Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie - zadania

Ten materiał poświęcony jest zadaniom związanym z własnościami figur geometrycznych na płaszczyźnie.

Pokaż ćwiczenia:

R15NRj9QsZVyT1

Ilustracja interaktywna 1. Własności prostokąta:Każda przekątna dzieli go na dwa takie same trójkąty prostokątne.Obie jego przekątne mają takie same długości i przecinają się w połowie., 2. Własności kwadratu:Wzór na długość przekątnej kwadratu o boku

a

a \sqrt{2}

.Posiada wszystkie własności prostokąta.Promień okręgu wpisanego w kwadrat wynosi połowę długości jego boku.Promień okręgu opisanego na kwadracie wynosi połowę długości jego przekątnej., 3. Własności trójkąta:Wzór na pole trójkąta to

P = \frac{a \cdot h}{2}

, gdzie

a

oznacza długość podstawy, a

h

wysokość.Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi

180 °

., 4. Własności trójkąta równoramiennego:Ma dwa boki równej długości.Oba kąty przy podstawie mają takie same miary.Wysokość prostopadła do podstawy dzieli go na dwa takie same trójkąty prostokątne., 5. Własności trójkąta prostokątnego:Możesz stosować dla niego twierdzenie Pitagorasa.Znasz zależności między bokami i kątami w trójkącie prostokątnym, o kątach ostrych

30 °

60 °

90 °

.Średnicą okręgu opisanego na takim trójkącie jest jego przeciwprostokątną., 6. Własności trójkąta równobocznego:Wszystkie jego boki mają takie same długościKażda jego wysokość dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o kątach

30 °

60 °

90 °

.Promień okręgu opisanego na takim trójkącie stanowi

\frac{2}{3}

jego wysokości.Promień okręgu wpisanego w taki trójkąt stanowi

\frac{1}{3}

jego wysokości.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

R34w9NSfOkK0w

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RO2T4iqQSa0Vu1

Rysunek prostokąta A B C D o boku AB =10 i przekątnej BD =17. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąt $A B D$ jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa, po uwzględnieniu, że $|A D| > 0$ , otrzymujemy

{|A D|}^{2} + 10^{2} = 17^{2}

stąd

|A D| = 3 \sqrt{21}

Ponieważ $A B C D$ jest prostokątem, więc

|B C| = |A D| = 3 \sqrt{21}

RhVfuRmkfI5fe1

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

RjZ3JW2DGEHOc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawione są kwadraty. Długość boku pierwszego kwadratu jest równa $16$ . Wierzchołki drugiego to środki boków pierwszego. Wierzchołki trzeciego to środki boków drugiego kwadratu.

RboTAmmYE3TDv1

Rysunek kwadratów. Pierwszy kwadrat A B C D. Drugi kwadrat A z indeksem dolnym jeden B z indeksem dolnym jeden, C z indeksem dolnym jeden , D z indeksem dolnym jeden. Trzeci kwadrat A z indeksem dolnym dwa, B z indeksem dolnym dwa, C z indeksem dolnym dwa, D z indeksem dolnym dwa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REHPIfWVgK1r4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Przekątna $A C$ czworokąta $A B C D$ dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Długości trzech jego boków zostały podane na rysunku. Ile wynosi obwód tego czworokąta?

R1DFKfvi08wpB1

Rysunek czworokąta A B C D z zaznaczoną przekątną AC. Bok AB =7, bok BC =4 i bok CD =4. Przekątna AC jest przeciwprostokątną w trójkącie A B C i jednocześnie dłuższą przyprostokątną w trójkącie A C D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RDTa799iwV1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A C B$ , a następnie dla trójkąta $A C D$ , otrzymujemy

|A C| = \sqrt{7^{2}} + 4^{2} = \sqrt{65}

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A C D$ otrzymujemy

|A D| = \sqrt{{|A C|}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{65 + 16} = \sqrt{81} = 9

