następującej zależności siły dośrodkowejsiła dośrodkowasiły dośrodkowej $F$ od masy $m$ i prędkości $v$ ciała oraz promienia okręgu $r$ :

F = \frac{m \cdot v^{2}}{r}

Zapamiętaj!

Siła dośrodkowasiła dośrodkowaSiła dośrodkowa jest odpowiedzialna za to, że ciało porusza się po okręgu. Jej wartość obliczamy za pomocą wzoru:

F = \frac{m \cdot v^{2}}{r}

gdzie:
$m [kg]$ – masa poruszającego się ciała;
$v [\frac{m}{s}]$ – prędkość ciała;
$r [m]$ – promień okręgu, który zakreśla poruszające się ciało.

A co jest źródłem siły dośrodkowej?

Rzut młotem
Podczas rzutu młotem (tak naprawdę jest to kula, do której przymocowano stalową linkę zakończoną uchwytem) siłę dośrodkowąsiła dośrodkowasiłę dośrodkową za pośrednictwem linki wywiera zawodnik. Rolę siły dośrodkowejsiła dośrodkowasiły dośrodkowej pełni siła naciągu liny.

RKa7sf5JMlXJH

Zdjęcie przedstawiające zawodnika wykonującego rzut młotem podczas zawodów lekkoatletycznych. — Źródłem siły dośrodkowej podczas rzutu młotem jest zawodnik
Źródło: Erik van Leeuwen, dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Zawodnik rozpędza młot, wykonując kilka obrotów, a następnie puszcza linkę. Na młot przestaje wówczas działać siła dośrodkowasiła dośrodkowasiła dośrodkowa – obserwujemy, jak daleko on poleci.

Szklanka na obracającej się płycie
Wyobraźmy sobie szklankę stojącą na obracającej się płycie (np. gramofonowej) albo na szklanym talerzu w kuchence mikrofalowej. Jeżeli szklankę postawimy w pewnej odległości od osi obrotu, to naczynie będzie się poruszało po okręgu. Co powoduje, że szklanka porusza się takim ruchem? Czy poruszałaby się tak, gdyby powierzchnia talerza była idealnie gładka? Jaka siła mogłaby wówczas spowodować ruch szklanki? Jedyną siłą, o jakiej może być tu mowa, jest siła tarcia pomiędzy płytą (talerzem) a szklanką (pomijamy tu możliwość przyklejania szklanki do płyty), ponieważ siły ciężkości i sprężystości podłoża równoważą się wzajemnie.

Samochód na zakręcie
Co się dzieje podczas pokonywania zakrętu przez samochód? Powiecie: po prostu kręcimy kierownicą i przednie koła ustawiają się w odpowiedniej pozycji. Czy na pewno? A gdyby na zakręcie był lód? Czy skręcenie kół wystarczyłoby do zmiany kierunku jazdy? Chyba wszyscy są przekonani, że nie. Podobnie jak w powyższym przykładzie, siłą dośrodkową jest znowu siła tarcia.

O sile grawitacji, która jest siła dośrodkowąsiła dośrodkowasiła dośrodkową, będziemy mówić na następnych lekcjach. A jakie jeszcze inne ruchy po okręgu możecie wskazać?

Ćwiczenie 1

Wybierzcie kilka rodzajów ruchu po okręgu, przeanalizujcie je i wskażcie, co jest siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową w każdym przykładzie.

RWoUiviHK6XbX

Analiza różnych rodzajów ruchu po okręgu wskazuje, że siłą dośrodkową może być jedna, bezpośrednio działająca siła lub (częściej) wypadkowa kilku sił działających na ciało.

Przykład 1

Samochód o masie $2 t$ porusza się ze stałą prędkością $72 \frac{km}{h}$ . Oblicz wartość siły dośrodkowejsiła dośrodkowasiły dośrodkowej działającej na samochód, jeśli znajduje się on na zakręcie będącym łukiem okręgu o promieniu $25 m$ .

Analiza zadania:
W zadaniu podana jest informacja o masie ciała, jego prędkości i promieniu okręgu, po którym się ono porusza. Są to wystarczające dane, aby móc wyznaczyć wartość siły dośrodkowejsiła dośrodkowasiły dośrodkowej. Należy jednak zwrócić uwagę, że prędkość została podana w $\frac{km}{h}$ , a więc wymaga przeliczenia na $\frac{m}{s}$ .

