Procent składany - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Lokatę bankową możemy traktować jako umowę zawartą między klientem a bankiem, na mocy której klient powierza bankowi określoną kwotę na ustalony termin. W zamian za to, po upływie tego terminu, bank wypłaca klientowi wpłaconą kwotę powiększoną o odsetki, które zostały naliczone zgodnie z warunkami zapisanymi w umowie. Istotny wpływ na wysokość ostatecznie wypłaconej kwoty ma, oczywiście, oprocentowanie lokaty, ale ważne jest również to, co dzieje się z naliczonymi po kapitalizacji odsetkami:

mogą one zostać przelane na inny rachunek tego samego klienta – wtedy kwota lokaty się nie zmienia i odsetki naliczone przy kolejnej kapitalizacji będą takie same - taki sposób obliczania odsetek nazywa się procentem prostym;
mogą zostać dopisane do lokaty – wtedy kwota lokaty zwiększa się o odsetki, które biorą udział w wypracowaniu zysku w kolejnym okresie – ten sposób nazywamy procentem składanym.

W zadaniach w tym rozdziale, mówiąc o lokacie bankowej, przyjmiemy, że każdorazowo po kapitalizacji odsetki dopisywane są do lokaty i lokata nie została zerwana przed upływem ustalonego terminu.

R1A7mvJpyrHW41

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Pani Joanna wpłaciła $1000 zł$ do banku na pięcioletnią lokatę „Premium”. Warunki lokaty zakładają roczne oprocentowanie w wysokości $5 %$ i roczną kapitalizację odsetek. Jaki kapitał zostanie zgromadzony na lokacie po $5$ latach od jej założenia?

Prześledzimy krok po kroku zmiany tej lokaty.

Kapitał początkowy $K_{p}$ jest równy $K_{p} = 1000 zł$ .

Lokata będzie utrzymywana przez $5$ lat i kapitalizacja będzie następowała co rok.

Mamy zatem $5$ okresów kapitalizacji ( $n = 5$ ).

Oprocentowanie w okresie kapitalizacji jest równe $5 %$ .

Obliczmy kapitał zgromadzony po kolejnych latach

po pierwszym roku

K_{1} = 1000 zł + 5 % \cdot 1000 zł = 1000 zł \cdot (1 + \frac{5}{100}) = 1000 zł \cdot 1,05 = 1050 zł

Kwota lokaty zwiększyła się o $5 %$ z $1000 zł$ , czyli o $50 zł$ .

po drugim roku

Podstawę do naliczenia odsetek stanowi teraz kwota $1050 zł$ , czyli otrzymamy

K_{2} = 1050 zł + 5 % \cdot 1050 zł = 1050 zł \cdot (1 + \frac{5}{100}) = 1050 zł \cdot 1,05 =

= 1000 zł \cdot 1,05 \cdot 1,05 = 1000 zł \cdot {(1,05)}^{2} = 1102,50 zł

Kwota lokaty zwiększyła się o $5 %$ z $1050 zł$ , czyli o $52,50 zł$ .

po trzecim roku

Podstawę do naliczenia odsetek stanowi teraz kwota powiększona o kolejne odsetki, czyli $1102,50 zł .$ Po następnej kapitalizacji otrzymamy

K_{3} = 1102,50 zł + 5 % \cdot 1102,50 zł = 1102,50 zł \cdot (1 + \frac{5}{100}) = 1102,50 zł \cdot 1,05 =

= 1000 zł \cdot {(1,05)}^{2} \cdot 1,05 = 1000 zł \cdot {(1,05)}^{3} = 1157,625 zł \approx 1157,63 zł

Kwota lokaty zwiększyła się o $5 %$ z $1102,50 zł$ , czyli o $55,13 zł$ .

Zauważmy, że w każdym roku doliczamy inną kwotę odsetek. Wynika to z tego, że za każdym razem inna jest podstawa ich naliczania.

