Ciągi – własności ciągów arytmetycznych - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są wiadomości dotyczące ciągów arytmetycznych. Przypomnisz sobie podstawowe wiadomości na ich temat i poznasz twierdzenia dotyczące ich własności.

Przykład 1

Rozważmy dowolny ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony dla $n > 1$ i dowolnie wybrany jego wyraz $a_{n}$ .

Poszukamy zależności pomiędzy wyrazem $a_{n}$ ciągu oraz wyrazami z nim sąsiadującymi, czyli wyrazem o numerze o jeden mniejszym $a_{n - 1}$ oraz wyrazem o numerze o jeden większym $a_{n + 1}$ . Zauważmy, że są to trzy kolejne wyrazy ciągu. Różnica pomiędzy kolejnymi dwoma wyrazami jest stała.

Mamy więc

a_{n} - a_{n - 1} = a_{n + 1} - a_{n}

stąd

a_{n} = \frac{a_{n + 1} + a_{n - 1}}{2}

Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierwszym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich

$a_{n} = \frac{a_{n + 1} + a_{n - 1}}{2}$ dla $n > 1$ .

Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci

2 a_{n} = a_{n + 1} + a_{n - 1}

Polecenie 1

R1mSEYoIJBMxq11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQoJOmOJmDD3f2

Rozważamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Współrzędne punktu środkowego są średnią arytmetyczną współrzędnych zewnętrznych punktów. Połącz w pary współrzędne środkowego punktu z współrzędnymi punktów zewnętrznych.

(1, 4)

(3, - 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 1)

, 2.

(2, 0)

, 3.

(3, - 1)

, 4.

(2, 1)

, 5.

(2, 3)

(2, - 3)

(4, 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 1)

, 2.

(2, 0)

, 3.

(3, - 1)

, 4.

(2, 1)

, 5.

(2, 3)

(1, 1)

(3, 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 1)

, 2.

(2, 0)

, 3.

(3, - 1)

, 4.

(2, 1)

, 5.

(2, 3)

(2, 3 \frac{1}{2})

(4, - 1 \frac{1}{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 1)

, 2.

(2, 0)

, 3.

(3, - 1)

, 4.

(2, 1)

, 5.

(2, 3)

(2, 1 \frac{1}{2})

(4, 4 \frac{1}{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 1)

, 2.

(2, 0)

, 3.

(3, - 1)

, 4.

(2, 1)

, 5.

(2, 3)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Rkn1tWyCwIbn71

Przykład 3

Sprawdź, czy ciąg $(\frac{1}{\sqrt{2} - 1}, \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2} + 1})$ jest arytmetyczny.

Ponieważ $\frac{\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} + \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ , więc ten ciąg jest arytmetyczny.

Przykład 4

Re1ip92VNg5Xh1

Zauważmy, że twierdzenie możemy uogólnić. Wybierzmy dowolny wyraz $a_{n}$ , który nie jest pierwszym ani ostatnim wyrazem ciągu, a następnie całkowitą dodatnią liczbę $k < n$ . Mamy wówczas

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r

a_{n + k} = a_{1} + (n + k - 1) r

a_{n - k} = a_{1} + (n - k - 1) r

Wtedy

\frac{a_{n + k} + a_{n - k}}{2} = \frac{a_{1} + (n + k - 1) r + a_{1} + (n - k - 1) r}{2} =

= \frac{2 a_{1} + 2 (n - 1) r}{2} = a_{1} + (n - 1) r = a_{n}

Możemy zatem sformułować twierdzenie.

Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego $n > 1$ oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej $k < n$ mamy

a_{n} = \frac{a_{n - k} + a_{n + k}}{2}

Zauważmy, że wyrazy $a_{n - k}$ , $a_{n}$ , $a_{n + k}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $k r$ . Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Polecenie 2

Wyrazy ciągu można przedstawić w układzie współrzędnych jako punkty leżące na płaszczyźnie, gdzie pierwszą współrzędną jest numer wyrazu ciągu, a drugą współrzędną jest jego wartość. Na podstawie tych informacji wykonaj poniższe polecenie.

