Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

W tym materiale zawarte są informacje na temat ciągów. Poznasz definicję oraz różne sposoby opisywania ciągu liczbowego. Dowiesz się, co to są wyrazy ciągu i w jaki sposób je obliczamy. Sprawdzisz swoją wiedzę analizując przykłady i rozwiązując ćwiczenia.

RSm5Q9NJoDq111

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

R8CxieBabAHlz1

Definicja ciągu

Definicja: Definicja ciągu

Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.
Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całkowitych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór $\{1, 2, . . ., n\}$ , gdzie $n$ jest ustaloną dodatnią liczbą całkowitą.
Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkaliśmy się, np. podając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane $(1, 3)$ i $(3, 1)$ są różne.
Ciąg opisany w przykładzie powyżej jest skończony, ponieważ w kolejce stoi $5$ osób, czyli skończona liczba osób. Dziedziną tego ciągu jest zbiór $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.

W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, których wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(c_{n})$ itd. Natomiast $a_{n}$ oznacza $n$ -ty wyraz ciągu $(a_{n})$ , na przykład drugi wyraz ciągu $(a_{n})$ to $a_{2}$ .

Jeżeli ciąg z podanego wyżej przykładu $1$ oznaczymy $(a_{n})$ , to $a_{1} =$ Tomek,
$a_{2} =$ Małgosia, $a_{3} =$ Julka, $a_{4} =$ Franek, $a_{5} =$ Jurek.

Przykład 2

Rozpatrzmy ciąg $(a_{n})$ składający się z $5$ wyrazów, które są kolejnymi początkowymi liczbami pierwszymi. Przypomnijmy, że najmniejszą liczbą pierwszą jest $2$ . Zatem

a_{1} = 2

a_{2} = 3

a_{3} = 5

a_{4} = 7

a_{5} = 11

Ciąg liczbowy, podobnie jak inne funkcje, można opisać na różne sposoby, np. narysować jego wykres. Oto wykres tego ciągu:

R1DFumhamBJOZ1

Rysunek przedstawia wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) na układzie współrzędnych z poziomą osią X od minus czternastu do czternastu oraz z pionową osią Y od zera do dwunastu. Zaznaczone są punkty o współrzędnych (1,2), (2,3), (3,5), (4,7), (5, nawias pięć przecinek jedenaście zamknięcie nawiasu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem $a_{n} = n^{2} + 3 n$ .

Aby obliczyć wyraz o numerze $n$ , należy podnieść numer wyrazu do kwadratu i dodać do niego potrojony numer tego wyrazu.

W ten sposób obliczamy

a_{1} = 1^{2} + 3 \cdot 1 = 4

a_{2} = 2^{2} + 3 \cdot 2 = 10

a_{3} = 3^{2} + 3 \cdot 3 = 18

a_{4} = 4^{2} + 3 \cdot 4 = 28

a_{5} = 5^{2} + 3 \cdot 5 = 40

a_{6} = 6^{2} + 3 \cdot 6 = 54

Tak samo możemy obliczyć wyraz o dowolnie wybranym numerze, np.

a_{65} = 65^{2} + 3 \cdot 65 = 4420

a_{100} = 100^{2} + 3 \cdot 100 = 10300

Podany przez nas wzór ma tę własność, że każdy wyraz ciągu jest uzależniony od numeru tego wyrazu. Tego typu wzór określający ciąg nazywamy wzorem ogólnym.

Polecenie 1

R1bo8oVIHLR1Y11

R1Qr6wq5A5ZEK1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Dany jest ciąg ułamków takich, że licznik każdego z tych ułamków, a więc każdego wyrazu tego ciągu równy jest numerowi, a mianownik jest o $1$ większy od licznika. Zatem ciąg ten ma postać $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots)$ . Jego $n$ -ty wyraz możemy opisać wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ . Znając wzór, możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu, np.

a_{73} = \frac{73}{73 + 1} = \frac{73}{74}

Przykład 5

Dany jest ciąg nieskończony $(a_{n})$ o wzorze ogólnym $a_{n} = \frac{n + 1}{2 n - 7}$ . Wypiszmy wszystkie wyrazy ujemne tego ciągu.

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu to ułamek $\frac{n + 1}{2 n - 7}$ , którego licznik, czyli $n + 1$ , jest dodatni, gdyż $n \geq 1$ . Zatem ułamek jest ujemny, gdy jego mianownik jest ujemny, czyli gdy $2 n - 7 < 0$ , a więc $n < 3,5$ . Wynika stąd, że ujemnymi wyrazami są tylko trzy początkowe wyrazy:

a_{1} = \frac{1 + 1}{2 - 7} = - \frac{2}{5}

a_{2} = \frac{2 + 1}{4 - 7} = - 1

a_{3} = \frac{3 + 1}{6 - 7} = - 4

Przykład 6

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot (n^{2} - 25)}{n + 2}$ .

