Proste równoległe, proste prostopadłe
Jak wiesz, jeżeli wykresy funkcji liniowych są do siebie równoległe, to ich współczynniki kierunkowe są równe.
Proste o równaniach
są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
Wyznaczymy równanie prostej , która jest równoległa do prostej o równaniu i przechodzi przez punkt:
Ponieważ proste są równoległe, to ich współczynniki są równe. Zatem równanie prostej możemy zapisać
Współrzędne punktu spełniają równanie prostej . Po ich podstawieniu do równania otrzymujemy
więc
Wynika z tego, że prosta ma równanie .
Dana jest prosta o równaniu (). Ta prosta jest przekątną prostokąta , w którym i . Zbudujmy prostokąt , w którym . Niech prosta przechodzi przez punkty i . Pokażemy, że te proste przecinają się pod kątem prostym, a iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi .
Oba prostokąty są przystające, a zatem odpowiednie kąty między bokami i przekątnymi są równe.
Wynika z tego, że kąt między prostymi zawierającymi przekątne prostokątów jest sumą dwóch kątów
czyli
Zatem proste i są prostopadłe.
Prosta ma równanie , a punkt ma współrzędne . Po podstawieniu współrzędnych punktu do równania prostej otrzymamy
Widzimy więc, że iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych prostopadłych wynosi .
Proste o równaniach oraz są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek
Jeśli współczynnik kierunkowy jednej z prostych jest równy , a więc prosta jest równoległa do osi , to prosta do niej prostopadła jest równoległa do osi i opisana jest równaniem .
Napiszemy równanie prostej , która jest prostopadła do prostej o równaniu i przechodzi przez punkt .
Współczynnik kierunkowy prostej jest równy . Równanie prostej ma postać:
Ponieważ proste są prostopadłe, to ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek . Po podstawieniu otrzymamy:
Równanie prostej możemy zapisać w postaci .
Współrzędne punktu spełniają równanie prostej . Po ich podstawieniu do równania otrzymujemy:
więc
Wynika z tego, że prosta ma równanie
Sprawdzimy, czy proste o równaniach i są prostopadłe.
Oba równania zapiszemy w postaci kierunkowej.
Współczynniki kierunkowe tych prostych są równe i .
Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek .
Otrzymujemy . Wynika z tego, że proste o równaniach
nie są prostopadłe.
Punkty , i są wierzchołkami trójkąta. Wykażemy, że trójkąt jest prostokątny.
Aby wykazać, że ten trójkąt jest prostokątny, wystarczy stwierdzić, że dwie proste zawierające boki trójkąta są prostopadłe.
Współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki trójkąta obliczymy ze wzoru .
bok | bok | bok |
---|---|---|
Dla prostych zawierających boki i zachodzi warunek
Wynika z tego, że te proste są prostopadłe. Zatem trójkąt jest prostokątny.
Wierzchołek trójkąta ma współrzędne , a bok leży na prostej opisanej równaniem . Wyznaczymy równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok .
Równanie prostej, na której leży bok , można zapisać w postaci kierunkowej
Prosta, zawierająca wysokość opuszczoną na ten bok, jest do niej prostopadła, czyli jej współczynnik kierunkowy musi spełniać warunek
Zatem
Równanie prostej możemy zapisać w postaci
Wierzchołek trójkąta leży na tej prostej, a jego współrzędne spełniają to równanie. Możemy obliczyć wartość współczynnika
Równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok , ma postać .
Ustalimy, dla jakiej wartości prosta jest prostopadła do prostej .
Ponieważ proste są do siebie prostopadłe, to spełniony jest warunek
Wynika z tego, że proste i są prostopadłe dla lub .
Równania tych prostych to i .
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu i przechodzącej przez punkt .
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu i przechodzącej przez punkt .
Uzasadnij, że czworokąt o wierzchołkach w punktach , , i jest trapezem.
Bok równoległoboku jest zawarty w prostej o równaniu , a bok jest zawarty w prostej o równaniu . Wierzchołek ma współrzędne . Wyznacz równania prostych zawierających boki i tego równoległoboku.
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajduje się wykres pewnej funkcji.
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajduje się wykres funkcji i punkt .
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajduje się wykres funkcji i punkt .
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu i przechodzącej przez punkt .
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu i przechodzącej przez punkt .
Uzasadnij, że trójkąt o wierzchołkach , i jest prostokątny.
Połącz w pary równania prostych prostopadłych.
<math><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>, <math><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>, <math><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>, <math><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>
Połącz w pary równanie prostej z równaniem prostej równoległej przechodzącej przez punkt .
<math><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math>, <math><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>, <math><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math>, <math><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>
Wierzchołki trójkąta to punkty o współrzędnych: , , . Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka .
Punkty , , i są wierzchołkami czworokąta . Uzasadnij, że ten czworokąt jest równoległobokiem.
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach , , jest prostokątny.
Punkty , , są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku . Wyznacz równania prostych, w których zawierają się boki tego równoległoboku oraz współrzędne wierzchołka .