RLsEm6FlVbm5r1

R8LTKH0WC63Ug

Ciąg arytmetyczny można przedstawić w postaci punktów w układzie współrzędnych, gdzie pierwsza współrzędna to numer wyrazu ciągu, a druga to jego wartość.
Dopasuj pierwsze cztery wyrazy ciągu do odpowiadającego im wzoru na

n

-ty wyraz ciągu.

(1; 8)

(2; 9)

(3; 10)

(4; 11)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 5 n + 6

, 2.

a_{n} = n + 7

, 3.

a_{n} = - 6 n + 3

, 4.

a_{n} = n

(1; 11)

(2; 16)

(3; 21)

(4; 26)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 5 n + 6

, 2.

a_{n} = n + 7

, 3.

a_{n} = - 6 n + 3

, 4.

a_{n} = n

(1; - 3)

(2; - 9)

(3; - 15)

(4; - 21)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 5 n + 6

, 2.

a_{n} = n + 7

, 3.

a_{n} = - 6 n + 3

, 4.

a_{n} = n

(1; 1)

(2; 2)

(3; 3)

(4; 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 5 n + 6

, 2.

a_{n} = n + 7

, 3.

a_{n} = - 6 n + 3

, 4.

a_{n} = n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz piąty jest równy $23$ , a wyraz piętnasty $37$ . Oblicz wyraz dziesiąty.

a_{10} = \frac{a_{5} + a_{15}}{2} = \frac{23 + 37}{2} = 30

Ćwiczenie 1

RIVllL2JtcTEz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a_{2} = \frac{7 + 20}{2} = 13,5$ .

Ćwiczenie 2

R1LSphIBzf6cR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ ciąg jest arytmetyczny, to $b = \frac{a + 22}{2}$ . Otrzymujemy więc układ równań

\{\begin{cases} a + b = 26 \\ - a + 2 b = 22 \end{cases}

Stąd $3 b = 48$ , stąd $b = 16$ oraz $a = 26 - 16 = 10$ .

R1RTmRDlARciQ1

Ćwiczenie 3

Wyszukaj pary tak, aby powstał ciąg arytmetyczny.

a_{2} = 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

(14, a_{2}, 2)

, 2.

(- 3, a_{2}, 3)

, 3.

(10, a_{2}, 0)

, 4.

(- 4, a_{2}, 2)

, 5.

(2, a_{2}, 6)

, 6.

(- 14, a_{2}, 10)

a_{2} = - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(14, a_{2}, 2)

, 2.

(- 3, a_{2}, 3)

, 3.

(10, a_{2}, 0)

, 4.

(- 4, a_{2}, 2)

, 5.

(2, a_{2}, 6)

, 6.

(- 14, a_{2}, 10)

a_{2} = 8

Możliwe odpowiedzi: 1.

(14, a_{2}, 2)

, 2.

(- 3, a_{2}, 3)

, 3.

(10, a_{2}, 0)

, 4.

(- 4, a_{2}, 2)

, 5.

(2, a_{2}, 6)

, 6.

(- 14, a_{2}, 10)

a_{2} = - 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

(14, a_{2}, 2)

, 2.

(- 3, a_{2}, 3)

, 3.

(10, a_{2}, 0)

, 4.

(- 4, a_{2}, 2)

, 5.

(2, a_{2}, 6)

, 6.

(- 14, a_{2}, 10)

a_{2} = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

(14, a_{2}, 2)

, 2.

(- 3, a_{2}, 3)

, 3.

(10, a_{2}, 0)

, 4.

(- 4, a_{2}, 2)

, 5.

(2, a_{2}, 6)

, 6.

(- 14, a_{2}, 10)

a_{2} = 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

(14, a_{2}, 2)

, 2.

(- 3, a_{2}, 3)

, 3.

(10, a_{2}, 0)

, 4.

(- 4, a_{2}, 2)

, 5.

