Proste równoległe, proste prostopadłe - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Jak wiesz, jeżeli wykresy funkcji liniowych są do siebie równoległe, to ich współczynniki kierunkowe są równe.

RDYsqLugEIPh311

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rws09BWo1exka11

Proste równoległe

Twierdzenie: Proste równoległe

Proste o równaniach

$m : y = a_{1} x + b_{1}$
$k : y = a_{2} x + b_{2}$

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

a_{1} = a_{2}

Przykład 1

Wyznaczymy równanie prostej $k$ , która jest równoległa do prostej o równaniu $y = - 3 x + 4$ i przechodzi przez punkt:

P = (- 2, 3)

Ponieważ proste są równoległe, to ich współczynniki są równe. Zatem równanie prostej $k$ możemy zapisać

y = - 3 x + b

Współrzędne punktu $P = (- 2, 3)$ spełniają równanie prostej $y = - 3 x + b$ . Po ich podstawieniu do równania otrzymujemy

3 = - 3 \cdot (- 2) + b

więc

b = - 3

Wynika z tego, że prosta $k$ ma równanie $y = - 3 x - 3$ .

R9hvohc4Ra0ro1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus jednego do czterech. W układzie narysowano prostą y = -3x + 4, która przechodzi przez punkty (0, 4) i (1, 1) oraz prostą k, która przechodzi przez punkt P = (-2, 3). Proste są równoległe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RScrNcwj0rb7X1

Przykład 2

Dana jest prosta $m$ o równaniu $y = a x$ ( $a \neq 0$ ). Ta prosta jest przekątną prostokąta $A B C D$ , w którym $B = (1, a)$ i $D = (0, 0)$ . Zbudujmy prostokąt $A_{1} B_{1} C_{1} D$ , w którym $B_{1} = (- a, 1)$ . Niech prosta $k$ przechodzi przez punkty $B_{1}$ i $(0, 0)$ . Pokażemy, że te proste przecinają się pod kątem prostym, a iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $- 1$ .

Oba prostokąty są przystające, a zatem odpowiednie kąty między bokami i przekątnymi są równe.

R8G7IZ2mIQotF1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziewięciu do dziewięciu i pionową osią Y od minus trzech do pięciu. W układzie narysowano dwie proste prostopadłe m oraz k. Na prostej k zaznaczono punkt B indeks dolny 1 koniec indeksu dolnego równa się (-a, 1) oraz narysowano prostokąt, którego przeciwległymi wierzchołkami są punkty B indeks dolny 1 koniec indeksu dolnego i (0, 0). Na prostej m zaznaczono punkt B = (1, a) oraz narysowano prostokąt, którego przeciwległymi wierzchołkami są punkty B i (0, 0). W obu prostokątach proste wyznaczają przekątne, które zaczynają się w punkcie (0, 0). Między przekątnymi zaznaczono kąt prosty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wynika z tego, że kąt między prostymi zawierającymi przekątne prostokątów jest sumą dwóch kątów

β = α + (90 ° - α)

czyli

β = 90 °

Zatem proste $k$ i $m$ są prostopadłe.

Prosta $k$ ma równanie $y = a_{1} x$ , a punkt $B_{1}$ ma współrzędne $(- a, 1)$ . Po podstawieniu współrzędnych punktu $B_{1}$ do równania prostej otrzymamy

1 = a_{1} \cdot (- a)

- 1 = a_{1} \cdot a

Widzimy więc, że iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych prostopadłych wynosi $- 1$ .

RP1SRGMfvk82l11

Proste prostopadłe

Twierdzenie: Proste prostopadłe

Proste o równaniach $m : y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $k : y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Ważne!

Jeśli współczynnik kierunkowy jednej z prostych jest równy $0$ , a więc prosta jest równoległa do osi $X$ , to prosta do niej prostopadła jest równoległa do osi $Y$ i opisana jest równaniem $x = x_{0}$ .

Przykład 3

Napiszemy równanie prostej $k$ , która jest prostopadła do prostej o równaniu $y = 2 x - 1$ i przechodzi przez punkt $P = (- 2, 3)$ .

