Zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi - zadania
1
Pokaż ćwiczenia:
Ta lekcja poświęcona jest zadaniom związanym z zależnościami pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć podstawowe wiadomości na temat trygonometrii, zajrzyj do lekcji Wprowadzenie do trygonometriiD1E6YnyU5Wprowadzenie do trygonometrii. Możesz sobie również przypomnieć, jak dowodzić tożsamości trygonometryczne, w tym celu zajrzyj do lekcji Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - przykładyDg0eB4KyVObliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - przykłady.
1
Ćwiczenie 1
Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta ostrego dla przedstawionych poniżej trójkątów.
R1YovhuslZ5jh1
Rl4O3oP0UQ3uA1
R1Rym4w04qYOQ1
R7BRLOoSA0SmX1
R3lJUKxnr4yuY
Zauważmy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta ma długość , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Stąd , , .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta ma długość , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Stąd
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta ma długość , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Stąd , , .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta ma długość , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Stąd , , .
1
Ćwiczenie 2
Na rysunku podane są długości boków trójkąta równoramiennego, którego kąt przy podstawie jest równy . Oblicz ile wynosi tego kąta.
RhPVMtbCGcIpk1
RXooICpSj198S
Zauważ, że wysokość poprowadzona z wierzchołka dzieli podstawę trójkąta na dwie równe części.
1
Ćwiczenie 3
RXGjMFphY1J6p
Zauważ, że wysokość rombu ma długość .
1
Ćwiczenie 4
R14iqWIEYIRDw
RnSpdTwzcPfrc
Trapez jest trapezem równoramiennym. Zauważmy, że odcinek ma długość . W trójkącie , z twierdzenia Pitagorasa mamy
.
Analogicznie w trójkącie dostajemy
.
Wówczas .
R1A8ZZuDxfQT71
Ćwiczenie 5
1
Ćwiczenie 6
R3HHrdwTeHy1l
Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego prawdziwe są zależności oraz .
3
Ćwiczenie 7
R14XtwPkbppyl
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta ma długość , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Stąd , , .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta ma długość , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Stąd , , .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta ma długość , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Stąd , , .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta ma długość , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Stąd , , .
3
Ćwiczenie 8
RUN6TBG2uy5mn
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta ma długość , przeciwprostokątna ma długość , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość . Stąd , , .
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta ma długość , przeciwprostokątna ma długość , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość . Stąd , , .
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta ma długość , przeciwprostokątna ma długość , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość . Stąd , , .
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta ma długość , przeciwprostokątna ma długość , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość . Stąd , , .
3
Ćwiczenie 9
RyGwfScbL21TP
Rozważmy trójkąt równoboczny o boku długości . Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów o miarach i .
RynIqtzSFeSFA1
Zauważmy, że
.
Zauważmy, że
.
Zauważmy, że
.
3
Ćwiczenie 10
Wykaż, że:
RxtXtnaLGNIlV
Najpierw oblicz wartości funkcji trygonometrycznych występujących w równości, następnie podstaw wartości liczbowe.
Rozważmy kwadrat o boku długości . Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kąta o mierze .
RejX78VV926mO1
Zauważmy, że
.
Zauważmy, że
.
Zauważmy, że
.
3
Ćwiczenie 11
RCqLfTl0zDNud
.
3
Ćwiczenie 12
Wykaż, że:
cos72°·cos28°=sin62°·sin18°
tg18°tg54°=tg36°tg72°
3sin19°+2cos71°sin44°+7cos46°=40cos71°sin44°
R1EK3y6zmuLIp
W obliczeniach wykorzystaj wzory redukcyjne.
Zauważmy, że cos72°·cos28°=cos90°-18°·cos90°-62°= =sin62°·sin18°.
Zauważmy, że tg18°tg54°=1tg72°1tg36°=tg36°tg72°.
Zauważmy, że 3sin19°+2cos71°sin44°+7cos46°= =3sin90°-71°+2cos71°·sin44°+7cos90°-44°= =3cos71°+2cos71°·sin44°+7sin44°= =5cos71°·8sin44°=40cos71°sin44°.
2
Ćwiczenie 13
W trójkącie ABC dane są długości boków AC=BC=29 i AB=4. Oblicz sinus każdego z kątów tego trójkąta.
R42MuOORNUEbj
Na początku wyznaczmy wysokość trójkąta ABC, opuszczoną na bok AB. Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa:
22+h2=292
h2=25
h=5.
Zwróć uwagę, że wysokość dzieli ten trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości 2 i 5 oraz przeciwprostokątnej długości 29.
Przypomnijmy, że sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej.
Zatem
sin∢ABC=sin∢BAC=529=52929.
Sinus kąta przy wierzchołku C wyznaczymy, korzystając ze wzoru:
P△=12ACBC·sin∢ACB.
Pole trójkąta ABC jest równe
P△=12·4·5=10,
stąd
10=12·29·29·sin∢ACB⇒sin∢ACB=2029.
sin∢ABC=sin∢BAC=52929 sin(∢ACB)=2029
2
Ćwiczenie 14
R1aj1mYNYFE7N
a. Na początku z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy długość odcinka AC:
122+162=AC2
AC2=400
AC=20.
Zauważmy, że wysokość trapezu poprowadzona z wierzchołka C ma długość 12.
Zatem sin∢BAC możemy wyznaczyć z powstałego trójkąta o przyprostokątnych długości 12 i 16 oraz przeciwprostokątnej długości 20.