Kwoty lokaty po kolejnych latach są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie $q = 1,05$ i wyrazach:

a_{1} = K_{p} = 1000 zł

a_{2} = K_{1} = 1000 zł \cdot 1,05

a_{3} = K_{2} = 1000 zł \cdot {(1,05)}^{2}

a_{4} = K_{3} = 1000 zł \cdot {(1,05)}^{3}

Wykorzystując wzór na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy:

po czwartym roku

a_{5} = K_{4} = 1000 zł \cdot {(1,05)}^{4} = 1215,50625 zł \approx 1215,51 zł

po piątym roku

a_{6} = K_{5} = 1000 zł \cdot {(1,05)}^{5} \approx 1276,28 zł

Z tego wynika, że po $5$ latach pani Joanna powinna otrzymać $1276,28 zł$ .

Ważne!

W polskim systemie monetarnym najmniejszą jednostką jest $1 gr$ , dlatego wszystkie kwoty zaokrąglamy z dokładnością do $1 gr$ .
Od $2002$ roku w Polsce obowiązuje podatek od dochodów kapitałowych. Oznacza to, że przy każdej kapitalizacji dopisywane odsetki zostaną pomniejszone o $19 %$ ich wartości.

W zadaniach w tym rozdziale kwotę podatku od dochodów kapitałowych będziemy pomijać.

Kwotę lokaty po $n$ okresach kapitalizacji można obliczyć, korzystając ze wzoru:

K_{n} = K_{p} {(1 + \frac{p}{100})}^{n}

gdzie:

$K_{p}$ $-$ oznacza kapitał początkowy,
$K_{n}$ $-$ oznacza kapitał zgromadzony na lokacie po $n$ okresach kapitalizacji,
$n$ $-$ oznacza liczbę kapitalizacji,
$p % -$ oznacza oprocentowanie lokaty w okresie, po którym następuje kapitalizacja.

Przykład 2

Pani Joanna wpłaciła $1000 z ł$ na lokatę z rocznym oprocentowaniem w wysokości $6 %$ oraz z miesięczną kapitalizacją odsetek. Jaką kwotę zgromadzi ona na tej lokacie po roku od jej założenia?

W tym przykładzie mamy

K_{p} = 1000 zł

Lokata będzie utrzymywana przez $1$ rok, natomiast odsetki będą dopisywane co miesiąc. Mamy zatem $12$ okresów kapitalizacji ( $n = 12$ ).

Oprocentowanie roczne jest równe $6 %$ , zatem w pojedynczym okresie kapitalizacji wyniesie

p % = \frac{6 %}{12} = 0,5 %

Obliczmy kapitał zgromadzony po $12$ miesiącach

K_{12} = K_{p} {(1 + \frac{p}{100})}^{12} = 1000 {(1 + \frac{0,5}{100})}^{12} = 1000 {(1,005)}^{12} \approx 1061, 68 zł

Przedstawiony powyżej sposób obliczania kapitału końcowego zakłada, że obliczamy od razu wartość końcową po $n$ okresach kapitalizacji. Pomijamy tym samym wszystkie kwoty pośrednie – po pierwszym, drugim i kolejnych kapitalizacjach.

W rzeczywistości jest inaczej – każdorazowo kwota po dopisaniu odsetek jest zaokrąglana do $1 gr$ i otrzymane przybliżenie jest podstawą do obliczenia odsetek w następnym okresie. Przy wielokrotnej kapitalizacji ostateczne kwoty kapitału końcowego mogą się nieznacznie różnić.

Musimy zatem pamiętać, że wzór na procent składany jest tylko matematycznym przybliżeniem rzeczywistości bankowej.

RMj5lEjHuvSZq1

Ćwiczenie 1

R1JSs2pgk935t

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

K_{p} = 2500 zł

$n = 2 \cdot 4$ kwartały $= 8$ kwartałów

p % = \frac{4 %}{4} = 1 %

K_{8} = 2500 zł \cdot {(1 + \frac{1}{100})}^{8} = 2500 zł \cdot {(1,01)}^{8} =

= 2500 zł \cdot 1,0828567056 \approx 2707 zł

Warto pamiętać, że banki w obliczeniach stosują dokładne wyniki potęgowania, natomiast zaokrąglane są ostateczne kwoty lokaty.