Dane:
$m = 2 t$
$1 t = 1000 kg$
$v = 72 \frac{km}{h}$
$r = 25 m$

Szukane:
$F = ?$

Wzór:
$F = \frac{m v^{2}}{r}$

Obliczenia:
$v = 72 \frac{km}{h} = 72 \cdot \frac{1000 m}{3600 s} = 20 \frac{m}{s}$
$F = \frac{2000 kg \cdot {(20 \frac{m}{s})}^{2}}{25 m} = 80 \cdot 400 N = 32000 N = 32 kN$

Odpowiedź:
Na samochód działa siła dośrodkowasiła dośrodkowasiła dośrodkowa $32 kN$ .

Przykład 2

Podczas zawodów lekkoatletycznych odbywa się konkurencja rzutu młotem. Do linki o długości $1, 1 m$ przymocowana jest kula o masie $4 kg$ . Zawodniczka wprawia kulę w ruch jednostajny po okręgu, tak że na kulę działa siła dośrodkowa o wartości $1, 6 kN$ . Oblicz wartośc prędkości liniowej, z jaką porusza się kula.

Analiza zadania:
W zadaniu podana jest informacja o wartości siły dośrodkowej, którą obliczamy ze wzoru $F = \frac{m v^{2}}{r}$ . Nie znamy wartości prędkości liniowej ciała, musimy więc ją obliczyć na podstawie danych zawartych w zadaniu.

Dane:
$r = 1, 1 m$
$m = 4 kg$
$F = 1, 6 kN = 1600 N$

Szukane:
$v = ?$

Wzory:
$F = \frac{m v^{2}}{r} | \cdot r$
$F \cdot r = m v^{2} | : m$
$v^{2} = \frac{F \cdot r}{m}$
$v = \sqrt{\frac{F \cdot r}{m}}$

Obliczenia:

$v = \sqrt{\frac{1600 N \cdot 1, 1 m}{4 kg}} = \sqrt{440 \frac{m^{2}}{s^{2}}} ≅ 21 \frac{m}{s}$
$[v] = \sqrt{\frac{N \cdot m}{kg}} = \sqrt{\frac{kg \frac{m}{s^{2}} \cdot m}{kg}} = \sqrt{\frac{m^{2}}{s^{2}}} = \frac{m}{s}$

Odpowiedź:
Kula porusza się z prędkością o wartości równej w przybliżeniu $21 \frac{m}{s}$ .

Przykład 3

Dziecko o masie $20 kg$ siedzi na krzesełku karuzeli znajdującym się w odległości $5 m$ od środka obrotu. Oblicz wartość siły dośrodkowej działającej na dziecko, gdy krzesełko porusza się z prędkością $3 \frac{m}{s}$ .

Analiza zadania:
Korzystamy z zależności $F = \frac{m v^{2}}{r}$ , aby wykorzystać informacje zawarte w zadaniu.

Dane:
$m = 20 kg$
$r = 5 m$
$v = 3 \frac{m}{s}$

Szukane:
$F = ?$

Obliczenia:
$F = \frac{m v^{2}}{r} = \frac{20 kg \cdot {(3 \frac{m}{s})}^{2}}{5 m} = 36 N$
$[F] = \frac{kg \cdot {(\frac{m}{s})}^{2}}{m} = kg \cdot \frac{m}{s^{2}} = N$

Odpowiedź:
Na dziecko siedzące na krzesełku kręcącej się karuzeli działa siła dośrodkowa o wartości $36 N$ .

RI94o4G2E7aSr

Ćwiczenie 2

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

R16u9BM44dP9811

Ćwiczenie 3

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

R1DMFpVmR0bRB21

Ćwiczenie 4

Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania przygotuj kartkę papieru i przybory do pisania.
Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi. Po uwzględnieniu wzoru na prędkość liniową ( $v = \frac{2 π \cdot R}{T}$ lub $v = 2 π R f$ ) we wzorze na siłę dośrodkową otrzymamy zależność:

$F = 4 π^{2} m r f^{2}$ .
$F = m r {"("2 π f")"}^{2}$ .
$F = {"("\frac{2π}{T}")"}^{2} m r$ .
$F = \frac{4 m π^{2} r}{T^{2}}$ .
$F = 4 m π r f^{2}$ .
$F = 2 π r f^{2}$ .
$F = {(2 π fr)}^{2} m$ .
$F = \frac{2 π r}{T^{2}} m$ .
$F = \frac{2 m π r^{2}}{T^{2}}$ .
$F = m \frac{4 π r^{2}}{T^{2}}$ .
$F = {"("\frac{2 π}{T} r")"}^{2}$ .

