Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

1. Na przykład trójkę pitagorejską tworzą liczby: $5$, $12$, $13$.

2. Mnożąc każdą z nich przez dwa, otrzymujemy liczby: $a=10$, $b=24$, $c=26$.

3. Sprawdzamy, że spełniają one warunek

Wniosek:

Mnożąc każdą z liczb, tworzących trójkę pitagorejską, przez tę samą liczbę naturalną, otrzymujemy również trójkę pitagorejską.

Zmień szyk zdania, aby otrzymać twierdzenie odwrotne. Jeżeli z pierwszej części zdania wynikała jego druga część, to po odwróceniu twierdzenia powinno być odwrotnie.

1. Jeżeli odpowiednie boki dwóch trójkątów mają równe długości, to trójkąty te są przystające.
   Twierdzenie prawdziwe.

2. Jeżeli suma dwóch kątów $x$, $y$ jest równa kątowi półpełnemu, to kąty te są kątami przyległymi.
   Twierdzenie fałszywe.

3. Jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem wspólnym trzech wysokości tego trójkąta, to trójkąt ten jest równoboczny.
   Twierdzenie prawdziwe.

Wyznacz wszystkie boki trójkąta korzystając ze wzoru na obwód trójkąta, następnie sprawdź czy otrzymany trójkąt jest prostokątny stosując twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

$25x+24x+7x=224$

$56x=224$

$x=4$

$100 \mathrm{m}$, $96 \mathrm{m}$, $28 \mathrm{m}$ długości boków trawnika

$96^2+28^2=9216+784=10000=100^2$.

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trawnik ma kształt trójkąta prostokątnego.

Znajdź takie liczby, które będą spełniały twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

np. $60$ i $80$.

Istnieją dwie możliwości. Bok długości $2 \mathrm{cm}$ jest przyprostokątną, a bok długości $3 \mathrm{cm}$ jest przeciwprostokątną albo oba te boki są przyprostokątnymi.

• $\mathrm{I}$ przypadek
  $2 \mathrm{cm}$, $3 \mathrm{cm}$ – długości przyprostokątnych

• $\mathrm{II}$ przypadek
  $2\mathrm{ cm}$ – długość przyprostokątnej
  $3\mathrm{ cm}$ – długość przeciwprostokątnej

$a=\sqrt{5}\mathrm{ cm}$ – długość drugiej przyprostokątnej

1. Sprawdź czy spełnione są warunki twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

2. Pomnóż każdą z liczb przez jakąś stałą (na przykład $t$) i postępuj tak samo jak w poprzednim podpunkcie.

1. $a^2+b^2={\left(m^2-n^2\right)}^2+{\left(2mn\right)}^2$ 
   $a^2+b^2=m^4-2m^2{n}^2+n^4+4m^2{n}^2=m^4+2m^2{n}^2+n^4$ 
   $c^2={\left(m^2+n^2\right)}^2=\left(m^2+n^2\right)\left(m^2+n^2\right)=m^4+2m^2{n}^2+m^4$ 
   $a^2+b^2=c^2$

2. Niech $t$ będzie liczbą przez którą mnożymy. Należy wykazać, że
   ${\left(ta\right)}^2+{\left(tb\right)}^2={\left(tc\right)}^2$
   ${\left(at\right)}^2=t^2{m}^4-2t^2{m}^2{n}^2+t^2{n}^4$
   ${\left(bt\right)}^2=4t^2{m}^2{n}^2$
   ${\left(ct\right)}^2=t^2{m}^4+2t^2{m}^2{n}^2+t^2{n}^4$
   ${\left(at\right)}^2+{\left(bt\right)}^2=t^2{m}^4-2t^2{m}^2{n}^2+t^2{n}^4+4t^2{m}^2{n}^2=$
   $=t^2{m}^4+2t^2{m}^2{n}^2+t^2{n}^4={\left(ct\right)}^2$.
   Otrzymaliśmy, że lewa strona równości równa się prawej stronie. Zatem mnożąc przez tę samą liczbę dodatnią, każdą z liczb $a=m^2-n^2$, $b=2mn$, $c=m^2+n^2$, tworzących trójkę pitagorejską, otrzymujemy również trójkę pitagorejską, ponieważ wszystkie otrzymane liczby są liczbami naturalnymi.

Liczby podanej postaci tworzą trójkę liczb, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego.

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wiemy, że jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt ten jest prostokątny.

Rozważmy $n=3, 4, 7$.

Dla $n=3$ mamy liczby: $7$, $24$, $25$.

Ponieważ $7^2+{24}^2={25}^2$.

Zatem dla $n=3$, liczby : $7$, $24$, $25$ mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego.

Dla $n=4$ mamy liczby: $9$, $40$, $41$.

Ponieważ $9^2+{40}^2={41}^2$.

Zatem dla $n=4$, liczby : $9$, $40$, $41$ mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego.

Dla $n=7$ mamy liczby: $15$, $112$, $113$.

Ponieważ ${15}^2+{112}^2={113}^2$.

Zatem dla $n=7$, liczby : $15$, $112$, $113$ mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego.

W ogólności dla $n>1$ liczby postaci $2n+1$, $2n^2+2n$, $2n^2+2n+1$ mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego.

${\left(m+1\right)}^2+4^2={\left(m+3\right)}^2$

$\left(m+1\right)\left(m+1\right)+4^2=\left(m+3\right)\left(m+3\right)$

$m^2+2m+1+16=m^2+6m+9$

${m=2}^{}$

Zauważ, że każdy romb można podzielić na cztery przystające trójkąty prostokątne. Wystarczy zatem sprawdzić czy istnieje trójkąt prostokątny o długościach boków $5$, $12$ i $13$.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.

Spełniony więc musi być warunek $5^2+12^2=13^2$.

$L=25+144=169$

$P= 169$

$L=P$ – romb o podanych własnościach istnieje.

Wysokość trójkąta musi być prostopadła do jego podstawy. Należy sprawdzić czy trójkąt $ACD$ jest trójkątem prostokątnym.

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa można stwierdzić, że trójkąt $ACD$ jest prostokątny. Przy czym kąt $CDA$ jest kątem prostym. Oznacza to, że odcinek $CD$ jest prostopadły do boku $AB$, jest więc wysokością trójkąta $ABC$.

Przyjmij za długość boku trójkąta równobocznego pewną ustaloną wartość, na przykład $2a$. Wysokość trójkąta musi być prostopadła do jego podstawy. Należy sprawdzić czy trójkąt $ACD$ jest trójkątem prostokątnym.

Niech długość boku trójkąta $ABC$ wynosi $2a$, gdzie $a$ jest pewną liczbą dodatnią.
Odcinek $CD$ jest środkową boku trójkąta równobocznego, ma więc długość $\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Sprawdzamy, że trójkąt $ADC$, czyli trójkąt o bokach długości $2a$, $a$, $a\sqrt{3}$ jest prostokątny. Korzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

Zatem odcinek $CD$ jest prostopadły do boku $AB$, jest więc wysokością trójkąta.