(2, a_{2}, 6)

, 6.

(- 14, a_{2}, 10)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Liczby $5 x - 3$ , $x^{2} + 3 x$ , $3 x^{2} - 3$ są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.

RQP4FultYtcBy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego mamy

x^{2} + 3 x = \frac{5 x - 3 + 3 x^{2} - 3}{2}

2 x^{2} + 6 x - 5 x - 3 x^{2} + 6 = 0

- x^{2} + x + 6 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 2$ , czyli trzy pierwsze wyrazy ciągu są równe $12$ , $18$ , $24$ lub $- 13$ , $- 2$ , $9$ . Różnica pierwszego z tych ciągów jest równa $6$ , a drugiego $11$ .

Ćwiczenie 5

RF0vLZ70WkXEJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $x + 4 y$ , $3 x + 2 y$ , $x + 2 y + 2$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to mamy zależność

2 (3 x + 2 y) = x + 4 y + x + 2 y + 2

która po przekształceniu ma postać $2 x - y = 1$ .
Ponieważ

3 x + 2 y

x + 2 y + 2

3 x + y - 3

są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to mamy zależność

2 (x + 2 y + 2) = 3 x + 2 y + 3 x + y - 3

która po przekształceniu ma postać $- 4 x + y = - 7$ . Otrzymaliśmy więc układ równań:

\{\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ - 4 x + y = - 7 \end{cases}

skąd po dodaniu równań stronami mamy $- 2 x = - 6$ , czyli $x = 3$ i $y = 5$ .
Cztery pierwsze wyrazy rozważanego ciągu arytmetycznego są równe $23$ , $19$ , $15$ ,
$11$ , a więc różnica tego ciągu jest równa $r = - 4$ , natomiast piąty wyraz to $7$ .

Ćwiczenie 6

Nieskończony ciąg liczbowy $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = 3 - \frac{2}{n}$ . Wyznacz taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(a_{3}, a_{9}, x)$ jest arytmetyczny.

R1VkUFJcShB9C

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz wyrazy $a_{3}$ i $a_{9}$ , a następnie skorzystaj z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Mamy $a_{3} = 2 \frac{1}{3}$ , $a_{9} = 2 \frac{7}{9}$ . Ponieważ ciąg $(a_{3}, a_{9}, x)$ jest arytmetyczny, $a_{9} = \frac{a_{3} + x}{2}$ , czyli $2 \cdot 2 \frac{7}{9} = 2 \frac{1}{3} + x$ . Ostatecznie $x = 3 \frac{2}{9}$ .

Ćwiczenie 7

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $m$ ciąg $(\frac{m + 4}{6}, \frac{m + 2}{4}, \frac{m + 1}{3})$ jest arytmetyczny.

R1CU8bonTms58

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciąg ten będzie arytmetyczny, jeżeli $\frac{m + 2}{4} = \frac{\frac{m + 4}{6} + \frac{m + 1}{3}}{2}$ , czyli $\frac{m + 2}{2} = \frac{m + 4}{6} + \frac{m + 1}{3}$ , więc $3 m + 6 = m + 4 + 2 m + 2$ , co jest równoważne równaniu tożsamościowemu $0 = 0$ . Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$ ciąg jest arytmetyczny.

RrucPpBncKOaP1

Ćwiczenie 8

$10$
$15$
$20$
$30$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Rk5DMQkCjp6j2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a_{2} = \frac{\sqrt{3} + 2 + 3 \sqrt{3} - 4}{2} = \frac{4 \sqrt{3} - 2}{2} = 2 \sqrt{3} - 1$ .