Ćwiczenie 2

R30pFnYXO2zXJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RttKrVBFjXYiT

Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby i słowa. Liczba okresów kapitalizacji na pewnej lokacie to

4

i sposób kapitalizacji tej lokaty to kapitalizacja roczna. Oznacza to, że lokata ma czas trwania równy Tu uzupełnij lata. Oprocentowanie tej lokaty w skali roku wynosi

8 %

, więc oprocentowanie w okresie kapitalizacji wynosi Tu uzupełnij

%

. Czas trwania pewnej lokaty wynosi

3

lata i sposób kapitalizacji na tej lokacie to kapitalizacja kwartalna. Oznacza to, że liczba okresów kapitalizacji na tej lokacie wynosi Tu uzupełnij. Oprocentowanie w okresie kapitalizacji to

3 %

, więc oprocentowanie roczne tej lokaty wynosi Tu uzupełnij

%

. Oprocentowanie w skali roku na pewnej lokacie wynosi

6 %

, a w okresie kapitalizacji wynosi

0, 5 %

. Liczba okresów kapitalizacji na tej lokacie to

24

. Oznacza to, że czas trwania lokaty to Tu uzupełnij lata i sposób kapitalizowania lokaty to kapitalizacja Tu uzupełnij. Liczba okresów kapitalizacji na pewniej lokacie to

10

i sposób kapitalizacji to kapitalizacja półroczna. Oznacza to, że lokata ma czas trwania równy Tu uzupełnij lat. Oprocentowanie tej lokaty w skali roku wynosi

3 %

, więc oprocentowanie w okresie kapitalizacji wynosi Tu uzupełnij

%

. Pewna lokata ma czas trwania równy

6

lat i

6

okresów kapitalizacji. Oznacza to, że sposób kapitalizacji to kapitalizacja Tu uzupełnij. Oprocentowanie na tej lokacie w okresie kapitalizacji wynosi

4 %

, więc w skali całego roku wynosi Tu uzupełnij

%

. Pewna lokata ma czas trwania równy

2

lata i

12

okresów kapitalizacji. Oznacza to, że sposób kapitalizacji tej lokaty to kapitalizacja dwumiesięczna. Oprocentowanie tej lokaty w okresie kapitalizacji wynosi

1 %

, więc w skali roku wynosi Tu uzupełnij

%

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R1UquxWBjNWF6

Pani Zofia chce ulokować w banku

10000 zł

na rocznej lokacie oprocentowanej w wysokości

6 %

. Oblicz, jaka kwota zostanie zgromadzona na tej lokacie przy założonej kapitalizacji. Uzupełnij równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. Na lokacie obowiązuje kapitalizacja roczna.

K_{n} =

Tu uzupełnij

zł

Na lokacie obowiązuje kapitalizacja półroczna.

K_{n} =

Tu uzupełnij

zł

Na lokacie obowiązuje kapitalizacja kwartalna.

K_{n} =

Tu uzupełnij

zł

Na lokacie obowiązuje kapitalizacja miesięczna.

K_{n} =

Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Tabela przedstawia stan lokaty w kolejnych miesiącach jej trwania. Zaznaczone są miesiące, po których nastąpiła kapitalizacja odsetek.

czas trwania lokaty [miesiące]	Stan lokaty po upływie $n$ miesięcy
czas trwania lokaty [miesiące]	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
kapitalizacja miesięczna	$10050$	$10100,25$	$10150,75$	$10201,51$	$10252,51$	$10303,78$	$10355,29$	$10407,07$	$10459,11$	$10511,40$	$10563,96$	$10616,78$
kapitalizacja kwartalna	$10000$	$10000$	$10150$	$10150$	$10150$	$10302,25$	$10302,25$	$10302,25$	$10456,78$	$10456,78$	$10456,78$	$10613,64$
kapitalizacja półroczna	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10300$	$10300$	$10300$	$10300$	$10300$	$10300$	$10609$
kapitalizacja roczna	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10600$

Zauważmy, że największy zysk przyniesie jak najczęstsza kapitalizacja – w tym przypadku miesięczna.