Oblicz wyrazy $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{10}$ .
Korzystając z wzoru ogólnego, mamy:

a_{1} = \frac{{(- 1)}^{1} \cdot (1^{2} - 25)}{1 + 2} = 8

a_{2} = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot (2^{2} - 25)}{2 + 2} = - \frac{21}{4} = - 5 \frac{1}{4}

a_{3} = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot (3^{2} - 25)}{3 + 2} = \frac{16}{5} = 3 \frac{1}{5}

a_{10} = \frac{{(- 1)}^{10} \cdot (10^{2} - 25)}{10 + 2} = \frac{75}{12} = 6 \frac{1}{4}

Wykaż, że $a_{5} < a_{6}$ oraz $a_{6} > a_{7}$ .
Obliczmy

a_{5} = \frac{{(- 1)}^{5} \cdot (5^{2} - 25)}{5 + 2} = 0

a_{6} = \frac{{(- 1)}^{6} \cdot (6^{2} - 25)}{6 + 2} = \frac{11}{8}

a_{7} = \frac{{(- 1)}^{7} \cdot (7^{2} - 25)}{7 + 2} = - \frac{24}{9} = - 2 \frac{2}{3}

co oznacza, że $a_{5} < a_{6}$ oraz $a_{6} > a_{7}$ .

Przykład 7

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = (n + 3) (2 n - 5)$ .

Uzasadnij, że żaden wyraz ciągu $(a_{n})$ nie jest równy zero.
Przypuśćmy, że któryś z wyrazów jest równy zero, a więc $a_{n} = 0$ . Zatem $(n + 3) (2 n - 5) = 0$ , czyli $n + 3 = 0$ lub $2 n - 5 = 0$ . Stąd $n = - 3$ lub $n = 2,5$ . Żadna z tych równości nie jest prawdziwa, gdyż $n$ to numer wyrazu ciągu i jest dodatnią liczbą całkowitą. To oznacza, że żaden wyraz tego ciągu nie jest równy $0$ .
Który wyraz tego ciągu jest równy $6$ ?
Podobnie jak poprzednio, rozwiązujemy równanie $a_{n} = 6$ , czyli $(n + 3) (2 n - 5) = 6$ . Po przekształceniu tego równania otrzymujemy równanie kwadratowe $2 n^{2} + n - 21 = 0$ , które ma dwa rozwiązania $n = - 3,5$ lub $n = 3$ . Tylko drugie z tych rozwiązań jest dodatnią liczbą całkowitą, więc $n = 3$ . Oznacza to, że tylko trzeci wyraz tego ciągu jest równy $6$ .

Przykład 8

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = \sqrt{3 n + 6}$ . Który wyraz tego ciągu jest równy $2 \sqrt{3}$ ?

Rozwiązujemy równanie $\sqrt{3 n + 6} = 2 \sqrt{3}$ , czyli $\sqrt{3 n + 6} = \sqrt{12}$ . Stąd wynika, że $3 n + 6 = 12$ , więc $n = 2$ . Zatem jedynie $a_{2} = 2 \sqrt{3}$ .

Przykład 9

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = \sqrt[3]{n - 2}$ . Oblicz $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ .

Obliczamy

a_{1} = \sqrt[3]{1 - 2} = \sqrt[3]{- 1} = - 1

a_{2} = \sqrt[3]{2 - 2} = 0

a_{3} = \sqrt[3]{3 - 2} = 1

Zauważmy, że podanie kilku początkowych wyrazów ciągu nie pozwala jednoznacznie obliczyć kolejnych jego wyrazów ani określić wzoru ogólnego tego ciągu. Rozpatrzmy nieskończony ciąg $(- 1,0, 1, \dots)$ . Można byłoby przypuszczać, że jest to ciąg z poprzedniego przykładu, a więc ciąg określony wzorem ogólnym $a_{n} = \sqrt[3]{n - 2}$ . Można byłoby też przyjąć, że wzór ogólny tego ciągu to $a_{n} = n - 2$ lub $a_{n} = {(n - 2)}^{5}$ . Wówczas jednak inne byłyby już czwarte wyrazy tych ciągów. W pierwszym $a_{4} = \sqrt[3]{2}$ , w drugim $a_{4} = 2$ , a w ostatnim $a_{4} = 32$ .

Jeżeli oprócz podania początkowych wyrazów ciągu określimy również zasadę opisującą tworzenie kolejnych jego wyrazów z poprzednich wyrazów, to wtedy ciąg określimy w sposób jednoznaczny. Na przykład gdybyśmy przy określaniu ciągu nieskończonego $(- 1,0, 1, \dots)$ podali jeszcze, że każdy jego wyraz, począwszy od wyrazu drugiego, jest o $1$ większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, to wówczas obie te informacje moglibyśmy zapisać krótko w postaci $a_{1} = - 1$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 1$ dla $n \geq 1$ . W ten sposób można obliczyć kolejne wyrazy ciągu.

a_{2} = a_{1} + 1 = - 1 + 1 = 0

a_{3} = a_{2} + 1 = 0 + 1 = 1

a_{4} = a_{3} + 1 = 1 + 1 = 2

Jednak aby obliczyć np. $a_{100} = a_{99} + 1$ , musimy najpierw obliczyć $a_{99}$ , $a_{98}$ , $a_{97}$ itd. Zauważmy jednak, że ten sam ciąg opisuje wzór ogólny $a_{n} = n - 2$ , który pozwala obliczyć dowolny wyraz ciągu, np.

a_{100} = 100 - 2 = 98

Przykład 10

Wyznacz wzór ogólny ciągu, którego pierwszy wyraz jest równy $7$ , a każdy następny wyraz jest o $3$ większy od poprzedniego.