Obwód czworokąta $A B C D$ jest więc równy

L_{A B C D} = 7 + 4 + 4 + 9 = 24

RERkDLaPny4f91

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxBnCpGohkiiX1

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1I9ZPeNDAJme2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R1DX8sLVsOiTR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości $8$ i $4 \sqrt{5}$ . Wtedy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi $6$ . Prawda. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $2 R = \sqrt{(8^{2} + {(4 \sqrt{5})}^{2})} = \sqrt{144} = 12$ . Stąd $R = 6$ .
Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym wynosi $3 : 5$ , to stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie do długości dłuższej przyprostokątnej trójkąta wynosi $17 : 10$ . Fałsz. Ilustrację warunków zadania przedstawia rysunek.
RKyl7bfe0T3ye
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ponadto $2 R = \sqrt{({(3 x)}^{2} + {(5 x)}^{2})} = \sqrt{34} x$ . Oznacza to, że stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie do długości dłuższej przyprostokątnej trójkąta wynosi $\sqrt{\frac{17}{2}} : 5$ .

Ćwiczenie 10

Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego jest prosty. Wysokość opuszczona na podstawę tego trójkąta jest równa $5$ . Oblicz długość środkowej tego trójkąta, której jednym z końców jest wierzchołek kąta ostrego.
W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami jest równy $120 °$ . Wysokość opuszczona na podstawę tego trójkąta jest równa $2$ . Oblicz długość środkowej tego trójkąta, której jednym z końców jest wierzchołek kąta ostrego.

RytPnzGhf5WBV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj fakt, że trójkąt $A D C$ stanowi połowę kwadratu o boku długości równej wysokości tego trójkąta.
Wykorzystaj fakt, że trójkąt $A C E$ stanowi połowę trójkąta równobocznego, którego bok jest dwukrotnie dłuższy od wysokości tego trójkąta.

Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku.
RsZhl5lRQfrvv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Trójkąt $A D C$ jest połową kwadratu o boku długości $h = 5$ . Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu otrzymujemy
$2 a = 5 \sqrt{2} .$
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $B C E$ obliczamy długość środkowej $B E$
${|B E|}^{2} = {(2 a)}^{2} + a^{2} = {(5 \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{5}{2} \sqrt{2})}^{2} = \frac{125}{2}$ .
Po uwzględnieniu, że $|B E| > 0$ , otrzymujemy
$|B E| = \sqrt{\frac{125}{2}} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \frac{5}{2} \sqrt{10}$ .
Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku, i poprowadźmy odcinek $D F$ prostopadły do prostej $B C$ , którego koniec $F$ leży na tej prostej.
RpjkL4sTrNMrD1
Rysunek trójkąta równoramiennego A B C o ramionach równych 2a. Kąt A C B=120 stopni. Z wierzchołka C opuszczona wysokość CE . Z wierzchołka B poprowadzona środkowa BD =s. Przedłużono bok B C tego trójkąta i zaznaczono na nim punkt F, że otrzymany trójkąt C D F jest prostokątny. Jego dłuższa przyprostokątna ma długość h i leży na przeciwko kąta 60 stopni. Krótsza przyprostokątna trójkąta C D F ma długość b.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Trójkąt $A C E$ to połowa trójkąta równobocznego, więc
$|A C| = 2 |C E| = 2 \cdot 2 = 4$ ,
czyli $2 a = 4$ . Stąd $a = 2$ . Trójkąt $C D F$ jest także połową trójkąta równobocznego o boku długości $a$ , więc
$b = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ , $h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ .
Wobec tego przyprostokątna $B F$ trójkąta prostokątnego $B D F$ ma długość
$|B F| = 4 + 1 = 5$ .
Środkowa $B D$ trójkąta $A B C$ jest przeciwprostokątną trójkąta $B D F$ . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
${|B D|}^{2} = 5^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 25 + 3 = 28$ .
Po uwzględnieniu, że $|B D| > 0$ , otrzymujemy
$|B D| = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ .

Ćwiczenie 11

Podstawą $A B$ trójkąta równoramiennego $A B M$ jest dłuższy bok prostokąta
$A B C D$ . Wierzchołek $M$ leży na boku $C D$ , jak pokazano na rysunku. Oblicz obwód tego trójkąta.