Te same zależności możemy zaobserwować na diagramie

RrLGthHtBMUFy1

Diagram słupkowy, który przedstawia porównanie stanu lokaty w zależności od okresu kapitalizacji. Na poziomej osi znajdują się numery miesięcy od 1 do 12, a na pionowej osi znajdują się stany lokat od 9900 zł do 10600 zł z podziałką co 100 zł. Nad numerem każdego miesiąca znajdują się cztery słupki: niebieski opisany jako kapitalizacja miesięczna, zielony opisany jako kapitalizacja kwartalna, żółty opisany jako kapitalizacja półroczna, fioletowy opisany jako kapitalizacja roczna. Dla każdego miesiąca słupek niebieski jest słupkiem najwyższym. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RWVTlU16GeNoP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że

$K_{p} = 1350 zł$

$p % = \frac{4,5 %}{12} = 0,375 %$

$K_{n} > 1400 zł$ .

Po wstawieniu do wzoru otrzymamy

K_{n} = 1350 zł \cdot {(1 + \frac{0,375}{100})}^{n} = 1350 zł \cdot {(1,00375)}^{n} > 1400 zł

czyli

1350 \cdot {(1,00375)}^{n} > 1400

{(1,00375)}^{n} > 1, (037)

Używając kalkulatora, sprawdzimy, że ${(1,00375)}^{9} \approx 1,034261 < 1, (037)$ , ale ${(1,00375)}^{10} \approx 1,03814 > 1, (037)$ .

Z tego wynika, że kwota $1400 zł$ zostanie przekroczona po $10$ miesiącach oszczędzania.

Przykład 3

Na realizację marzeń o wycieczce do Afryki Justyna potrzebuje co najmniej $9500 zł$ . Postanowiła systematycznie, co miesiąc, odkładać $500 zł$ . Bank zaproponował lokatę z możliwością dopłacania pieniędzy, oprocentowaną $6 %$ rocznie z miesięczną kapitalizacją odsetek. Czy po $18$ miesiącach oszczędzania Justyna zgromadzi odpowiednią kwotę?

Przeanalizujmy krok po kroku zmiany na tej lokacie.

Oprocentowanie w okresie kapitalizacji

p % = \frac{6 %}{12} = 0,5 %

n = 18

Stan lokaty po pierwszym miesiącu

K_{1} = 500 zł + \frac{0,5}{100} \cdot 500 zł = 500 zł \cdot (1,005) = 502,5 zł

Stan lokaty po drugim miesiącu

K_{2} = [500 zł \cdot (1,005) + 500 zł] \cdot 1,005 = 500 zł \cdot {(1,005)}^{2} +

+ 500 zł \cdot (1,005) = 1007,51 zł

Stan lokaty po trzecim miesiącu

K_{3} = (K_{2} + 500 zł) \cdot 1,005 = 500 zł \cdot {(1,005)}^{3} + 500 zł \cdot {(1,005)}^{2} +

+ 500 zł \cdot (1,005) = 1515,05 zł

Stan lokaty po czwartym miesiącu

K_{4} = (K_{3} + 500 zł) \cdot 1,005 = 500 zł \cdot {(1,005)}^{4} + 500 zł \cdot {(1,005)}^{3} +

+ 500 zł \cdot {(1,005)}^{2} + 500 zł \cdot (1,005) = 2025,13 zł

Zauważmy, że $500 zł$ ulokowane w pierwszym miesiącu procentuje najdłużej, kolejne – $1$ miesiąc krócej i tak dalej, aż do ostatniej wpłaconej kwoty, która procentuje tylko miesiąc.