Informacje podane w poleceniu możemy zapisać w postaci $a_{1} = 7$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ dla $n \geq 1$ .

Pierwszy wyraz ciągu to $a_{1} = 7$ . Obliczmy kilka następnych wyrazów tego ciągu:

a_{2} = a_{1} + 3 = 7 + 1 \cdot 3 = 10

a_{3} = a_{2} + 3 = a_{1} + 3 + 3 = 7 + 2 \cdot 3 = 13

a_{4} = a_{3} + 3 = a_{1} + 2 \cdot 3 + 3 = 7 + 3 \cdot 3 = 16

Zauważmy, że trzeci wyraz jest większy od pierwszego wyrazu o dwie trójki, czyli o $2 \cdot 3$ , czwarty jest większy od pierwszego o trzy trójki, czyli o $3 \cdot 3$ . Zatem wyraz o numerze $n$ jest większy od wyrazu pierwszego o $n - 1$ trójek. Wzór ogólny tego ciągu możemy więc zapisać w postaci

a_{n} = 7 + (n - 1) \cdot 3

Zbadamy teraz, rozpatrując kilka przykładów, jak zachowują się kolejne wyrazy ciągu. Interesować nas będzie, czy wyrazy ciągu rosną, maleją, czy nie zmieniają się.

Przykład 11

Rozpatrzmy nieskończone ciągi $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(c_{n})$ określone wzorami ogólnymi $a_{n} = \frac{1}{2} \cdot n - 5$ , $b_{n} = \frac{2}{n} - 3$ , $c_{n} = {(n - 4)}^{2}$ . Obliczymy trzy pierwsze wyrazy każdego z tych ciągów:

a_{1} = \frac{1}{2} \cdot 1 - 5 = - 4 \frac{1}{2}

a_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 - 5 = - 4

a_{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 - 5 = - 3 \frac{1}{2}

b_{1} = \frac{2}{1} - 3 = - 1

b_{2} = \frac{2}{2} - 3 = - 2

b_{3} = \frac{2}{3} - 3 = - 2 \frac{1}{3}

c_{1} = {(1 - 4)}^{2} = 9

c_{2} = {(2 - 4)}^{2} = 4

c_{3} = {(3 - 4)}^{2} = 1

Zauważmy, że

Obliczone wyrazy ciągu $(a_{n})$ są coraz większe, a więc rosną. Tak też się dzieje z kolejnymi wyrazami tego ciągu, gdyż przy coraz większym $n$ rośnie też wartość wyrażenia $\frac{1}{2} n - 5$ . Mówimy wówczas, że ciąg jest rosnący.

To samo możemy też stwierdzić, gdy zauważymy, że wykres ciągu $(a_{n})$ składa się z punktów leżących na prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x - 5$ . Ta prosta jest wykresem rosnącej funkcji liniowej. Zatem i ciąg $(a_{n})$ jest rosnący.

RJy6O0L7kPSmI1

Rysunek przedstawia wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) na układzie współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dwunastu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do jeden. Zaznaczone są punkty o współrzędnych (1,-412), (2,-4), (3,-312), (4,-3) , (5,-212), (6,-2), (7,-112), (8,-1), (9,-12), (10,0) , (11,12) oraz (12,1). Przez wszystkie wymienione punkty poprowadzona jest prosta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczone wyrazy ciągu $(b_{n})$ są coraz mniejsze, następne również maleją. Jest tak dlatego, że przy zwiększaniu $n$ maleje ułamek $\frac{2}{n}$ , a to oznacza, że maleje też różnica $\frac{2}{n} - 3$ . Ciąg $(b_{n})$ jest więc malejący.

Podobnie jak poprzednio do tego samego wniosku możemy dojść, zauważając, że wykres ciągu $(b_{n})$ składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu $y = \frac{2}{x} - 3$ . Ta hiperbola jest wykresem funkcji, która w przedziale $(0, + \infty)$ jest malejąca. Zatem i ciąg $(b_{n})$ jest malejący.

R19dNqIa4yzoc

Rysunek przedstawia wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) równego dwa przez n minus 3 na układzie współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do jedenastu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do dwóch. Zaznaczone są między innymi takie punkty o współrzędnych jak (1,-1) oraz (2,-2) . Reszta zaznaczonych punktów zbiega asymptotycznie do prostej y = minus 3. Przez wszystkie zaznaczone punkty ciągu na przedziale od zera do plus nieskończoności przechodzi hiperbola, która jest wykresem funkcji y równa się dwa przez x minus 3. — Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_453
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczone wyrazy ciągu $(c_{n})$ maleją, czwarty wyraz jest mniejszy od trzeciego $(c_{4} = 0 < 1 = c_{3})$ , ale już kolejne wyrazy nie są coraz mniejsze. Piąty wyraz jest większy od czwartego $c_{5} = 1 > 0 = c_{4}$ . Ciąg ten nie jest więc malejący, nie jest też rosnący. To samo możemy zauważyć, patrząc na wykres $(c_{n})$ , który składa się z punktów leżących na paraboli o równaniu $y = {(x - 4)}^{2}$ . Parabola ta jest wykresem funkcji malejącej w przedziale $(- \infty, 4⟩$ , a rosnącej w przedziale $⟨4, + \infty)$ . Funkcja ta nie jest więc monotoniczna w przedziale $⟨1, + \infty)$ , a w tym przedziale leżą wszystkie numery wyrazów ciągu.
R1dxmf8ci7iYl1
Rysunek przedstawia wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) równego ( n minus 4) do kwadratu na układzie współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do jedenastu oraz z pionową osią Y od minus jeden do dziewięciu. Zaznaczone są na wykresie punkty o współrzędnych $(1, 9)$ , $(2, 4)$ , $(3, 1)$ , $(4, 0)$ , $(5, 1)$ , $(6, 4)$ oraz $(7, 9)$ . Wszystkie zaznaczone punkty ciągu leżą na paraboli, która jest wykresem funkcji y równa się ( x minus 4 ) do kwadratu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RI2lfg4Oxq38C1