R125JAOJkg9CJ1

Rysunek prostokąta A B C D o bokach długości 15 i 16. W prostokąt wpisany jest trójkąt A B M, którego podstawą jest bok AB o długości 16. Punkt M znajduje się w połowie długości boku CD. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1M70tMtMJE1l

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RuuaeddF4gZ1d2

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8LOjGOFmSlmi2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Na podstawie rysunku prostokąta przedstawionego poniżej, oblicz długość $a$ dłuższego boku oraz długość $d$ przekątnej tego prostokąta.

Rj44a0qAOCisc1

Rysunek prostokąta o bokach długości 5 i a oraz przekątnej długości d, która z dłuższym bokiem a tworzy kąt 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LPwQUv9vgN4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty – „połowy” trójkąta równobocznego. Stąd

a = 5 \sqrt{3}

oraz

d = 2 \cdot 5 = 10

Ćwiczenie 15

R1Sf1QQQGo9Ti

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aIW3wxPN7CO

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Dłuższa przyprostokątna trójkąta ma długość 15, a przeciwprostokątna trójkąta ma długość 17 . — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy

x^{2} + 15^{2} = 17^{2}

zatem

x^{2} + 17^{2} = 15^{2}

x^{2} = 64

x = 8

Szukany obwód wynosi więc

17 + 15 + 8 = 40

Ćwiczenie 16

W trójkącie równoramiennym $A B C$ dane są długości boków $|A B| = |B C| = 10$ oraz $|A C| = 14$ . Oblicz pole tego trójkąta.

R1GVpa57Q0EhK1

Rysunek trójkąta równoramiennego A B C z oznaczoną wysokością BD poprowadzoną z wierzchołka B. Ramiona A B i B C mają długość dziesięć, a podstawa A B ma długość czternaście. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RSSVcHlxiNYnu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1DfG43TAE6Gh3

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

RmMuR8UytKUjP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmijmy oznaczenia, tak jak na rysunku.

R14wKC0fB2TQr1

Rysunek prostokąta K L M N z oznaczoną przekątną NL. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąt $L M N$ jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

{(3 \sqrt{2})}^{2} + {|M N|}^{2} = {(3 \sqrt{6})}^{2}

Stąd

{|M N|}^{2} = 36

Ponieważ

|M N| > 0

|M N| = 6

Ćwiczenie 19

RKW00DbHMgcSU

Dane są trzy czworokąty. Pierwszy jest prostokątem o bokach długości

2

4

. Wierzchołki drugiego czworokąta to środki boków pierwszego, a wierzchołki trzeciego to środki boków drugiego czworokąta. Oblicz sumę obwodów tych wielokątów. Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Suma obwodów wynosi 1.

18 + 4 \sqrt{5}

, 2.

12 + 5 \sqrt{6}

, 3.

18 + 4 \sqrt{5}

, 4.

14 + 4 \sqrt{3}

, 5.

16 + 2 \sqrt{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poprowadźmy odcinki łączące środki przeciwległych boków pierwszego prostokąta. Podzielą one ten prostokąt na cztery przystające prostokąty o bokach długości $1$ i $2$ .

RzSsecpTwg7d81

Rysunek prostokąta o bokach długości 4 i 2 wraz z pozostałymi czworokątami. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna każdego z tych prostokątów ma długość $\sqrt{5}$ i jest jednocześnie bokiem drugiego czworokąta. Zatem drugi czworokąt jest rombem o boku długości $\sqrt{5}$ .