Stan lokaty po $18$ miesiącach oszczędzania możemy zapisać

500 zł \cdot {(1,005)}^{18} + 500 zł \cdot {(1,005)}^{17} + 500 zł \cdot {(1,005)}^{16} + 500 zł \cdot {(1,005)}^{15} +

+ \dots + 500 zł \cdot (1,005)

Jest to suma osiemnastu kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} = 500 zł \cdot 1,005$ , $q = 1,005$ .

Wartość lokaty po $18$ miesiącach będzie sumą osiemnastu wyrazów ciągu geometrycznego

$S_{18} = \frac{a_{1} (1 - q^{18})}{1 - q} = \frac{500 \cdot 1,005 \cdot (1 - {(1,005)}^{18})}{1 - 1,005} \approx 9439,858427 zł \approx 9439,86 zł$ .

Zatem Justyna jest bliska zgromadzenia potrzebnej kwoty $9500 zł$ , ale brakuje jej jeszcze około $60 zł$ .

Ćwiczenie 5

R1YMFvIQBOfGk

Henryk chce podarować wnukowi prezent na

18

urodziny. W dniu narodzin wnuka wpłacił do banku

250 zł

na lokatę oprocentowaną

3,5 %

w skali roku z roczną kapitalizacją odsetek. Postanowił, że na każde kolejne urodziny będzie dopłacał do tej lokaty kolejne

250 zł

. Jaką kwotę Henryk zgromadzi na tej lokacie do

18

urodzin wnuka? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Do

18

urodzin wnuka Henryk zgromadzi na tej lokacie Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwszej wpłaty Henryk dokonał w dniu narodzin wnuka, ostatniej w dniu jego $17$ urodzin. Ostatnia, $18$ kapitalizacja odsetek nastąpiła w dniu $18$ urodzin. Wtedy stan konta lokaty był równy

s_{18} = 250 \cdot 1,035 + 250 \cdot {(1,035)}^{2} + \dots + 250 \cdot {(1,035)}^{18} =

= 250 \cdot 1,035 \cdot \frac{1 - {1,035}^{18}}{1 - 1,035} \approx 6339,295124 \approx 6339,30 zł

Ważne!

Musimy pamiętać, że przedstawiane zadania i przykłady zastosowania procentu składanego nie zawsze są wiernym odwzorowaniem rzeczywistości bankowej. Oferta lokat bankowych jest bardzo bogata i zróżnicowana. Systemy obliczeniowe stosowane w bankach pozwalają na zmianę oprocentowania w różnych okresach trwania lokaty, częstą kapitalizację lub nawet możliwość wypłaty części środków z lokaty przed upływem zadeklarowanego okresu. Ponadto od $2002$ roku obowiązuje, wspomniany wcześniej, podatek od dochodów kapitałowych, który każdorazowo zmniejsza kwotę należnych odsetek o $19 %$ ich wartości.

Ćwiczenie 6

RIfIhQKwyE5yu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że $K_{p} = 1570$ , $p = \frac{8 %}{2} = 4 %$ - kapitalizacja półroczna, $n = 10$ . Zatem $K_{n} = 1570 \cdot {(1, 04)}^{10} \approx 2323, 98 zł$ .
Zauważmy, że $K_{p} = 1500$ , $p = \frac{7 %}{12} = \frac{7}{12} %$ , $n = 12 \cdot 5 = 60$ . Zatem $K_{n} = 1500 \cdot {(1 + \frac{\frac{7}{12}}{100})}^{60} \approx 2126, 44 zł$ .