R1XdisAm3gDIT1

RZCTxtqMlBNLD1

RCcoXl4UjjS161

RkFDHryCwcWMG1

R11DGD649l8Vg1

Ciągi monotoniczne

Definicja: Ciągi monotoniczne

Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} > a_{n}

Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} < a_{n}

Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi równość

a_{n + 1} = a_{n}

Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} \geq a_{n}

Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} \leq a_{n}

Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

Przykład 12

Ciąg określony wzorem $a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot n$ nie jest monotoniczny. Wystarczy obliczyć trzy pierwsze wyrazy tego ciągu: $a_{1} = - 1$ , $a_{2} = 2$ , $a_{3} = - 3$ . Ponieważ $a_{2} > a_{1}$ i $a_{3} < a_{2}$ , więc ciąg nie jest monotoniczny.

Ćwiczenie 1

W tabeli podane zostały wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ .

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$a_{n}$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$5$	$4$

Narysuj wykres ciągu $(a_{n})$ .
Rozstrzygnij, czy ciąg $(a_{n})$ jest monotoniczny.

R1J70w6bE1xLN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz jak wygląda wykres ciągu $(a_{n})$ .
Rozstrzygnij, czy ciąg $(a_{n})$ jest monotoniczny.

R1Abg8FVIxpU6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbxqPbEQws9vX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciąg nie jest monotoniczny, ponieważ zachodzą jednocześnie dwie nierówności $a_{1} < a_{2}$ oraz $a_{6} > a_{7}$ .

Ćwiczenie 2

R1Uhl1tTB4fMt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

Zbadajmy, dla jakich $n$ prawdziwa jest nierówność $a_{n} < 0$ . Ponieważ $2 n + 5 > 0$ , bo $n \geq 1$ , więc $(n - 20) (2 n + 5) < 0$ , gdy $n - 20 < 0$ , czyli gdy $n < 20$ . To oznacza, że ujemne są wyrazy od $a_{1}$ do $a_{19}$ . Jest więc $19$ takich wyrazów.

Ćwiczenie 3

R16d4f4a88Lew

Siódmy wyraz tego ciągu jest równy $15$ .
Pierwszym wyrazem dodatnim tego ciągu jest $a_{5}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

$a_{7} = 7^{2} - 5 \cdot 7 + 1 = 15$ .

sposób $I$

$a_{1} = - 3$ , $a_{2} = - 5$ , $a_{3} = - 5$ , $a_{4} = - 3$ , $a_{5} = 1$ , czyli piąty wyraz jest pierwszym wyrazem dodatnim.

sposób $II$

Jeżeli zapiszemy wzór ogólny ciągu w postaci $a_{n} = n (n - 5) + 1$ , to zauważymy, że wyrazy ciągu, począwszy od piątego, są dodatnie. Ponieważ dla $n < 5$ iloczyn $n (n - 5)$ jest liczbą mniejszą od $(- 1)$ , to początkowe cztery wyrazy są ujemne. Zatem piąty wyraz jest pierwszym dodatnim wyrazem.

Ćwiczenie 4

R18WJV6ifC3Vx

Połącz w pary wzór ogólny z odpowiadającymi mu wyrazami ciągu.

a_{n} = 2 n + 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

(a_{n}) : (2 \sqrt{3}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4, \sqrt{17}, 3 \sqrt{2}, \sqrt{19}, 2 \sqrt{5})

, 2.

(a_{n}) : (2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65)

, 3.

(a_{n}) : (- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{6})

, 4.

(a_{n}) : (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)

a_{n} = n^{2} + 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(a_{n}) : (2 \sqrt{3}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4, \sqrt{17}, 3 \sqrt{2}, \sqrt{19}, 2 \sqrt{5})

, 2.

(a_{n}) : (2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65)

, 3.

(a_{n}) : (- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{6})

, 4.

(a_{n}) : (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)

a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(a_{n}) : (2 \sqrt{3}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4, \sqrt{17}, 3 \sqrt{2}, \sqrt{19}, 2 \sqrt{5})

, 2.

(a_{n}) : (2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65)

, 3.

(a_{n}) : (- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{6})

, 4.

(a_{n}) : (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)

a_{n} = \sqrt{n + 11}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(a_{n}) : (2 \sqrt{3}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4, \sqrt{17}, 3 \sqrt{2}, \sqrt{19}, 2 \sqrt{5})

, 2.

