Ten materiał poświęcony jest zadaniom związanym z obliczaniem miejsc zerowych oraz wartości funkcji dla danego argumentu. Jeżeli chcesz zobaczyć przykłady rozwiązywania tego typu zadań, zajrzyj do materiałów:
Przykład 1
Sprawdzimy, czy miejscem zerowym funkcji f x = 2 x - 6 jest liczba 2 .
Zgodnie z definicją, wartość funkcji w miejscu zerowym zawsze wynosi 0 .
Sprawdźmy więc, czy wartość funkcji f x w punkcie x = 2 wynosi 0 .
f 2 = 2 · 2 - 6 = - 2 ≠ 0
Oznacza to, że liczba 2 nie jest miejscem zerowym tej funkcji.
1
Ćwiczenie 1
R11Cdowv1V7wd Zaznacz funkcję, której miejscem zerowym jest liczba 4 . Możliwe odpowiedzi: 1. f x = 4 x - 4 , 2. f x = 4 x , 3. f x = 16 - 4 x , 4. f x = 1 4 x + 1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RZJCtlhOd36Z8 Wskaż funkcję, której miejscem zerowym jest liczba 7 . Możliwe odpowiedzi: 1. f x = 7 x - 49 , 2. f x = 7 x , 3. f x = 1 7 x + 1 , 4. f x = 7 x - 7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RP9gfOSllAtPW Zaznacz funkcję, której miejscem zerowym jest liczba 3 . Możliwe odpowiedzi: 1. f x = 3 x - 3 , 2. f x = 3 x , 3. f x = 1 3 x + 1 , 4. f x = 3 x - 9
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HFmsFB1MNvV Zaznacz funkcję, której miejscem zerowym jest liczba 5 . Możliwe odpowiedzi: 1. f x = 5 x - 5 , 2. f x = 5 x , 3. f x = 1 5 x + 1 , 4. f x = 5 x - 25
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2
Funkcja f określona jest wzorem f x = 2 x + 1 3 . Wyznaczymy x , dla którego f x = 3 .
Podstawiamy wartość funkcji dla szukanego argumentu do jej wzoru, a następnie wyznaczamy zmienną x .
3 = 2 x + 1 3 | · 3
9 = 2 x + 1 | - 1
8 = 2 x | : 2
x = 4
Zatem f x = 3 dla x = 4 .
1
Ćwiczenie 2
RjhVK7clEe9PM Funkcja f określona jest wzorem f x = x - 6 5 . Wynika z tego, że f x = - 4 dla Możliwe odpowiedzi: 1. x = - 14 , 2. x = - 15 , 3. x = - 16 , 4. x = - 26
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NwisFrFzivf Funkcja f określona jest wzorem f x = x - 5 7 . Wynika z tego, że f x = - 4 dla Możliwe odpowiedzi: 1. x = - 23 , 2. x = - 24 , 3. x = - 25 , 4. x = - 33
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RtIvdmBbeHMU1 Funkcja f określona jest wzorem f x = x - 8 6 . Wynika z tego, że f x = - 2 dla Możliwe odpowiedzi: 1. x = - 5 , 2. x = - 6 , 3. x = - 20 , 4. x = - 4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXiysw1Yn9SEK Funkcja f określona jest wzorem f x = x - 7 7 . Wynika z tego, że f x = - 6 dla Możliwe odpowiedzi: 1. x = - 35 , 2. x = - 36 , 3. x = - 37 , 4. x = - 49
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3
Obliczmy wartość funkcji f x = x + 3 dla x ≤ 4 2 x - 1 dla x > 4 dla argumentu x = 4 .
Funkcja jest określona różnymi wzorami na różnych przedziałach, więc zacznijmy od ustalenia, z którego z nich musimy skorzystać, aby obliczyć szukaną wartość. Funkcja dla argumentu x = 4 określona jest wzorem x + 3 (ponieważ 4 ≤ 4 ), zatem z tego wzoru musimy skorzystać.
Obliczamy wartość funkcji:
f 4 = 4 + 3 = 7
Oznacza to, że f 4 = 7 .
1
Ćwiczenie 3
Ry7r5xOeB3StD Dana jest funkcja f x = 4 x - 1 dla x ≤ - 7 x + 6 dla x > - 7 . Wynika z tego, że f - 7 jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. - 28 , 2. - 29 , 3. - 1 , 4. - 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1X7d4lrQJZKD Dana jest funkcja f x = 2 x - 1 dla x ≤ - 6 x + 4 dla x > - 6 . Wynika z tego, że f - 6 jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. - 11 , 2. - 12 , 3. - 13 , 4. - 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPg4h1gjEEFZJ Dana jest funkcja f x = 5 x - 1 dla x ≤ - 3 x + 7 dla x > - 3 . Wynika z tego, że f - 3 jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. - 14 , 2. - 15 , 3. - 16 , 4. 4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R19sXcClffYob Dana jest funkcja f x = 3 x - 1 dla x ≤ - 5 x + 5 dla x > - 5 . Wynika z tego, że f - 5 jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. - 14 , 2. - 15 , 3. - 16 , 4. 0
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 4
Wyznaczymy parametr m funkcji f x = m + 1 x - m + 17 wiedząc, że miejsce zerowe tej funkcji to - 5 .
