Obliczanie pól i obwodów trójkątów

W tym materiale zawarte są informacje na temat obliczania pól i obwodów trójkątów. Przypomnisz sobie podstawowe wzory oraz metody wyznaczania tych wielkości. Zamieszczone tu przykłady pokazują w jaki sposób wyznaczamy pola i obwody różnych trójkątów.

Przykłady obliczania pola

Zapamiętaj!

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości jego podstawy oraz wysokości prostopadłej do tej podstawy.

R1voBEO7kXZDi1
Rysunek trójkąta o boku a i wysokości h opuszczonej na bok a. Zapis: P = ułamek, licznik a razy h, mianownik dwa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą trójkąta nazywamy ten bok trójkąta, do którego poprowadzona jest wysokość.

Przykład 1

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje dwa sposoby wyznaczenia wzoru na pole trójkąta.

R13naivt2OXEQ1
Animacja przedstawia dwa różne sposoby wyznaczania wzoru na pole trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R13naivt2OXEQ

Pole trojkata_atrapa_animacja_502
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia dwa różne sposoby wyznaczania wzoru na pole trójkąta.

Przykład 2

Obliczmy pole trójkąta, który jest fragmentem fasady budynku.

Rvk0viYhz3T2j1
Rysunek fasady budynku z zaznaczonym trójkątem równoramiennym A B C na elewacji przedniej. Wysokość CD opuszczona jest na bok AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
AB=5 m
CD=1,8 m

Pole trójkąta ABC wynosi P=5 m·1,8 m2=4,5 m2.

Przykład 3

Widok z przodu karmnika ma kształt trójkąta. Jakie jest pole tego trójkąta?

R1S5go4FyvCLz1
Rysunek przodu karmnika o kształcie trójkąta równoramiennego A B C. Wysokość CD opuszczona jest na bok AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
AD= 4 dm 
CD= 5,5 dm 

Pole trójkąta ABC wynosi P=8 dm·5,5 dm2=22 dm2.

Notatnik

RLfb7OnDgGhhT
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pól trójkątów

11
Ćwiczenie 1
Rj0GKSXsh0S2H
Przeciągnij na rysunek takie liczby, aby obliczyć pole danego trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RfbwLIxmm1Eo0
Na podstawie podanych wymiarów trójkątów oblicz ich pola. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trójkąt o podstawie długości 6 cm i wysokości równej 5 cm ma pole równe 1. 30, 2. 5,88, 3. 15, 4. 5,8, 5. 1,5 cm2.Trójkąt o podstawie długości 2,8 cm i wysokości równej 4,2 cm ma pole równe 1. 30, 2. 5,88, 3. 15, 4. 5,8, 5. 1,5 cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj polecenia.

RpMv8nI3JMH6n
Animacja pokazuje trójkąt A B C leżący na kratownicy o boku długości 1. Należy ustawić wierzchołki A, B i C trójkąta w punktach kratowych tak, aby pole trójkąta A B C było równe podanej liczbie a.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PljR5WfPg

Obliczanie pol i obwodow trojkatow_16.2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WdUxwEb30pT
Długość jednej kratki wynosi 1 cm. Na podstawie podanych wymiarów wyznacz długości ich podstaw albo wysokości. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Trójkąt o podstawie długości 4 kratek i polu równym 12 cm2 ma wysokość równą Tu uzupełnij kratek.Trójkąt o podstawie długości 7 kratek i polu równym 21 cm2 ma wysokość równą Tu uzupełnij kratek.Trójkąt o wysokości długości 11 kratek i polu równym 44 cm2 ma podstawę równą Tu uzupełnij kratek.Trójkąt o wysokości długości 18 kratek i polu równym 108 cm2 ma podstawę równą Tu uzupełnij kratek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
11
Ćwiczenie 3
Ri7qTABB0ksNb
Pole jednej kratki na poniższym rysunku wynosi 1 cm2. Przeciągnij i upuść pola danych trójkątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RivoVXRH6d1CR
Długość jednej kratki wynosi 1 cm. Na podstawie podanych wymiarów trójkątów oblicz ich pola. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Trójkąt o podstawie długości 4 kratek i wysokości równej 5 kratek ma pole równe Tu uzupełnij cm2.Trójkąt o podstawie długości 6 kratek i wysokości równej 4 kratki ma pole równe Tu uzupełnij cm2.Trójkąt o podstawie długości 7 kratek i wysokości równej 3 kratki ma pole równe Tu uzupełnij cm2.Trójkąt o podstawie długości 3 kratek i wysokości równej e kratki ma pole równe Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 4

Wysokość h1 ma długość 60 cm, a długości boków a, b i c wynoszą odpowiednio 80 cm, 100 cm i 120 cm.