Ćwiczenie 7

R1eCFF5CdWoPu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbYrCzotcEEnl

Wykonaj niezbędne obliczenia i uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Kapitał początkowy na pewnej lokacie wynosi

2500 zł

. Lokata ma roczne oprocentowanie równe

4 %

i półroczną kapitalizację odsetek. Czas trwania lokaty to

3

lata. Wartość kapitału końcowego z dokładnością do

1 gr

będzie wynosiła Tu uzupełnij

zł

.Kapitał początkowy na pewnej lokacie wynosi

4500 zł

. Lokata ma roczne oprocentowanie równe

6 %

i kwartalną kapitalizację odsetek. Wartość kapitału końcowego będzie wynosiła

5069, 22 zł

. Czas trwania tej lokaty to Tu uzupełnij lata. Pewna lokata ma roczne oprocentowanie równe

3, 5 %

i roczną kapitalizację odsetek. Czas trwania lokaty to

6

lat. Wartość kapitału końcowego na tej lokacie będzie wynosiła

1819, 30 zł

. Wartość początkowa tego kapitału z dokładnością do

1 zł

wynosi Tu uzupełnij

zł

. Kapitał początkowy na pewnej lokacie wynosi

3600 zł

. Lokata ma roczne oprocentowanie równe

4 %

i kwartalną kapitalizację odsetek. Czas trwania lokaty to

3,5

roku. Wartość kapitału końcowego z dokładnością do

1 gr

będzie wynosiła Tu uzupełnij

zł

. Kapitał początkowy na pewnej lokacie wynosi

7500 zł

. Lokata ma roczne oprocentowanie równe

6 %

i miesięczną kapitalizację odsetek. Czas trwania lokaty to

1

rok. Wartość kapitału końcowego z dokładnością do

1 gr

będzie wynosiła Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RDWeDZA0H4wh7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek. Zatem znaczek będzie wart około $K_{n} = 150 \cdot {(1, 08)}^{15} \approx 475, 83 zł$ .

Ćwiczenie 9

R393r4VJfsIjM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek

$K_{n} = 3500 \cdot {(1 + \frac{- 10}{100})}^{6} = 3500 \cdot {(1 - 0, 1)}^{6} \approx 1860 zł$ .

Zatem komputer po $6$ latach będzie miał wartość około $1860 zł$ .

Ćwiczenie 10

R1M6zUPJ3hijN

Iza chce zdać egzamin na prawo jazdy. Koszt kursu, jazd dodatkowych i egzaminów zewnętrznych to

1800 zł

. Iza może odkładać w banku co miesiąc

155 zł

na lokacie z oprocentowaniem

4,5 %

rocznie i kapitalizacją miesięczną. O ile kwota lokaty będzie większa od ceny kursu, jeśli Iza będzie oszczędzać na tej lokacie przez

12

miesięcy? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: Kwota lokaty po

12

miesiącach to Tu uzupełnij

zł

. Po opłaceniu kursu zostanie Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wartość lokaty po $12$ miesiącach będzie sumą dwunastu wyrazów ciągu geometrycznego

$S_{12} = \frac{155 \cdot (1 + \frac{\frac{4, 5}{12}}{100}) \cdot (1 - {(1 + \frac{\frac{4, 5}{12}}{100})}^{12})}{1 - (1 + \frac{\frac{4, 5}{12}}{100})} \approx 1905, 97 zł$ .

Kwota lokaty będzie większa o $1905, 97 zł - 1800 zł = 105, 97 zł$ .

Ćwiczenie 11

R11N06ypRcrAO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że

$K_{p} = 1300 zł$

$p % = 6 %$

$S_{n} > 30000 zł$ .

Po wstawieniu do wzoru na sumę ciągu geometrycznego otrzymamy

$S_{n} = \frac{1300 \cdot (1, 06) (1 - {(1, 06)}^{n})}{1 - 1, 06} > 30000$ ,

czyli

${(1, 06)}^{n} > 1 - \frac{30000 \cdot (1 - 1, 06)}{1300 \cdot (1, 06)}$

${(1, 06)}^{n} > 2, 30624$ .

Używając kalkulatora, sprawdzimy, że ${(1, 06)}^{14} \approx 2, 2609$ , ale ${(1, 06)}^{15} \approx 2, 3966$ .

Z tego wynika, że kwota $30000 zł$ zostanie przekroczona po $15$ latach.