Zgodnie z definicją, wartość funkcji w miejscu zerowym zawsze wynosi 0 . Oznacza to, że f - 5 = 0 . Do wzoru funkcji wstawiamy zatem x = - 5 oraz f x = 0 , a następnie wyznaczamy z niego parametr m .
0 = m + 1 · - 5 - m + 17
0 = - 5 m - 5 - m + 17
0 = - 6 m + 12
6 m = 12 | : 6
m = 2
1
Ćwiczenie 4
R1Xv4Xl0b4Hhf Miejscem zerowym funkcji f x = m + 9 x - m + 37 jest – 4 . Wynika z tego, że m jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. 1 10 , 2. 1 37 , 3. 1 9 , 4. 1 5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RS0TG51GsU4eL Miejscem zerowym funkcji t x = m + 3 x - m + 16 jest – 5 . Wynika z tego, że m jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. 1 4 , 2. 1 16 , 3. 1 6 , 4. 1 11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcmX7zyVqmQFs Miejscem zerowym funkcji f x = m + 5 x - m + 16 jest – 3 . Wynika z tego, że m jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. 1 4 , 2. 1 16 , 3. 1 6 , 4. 1 7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1I1oLn6Zdlfx Miejscem zerowym funkcji f x = m + 4 x - m + 29 jest – 7 . Wynika z tego, że m jest równe Możliwe odpowiedzi: 1. 1 15 , 2. 1 5 , 3. 1 29 , 4. 1 8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 5
Sprawdzimy czy punkt 2 , 5 leży na wykresie funkcji f x = x 2 + 1 .
Wystarczy, że obliczymy wartość funkcji f dla pierwszej współrzędnej tego punktu. Jeżeli wartość dla tego argumentu będzie taka sama jak druga współrzędna tego punktu, to punkt leży na wykresie funkcji f .
f 2 = 2 2 + 1 = 5
Zatem punkt 2 , 5 leży na wykresie funkcji f x = x 2 + 1 .
2
Ćwiczenie 5
RaKzJvNZ9s4mv Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Na wykresie funkcji f x = 6 x 2 - 7 x leży punkt Możliwe odpowiedzi: 1. - 1 , - 1 , 2. - 1 , 13 , 3. - 1 , - 13 , 4. - 1 , 1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R17JEmEwx4eZI Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Na wykresie funkcji f x = 5 x 2 - 8 x leży punkt Możliwe odpowiedzi: 1. - 1 , - 3 , 2. - 1 , 13 , 3. - 1 , - 13 , 4. - 1 , 3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1eQfs8JF9IgG Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Na wykresie funkcji f x = 6 x 2 - 5 x leży punkt Możliwe odpowiedzi: 1. - 1 , - 1 , 2. - 1 , 11 , 3. - 1 , - 11 , 4. - 1 , 1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HWilvW4bAvd Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Na wykresie funkcji f x = 2 x 2 - 5 x leży punkt Możliwe odpowiedzi: 1. - 1 , - 3 , 2. - 1 , 7 , 3. - 1 , - 7 , 4. - 1 , 3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 6
Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji f x = x - 2 7 - x .
Szukamy takich argumentów x , dla których wartość funkcji f wynosi 0 . Zauważmy, że wzór funkcji przedstawiony jest w postaci iloczynu sum algebraicznych. Iloczyn ten będzie równy 0 , gdy co najmniej jedna z sum przyjmie wartość 0 .
Mamy więc, że
x - 2 7 - x = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy
x - 2 = 0 lub 7 - x = 0 .
Oznacza to, że miejscami zerowymi tej funkcji są x = 2 oraz x = 7 .