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Podsumowanie

Siłą odpowiedzialną za ruch ciała po okręgu jest siła dośrodkowa.
Wartość siły dośrodkowej obliczamy za pomocą wzoru:
$F = \frac{m \cdot v^{2}}{r}$ ,
gdzie:
$m [kg]$ – masa poruszającego się ciała;
$v [\frac{m}{s}]$ – prędkość ciała;
$r [m]$ – promień okręgu zakreślanego przez poruszające się ciało.
Siłą dośrodkową może być jedna, bezpośrednio działająca siła lub (częściej) wypadkowa kilku sił działających na ciało. Siła dośrodkowa jest prostopadła do wektora prędkości ciała (tak jak pokazano na ilustracji poniżej).

R1NZiXtCY4Zsw

Ilustracja przedstawia samochód jadący po jezdni, będącej wycinkiem okręgu. Wektor siły dośrodkowej skierowany jest od środka samochodu do środka tego okręgu, a wektor prędkości jest do niego prostopadły i skierowany w prawo, zgodnie z kierunkiem poruszania się samochodu. Od środka okręgu do jego krawędzi biegnie też strzałka podpisana literą "r", oznaczająca promień okręgu. — Wektor siły dośrodkowej jest zawsze prostopadły do wektora prędkości i skierowany do środka okręgu, po którym porusza się ciało
Źródło: GroMar Sp. z o. o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RnNB6qKU2yUr33

Ćwiczenie 5

Motocyklista porusza się ze stałą prędkością o wartości

90 \frac{km}{h}

. Motocyklista i motocykl mają łączną masę

270 kg

. Na motocykl działa pewna siła dośrodkowa, która w tym wypadku jest siłą tarcia, gdyż pozostałe siły równoważą się.
Uzupełnij luki w odpowiedzi podanymi wartościami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku.

Ile wynosi wartość siły tarcia działającej na koła pojazdu, jeśli znajduje się on na zakręcie będącym wycinkiem koła o promieniu $20 m$ ?
Odpowiedź: Wartość siły tarcia wynosi $F =$ 1. $7795, 5 N$ , 2. $8, 14 Hz$ , 3. $9, 12 Hz$ , 4. $6285, 8 N$ , 5. $5 s$ , 6. $17 s$ , 7. $7, 86 Hz$ , 8. $8, 55 Hz$ , 9. $15 s$ , 10. $8 s$ , 11. $8437, 5 N$ , 12. $7545, 5 N$ , 13. $9, 94 Hz$ , 14. $10 s$ .
W jakim czasie motocyklista wykonałby jedno pełne okrążenie, gdyby poruszał się po okręgu o tym samym promieniu?
Odpowiedź: Motocyklista wykonałby to okrażenie w czasie $t \approx$ 1. $7795, 5 N$ , 2. $8, 14 Hz$ , 3. $9, 12 Hz$ , 4. $6285, 8 N$ , 5. $5 s$ , 6. $17 s$ , 7. $7, 86 Hz$ , 8. $8, 55 Hz$ , 9. $15 s$ , 10. $8 s$ , 11. $8437, 5 N$ , 12. $7545, 5 N$ , 13. $9, 94 Hz$ , 14. $10 s$ .
Z jaką częstotliwością obracają się koła motocykla, jeśli wiadomo, że średnica kół pojazdu wynosi $0, 64 m$ ?
Odpowiedź: Koła obracają się z częstotliwością $f =$ 1. $7795, 5 N$ , 2. $8, 14 Hz$ , 3. $9, 12 Hz$ , 4. $6285, 8 N$ , 5. $5 s$ , 6. $17 s$ , 7. $7, 86 Hz$ , 8. $8, 55 Hz$ , 9. $15 s$ , 10. $8 s$ , 11. $8437, 5 N$ , 12. $7545, 5 N$ , 13. $9, 94 Hz$ , 14. $10 s$ .

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

R10ByjoInz7YN2

Ćwiczenie 6

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Słownik

siła dośrodkowa

siła odpowiedzialna za ruch ciała po okręgu. Jej wartość obliczamy ze wzoru $F = \frac{m v^{2}}{r}$ . Siła ta działa na ciało wzdłuż promienia okręgu, po którym odbywa się ruch ciała i jest zwrócona zawsze do środka tego okręgu.