Symetria punktu - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale nauczysz się, jak wyznaczyć współrzędne obrazu punktu w symetrii względem obu osi oraz początku układu współrzędnych. Ponadto dowiesz się, jakie współrzędne mają figury symetryczne. Zapoznaj się z tym materiałem przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań z materiałów:

Symetria osiowa względem osi $X$ i osi $Y$ . Zadania - część IPMwLEsYGPSymetria osiowa względem osi $X$ i osi $Y$ . Zadania - część I,
Symetria wykresu funkcji względem osi $O X$ i $O Y$ - zadaniaPo3crWvQCSymetria wykresu funkcji względem osi $O X$ i $O Y$ - zadania,
Symetria punktu względem osi układu współrzędnychP1H6jykJMSymetria punktu względem osi układu współrzędnych.

Przykład 1

Wyjaśnimy, jak wyznaczyć współrzędne obrazu punktu w symetrii względem

osi $X$ ,
osi $Y$ ,
początku układu współrzędnych.

Rk9indQ3C0zAG1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Przekształcając punkt $P = (x, y)$ w symetrii względem osi $X$ , otrzymujemy punkt $P_{1} = (x, - y)$ . Oś $X$ jest symetralną odcinka $P P_{1}$ .

RUawQdndkd3HL1

Zapamiętaj!

Przekształcając punkt $P = (x, y)$ w symetrii względem osi $Y$ , otrzymujemy punkt $P_{2} = (- x, y)$ . Oś $Y$ jest symetralną odcinka $P P_{2}$ .

RUG5uzPrmNF1k1

Zapamiętaj!

Punkt $P_{3} = (- x, - y)$ , symetryczny do punktu $P = (x, y)$ względem punktu $O = (0, 0)$ , jest obrazem punktu $P_{1} = (x, - y)$ w symetrii względem osi $Y$ i jednocześnie obrazem punktu $P_{2} = (- x, y)$ w symetrii względem osi $X$ .

Przykład 2

Rozpatrzmy trójkąt $A B C$ o wierzchołkach

A = (1, 2)

B = (5, 1)

C = (2, 7)

Przekształcając trójkąt $A B C$ w symetrii względem osi $X$ , otrzymujemy trójkąt o wierzchołkach

A_{1} = (1, - 2)

B_{1} = (5, - 1)

C_{1} = (2, - 7)

Przekształcając trójkąt $A B C$ w symetrii względem osi $Y$ , otrzymujemy trójkąt o wierzchołkach

A_{2} = (- 1, 2)

B_{2} = (- 5, 1)

C_{2} = (- 2, 7)

Natomiast trójkąt $A_{3} B_{3} C_{3}$ o wierzchołkach

A_{3} = (- 1, - 2)

B_{3} = (- 5, - 1)

C_{3} = (- 2, - 7)

jest zarówno obrazem trójkąta $A_{1} B_{1} C_{1}$ w symetrii względem osi $Y$ , jak i trójkąta $A_{2} B_{2} C_{2}$ w symetrii względem osi $X$ , a także trójkąta $A B C$ w symetrii względem punktu $O = (0, 0)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zawarte w nim ćwiczenie.

RiTSIM2KDwbLb1

R12ND7gaNJkEL

W układzie współrzędnych dany jest wielokąt o wierzchołkach A=(-3, 1), B=(-1, 2), C=(2, 3) i D=(3, 1). Utworzono wielokąt symetryczny do tego wielokąta względem osi X. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby. Wielokąt symetryczny względem osi X do wielokąta A B C D ma wierzchołki w punktach

A_{1} = (

Tu uzupełnij, Tu uzupełnij

)

B_{1} = (

Tu uzupełnij, Tu uzupełnij

)

C_{1} = (

Tu uzupełnij, Tu uzupełnij

)

D_{1} = (

Tu uzupełnij, Tu uzupełnij

)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uwaga!

Rozpatrzmy okrąg o środku $S = (0, 0)$ i promieniu $r = 5$ . Ponieważ każda prosta przechodząca przez punkt $S$ jest osią symetrii tego okręgu, to w szczególności ten okrąg jest symetryczny względem obu osi układu współrzędnych.