(a_{n}) : (2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65)

, 3.

(a_{n}) : (- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{6})

, 4.

(a_{n}) : (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RUtLOzmkoKq5B

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

Zapiszmy wzór na $n$ -ty wyraz ciągu w postaci $a_{n} = \frac{n^{2} + 5 n + 6}{n} = \frac{n^{2}}{n} + \frac{5 n}{n} + \frac{6}{n} = n + 5 + \frac{6}{n}$ . Liczba $n + 5$ jest liczbą całkowitą, gdyż $n$ jest liczbą całkowitą, więc wyraz ciągu jest liczbą całkowitą, gdy ułamek $\frac{6}{n}$ jest liczbą całkowitą. Wynika stąd, że $n$ jest dzielnikiem liczby $6$ , zatem $n \in \{1, 2, 3, 6\}$ .

Ćwiczenie 6

RmFzyHikGc0kQ

Nieskończony ciąg opisany jest wzorem

a_{n} = n^{2} - 6 n + 5

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wartość wyrazu

a_{7}

wynosi 1.

a_{2}

a_{3}

a_{4}

, 2.

a_{1}

a_{2}

a_{3}

, 3.

- 3

- 4

- 3

, 4.

55

, 5.

38

, 6.

30

, 7.

a_{3}

a_{4}

a_{5}

, 8.

45

, 9.

12

, 10.

20

, 11.

- 1

- 2

- 3

, 12.

- 2

- 4

- 6

, natomiast wyrazu

a_{10}

wynosi 1.

a_{2}

a_{3}

a_{4}

, 2.

a_{1}

a_{2}

a_{3}

, 3.

- 3

- 4

- 3

, 4.

55

, 5.

38

, 6.

30

, 7.

a_{3}

a_{4}

a_{5}

, 8.

45

, 9.

12

, 10.

20

, 11.

- 1

- 2

- 3

, 12.

- 2

- 4

- 6

.Które wyrazy ciągu

(a_{n})

przyjmują ujemne wartości?
Odpowiedź: Wyrazy 1.

a_{2}

a_{3}

a_{4}

, 2.

a_{1}

a_{2}

a_{3}

, 3.

- 3

- 4

- 3

, 4.

55

, 5.

38

, 6.

30

, 7.

a_{3}

a_{4}

a_{5}

, 8.

45

, 9.

12

, 10.

20

, 11.

- 1

- 2

- 3

, 12.

- 2

- 4

- 6

przyjmują wartości ujemne.Jakie wartości ujemne odpowiadają tym wyrazom?
Odpowiedź: Tym wyrazom odpowiadają kolejno wartości 1.

a_{2}

a_{3}

a_{4}

, 2.

a_{1}

a_{2}

a_{3}

, 3.

- 3

- 4

- 3

, 4.

55

, 5.

38

, 6.

30

, 7.

a_{3}

a_{4}

a_{5}

, 8.

45

, 9.

12

, 10.

20

, 11.

- 1

- 2

- 3

, 12.

- 2

- 4

- 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

$a_{7} = 7^{2} - 6 \cdot 7 + 5 = 12$ , $a_{10} = 10^{2} - 6 \cdot 10 + 5 = 45$
$a_{n} = n^{2} - 6 n + 5 = (n - 1) (n - 5)$ . Wykres ciągu $(a_{n})$ składa się z punktów leżących na paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = (x - 1) (x - 5)$ .
R5AwG4SZ9OyFx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zatem ujemnymi wyrazami tego ciągu są: $a_{2} = - 3$ , $a_{3} = - 4$ , $a_{4} = - 3$ .

Ćwiczenie 7

Nieskończony ciąg opisany jest wzorem $a_{n} = n^{2} - 6 n + 5$ .

Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ zachodzi nierówność $a_{n} \geq - 4$ .

Wykres ciągu $(a_{n})$ składa się z punktów leżących na paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = (x - 1) (x - 5)$ .

R5AwG4SZ9OyFx1

Wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) składa się z punktów o współrzędnych (0, 6), (1, 0), (2, -3), (3, -4), (4, -3), (5, 0), (6, 5) leżących na paraboli o równaniu y =(x -1) razy (x -5). Rozwiązanie zadania podpunkt b. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że parabola, w której zawarty jest wykres ciągu $(a_{n})$ , jest zwrócona ramionami do góry, a jej wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych $(3, - 4)$ . Wynika stąd, że $- 4$ jest najmniejszą wartością funkcji kwadratowej $f$ . To oznacza, że $a_{3} = - 4$ jest najmniejszym wyrazem tego ciągu. Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ prawdziwa jest więc nierówność $a_{n} \geq - 4$ .

Ćwiczenie 8

ReP6QaMItyflX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

Przypuśćmy, że $a_{n} = 3 \frac{2}{5}$ . Zatem $\frac{n + 12}{7} = 3 \frac{2}{5}$ , czyli $\frac{n + 12}{7} = \frac{17}{5}$ . Stąd $5 n + 60 = 119$ , czyli $n = 11,8$ . Ta liczba nie jest naturalna, więc nie istnieje wyraz ciągu, który jest równy $3 \frac{2}{5}$ .

Ćwiczenie 9

R1D9rMkHXX7Qx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

Rozwiążmy nierówność $a_{n} > \frac{1}{3}$ , czyli $\frac{n + 3}{4 n + 1} > \frac{1}{3}$ .

