Obliczanie miejsc zerowych oraz wartości funkcji dla danego argumentu - ćwiczenia

Sprawdzimy, czy miejscem zerowym funkcji $f\left(x\right)=2x-6$ jest liczba $2$.

Zgodnie z definicją, wartość funkcji w miejscu zerowym zawsze wynosi $0$.

Sprawdźmy więc, czy wartość funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x=2$ wynosi $0$.

Oznacza to, że liczba $2$ nie jest miejscem zerowym tej funkcji.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{3}$. Wyznaczymy $x$, dla którego $f\left(x\right)=3$.

Podstawiamy wartość funkcji dla szukanego argumentu do jej wzoru, a następnie wyznaczamy zmienną $x$.

Zatem $f\left(x\right)=3$ dla $x=4$.

Obliczmy wartość funkcji $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+3& \mathrm{dla}& x\le 4\\ 2x-1& \mathrm{dla}& x>4\end{array}\right.$ dla argumentu $x=4$.

Funkcja jest określona różnymi wzorami na różnych przedziałach, więc zacznijmy od ustalenia, z którego z nich musimy skorzystać, aby obliczyć szukaną wartość. Funkcja dla argumentu $x=4$ określona jest wzorem $x+3$ (ponieważ $4\le 4$), zatem z tego wzoru musimy skorzystać.

Obliczamy wartość funkcji:

Oznacza to, że $f\left(4\right)=7$.

Wyznaczymy parametr $m$ funkcji $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x-m+17$ wiedząc, że miejsce zerowe tej funkcji to $-5$.

Zgodnie z definicją, wartość funkcji w miejscu zerowym zawsze wynosi $0$. Oznacza to, że $f\left(-5\right)=0$. Do wzoru funkcji wstawiamy zatem $x=-5$ oraz $f\left(x\right)=0$, a następnie wyznaczamy z niego parametr $m$.

Sprawdzimy czy punkt $\left(2, 5\right)$ leży na wykresie funkcji $f\left(x\right)=x^2+1$.

Wystarczy, że obliczymy wartość funkcji $f$ dla pierwszej współrzędnej tego punktu. Jeżeli wartość dla tego argumentu będzie taka sama jak druga współrzędna tego punktu, to punkt leży na wykresie funkcji $f$.

Zatem punkt $\left(2, 5\right)$ leży na wykresie funkcji $f\left(x\right)=x^2+1$.

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(7-x\right)$.

Szukamy takich argumentów $x$, dla których wartość funkcji $f$ wynosi $0$. Zauważmy, że wzór funkcji przedstawiony jest w postaci iloczynu sum algebraicznych. Iloczyn ten będzie równy $0$, gdy co najmniej jedna z sum przyjmie wartość $0$.

Mamy więc, że

wtedy i tylko wtedy, gdy

Oznacza to, że miejscami zerowymi tej funkcji są $x=2$ oraz $x=7$.

Sprawdzimy, czy liczba $33$ należy do zbioru wartości funkcji $a$ danej wzorem $a\left(n\right)=6n+5$, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych.

Spróbujmy wyznaczyć argument $n$, dla którego funkcja $a$ przyjmuje wartość $33$.

Zauważmy, że $4\frac{2}{3}$ nie jest liczbą naturalną, zatem obliczone przez nas $n$ nie może być argumentem funkcji $a$. Oznacza to, że liczba $33$ nie należy do zbioru wartości funkcji $a$.

Funkcja $g$ określona jest dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$ wzorem $g\left(n\right)=\frac{n^2-20}{4}$. Znajdziemy wszystkie argumenty tej funkcji, dla której osiąga ona wartość $31$.

Podstawiamy wartość funkcji dla szukanych argumentów do wzoru, a następnie rozwiązujemy otrzymane równanie.

Funkcja $g$ jest określona tylko dla dodatnich liczb całkowitych, zatem jedynym argumentem tej funkcji, dla którego funkcja przyjmuje ona wartość $31$ jest $n=12$.