Symetria punktu

W tym materiale nauczysz się, jak wyznaczyć współrzędne obrazu punktu w symetrii względem obu osi oraz początku układu współrzędnych. Ponadto dowiesz się, jakie współrzędne mają figury symetryczne. Zapoznaj się z tym materiałem przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań z materiałów:

Przykład 1

Wyjaśnimy, jak wyznaczyć współrzędne obrazu punktu w symetrii względem

  • osi X,

  • osi Y,

  • początku układu współrzędnych.

Rk9indQ3C0zAG1
Animacja pokazuje przekształcenie punktu A =(4 , 3) na punkt A prim =(4, -3) i punktu B =(-5, -2) na punkt B prim = (-5, 2) w symetrii względem osi OX. Prowadzimy prostą prostopadłą do osi OX przechodzącą przez dany punkt. Mierzymy liczbę jednostek między punktem i osią OX. Tę liczbę jednostek odkładamy na prostej po drugiej stronie osi OX. Otrzymany punkt jest symetryczny do danego punktu względem osi OX.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rk9indQ3C0zAG

Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_264
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja pokazuje przekształcenie punktu A =(4 , 3) na punkt A prim =(4, -3) i punktu B =(-5, -2) na punkt B prim = (-5, 2) w symetrii względem osi OX. Prowadzimy prostą prostopadłą do osi OX przechodzącą przez dany punkt. Mierzymy liczbę jednostek między punktem i osią OX. Tę liczbę jednostek odkładamy na prostej po drugiej stronie osi OX. Otrzymany punkt jest symetryczny do danego punktu względem osi OX.

Zapamiętaj!

Przekształcając punkt P=x,y w symetrii względem osi X, otrzymujemy punkt P1=x,-y. Oś X jest symetralną odcinka PP1.

RUawQdndkd3HL1
Animacja pokazuje przekształcenie punktu A =(4, 3) na punkt A prim =(-4, 3) i punktu B =(-2, -5) na punkt B prim =(2, -5) w symetrii względem osi OY. Prowadzimy prostą prostopadłą do osi OY przechodzącą przez dany punkt. Mierzymy liczbę jednostek między punktem i osią y. Tę liczbę jednostek odkładamy na prostej po drugiej stronie osi OY. Otrzymany punkt jest symetryczny do danego punktu względem osi OY.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RUawQdndkd3HL

Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_265
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja pokazuje przekształcenie punktu A =(4, 3) na punkt A prim =(-4, 3) i punktu B =(-2, -5) na punkt B prim =(2, -5) w symetrii względem osi OY. Prowadzimy prostą prostopadłą do osi OY przechodzącą przez dany punkt. Mierzymy liczbę jednostek między punktem i osią y. Tę liczbę jednostek odkładamy na prostej po drugiej stronie osi OY. Otrzymany punkt jest symetryczny do danego punktu względem osi OY.

Zapamiętaj!

Przekształcając punkt P=x,y w symetrii względem osi Y, otrzymujemy punkt P2=-x,y. Oś Y jest symetralną odcinka PP2.

RUG5uzPrmNF1k1
Animacja pokazuje przekształcenie punktu A =(4, 3) na punkt A prim =(-4, -3) i punktu B =(2, -5) na punkt B prim =(-2, 5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Prowadzimy prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i dany punkt. Mierzymy cyrklem odległość pomiędzy tymi punktami. Nie zmieniając rozpiętości cyrkla odkładamy tę odległość po drugiej stronie początku układu współrzędnych. Otrzymany punkt jest symetryczny do danego punktu w symetrii względem początku układu współrzędnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RUG5uzPrmNF1k

Przeksztalcanie figur na plaszczyznie kartezjanskiej_atrapa_animacja_266
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja pokazuje przekształcenie punktu A =(4, 3) na punkt A prim =(-4, -3) i punktu B =(2, -5) na punkt B prim =(-2, 5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Prowadzimy prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i dany punkt. Mierzymy cyrklem odległość pomiędzy tymi punktami. Nie zmieniając rozpiętości cyrkla odkładamy tę odległość po drugiej stronie początku układu współrzędnych. Otrzymany punkt jest symetryczny do danego punktu w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Zapamiętaj!

Punkt P3=-x,-y, symetryczny do punktu P=x,y względem punktu O=0,0, jest obrazem punktu P1=x,-y w symetrii względem osi Y i jednocześnie obrazem punktu P2=-x,y w symetrii względem osi X.

1
Przykład 2

Rozpatrzmy trójkąt ABC o wierzchołkach

A=1,2, B=5,1, C=2,7.

Przekształcając trójkąt ABC w symetrii względem osi X, otrzymujemy trójkąt o wierzchołkach

A1=1,-2, B1=5,-1, C1=2,-7.

Przekształcając trójkąt ABC w symetrii względem osi Y, otrzymujemy trójkąt o wierzchołkach

A2=-1,2, B2=-5,1, C2=-2,7.

Natomiast trójkąt A3B3C3 o wierzchołkach

A3=-1,-2, B3=-5,-1, C3=-2,-7

jest zarówno obrazem trójkąta A1B1C1 w symetrii względem osi Y, jak i trójkąta A2B2C2 w symetrii względem osi X, a także trójkąta ABC w symetrii względem punktu O=0,0.

1
Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zawarte w nim ćwiczenie.

RiTSIM2KDwbLb1
Aplet pokazuje różne wielokąty i wielokąty do nich symetryczne względem osi OY.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PqaGfDAr1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R12ND7gaNJkEL
W układzie współrzędnych dany jest wielokąt o wierzchołkach A=(-3, 1), B=(-1, 2), C=(2, 3) i D=(3, 1). Utworzono wielokąt symetryczny do tego wielokąta względem osi X. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby. Wielokąt symetryczny względem osi X do wielokąta A B C D ma wierzchołki w punktach A1=(Tu uzupełnij, Tu uzupełnij), B1=(Tu uzupełnij, Tu uzupełnij), C1=(Tu uzupełnij, Tu uzupełnij) i D1=(Tu uzupełnij, Tu uzupełnij)
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Uwaga!

Rozpatrzmy okrąg o środku S=0,0 i promieniu r=5. Ponieważ każda prosta przechodząca przez punkt S jest osią symetrii tego okręgu, to w szczególności ten okrąg jest symetryczny względem obu osi układu współrzędnych.