R5QqrQykvzEUi1
Rysunek trójkąta o bokach długości a, b i c. Poprowadzone wysokości trójkąta h indeks dolny 1, h indeks dolny 2, h indeks dolny 3 odpowiednio do boków c, b i a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RHOWImcZEnyvo
Oblicz pole tego trójkąta oraz długości wysokości h2 i h3. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi Tu uzupełnij cm2, h2 ma długość Tu uzupełnij cm, a h3 ma długość Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie obwodów trójkątów

1
Ćwiczenie 5
R1eL0UcJXChED
Połącz w pary opis danego trójkąta z jego obwodem. Trójkąt o bokach długości 5,4 cm, 5,84 cm i 8,56 cm. Możliwe odpowiedzi: 1. 20,2 cm, 2. 19,8 cm, 3. 21 cm Trójkąt o bokach długości 5,35 cm, 7,45 cm i 8,2 cm. Możliwe odpowiedzi: 1. 20,2 cm, 2. 19,8 cm, 3. 21 cm Trójkąt o bokach długości 6,4 cm, 6,7 cm i 7,1 cm. Możliwe odpowiedzi: 1. 20,2 cm, 2. 19,8 cm, 3. 21 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RQuzbXdmWafQG
Połącz w pary opis danego trójkąta z jego obwodem. Trójkąt o bokach długości 5,4 cm, 5,84 cm i 8,56 cm. Możliwe odpowiedzi: 1. 20,2 cm, 2. 19,8 cm, 3. 21 cm Trójkąt o bokach długości 5,35 cm, 7,45 cm i 8,2 cm. Możliwe odpowiedzi: 1. 20,2 cm, 2. 19,8 cm, 3. 21 cm Trójkąt o bokach długości 6,4 cm, 6,7 cm i 7,1 cm. Możliwe odpowiedzi: 1. 20,2 cm, 2. 19,8 cm, 3. 21 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 6
RT7zbn9MTbcak1
Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Jaką długość mają boki trójkąta równobocznego o obwodzie 51 cm? Odpowiedź: Długośći boków tego trójkąta to Tu uzupełnij cm, Tu uzupełnij cm i Tu uzupełnij cm. Jaką długość mają boki trójkąta równoramiennego o obwodzie 22 cm, w którym podstawa ma 10 cm długości? Odpowiedź: Długośći boków tego trójkąta to Tu uzupełnij cm, Tu uzupełnij cm i Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7

Długości boków trójkątów widocznych na rysunku są następujące
AB=8 cm, 
BE=10 cm, 
AC=9,67 cm 
CE=2 cm, 
AE=11 cm. 

RdDQGXOEY6NhD1
Rysunek trójkątów A B E i A B C o wspólnym boku AB. Punkt C leży na boku BE trójkąta A B E.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1azqQ7s50r8U
Oblicz obwody obu trójkątów i uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Obwód trójkąta ABE wynosi 1. 24,21, 2. 23, 3. 23,52, 4. 26, 5. 27, 6. 26,43, 7. 25,67, 8. 29 cm.
Obwód trójkąta ABC wynosi 1. 24,21, 2. 23, 3. 23,52, 4. 26, 5. 27, 6. 26,43, 7. 25,67, 8. 29 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8

Wykorzystaj dane z rysunku i oblicz obwód trójkąta EBD.

RF0Jok72N0uRM1
Rysunek połączonych trójkątów prostokątnych A B C i E B D o przyprostokątnych równych 3 cm i 4 cm. Przeciwprostokątna trójkąta ABC jest równa 5 cm. Bok BD leży na boku BA.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1AXXQHO08DEu
Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Obwód trójkąta EBD wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9

Obwód trójkąta ABC wynosi 187 cm, a trójkąta ADC wynosi 163 cm. Odcinek AC ma 60 cm długości. Oblicz obwód czworokąta ABCD.

RuxlWT59QaCwM1
Rysunek czworokąta A B C D zbudowanego z dwóch trójkątów A B C i A C D o wspólnym boku AC.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R19ektu2jEoSg
Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Obwód czworokąta ABCD wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10
RhFpoMQLDw5Xm2
Suma długości najkrótszego i średniego boku trójkąta wynosi 7 cm, najdłuższego i średniego - 10 cm, a najkrótszego i najdłuższego - 9 cm. Oblicz długości boków i obwód tego trójkąta. Odpowiedzi wpisz w puste pola w kolejności rosnącej. Długości boków to: Tu uzupełnij cm, Tu uzupełnij cm i Tu uzupełnij cm. Obwód tego trójkąta wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
21
Ćwiczenie 11
RW2RswMuTlRb5
Z niebieskiego trójkąta o obwodzie równym 36 dm wycięto pewną liczbę trójkątów równobocznych o boku 3 dm (patrz rysunki). Przeciągnij i upuść obowody powstałych figur.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RquCTl5QfzKm8
Z trójkąta ABC o obwodzie równym 36 dm wycięto pewną liczbę trójkątów równobocznych o boku 3 dm. Każdy trójkąt wycięto w taki sposób, że jeden z boków tego trójkąta leży na jednym z boków trójkąta ABC i wycięte trójkąty nie nakładają się na siebie. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeżeli z trójkąta ABC usunięto jeden taki trójkąt równoboczny, to obwód powstałej figury wyniesie 1. 48 dm, 2. 45 dm, 3. 51 dm, 4. 42 dm, 5. 36 dm, 6. 39 dm.Jeżeli z trójkąta ABC usunięto dwa takie trójkąty równoboczne, to obwód powstałej figury wyniesie 1. 48 dm, 2. 45 dm, 3. 51 dm, 4. 42 dm, 5. 36 dm, 6. 39 dm.Jeżeli z trójkąta ABC usunięto trzy takie trójkąty równoboczne, to obwód powstałej figury wyniesie 1. 48 dm, 2. 45 dm, 3. 51 dm, 4. 42 dm, 5. 36 dm, 6. 39 dm.Jeżeli z trójkąta ABC usunięto cztery takie trójkąty równoboczne, to obwód powstałej figury wyniesie 1. 48 dm, 2. 45 dm, 3. 51 dm, 4. 42 dm, 5. 36 dm, 6. 39 dm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 12

