Własności podobieństwa
W tym materiale zawarte są informacje na temat własności podobieństwa. Poznasz podstawowe twierdzenia związane z tym tematem. Po przeanalizowaniu zadań, możesz sprawdzić swoje umiejętności, samodzielnie rozwiązując zadania powiązane z własnościami podobieństwa.
Jeżeli trójkąt jest podobny do trójkąta w skali podobieństwa , to stosunek obwodów tych trójkątów jest równy skali podobieństwa, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa
Rozważmy trójkąty prostokątne oraz podobne w skali . Wysokości tych trójkątów zaznaczone na rysunku są równe odpowiednio i .
Zauważmy, że skoro trójkąt jest podobny do trójkąta , to
oraz
Stąd
Na mocy cechy podobieństwa kąt – bok – kąt trójkąt jest podobny do trójkąta i skala podobieństwa wynosi . Stąd
czyli stosunek długości wysokości w trójkątach podobnych jest taki sam jak stosunek długości boków.
Stosunek pól trójkątów podobnych jest więc równy kwadratowi skali podobieństwa.
Stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwa.
Rozważmy dowolny trójkąt . Zaznaczmy w nim środki dwóch boków i połączmy je odcinkiem. Taki odcinek nazywamy linią środkową trójkąta.
Zauważmy, że trójkąty i są podobne na mocy cechy bok – kąt – bok. Kąt jest wspólny dla obu trójkątów oraz
Z definicji podobieństwa wynika, że . Mamy też równość kątów
Ponieważ punkty , , są współliniowe, więc kąty i są odpowiadające. Stąd wynika równoległość i .
Odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie jest równoległy do trzeciego boku trójkąta i jest od niego dwa razy krótszy.
Podstawy trapezu mają długości oraz . Punkt jest środkiem boku , a punkt jest środkiem boku . Odcinek łączący środki ramion trapezu nazywamy linią środkową w trapezie. Obliczymy jego długość.
Poprowadźmy przekątną i oznaczmy przez jej środek.
Odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie . Stąd jest równoległy do podstawy trapezu oraz
Podobnie odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta , czyli jest równoległy do podstawy trapezu oraz
Ponieważ oba odcinki i są równoległe do podstaw trapezu, więc punkty , , leżą na jednej prostej.
Mamy
Stąd twierdzenie:
Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu, a jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu.
Punkty , i dzielą ramię trójkąta na odcinki równej długości. Punkty , i wybrano na boku tak, że odcinki , i są równoległe do podstawy (patrz rysunek). Długość odcinka jest równa .
Zapoznaj się z poniższymi poleceniami i wykonaj odpowiednie obliczenia.
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych i wpisano kwadrat, tak jak na rysunku. Oblicz długość boku tego kwadratu.
RR4qDhnb9H5JT1 W trójkąt o podstawie i wysokości równej opuszczonej z wierzchołka na tę podstawę wpisano prostokąt, tak jak na rysunku. Długości odcinków i pozostają w stosunku . Znajdź długości boków prostokąta .
R1VWP6o3tyNKY1 W trójkąt prostokątny , w którym kąt jest prosty, wpisano kwadrat o boku długości . Bok kwadratu leży na przeciwprostokątnej trójkąta. Wierzchołki , leżą odpowiednio na przyprostokątnych i . Odcinek jest równy . Oblicz pole trójkąta .
RTse8t7kcCXHq1
Zapoznaj się z poniższymi poleceniami i wykonaj odpowiednie obliczenia.
W trapezie długość podstawy jest równa , a długości ramion trapezu i są odpowiednio równe i . Kąty i , zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.
R1VoCltSmZpfk1 Dwa trójkąty podobne i umieszczono obok siebie (patrz rysunek) tak, że punkty , i leżą na jednej prostej. Punkty , i są odpowiednio środkami odcinków , i . Udowodnij, że trójkąt jest podobny do każdego z trójkątów i .
R1dVDwAT46J0k1 Przekątne czworokąta przecinają się w punkcie i zachodzi równość . Udowodnij, że czworokąt jest trapezem.
Zapoznaj się z trójkątem na poniższej grafice. Odcinki i są równoległe oraz , , .
W trójkąt równoboczny o boku długości wpisano kwadrat, w taki sposób, że jego dwa wierzchołki leżą na jednym z boków trójkąta, a dwa pozostałe wierzchołki leżą na pozostałych dwóch ramionach trójkąta.
Dany jest trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku . Punkt jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego trójkąta. Wykaż, że .
W trójkącie podstawa ma długość , a wysokość opuszczona na tę podstawę jest równa . W trójkąt ten wpisano prostokąt , taki jak na rysunku. Boki tego prostokąta pozostają w stosunku , przy czym dłuższy bok leży na podstawie trójkąta . Oblicz pole wpisanego prostokąta.
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego , w którym kąt jest prosty oraz i , zbudowano kwadrat . Punkt należy do prostej i . Oblicz pole trójkąta .
W równoległoboku dane są długości boków i . Punkt leży na boku i . Punkt leży na boku i . Proste i przecinają przekątną w punktach odpowiednio i . Wykaż, że .
Na bokach , i trójkąta leżą odpowiednio takie punkty , i , że prosta jest równoległa do boku i prosta jest równoległa do boku . Pole trójkąta jest równe , a pole trójkąta jest równe . Oblicz pole trójkąta .