Ponieważ wyrażenie $4 n + 1 > 0$ , więc obie strony nierówności możemy pomnożyć przez $3 (4 n + 1)$ . Otrzymujemy kolejno

3 (n + 3) > 4 n + 1

8 > n

n < 8

Zatem większe od $\frac{1}{3}$ są wszystkie wyrazy od pierwszego do siódmego.

Ćwiczenie 10

Rt5NROLffshY0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

Obliczmy kolejne wyrazy ciągu

a_{2} = {(- 1)}^{1} a_{1} + 1 = - 3 + 1 = - 2

a_{3} = {(- 1)}^{2} a_{2} + 2 = - 2 + 2 = 0

a_{4} = {(- 1)}^{3} a_{3} + 3 = 0 + 3 = 3

a_{5} = {(- 1)}^{4} a_{4} + 4 = 3 + 4 = 7

Ćwiczenie 11

Rs7fFuIku1sA8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

Piąty i szósty wyraz ciągu obliczamy, korzystając z podanego wzoru: $a_{5} = \frac{{(- 1)}^{5}}{5} = - \frac{1}{5}$ , $a_{6} = \frac{{(- 1)}^{6}}{6} = \frac{1}{6}$ . Zatem wartość szukanego wyrażenia jest równa $a_{5} + 2 a_{6} = - \frac{1}{5} + \frac{2}{6} = - \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{2}{15}$ .
Ponieważ wyrazy o numerach parzystych są dodatnie, a wyrazy o numerach nieparzystych są ujemne, więc ciąg nie jest monotoniczny.

Ćwiczenie 12

R1QOnKUHh8KpL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

sposób $I$

Rozwiążmy nierówność $\frac{1}{3} < a_{n} < 2$ , czyli $\frac{1}{3}$ $< \frac{3}{n + 2} < 2$ .

Rozwiążmy najpierw nierówność $\frac{1}{3}$ $< \frac{3}{n + 2} .$ Ponieważ $n + 2$ jest liczbą dodatnią, więc możemy obie strony tej nierówności pomnożyć przez $3 (n +2)$ . Zatem $n + 2 < 9$ , czyli $n < 7$ .

Podobnie rozwiązujemy drugą nierówność $\frac{3}{n + 2} < 2$ . Mnożąc obie jej strony przez $n + 2$ , otrzymujemy $3 < 2 n + 4$ , czyli $n > - \frac{1}{2}$ , co jest prawdą dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$ .

Istnieje więc $6$ wyrazów ciągu należących do przedziału $(\frac{1}{3}, 2)$ .

sposób $II$

Wykres ciągu $(a_{n})$ składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu $y = \frac{3}{x + 2}$ .

Jest ona wykresem funkcji, która w przedziale $(- 2, + \infty)$ jest malejąca.

RKqaOuiUprGpk1

Wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu y = ułamek licznik 3 mianownik x +2. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytujemy z wykresu, że wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od $2$ i od pewnego momentu wszystkie wyrazy są mniejsze od $\frac{1}{3}$ . Wyznaczmy taki argument funkcji $f (x) = \frac{3}{x + 2}$ , dla którego funkcja przyjmuje wartość $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = \frac{1}{3}$ , gdy $\frac{3}{x + 2} = \frac{1}{3}$ , czyli $x + 2 = 9$ , a więc $x = 7$ . To oznacza, że do przedziału $(\frac{1}{3}, 2)$ należy początkowych sześć wyrazów ciągu.

Ćwiczenie 13

Niech $a_{n}$ oznacza liczbę wszystkich naturalnych dzielników dodatniej liczby całkowitej $n$ , gdzie $1 \leq n \leq 7$ . Sporządź wykres ciągu $(a_{n})$ . Który wyraz tego ciągu jest największy?

RxLZ2zpCxGpMT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $a_{n}$ oznacza liczbę wszystkich naturalnych dzielników dodatniej liczby całkowitej $n$ , gdzie $1 \leq n \leq 7$ . Opisz wykres ciągu $(a_{n})$ . Który wyraz tego ciągu jest największy?

R1Mh0PKGkcRXl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznaczmy wyrazy ciągu $(a_{n})$ : $a_{1} = 1$ , gdyż liczba $1$ ma tylko $1$ dzielnik naturalny (jest nim $1$ ).

$a_{2} = 2$ , gdyż liczba $2$ ma $2$ dzielniki naturalne (są to $1$ i $2$ ).

Podobnie wyznaczamy następne wyrazy: $a_{3} = 2$ , $a_{4} = 3$ , $a_{5} = 2$ , $a_{6} = 4$ , $a_{7} = 2$ .

RbQ079FG4ri9f1

Wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) składa się z punktów o współrzędnych (1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 3), (5, 2), (6, 4), (7, 2). Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Największy wyraz tego ciągu to $a_{6} = 4$ .