R1XAuHCnZnl341

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do ośmiu i pionową osią Y od minus jednego do pięciu. W układzie narysowano kolorem niebieskim prostą daną równaniem y =2x -1, która przechodzi przez pierwszą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu współrzędnych. Linią przerywaną w kolorze zielonym narysowano również prostą k przechodzącą przez punkt P =(-2, 3) w układzie współrzędnych. Prosta k jest prostopadła do niebieskiej prostej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współczynnik kierunkowy $a$ prostej $y = 2 x - 1$ jest równy $2$ . Równanie prostej $k$ ma postać:

y = a_{1} x + b

Ponieważ proste są prostopadłe, to ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek $- 1 = a \cdot a_{1}$ . Po podstawieniu $a = 2$ otrzymamy:

- 1 = 2 \cdot a_{1}

a_{1} = - \frac{1}{2}

Równanie prostej $k$ możemy zapisać w postaci $y = - \frac{1}{2} x + b$ .

Współrzędne punktu $P = (- 2, 3)$ spełniają równanie prostej $y = - \frac{1}{2} x + b$ . Po ich podstawieniu do równania otrzymujemy:

3 = - \frac{1}{2} \cdot (- 2) + b

więc

b = 2

Wynika z tego, że prosta $k$ ma równanie

y = - \frac{1}{2} x + 2

Przykład 4

Sprawdzimy, czy proste o równaniach $5 x + 2 y - 15 = 0$ i $- x + 3 y - 10 = 0$ są prostopadłe.

Oba równania zapiszemy w postaci kierunkowej.

y = - \frac{5}{2} x + \frac{15}{2}

y = \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

Współczynniki kierunkowe tych prostych są równe $a_{1} = - \frac{5}{2}$ i $a_{2} = \frac{1}{3}$ .

Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Otrzymujemy $- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} \neq - 1$ . Wynika z tego, że proste o równaniach

y = - \frac{5}{2} x + \frac{15}{2}

y = \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

nie są prostopadłe.

Przykład 5

Punkty $A = (1, 5)$ , $B = (4, 0)$ i $C = (5, 4)$ są wierzchołkami trójkąta. Wykażemy, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

Aby wykazać, że ten trójkąt jest prostokątny, wystarczy stwierdzić, że dwie proste zawierające boki trójkąta są prostopadłe.

Współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki trójkąta obliczymy ze wzoru $a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}$ .

bok $A B$	bok $A C$	bok $B C$
$a_{A B} = \frac{0 - 5}{4 - 1} = - \frac{5}{3}$	$a_{A C} = \frac{4 - 5}{5 - 1} = - \frac{1}{4}$	$a_{B C} = \frac{4 - 0}{5 - 4} = \frac{4}{1} = 4$

Dla prostych zawierających boki $A C$ i $B C$ zachodzi warunek

a_{A C} \cdot a_{B C} = - \frac{1}{4} \cdot 4 = - 1

Wynika z tego, że te proste są prostopadłe. Zatem trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

R1bQkm9DBqVWp1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C w układzie współrzędnych. Współrzędne punktów wierzchołka: A =(1, 5), B =(4, 0), C =(5, 4). Kąt A C B oznaczony jest jako kąt prosty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Wierzchołek $C$ trójkąta $A B C$ ma współrzędne $(1, 6)$ , a bok $A B$ leży na prostej opisanej równaniem $x + 6 y - 8 = 0$ . Wyznaczymy równanie prostej $m$ zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok $A B$ .

Równanie prostej, na której leży bok $A B$ , można zapisać w postaci kierunkowej

y = - \frac{1}{6} x + 1 \frac{1}{3}

Prosta, zawierająca wysokość opuszczoną na ten bok, jest do niej prostopadła, czyli jej współczynnik kierunkowy musi spełniać warunek

- \frac{1}{6} \cdot a_{1} = - 1

Zatem

a_{1} = 6

Równanie prostej $m$ możemy zapisać w postaci

y = 6 x + b

Wierzchołek $C$ trójkąta leży na tej prostej, a jego współrzędne spełniają to równanie. Możemy obliczyć wartość współczynnika $b$

6 = 6 \cdot 1 + b

b = 0

Równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok $A B$ , ma postać $y = 6 x$ .