Stąd dostajemy, że
sin∢BAC=1220=35.
b. Zauważmy, że kąty BDC oraz ABD mają równe miary, ponieważ są kątami naprzemianległymi.
Otrzymujemy zatem, że
tg∢BDC=tg∢ABD=1221=47.
c. Zauważmy, że trapez prostokątny ABCD możemy podzielić na dwie osobne figury - prostokąt o bokach długości 12 i 16 oraz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 5 i przeciwprostokątnej długości 13.
Zatem cos∢ABC jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej przy kącie ABC do długości przeciwprostokątnej w otrzymanym trójkącie.
Stąd otrzymujemy, że cos∢ABC=513.
3
Ćwiczenie 15
R6b8ZXmVxoFT5
Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, dzieląc romb na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości 7 i 24 oraz przeciwprostokątnej długości 25.
a. Tangensem kąta CAB w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi CAB do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie CAB.
Zatem tg∢BAC=724.
b. Cosinusem kąta CDB w trójkącie prostokątnym, nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie CDB do długości przeciwprostokątnej.
Zatem cos∢CDB=725.
c. Aby wyznaczyć sin∢BAD, skorzystajmy z wzoru :
P△=12ABAD·sin∢BAD.
Wiemy, że P△ABD=12·24·14=168, zatem
168=12·25·25·sin∢BAD⇒sin∢BAD=336625.
3
Ćwiczenie 16
RWlCX8hJW9QSd
a. Na początku poprowadźmy wysokość trapezu z wierzchołka D. Zauważmy, że powstał nam trójkąt prostokąty o przyprostokątnej leżącej przy kącie BAD długości 2 i przeciwprostokątnej długości 6.
Przypomnijmy, że cosinusem kąta ostrego alfa w trójkącie prostokątnym, nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa do długości przeciwprostokątnej.
Zatem cos∢BAD=26=13.
b. Zauważmy, że tg∢CAB możemy wyznaczyć rysując trójkąt prostokątny zawarty w tym trapezie. Przeciwprostokątna jest przekątną trapezu, przyprostokątna leżąca przy kącie CAB ma długość 9, natomiast druga przyprostokątna jest wysokością trapezu i możemy ją wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa.
Zatem h2+22=62⇒h=42.
Przypomnijmy, że tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy kącie.
Stąd tg∢CAB=429.
c. Na początku wyznaczmy pole trójkąta ACD zawartego w trapezie ABCD. Skorzystajmy z wzoru P△=pp-7p-6p-AC, gdzie p jest połową obwodu trójkąta.
Długość przekątnej AC możemy wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
422+92=AC2⇒AC=113.
Stąd możemy wyznaczyć, że p=13+1132 oraz pole trójkąta ACD wynosi:
P△=13+113213+1132-713+1132-613+1132-113=142.
Skorzystajmy teraz z wzoru: P△=12⋅7⋅113⋅sin(∢ACD), czyli
142=12⋅7⋅113⋅sin(∢ACD)⇒sin(∢ACD)=4226113.
3
Ćwiczenie 17
R4FDTb1v6KAcG
a. Niech S będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka D tego równoległoboku. Zauważmy, że wysokość h ma długość: 420=28h⇒h=15.
Zwróćmy uwagę, że powstał nam trójkąt prostokątny ADS, którego przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta BAD ma długość 15, a przeciwprostokątna ma długość 17.
Przypomnijmy, że sinusem kąta ostrego alfa w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi alfa do długości przeciwprostokątnej, zatem sin∢BAD=1517.
b. Aby obliczyć tg∢DBA, wyznaczymy przyprostokątne trójkąta BDS, zawartego w podanym równoległoboku. Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy, że AS2+152=172⇒AS=8, zatem SB=28-8=20.
Przyprostokątna DS jest wysokością równoległoboku, stąd DS=15.
Wówczas otrzymujemy, że tg∢DBA=1520=34.
c. Niech E będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C tego równoległoboku. Korzystając z podpunktu b, skoro AS=8, to BE=8. Stąd otrzymujemy, że AE=28+8=36.
Wysokość DS=CE=15.
Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczmy długość przeciwprostokątnej trójkąta ACE:
362+152=AC2⇒AC=39.
Stąd otrzymujemy, że cos∢CAB=3639=1213.
3
Ćwiczenie 18
R1AOFNYr0W682
a. Niech S będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C tego trójkąta. Skoro jego pole jest równe 780, to wysokość CS jest równa: 780=12·39·CS⇒CS=40.
Z trójkąta prostokątnego ACS dostajemy, że sin∢BAC=4041.
b. Z podpunktu a. wiemy, że CS=40. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy długość odcinka AS, a następnie długość odcinka SB. Zauważmy, że
402+AS2=412⇒AS=9.
Zatem
SB=39-9=30.
Teraz wyznaczymy długość przeciwprostokątnej trójkąta BCS. Z twierdzenia Pitagorasa mamy 302+402=BC2⇒BC=50.
Stąd cos∢ABC=3050=35.
c. Niech E będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka A tego trójkąta. Skoro jego pole jest równe 780, to wysokość AE jest równa: 780=12·50·AE⇒AE=1565.
Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy teraz długość odcinka EC:
15652+EC2=412⇒EC=1335.
Z trójkąta prostokątnego ACE dostajemy, że tg(∢ACB)=15651335=156133.
3
Ćwiczenie 19
W rombie ABCD krótsza przekątna ma długość BD=30, a bok 25. Wykaż, że sin∢BAD=2·sin∢CAD·cos∢CAB.
R16XqFX4g1iuI
Najpierw oblicz wartości funkcji trygonometrycznych równości, następnie podstaw wartości liczbowe.