Ćwiczenie 14

R1XVdJX64qHwK

Dane są ciągi

(a_{n})

(b_{n})

o wzorach ogólnych

a_{n} = n + 5

b_{n} = 3 n - 7

.
Sumą ciągów

(a_{n})

(b_{n})

nazywamy ciąg

(c_{n})

o wzorze ogólnym

c_{n} = a_{n} + b_{n}

.
Różnicą ciągów

(a_{n})

(b_{n})

nazywamy ciąg

(d_{n})

o wzorze ogólnym

d_{n} = a_{n} - b_{n}

.
Iloczynem ciągów

(a_{n})

(b_{n})

nazywamy ciąg

(e_{n})

o wzorze ogólnym

e_{n} = a_{n} b_{n}

.
Ilorazem ciągów

(a_{n})

(b_{n})

nazywamy ciąg

(f_{n})

o wzorze ogólnym

f_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}

.
Ciąg

(f_{n})

jest określony dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej

n

, ponieważ żaden wyraz ciągu

(b_{n})

nie jest równy

0

.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Ciąg

(d_{n})

posiada 1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

wyrazów dodatnich.
1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

wyraz ciągu

(e_{n})

równy zero.Liczba

1

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

jednym z wyrazów ciągu

(f_{n})

.Ciąg

(c_{n})

posiada 1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

wyrazy mniejsze od

10

. Wyrazy te to 1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

oraz 1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

.Ciąg

(f_{n})

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

monotoniczny.Równość

c_{n + 4} = e_{n - 4} + 1

jest prawdziwa dla

n =

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

.Trzeci wyraz ciągu

(e_{n})

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

kwadratem liczby naturalnej.

Dane są ciągi

(a_{n})

(b_{n})

o wzorach ogólnych

a_{n} = n + 5

b_{n} = 3 n - 7

.
Sumą ciągów

(a_{n})

(b_{n})

nazywamy ciąg

(c_{n})

o wzorze ogólnym

c_{n} = a_{n} + b_{n}

.
Różnicą ciągów

(a_{n})

(b_{n})

nazywamy ciąg

(d_{n})

o wzorze ogólnym

d_{n} = a_{n} - b_{n}

.
Iloczynem ciągów

(a_{n})

(b_{n})

nazywamy ciąg

(e_{n})

o wzorze ogólnym

e_{n} = a_{n} b_{n}

.
Ilorazem ciągów

(a_{n})

(b_{n})

nazywamy ciąg

(f_{n})

o wzorze ogólnym

f_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}

.
Ciąg

(f_{n})

jest określony dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej

n

, ponieważ żaden wyraz ciągu

(b_{n})

nie jest równy

0

.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Ciąg

(d_{n})

posiada 1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

wyrazów dodatnich.
1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

wyraz ciągu

(e_{n})

równy zero.Liczba

1

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

jednym z wyrazów ciągu

(f_{n})

.Ciąg

(c_{n})

posiada 1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

wyrazy mniejsze od

10

. Wyrazy te to 1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

oraz 1.

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

.Ciąg

(f_{n})

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

monotoniczny.Równość

c_{n + 4} = e_{n - 4} + 1

jest prawdziwa dla

n =

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

.Trzeci wyraz ciągu

(e_{n})

8

, 2. Istnieje, 3.

a_{9}

, 4.

a_{8}

, 5. nie jest, 6. jest, 7.

10

, 8.

6

, 9.

a_{5}

, 10.

a_{7}

, 11.

9

, 12. nie jest, 13.

1

, 14. nie jest, 15.

3

, 16.

7

, 17.

2

, 18.

a_{2}

, 19. nie jest, 20.

a_{6}

, 21.

a_{1}

, 22.

a_{3}

, 23. Nie istnieje, 24.

a_{4}

, 25.

a_{10}

, 26.

8

, 27.

4

, 28. jest, 29.

5

kwadratem liczby naturalnej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

Ponieważ $d_{n} = a_{n} - b_{n}$ , więc $d_{n} = n + 5 - 3 n + 7 = 12 - 2 n$ . Rozwiązujemy nierówność $d_{n} > 0$ , czyli $12 - 2 n > 0$ , stąd $n < 6$ . Ciąg ma więc pięć wyrazów dodatnich.
Ponieważ $e_{n} = a_{n} b_{n}$ , więc $e_{n} = (n + 5) \cdot (3 n - 7)$ . Rozwiązujemy równanie $e_{n} = 0$ , czyli $(n + 5) \cdot (3 n - 7) = 0$ , stąd $n = - 5$ lub $n = \frac{7}{3}$ . Żadna z tych liczb nie może być numerem wyrazu ciągu, czyli żaden wyraz ciągu $(e_{n})$ nie jest równy zero.
Ponieważ $f_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ , więc $f_{n} = \frac{n + 5}{3 n - 7}$ . Rozwiązujemy równanie $f_{n} = 1$ , czyli $\frac{n + 5}{3 n - 7} = 1$ , stąd $n + 5 = 3 n - 7$ . Ostatecznie $n = 6$ , czyli szósty wyraz ciągu $(f_{n})$ jest równy $1$ .
Ponieważ $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ , więc $c_{n} = n + 5 + 3 n - 7 = 4 n - 2$ . Rozwiązujemy nierówność $c_{n} < 10$ , czyli $4 n - 2 < 10$ , stąd $n < 3$ . Zatem mniejsze od $10$ są wyrazy $a_{1}$ oraz $a_{2}$ .
Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. $3 .$ , obliczamy $f_{1} = \frac{6}{- 4} = - \frac{3}{2}$ , $f_{2} = \frac{7}{- 1} = - 7$ , $f_{3} = \frac{8}{2} = 4$ . Zauważmy, że $f_{1} > f_{2}$ oraz $f_{2} < f_{3}$ , czyli ciąg $(f_{n})$ nie jest monotoniczny.
Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. $4 .$ , obliczamy $c_{n + 4} = 4 n + 14$ . Ciąg $(e_{n})$ określony jest w sposób następujący $e_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ , więc $c_{n - 4} = 3 n^{2} - 16 n - 19$ . Rozwiązujemy równanie
$4 n + 14 = 3 n^{2} - 16 n - 19 + 1$ stąd otrzymujemy $n = - \frac{4}{3}$ lub $n = 8$ . Pierwsza z otrzymanych liczb nie jest liczbą całkowitą, więc rozwiązaniem jest liczba $8$ .
Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. $2 .$ , obliczamy trzeci wyraz ciągu $(e_{n})$ , $e_{3} = (3 + 5) \cdot (9 - 7) = 16 = 4^{2}$ .