RgJWqzqR5riq11

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych, o wierzchołkach A=(-4, 2), B=(2, 1) i C=(1, 6). Poprowadzono prostą m, która zawiera wysokość trójkąta i opuszczona jest na bok A B. Prosta m przechodzi przez punkt C=(1, 6) i środek układu współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Ustalimy, dla jakiej wartości $m$ prosta $y = \frac{1}{3} x - 2$ jest prostopadła do prostej $y = (m^{2} - 12) x + m - 1$ .

Ponieważ proste są do siebie prostopadłe, to spełniony jest warunek

\frac{1}{3} \cdot (m^{2} - 12) = - 1

m^{2} - 12 = - 3

m^{2} = 9

Wynika z tego, że proste $y = \frac{1}{3} x - 2$ i $y = (m^{2} - 12) x + m - 1$ są prostopadłe dla $m = 3$ lub $m = - 3$ .

Równania tych prostych to $y = - 3 x + 2$ i $y = - 3 x - 4$ .

Ćwiczenie 1

RVpcOarOWmnDf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFU1Tx4krJnE1

Dopasuj wzory do prostych. Każda prosta jest równoległa do prostej

y = 2 x + 3

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Prosta przechodząca przez punkty

(- 1, - 1)

(0, 1)

określona jest wzorem 1.

y = 2 x + 1

, 2.

y = 2 x - 10

, 3.

y = 2 x + 12

, 4.

y = 4 x + 1

, 5.

y = 3 x - 10

, 6.

y = 2 x - 1

, 7.

y = 2 x - 4

, 8.

y = 2 x + 10

.Prosta przechodząca przez punkty

(2, 0)

(3, 2)

określona jest wzorem 1.

y = 2 x + 1

, 2.

y = 2 x - 10

, 3.

y = 2 x + 12

, 4.

y = 4 x + 1

, 5.

y = 3 x - 10

, 6.

y = 2 x - 1

, 7.

y = 2 x - 4

, 8.

y = 2 x + 10

.Prosta przechodząca przez punkty

(4, - 2)

(6, 2)

określona jest wzorem 1.

y = 2 x + 1

, 2.

y = 2 x - 10

, 3.

y = 2 x + 12

, 4.

y = 4 x + 1

, 5.

y = 3 x - 10

, 6.

y = 2 x - 1

, 7.

y = 2 x - 4

, 8.

y = 2 x + 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu $y = \frac{2}{3} x - 4$ i przechodzącej przez punkt $A = (- 3, 5)$ .
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu $6 x - 2 y + 3 = 0$ i przechodzącej przez punkt $B = (2, 1)$ .
Uzasadnij, że czworokąt $A B C D$ o wierzchołkach w punktach $A = (2, - 2)$ , $B = (6, 0)$ , $C = (5, 3)$ i $D = (3, 2)$ jest trapezem.

R1FbIq5QB3UsS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W pierwszych dwóch punktach zacznij od dobrania odpowiedniego współczynnika $a$ , następnie podstawiając podany punkt wyznacz współczynnik $b$ .

W trzecim punkcie udowodnij, że przynajmniej dwa boki tego czworokąta są równoległe.

$y = \frac{2}{3} x + 7$
$y = 3 x - 5$
Prosta zawierająca bok $A B$ ma równanie $y = \frac{1}{2} x - 3$ , a prosta zawierająca bok $C D$ ma równanie $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ . Obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy $a = \frac{1}{2}$ , więc $A B ∥ C D$ . Wynika z tego, że $A B C D$ jest trapezem.

Uwaga.

Aby wykazać, że dwie proste, opisane równaniami kierunkowymi są równoległe, wystarczy wykazać, że ich współczynniki kierunkowe są równe.

Ćwiczenie 3

Bok $B C$ równoległoboku $A B C D$ jest zawarty w prostej o równaniu $y = - 2 x - 1$ , a bok $A B$ jest zawarty w prostej o równaniu $y = - 1$ . Wierzchołek $D$ ma współrzędne $D = (3, 3)$ . Wyznacz równania prostych zawierających boki $A D$ i $C D$ tego równoległoboku.

