Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
W tym materiale przypomnisz sobie czym jest twierdzenie odwrotne oraz równoważność utworzona z twierdzenia i twierdzenia do niego odwrotnego.
Zapoznasz się z twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa i zastosujesz je w zadaniach.
Twierdzenie
Jeżeli trójkąt prostokątny jest równoramienny, to jego kąty ostre mają równe miary.
Twierdzenie odwrotne
Jeżeli kąty ostre w trójkącie prostokątnym mają równe miary, to trójkąt ten jest równoramienny.
Równoważność
Trójkąt prostokątny jest równoramienny wtedy i tylko wtedy, gdy jego kąty ostre mają równe miary.
Jeżeli twierdzenie jest prawdziwe i twierdzenie do niego odwrotne też jest prawdziwe, to utworzona z nich równoważność jest również prawdziwa.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Wiemy już, że zamiana założenia z tezą nie zawsze prowadzi do twierdzenia prawdziwego.
W przypadku twierdzenia Pitagorasa twierdzenie odwrotne jest też prawdziwe.
Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt ten jest prostokątny.
W zastosowaniach praktycznych posługujemy się poniższą wersją twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.
Jeżeli liczby , , będące długościami boków trójkąta (gdzie – długość najdłuższego z boków) spełniają warunek
to trójkąt ten jest prostokątny.
Znając długości boków trójkąta i wykorzystując twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, można stwierdzić, czy trójkąt jest prostokątny.
Sprawdzimy, czy trójkąt o bokach długości , , jest prostokątny.
Ustalamy, że najdłuższy bok trójkąta ma długość .
Obliczamy kwadrat liczby .
Obliczamy sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków.
Porównujemy znalezione liczby.
Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt o bokach długości , i jest trójkątem prostokątnym.
Sprawdzimy, czy trójkąt o bokach długości , , jest trójkątem prostokątnym.
Oznaczmy
- długość najdłuższego boku
Sprawdzimy, czy .
Obliczamy sumę kwadratów długości krótszych boków i kwadrat długości najdłuższego boku.
Porównujemy znalezione liczby.
czyli
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym (gdyby był prostokątny, to musiałaby być prawdziwa równość ).
Trójki pitagorejskie
Starożytni Egipcjanie wyznaczali kąt prosty, wykorzystując trójkąt prostokątny o bokach długości , , , nazywany obecnie trójkątem egipskim.
Hindusi posługiwali się trójkątem o bokach długości: , , .
W obu przypadkach długości boków trójkątów wyrażały się liczbami naturalnymi.
Trójki liczb naturalnych , , , które wyrażają długości boków trójkąta prostokątnego, nazwano trójkami pitagorejskimi. Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa można stwierdzić, że poszukiwanie ich sprowadza się do rozwiązania równania
Odkrycie ogólnej metody znajdowania tych liczb przypisuje się matematykowi greckiemu Diofantosowi, żyjącemu w wieku n.e. w Aleksandrii. Wyznaczał on trójki pitagorejskie według wzoru
gdzie , dowolne liczby naturalne względnie pierwsze, które nie są jednocześnie nieparzyste i takie, że .
Na przykład.
Niech ,
Trójkę pitagorejską tworzą liczby: , , .
Niektóre trójki pitagorejskie przedstawiono w tabeli poniżej.
liczby z trójki | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Zapisz dowolną trójkę pitagorejską.
Pomnóż każdą z zapisanych liczb przez tę samą dowolną liczbę naturalną większą od .
Sprawdź, czy utworzone w ten sposób liczby tworzą trójkę pitagorejską. Co zauważasz?Pomnóż każdą z zapisanych liczb przez tę samą, dowolną liczbę dodatnią.
Sprawdź, czy utworzone w ten sposób liczby tworzą trójkę pitagorejską. Co zauważasz?
Określanie rodzaju trójkąta z wykorzystaniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wynika, że jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest równa polu kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt ten jest prostokątny.
Zastanowimy się teraz, czy można określić rodzaj trójkąta, wiedząc, że suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest mniejsza (albo większa) od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.
Na bokach trójkąta skonstruowane są kwadraty.
Zmień czterokrotnie położenie wierzchołków trójkąta , tak aby w każdym przypadku bok był najdłuższym bokiem i aby suma pól kwadratów zbudowanych na bokach i była większa od pola kwadratu zbudowanego na boku . Określ w każdym przypadku rodzaj otrzymanego trójkąta (prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny). Zapisz twierdzenie, które możesz sformułować na podstawie obserwacji.
Sformułuj też twierdzenie odwrotne i sprawdź na przykładach, czy jest prawdziwe.
Powtórz ten sam eksperyment, tak zmieniając położenie wierzchołków trójkąta , aby suma pól kwadratów zbudowanych na bokach i była mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na boku .
Sformułuj odpowiednie twierdzenie i twierdzenie do niego odwrotne.
Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów możemy sformułować dwie pary twierdzeń:
Jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest większa od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt jest ostrokątny.
Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest większa od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.
Jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt jest rozwartokątny.
Jeżeli trójkąt jest rozwartokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.
Twierdzenia sformułowaliśmy na podstawie obserwacji, ale można udowodnić, że twierdzenia te są prawdziwe.
Niech liczby , , , gdzie i będą długościami boków trójkąta.
Trójkąt ten jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy .
Trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy .
Trójkąt ten jest rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy .
Trójkąt o bokach długości , , jest ostrokątny, bo
Trójkąt o bokach długości , , jest rozwartokątny, bo
Sformułuj twierdzenie odwrotne do podanego twierdzenia. Czy twierdzenie to jest prawdziwe, czy fałszywe?
Jeżeli dwa trójkąty są przystające, to odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają równe długości.
Jeżeli kąty i są kątami przyległymi, to ich suma jest równa kątowi półpełnemu.
Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest punktem wspólnym trzech wysokości tego trójkąta.
Trawnik ma kształt trójkąta, którego boki pozostają w stosunku . Na ogrodzenie trawnika zużyto płotka. Wyznacz wymiary działki, a następnie sprawdź, czy trawnik ma kształt trójkąta prostokątnego.
Podaj parę liczb naturalnych, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna ma długość .
W trójkącie prostokątnym jeden z boków ma długość , a drugi jest o dłuższy. Oblicz pole trójkąta. Rozpatrz wszystkie możliwości.
Wykaż, że liczby , , postaci
, , , gdzie , to dowolne liczby naturalne względnie pierwsze, które nie są jednocześnie
liczbami nieparzystymi i takie, że , są długościami boków trójkąta prostokątnego.Wykaż, że mnożąc przez tę samą liczbę naturalną, każdą z liczb , , , tworzących trójkę pitagorejską, otrzymujemy również trójkę pitagorejską.
Sprawdź dla trzech dowolnych liczb naturalnych , czy liczby postaci
mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego.
Znajdź liczbę , dla której liczby , , są długościami boków trójkąta prostokątnego.
Rozwiąż zadanie algebraicznie i graficznie.
Znajdź liczbę , dla której liczby , , są długościami boków trójkąta prostokątnego.
Sprawdź czy istnieje romb o boku długości oraz przekątnych długości i .
Na podstawie trójkąta obrano punkt . Odcinek ma długość , odcinek ma długość , natomiast ma długość . Wykaż, że jest wysokością trójkąta .
W trójkącie równobocznym punkt jest środkiem podstawy . Wykaż, że odcinek jest wysokością tego trójkąta.