Ćwiczenie 15

R1YLAbYxFXg45

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż uzasadnienieazurewhite

Zależność między wyrazami ciągu możemy opisać wzorem $a_{n + 1} = 2 (a_{n} - 1)$ dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 1$ . Stąd $a_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 1} + 1$ .

Obliczmy kolejno szukane wyrazy ciągu $(a_{n})$ , zaczynając od wyrazu $a_{6}$ .

$a_{6} = \frac{1}{2} a_{7} + 1 = \frac{1}{2} \cdot 66 + 1 = 34$

$a_{5} = \frac{1}{2} a_{6} + 1 = \frac{1}{2} \cdot 34 + 1 = 18$

$a_{4} = \frac{1}{2} a_{5} + 1 = \frac{1}{2} \cdot 18 + 1 = 10$

$a_{3} = \frac{1}{2} a_{4} + 1 = \frac{1}{2} \cdot 10 + 1 = 6$

$a_{2} = \frac{1}{2} a_{3} + 1 = \frac{1}{2} \cdot 6 + 1 = 4$

$a_{1} = \frac{1}{2} a_{2} + 1 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 3$ .

R97ZWlpCCDoum11

Ćwiczenie 16

Połącz wzór ogólny ciągu z wartościami, które go spełniają.

(2, 1 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{1}{4}, \dots)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 2.

1 + \frac{1}{n}

, 3.

\frac{2}{n}

, 4.

1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 5.

2 - \frac{1}{n}

(0, 1 \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 1 \frac{1}{4}, \dots)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 2.

1 + \frac{1}{n}

, 3.

\frac{2}{n}

, 4.

1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 5.

2 - \frac{1}{n}

(1, 1 \frac{1}{2}, 1 \frac{2}{3}, 1 \frac{3}{4}, \dots)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 2.

1 + \frac{1}{n}

, 3.

\frac{2}{n}

, 4.

1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 5.

2 - \frac{1}{n}

(1, 2 \frac{1}{2}, 1 \frac{2}{3}, 2 \frac{1}{4}, \dots)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 2.

1 + \frac{1}{n}

, 3.

\frac{2}{n}

, 4.

1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 5.

2 - \frac{1}{n}

(2, 1, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \dots)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 2.

1 + \frac{1}{n}

, 3.

\frac{2}{n}

, 4.

1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

, 5.

2 - \frac{1}{n}

Połącz w pary.

$(2, 1 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{1}{4}, \dots)$
$(0, 1 \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 1 \frac{1}{4}, \dots)$
$(1, 1 \frac{1}{2}, 1 \frac{2}{3}, 1 \frac{3}{4}, \dots)$
$(1, 2 \frac{1}{2}, 1 \frac{2}{3}, 1 \frac{1}{4}, \dots)$
$(2, 1, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \dots)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVmMGMxQFsie3

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkOqyMxqUptJi

Ćwiczenie 18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCWT76bYOLyLY2

Ćwiczenie 17

Pogrupuj wzory funkcji, które są ciągami liczbowymi i na te które nie są ciągami liczbowych. funkcje, które są ciągami liczbowymi Możliwe odpowiedzi: 1.

y = n^{2} - 10

dla

n \in N

, 2.

y = 4

dla

n \in N

, 3.

y = 4 n

dla

n \in N

, 4.

y = 2 x

dla

x \in R

, 5.

y = x^{2} + 2

dla

x \in R

, 6.

y = \frac{n}{3} + 2

dla

n \in N

, 7.

y = 2

dla

x \in R

, 8.

y = \frac{x}{5} - 7

dla

x \in R

funkcje, które nie są ciągami liczbowymi Możliwe odpowiedzi: 1.

y = n^{2} - 10

dla

n \in N

, 2.

y = 4

dla

n \in N

, 3.

y = 4 n

dla

n \in N

, 4.

y = 2 x

dla

x \in R

, 5.

y = x^{2} + 2

dla

x \in R

, 6.

y = \frac{n}{3} + 2

dla

n \in N

, 7.

y = 2

dla

x \in R

, 8.

y = \frac{x}{5} - 7

dla

x \in R

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RpNxd3O1fQD6m

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RMwhq9f6IaYNe

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1USZubUl0CMn2

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.