R1CQSgkoXDXfx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROPa2kI4xOWF5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFwfsGRTeMttK1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do dziewięciu i pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. W układzie narysowano prostą o równaniu y=-2x‑1 i zaznaczono ją kolorem niebieskim. Prosta przechodzi przez drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu. Prosta przechodzi również przez punkt C o współrzędnych (-2, 3) i przez punkt B o współrzędnych (0,-1). W układzie narysowano również prostą o równaniu y=-1 i zaznaczono ją kolorem niebieskim. Prosta przechodzi przez punkty B=(0,-1) i A=(5,-1). W układzie narysowano również dwie przerywane proste. Pierwsza z nich przechodzi przez punkty C i D, a druga z nich przechodzi przez punkty A i D. Figura A B C D ma kształt równoległoboku. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z własności równoległoboku wynika, że bok $A D$ leży na prostej równoległej do $B C$ przechodzącej przez wierzchołek $D$ .

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, zatem równanie prostej $A D$ możemy zapisać w postaci $y = - 2 x + b$ . Współczynnik $b$ obliczymy po podstawieniu do tego równania współrzędnych punktu $D$ .

3 = - 2 \cdot 3 + b

b = 9

Wynika z tego, że bok $A D$ leży na prostej o równaniu $y = - 2 x + 9$ .

Bok $C D$ leży na prostej równoległej do $A B$ i przechodzącej przez punkt $D$ . Prosta $C D$ jest również równoległa do osi $X$ i opisuje ją równanie $y = 3$ .

Bok $A D$ leży na prostej $y = - 2 x + 9$ , a bok $C D$ na prostej $y = 3$ .

Ćwiczenie 4

Rtun6sRuJdKgv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VJv0tubAAH4

Dopasuj wzory do prostych. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Prosta przechodząca przez punkt

(- 2, - 1)

, która jest prostopadła do prostej

y = 2 x + 3

określona jest wzorem 1.

y = - \frac{1}{2} x - 2

, 2.

y = 2 x - 2

, 3.

y = 4 x + 1

, 4.

y = 2 x + 2

, 5.

y = - \frac{1}{2} x + 3

, 6.

y = \frac{1}{2} x - 2

, 7.

y = 2 x + \frac{1}{2}

, 8.

y = \frac{1}{2} x + 8

.Prosta przechodząca przez punkt

(0, 3)

, która jest prostopadła do prostej

y = 2 x + 3

określona jest wzorem 1.

y = - \frac{1}{2} x - 2

, 2.

y = 2 x - 2

, 3.

y = 4 x + 1

, 4.

y = 2 x + 2

, 5.

y = - \frac{1}{2} x + 3

, 6.

y = \frac{1}{2} x - 2

, 7.

y = 2 x + \frac{1}{2}

, 8.

y = \frac{1}{2} x + 8

.Prosta przechodząca przez punkt

(0, 2)

, która jest równoległa do prostej

y = 2 x + 3

określona jest wzorem 1.

y = - \frac{1}{2} x - 2

, 2.

y = 2 x - 2

, 3.

y = 4 x + 1

, 4.

y = 2 x + 2

, 5.

y = - \frac{1}{2} x + 3

, 6.

y = \frac{1}{2} x - 2

, 7.

y = 2 x + \frac{1}{2}

, 8.

y = \frac{1}{2} x + 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajduje się wykres pewnej funkcji.

R3xoH4GQgnuLG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do ośmiu i pionową osią Y od minus jednego do pięciu. W układzie zaznaczono prostą, która przechodzi przez pierwszą, drugą i trzecią ćwiartkę układu. Prosta przechodzi przez punkty o współrzędnych (-4, 1) i (1, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FcJXMNxHS83

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajduje się wykres funkcji $- 3 x + 5 y = 9$ i punkt $A$ .

RxUOw7NvSIGfj

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do siedmiu i pionową osią Y od minus jednego do pięciu. W układzie zaznaczono prostą daną równaniem -3x+5y=9, która przechodzi przez pierwszą, drugą i trzecią ćwiartkę układu, i przecina oś X w punkcie (-3, 0). W układzie zaznaczono również punkt A o współrzędnych (2, 1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YWUsynofAtn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajduje się wykres funkcji $- 3 x + 5 y = 9$ i punkt $A$ .