Ćwiczenie 12

RUKeHpHn4ZCwR

Kuba chce wpłacić do banku

3600 zł

na roczną lokatę. Dwa banki mają w swojej ofercie lokatę oprocentowaną w wysokości

8 %

rocznie. Bank

X

kapitalizuje ją co pół roku, natomiast bank

Y

co kwartał. O ile więcej zyska Kuba dzięki korzystniejszej kapitalizacji? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby i litery. Odpowiedź: Kwota tej lokaty po roku w banku

X =

Tu uzupełnij

zł

, a w banku

Y =

Tu uzupełnij

zł

. W banku Tu uzupełnij Kuba zyska więcej o Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$K p = 3600 zł$

$p_{X} % = \frac{8 %}{2} = 4 %$

$p_{Y} % = \frac{8 %}{4} = 2 %$ .

Zatem podstawiając do wzoru dla banku $X$ mamy:

$K_{2} = 3600 \cdot {(1, 04)}^{2} = 3893, 76 zł$ ,

a dla banku $Y$ :

$K_{4} = 3600 \cdot {(1, 02)}^{4} = 3896, 76 zł$ .

Stąd otrzymujemy, że w banku $Y$ Kuba zyska więcej o $3 zł$ .

Ćwiczenie 13

Bank proponuje trzy rodzaje lokat:

lokata $3$ - miesięczna, z rocznym oprocentowaniem wynoszącym $4 %$ . Minimalna kwota jaką można wpłacić na tą lokatę to $500 zł$ . Po zakończeniu trwania lokaty, odsetki zostają dopisane do lokaty. Lokata może być odnawiana na kolejne okresy.
lokata $6$ - miesięczna, z rocznym oprocentowaniem wynoszącym $4, 5 %$ . Minimalna kwota jaką można wpłacić na tą lokatę to $1000 zł$ . Po zakończeniu trwania lokaty, odsetki zostają dopisane do lokaty. Lokata może być odnawiana na kolejne okresy.
lokata $9$ - miesięczna, z rocznym oprocentowaniem wynoszącym $5$ . Minimalna kwota jaką można wpłacić na tą lokatę to $2000 zł$ . Po zakończeniu trwania lokaty, odsetki zostają dopisane do lokaty. Lokata może być odnawiana na kolejne okresy.

Która z nich jest najbardziej korzystna, jeśli chcemy ulokować $1750 zł$ na okres $2$ lat?

R1Ohu3NkiwlbZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na lokacie $3$ - miesięcznej po dwóch latach będzie $1895 zł$
Na lokacie $6$ - miesięcznej po dwóch latach będzie $1912,90 zł$
Lokata $9$ - miesięczna nie może być wybrana ze względu na zbyt niską kwotę kapitału początkowego

Ćwiczenie 14

R1Q7QpRyEg1v9

Wyobraź sobie, że codziennie odkładasz

1 zł

na lokatę oprocentowaną

0,01 %

dziennie i kapitalizowaną codziennie. Jaką kwotę zbierzesz po roku, a jaką po dwóch latach takiego oszczędzania? Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator lub komputer. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: Po roku Tu uzupełnij

zł

, a po dwóch latach Tu uzupełnij

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skoro codziennie odkładamy $1 zł$ na lokatę oprocentowaną $0,01 %$ dziennie, która jest kapitalizowana codziennie, to po roku będziemy mieć:

$1 \cdot {(1, 0001)}^{365} + 1 \cdot {(1, 0001)}^{364} + . . . + 1 \cdot {(1, 0001)}^{1} =$

$= {(1, 0001)}^{365} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{1, 0001})}^{365}}{1 - \frac{1}{1, 0001}} \approx 371, 76 zł$ .

Natomiast po dwóch latach będziemy mieć:

$1 \cdot {(1, 0001)}^{730} + 1 \cdot {(1, 0001)}^{729} + . . . + 1 \cdot {(1, 0001)}^{1} =$

$= {(1, 0001)}^{730} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{1, 0001})}^{730}}{1 - \frac{1}{1, 0001}} \approx 757, 34 zł$ .