2
Ćwiczenie 6
R15OJktUw8Odi Zaznacz poprawne zakończenie zdania. Miejscami zerowymi funkcji f x = x - 3 - 8 - x są liczby Możliwe odpowiedzi: 1. x = 3 oraz x = - 8 , 2. x = 3 oraz x = 8 , 3. x = - 3 oraz x = - 8 , 4. x = - 3 oraz x = 8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RT71Xn582bn70 Zaznacz poprawne zakończenie zdania. Miejscami zerowymi funkcji f x = x - 6 - 8 - x są liczby Możliwe odpowiedzi: 1. x = 6 oraz x = - 8 , 2. x = 6 oraz x = 8 , 3. x = - 6 oraz x = - 8 , 4. x = - 6 oraz x = 8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1EPH4oHPjrl4 Zaznacz poprawne zakończenie zdania. Miejscami zerowymi funkcji f x = x - 7 - 5 - x są liczby Możliwe odpowiedzi: 1. x = 7 oraz x = - 5 , 2. x = 7 oraz x = 5 , 3. x = - 7 oraz x = - 5 , 4. x = - 7 oraz x = 5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8TbIMJN87mlW Zaznacz poprawne zakończenie zdania. Miejscami zerowymi funkcji f x = x - 5 - 6 - x są liczby Możliwe odpowiedzi: 1. x = 5 oraz x = - 6 , 2. x = 5 oraz x = 6 , 3. x = - 5 oraz x = - 6 , 4. x = - 5 oraz x = 6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7
R1ZYExxJGy85F Wyznacz miejsca zerowe funkcji f x = x x - 5 , a następnie uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Miejsca zerowe tej funkcji to x = Tu uzupełnij oraz x = Tu uzupełnij.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f x = x x - 5 , a następnie uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Miejsca zerowe tej funkcji to x = Tu uzupełnij oraz x = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R14hMJM2eNqI2 Wyznacz miejsca zerowe funkcji f x = x x + 2 , a następnie uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Miejsca zerowe tej funkcji to x = Tu uzupełnij oraz x = Tu uzupełnij.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f x = x x + 2 , a następnie uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Miejsca zerowe tej funkcji to x = Tu uzupełnij oraz x = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSsVZIb8h1uVq Wyznacz miejsca zerowe funkcji f x = x x + 4 , a następnie uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Miejsca zerowe tej funkcji to x = Tu uzupełnij oraz x = Tu uzupełnij.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f x = x x + 4 , a następnie uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Miejsca zerowe tej funkcji to x = Tu uzupełnij oraz x = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RKhpFSLip1WA8 Wyznacz miejsca zerowe funkcji f x = x x - 1 , a następnie uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Miejsca zerowe tej funkcji to x = Tu uzupełnij oraz x = Tu uzupełnij.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f x = x x - 1 , a następnie uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Miejsca zerowe tej funkcji to x = Tu uzupełnij oraz x = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 7
Sprawdzimy, czy liczba 33 należy do zbioru wartości funkcji a danej wzorem a n = 6 n + 5 , której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych.
Spróbujmy wyznaczyć argument n , dla którego funkcja a przyjmuje wartość 33 .
33 = 6 n + 5 | - 5
28 = 6 n | : 6
n = 28 6 = 14 3 = 4 2 3
Zauważmy, że 4 2 3 nie jest liczbą naturalną, zatem obliczone przez nas n nie może być argumentem funkcji a . Oznacza to, że liczba 33 nie należy do zbioru wartości funkcji a .
3
Ćwiczenie 8
RcxOJ5UnWW8G4 Dziedziną funkcji a n = 7 n - 5 jest zbiór liczb naturalnych. Do zbioru wartości funkcji a należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. 50 , 2. 45 , 3. 58 , 4. 67
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R13ALYYdLt2f0 Dziedziną funkcji a n = 6 n - 7 jest zbiór liczb naturalnych. Do zbioru wartości funkcji a należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. 36 , 2. 40 , 3. 47 , 4. 55
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RGaolQVIHCtxE Dziedziną funkcji a n = 3 n - 4 jest zbiór liczb naturalnych. Do zbioru wartości funkcji a należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. 18 , 2. 19 , 3. 23 , 4. 28
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RwOv56LEoJTk9 Dziedziną funkcji a n = 4 n - 5 jest zbiór liczb naturalnych. Do zbioru wartości funkcji a należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. 24 , 2. 26 , 3. 31 , 4. 37
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 8
Funkcja g określona jest dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g n = n 2 - 20 4 . Znajdziemy wszystkie argumenty tej funkcji, dla której osiąga ona wartość 31 .
Podstawiamy wartość funkcji dla szukanych argumentów do wzoru, a następnie rozwiązujemy otrzymane równanie.
31 = n 2 - 20 4 | · 4
124 = n 2 - 20 | + 20
n 2 = 144
n = 12 lub n = - 12
Funkcja g jest określona tylko dla dodatnich liczb całkowitych, zatem jedynym argumentem tej funkcji, dla którego funkcja przyjmuje ona wartość 31 jest n = 12 .
3
Ćwiczenie 9
RGu4nHxVlcl8E Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g n = n 2 - 100 7 . Znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 27 . Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: n = Tu uzupełnij.
Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g n = n 2 - 100 7 . Znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 27 . Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: n = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R13pl3Uhltwk2 Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g n = n 2 - 81 4 . Znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 22 . Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: n = Tu uzupełnij.
Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g n = n 2 - 81 4 . Znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 22 . Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: n = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rciih4qI5Y5eQ Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g n = n 2 - 121 9 . Znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 31 . Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: n = Tu uzupełnij.
Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g n = n 2 - 121 9 . Znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 31 . Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: n = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RrnUufvJahB29 Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g n = n 2 - 36 2 . Znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 14 . Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: n = Tu uzupełnij.
Funkcja g jest określona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wzorem g n = n 2 - 36 2 . Znajdź wszystkie argumenty, dla których funkcja g osiąga wartość równą 14 . Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: n = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.