R1M9HxOqsyU22

RO8I9K5l2wnQ4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu $y = \frac{3}{5} x - 2$ i przechodzącej przez punkt $A = (3, 1)$ .
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu $- x + 2 y + 6 = 0$ i przechodzącej przez punkt $B = (1, - 1)$ .
Uzasadnij, że trójkąt $A B C$ o wierzchołkach $A = (1, - 1)$ , $B = (- 3, 1)$ i $C = (4, 5)$ jest prostokątny.

R1axZOQ5Q8Zv3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W pierwszych dwóch podpunktach zacznij od dobrania odpowiedniego współczynnika $a$ , następnie podstawiając podany punkt wyznacz współczynnik $b$ .

W podpunkcie trzecim udowodnij, że dwa z tych trzech boków są do siebie prostopadłe.

$y = - \frac{5}{3} x + 6$
$y = - 2 x + 1$
Prosta zawierająca bok $A B$ ma równanie $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ , a prosta zawierająca bok $A C$ ma równanie $y = 2 x - 3$ . Iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy $- \frac{1}{2} \cdot 2 = - 1$ , zatem $A B ⊥ A C$ . Wynika z tego, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

RMiqzdzsIlSKx2

Ćwiczenie 9

Połącz w pary równania prostych prostopadłych.

$- x - 2 y = - 4$
$x - 4 y =- 1$
$- x + 3 y = 10$
$- x + \frac{1}{2} y = 2 \frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UaWF4n6NYRS2

Ćwiczenie 10

Połącz w pary równanie prostej z równaniem prostej równoległej przechodzącej przez punkt

A

- 2 x + 3 y = 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2 x + y = - 4

A = (3, 1)

, 2.

- 4 x + 3 y = - 4

A = (- 3, - 1)

, 3.

- 2 x + 3 y = - 5

A = (1, 2)

, 4.

4 x + 3 y = 4

A = (0, 0)

- 2 x + y = - 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2 x + y = - 4

A = (3, 1)

, 2.

- 4 x + 3 y = - 4

A = (- 3, - 1)

, 3.

- 2 x + 3 y = - 5

A = (1, 2)

, 4.

4 x + 3 y = 4

A = (0, 0)

- 4 x + 3 y = 9

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2 x + y = - 4

A = (3, 1)

, 2.

- 4 x + 3 y = - 4

A = (- 3, - 1)

, 3.

- 2 x + 3 y = - 5

A = (1, 2)

, 4.

4 x + 3 y = 4

A = (0, 0)

4 x + 3 y = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 2 x + y = - 4

A = (3, 1)

, 2.

- 4 x + 3 y = - 4

A = (- 3, - 1)

, 3.

- 2 x + 3 y = - 5

A = (1, 2)

, 4.

4 x + 3 y = 4

A = (0, 0)

Połącz w pary równanie prostej z równaniem prostej równoległej przechodzącej przez punkt $A$ .

$- 2 x + 3 y = - 5$
$- 2 x + y = - 5$
$- 4 x + 3 y = 9$
$4 x + 3 y = 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Wierzchołki trójkąta $A B C$ to punkty o współrzędnych: $A = (4, 1)$ , $B = (0, 3)$ , $C = (2, - 5)$ . Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $A$ .

R13zhOCYUB7ZC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej $B C$ przechodzącej przez punkt $A$ .

$y = \frac{1}{4} x$ .

R4DT103RKSmSz2

Ćwiczenie 12

$- \frac{1}{2}$
$- 2$
$\frac{1}{2}$
$2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Bo1ieEFuOFE2

Ćwiczenie 13

$y = - 3 x - 9$
$y = - 2 x - 3$
$y = 3 x + 3$
$y = 3 x - 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RMjr6wpdIpoB52

Ćwiczenie 14

$y = 2 x - 3$
$y = \frac{1}{2} x + 2$
$y = - 2 x - 7$
$y = - \frac{1}{2} x + 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfPD14dVC1r9v2

Ćwiczenie 15

są równoległe i różne
są prostopadłe
przecinają się pod kątem innym niż kąt prosty
pokrywają się

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R1ELVAIMhydAa

$a = - \frac{1}{4}$
$a = 4$
$a = \frac{1}{4}$
$a = - 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształć równanie pierwszej prostej do postaci kierunkowej. Zauważ, że aby dwie proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy $- 1$ .