RDnO1YxbcSNwX1

Rysunek prostokąta o bokach długości 4 i 2 wraz z pozostałymi czworokątami i zaznaczonym odcinkiem długości pierwiastek z pięciu. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że odcinki łączące środki przeciwległych boków każdego z tych czterech prostokątów dzielą go na cztery przystające prostokąty o bokach długości $\frac{1}{2}$ i $1.$

RdT5bymd8Onjd1

Rysunek prostokąta o bokach długości 4 i 2 wraz z pozostałymi czworokątami. Prostokąt podzielony na małe przystające prostokąty o bokach długości jedna druga i 1. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YpqiJS4ui2O1

Trzeci z czworokątów jest prostokątem zbudowanym z czterech uzyskanych wcześniej prostokątów, zatem długości jego boków to $2 \cdot \frac{1}{2}$ oraz $2 \cdot 1$ , czyli $1$ i $2$ .
Szukana suma obwodów wynosi więc

2 \cdot (4 + 2) + 4 \cdot \sqrt{5} + 2 \cdot (2 + 1) = 18 + 4 \sqrt{5}

Ćwiczenie 20

W kwadrat wpisano okrąg i na tym samym kwadracie opisano okrąg, jak pokazano na poniższym rysunku. Pole zaznaczonego pierścienia jest równe $5 π$ . Oblicz obwód kwadratu.

RClVdkMXJVOXR1

Na ilustracji niebieskim konturem wyznaczony jest kwadrat. Na tym kwadracie opisano okrąg, którego promieniem jest połowa przekątnej tego kwadratu. W kwadrat wpisano również okrąg, którego promieniem jest połowa długości boku tego kwadratu. Obszar między okręgami, który jest pierścieniem zacieniowano. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FnBO7yyRTSF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole pierścienia jest równe różnicy pola koła opisanego i pola koła wpisanego w kwadrat. Promienie tych kół są równe odpowiednio połowie długości przekątnej i połowie długości boku kwadratu. Zatem:

5 π = π ({(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2})

gdzie $a$ jest długością boku kwadratu. Stąd

5 = \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}

5 = \frac{a^{2}}{4}

a^{2} = 20

Ponieważ $a > 0$ , to

a = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}

Obwód kwadratu jest równy

L_{kwadratu} = 4 a = 8 \sqrt{5}

Ćwiczenie 21

Dany jest równoległobok, w którym jeden z boków ma długość $b = 6$ . Kąt ostry równoległoboku ma miarę $30 °$ , kąt między krótszą przekątną a bokiem $a$ ma miarę $45 °$ , jak na rysunku. Oblicz pole tego równoległoboku.

RPVKh7eDz6NGC1

Rysunek równoległoboku A B C D o boku AD =BC =6 i AB =DC =a. Kąt ostry A =30 stopni. Kąt między krótszą przekątną DB =H a bokiem AB równy jest 45 stopni. Z wierzchołka D poprowadzono wysokość DE. Odcinek EB =trzy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ryi1MwJqEeMMv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąt $A E D$ jest połową trójkąta równobocznego. Z zależności między długościami boków w trójkącie równobocznym mamy

|D E| = h = \frac{1}{2} b = 3

|A E| = 3 \sqrt{3}

Trójkąt $B D E$ jest połową kwadratu, zatem długość odcinka $E B$ jest równa długości wysokości $h$ .

ReYIu1w2RPd4w1

Długość odcinka $A E$ jest więc równa $a - 3$ , zatem

a - 3 = 3 \sqrt{3}

więc

a = 3 \sqrt{3} + 3 .

Pole równoległoboku wynosi

P = a \cdot h = 3 (3 \sqrt{3} + 3) = 9 \sqrt{3} + 9

Ćwiczenie 22

R8VTgEOZUUmCo

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUWoYoNR5LTGX1

Rysunek trójkąta A B C opisanego w zadaniu. Z wierzchołka C poprowadzono wysokość CD, która przechodzi przez środek okręgu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie równoramiennym spodek wysokości dzieli podstawę na równe części.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A D C$ mamy więc

|D C| = \sqrt{{|A C|}^{2} - {|A D|}^{2}}

czyli

|D C| = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4

Pole trójkąta $A B C$ jest równe

P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12

Połowa obwodu jest równa

p = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8

Pole trójkąta możemy też obliczyć ze wzoru $P_{A B C} = p r$ , czyli $12 = 8 r$ . Skąd $r = 1,5 .$