Z dwóch trójkątów równobocznych o obwodzie 24 cm każdy, odcięto po trzy trójkąty równoboczne o boku 2 cm. Powstała figura I oraz figura II widoczne na poniższym rysunku.

R1ay5CzcSqNgw
Pierwsza figura to duży trójkąt równoboczny, z którego narożników wycięto małe trójkąty równoboczne. Powstała w ten sposób figura ma 6 wierzchołków. Druga figura to duży trójkąt równoboczny, z którego wycięto trzy małe trójkąty równoboczne w taki sposób, że powstała figura to dwunastokąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1R12UmiPir1l
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Większy obwód ma figura 1. 12, 2. 6, 3. 6, 4. I, 5. 6, 6. 12, 7. II, 8. 12.Obwód figury I jest mniejszy od obwodu wyjściowego trójkąta równobocznego o 1. 12, 2. 6, 3. 6, 4. I, 5. 6, 6. 12, 7. II, 8. 12 cm.Obwód figury II jest większy od obwodu wyjściowego trójkąta równobocznego o 1. 12, 2. 6, 3. 6, 4. I, 5. 6, 6. 12, 7. II, 8. 12 cm.Różnica między obwodami figur I oraz II wynosi 1. 12, 2. 6, 3. 6, 4. I, 5. 6, 6. 12, 7. II, 8. 12 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pól i obwodów trójkątów

3
Ćwiczenie 13

Przyjrzyj się trójkątom na rysunku.

R1emP0oLgW8BA
Rysunek trójkąta prostokątnego A B C i trójkąta równoramiennego E D F. W trójkącie A B C przyprostokątne mają długość 4 cm, przeciwprostokątna ma długość 5,66 cm, a pole jest równe 8 centymetrów kwadratowych. W trójkącie E D F podstawa ma długość 4 cm, ramiona mają długość 4,83 cm, a pole jest równe 8.8 centymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RyKQnNcGTboPE
Wykonaj potrzebne obliczenia i uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jaką wspólną własność mają oba trójkąty?
Odpowiedź: Trójkąty te mają jednakowe 1. obwody, 2. 3,1, 3. pola, 4. boki, 5. 2,8, 6. wysokości, 7. 4,4, 8. 5,5.
Jaka jest długość wysokości trójkąta DEF opuszczonej na bok DF?
Odpowiedź: Wysokość trójkąta DEF wynosi 1. obwody, 2. 3,1, 3. pola, 4. boki, 5. 2,8, 6. wysokości, 7. 4,4, 8. 5,5 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1RUbpCyLPAUv3
Ćwiczenie 14
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Wszystkie trójkąty o jednakowym obwodzie mają równe pola., 2. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3  cm i  4  cm ma obwód równy 12  cm ., 3. Trójkąt równoramienny o podstawie 13  cm i ramieniu 15  cm ma obwód równy 28  cm ., 4. Trójkąt równoramienny o podstawie 6   cm i ramieniu 5   cm ma pole równe 12   cm 2 ., 5. Nie ma trójkąta równoramiennego o podstawie 7  cm i ramieniu 4  cm .

  • Wszystkie trójkąty o jednakowym obwodzie mają równe pola.
  • Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3  cm i  4  cm ma obwód równy 12  cm .
  • Trójkąt równoramienny o podstawie 13  cm i ramieniu 15  cm ma obwód równy 28  cm .
  • Trójkąt równoramienny o podstawie 6   cm i ramieniu 5   cm ma pole równe 12   cm 2 .
  • Nie ma trójkąta równoramiennego o podstawie 7  cm i ramieniu 4  cm .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 15
R17OUTQQ9AnAx3
Dany jest trójkąt o długości podstawy równej 5 cm i wysokości 4 cm. Jaką długość podstawy musi mieć drugi trójkąt, jeżeli jego wysokość wynosi 2 cm, a jego pole ma być takie samo jak pole pierwszego trójkąta? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Drugi trójkąt musi mieć podstawę długości Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.