R1NuihJgW59sr2

Ćwiczenie 17

$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
$\frac{- \sqrt{2} - 1}{2}$
$2 \sqrt{2} - 2$
$2 \sqrt{2} + 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

R15A9DzmB2YsS

Wyznacz równania prostych prostopadłych do prostej

y = - \frac{1}{5} x + 2

i przechodzących przez dane punkty. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Prosta prostopadła, przechodząca przez punkt

M = (- 1, 3)

, będzie wyrażona równaniem 1.

y = 5 x + 8

, 2.

y = 5 x

, 3.

y = 5 x - 20

, 4.

y = 5 x - 5

, 5.

y = 5 x + 5

, 6.

y = - 5 x + 20

.Prosta prostopadła, przechodząca przez punkt

M = (0, 0)

, będzie wyrażona równaniem 1.

y = 5 x + 8

, 2.

y = 5 x

, 3.

y = 5 x - 20

, 4.

y = 5 x - 5

, 5.

y = 5 x + 5

, 6.

y = - 5 x + 20

.Prosta prostopadła, przechodząca przez punkt

M = (4, 0)

, będzie wyrażona równaniem 1.

y = 5 x + 8

, 2.

y = 5 x

, 3.

y = 5 x - 20

, 4.

y = 5 x - 5

, 5.

y = 5 x + 5

, 6.

y = - 5 x + 20

.Prosta prostopadła, przechodząca przez punkt

M = (0, 5)

, będzie wyrażona równaniem 1.

y = 5 x + 8

, 2.

y = 5 x

, 3.

y = 5 x - 20

, 4.

y = 5 x - 5

, 5.

y = 5 x + 5

, 6.

y = - 5 x + 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby dwie proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy $- 1$ . Następnie wstaw współrzędne podanych punktów do równania prostej.

Ćwiczenie 19

R1oxFbCmi98Ic

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby dwie proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy $- 1$ . Następnie wstaw współrzędne podanego punktu do równania prostej.

Ćwiczenie 20

R1Q8v3PTqL0tO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się odcinek $A B$ . Zauważ, że prosta, na której leży wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka $C$ jest prostopadła do prostej, w której zawiera się odcinek $A B$ .

Ćwiczenie 21

Punkty $A = (2, 6)$ , $B = (2, 1)$ , $C = (- 2, - 2)$ i $D = (- 2, 3)$ są wierzchołkami czworokąta $A B C D$ . Uzasadnij, że ten czworokąt jest równoległobokiem.

RJ4OLT18xDEIZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Boki $A B$ i $D C$ czworokąta leżą na prostych o równaniach $x = 2$ i $x = - 2$ . Wynika z tego, że są do siebie równoległe.

Bok $C B$ leży na prostej o równaniu $y = \frac{3}{4} x - \frac{1}{2}$ , a bok $A D$ na prostej o równaniu $y = \frac{3}{4} x + 4 \frac{1}{2}$ . Te proste są do siebie równoległe.

Wynika z tego, że czworokąt $A B C D$ ma dwie pary boków równoległych , czyli jest równoległobokiem.

Ćwiczenie 22

RQNAKp0uxR98x2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

Ry4cDZK1MCcYf3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych prostopadłych musi wynosić $- 1$ .

Ćwiczenie 24

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach $A = (0, 2)$ , $B = (3, 1)$ , $C = (2, 3)$ jest prostokątny.

RvAimEcDJOYB4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Bok $A C$ leży na prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x + 2$ , a bok $C B$ na prostej $y = - 2 x + 7$ .
$\frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1$ , zatem boki $A C$ i $C B$ są do siebie prostopadłe, czyli trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

R1VvuXIFKdolN3

Ćwiczenie 25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

Punkty $A = (1, - 1)$ , $B = (3, 3)$ , $C = (0, 6)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $A B C D$ . Wyznacz równania prostych, w których zawierają się boki tego równoległoboku oraz współrzędne wierzchołka $D$ .

RTp5uQIXe0thZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$y = - x$ , $y = - x + 6$ , $y = 2 x - 3$ , $y = 2 x + 6$ , $D = (- 2, 2)$ .