Ćwiczenie 10

Wyznacz liczbę $x$ , dla której liczby $x + 7$ , $2 x + 9$ , $3 x + 11$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

RJekMEHuVMZx9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$

Ciąg $(x + 7, 2 x + 9, 3 x + 11)$ jest arytmetyczny dla każdej liczby $x$ , która spełnia równanie $2 x + 9 = \frac{x + 7 + 3 x + 11}{2}$ , a więc gdy $4 x + 18 = 4 x + 18$ . To równanie jest tożsamościowe, więc spełnia je każda liczba rzeczywista $x$ . Oznacza to, że dla każdej liczby $x$ liczby $x + 7$ , $2 x + 9$ , $3 x + 11$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

sposób $II$

Zauważmy, że $(2 x + 9) - (x + 7) = x + 2$ oraz $(3 x + 11) - (2 x + 9) = x + 2$ , co oznacza, że dla każdej wartości $x$ podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $x + 2$ .

Ćwiczenie 11

Liczby $6 x^{2} + 8$ , $2 x^{2} + 5 x - 3$ , $7 - 7 x$ są w podanej kolejności trzema pierwszymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz $x$ .

Rr5qjR7FOB1JH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego mamy

2 x^{2} + 5 x - 3 = \frac{6 x^{2} + 8 + 7 - 7 x}{2}

4 x^{2} + 10 x - 6 = 6 x^{2} - 7 x + 15

stąd otrzymujemy równanie kwadratowe $2 x^{2} - 17 x + 21 = 0$ mające dwa rozwiązania $x_{1} = 1,5$ oraz $x_{2} = 7$ .

Ćwiczenie 12

Ciąg $(\frac{1}{x + 1}, \frac{2 x + 1}{3 x}, \frac{x + 2}{x + 1})$ jest arytmetyczny dla pewnej liczby $x \in ℝ / \{- 1, 0\}$ . Wyznacz tę liczbę.

R1A6dZgZmImYq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciąg $(\frac{1}{x + 1}, \frac{2 x + 1}{3 x}, \frac{x + 2}{x + 1})$ jest arytmetyczny, więc między jego wyrazami zachodzi zależność

2 \cdot \frac{2 x + 1}{3 x} = \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 2}{x + 1}

Stąd otrzymujemy $\frac{4 x + 2}{3 x} = \frac{x + 3}{x + 1}$ . Z własności proporcji możemy to równanie zapisać w postaci

(4 x + 2) (x + 1) = 3 x (x + 3)

stąd

4 x^{2} + 4 x + 2 x + 2 = 3 x^{2} + 9 x

więc $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ . Jest to równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania $x_{1} = 2$ oraz $x_{2} = 1$ .

Ćwiczenie 13

RhuaakF1CQUXk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $x + 3 y - 4$ , $- x + y + 1$ , $x + y$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc mamy

2 (- x + y + 1) = x + 3 y - 4 + x + y

co po przekształceniu daje równanie $2 x + y = 3$ .

Ponieważ $- x + y + 1$ , $x + y$ , $3 x + 2 y$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, mamy

2 (x + y) = - x + y + 1 + 3 x + 2 y

co po przekształceniu daje równanie $y = - 1$ .

Z pierwszego otrzymanego równania mamy zatem $x = 2$ .
Pierwsze wyrazy rozważanego ciągu arytmetycznego są więc równe $- 5$ , $- 2$ , $1$ , $4$ , stąd różnica ciągu jest równa $r = 3$ . Dwudziesty wyraz wyliczamy za pomocą wzoru

a_{20} = a_{1} + 19 r = - 5 + 19 \cdot 3 = 52

Ćwiczenie 14

Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe $x$ , dla których liczba $x$ , podwojona cyfra jej jedności i podwojona cyfra jej dziesiątek są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

R1YCBvRgOuA6l

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla $a \in \{0,1, \dots, 9\}$ i $b \in \{1, 2, \dots, 9\}$ możemy zapisać te trzy liczby jako $10 b + a$ , $2 a$ i $2 b$ .

Oznaczmy cyfrę jedności szukanej liczby przez $a$ oraz cyfrę dziesiątek przez $b$ . Ponieważ $a$ i $b$ są cyframi oraz $x$ jest liczbą dwucyfrową, więc $a \in \{0,1, \dots, 9\}$ , $b \in \{1, 2, \dots, 9\}$ . Mamy wtedy, że $x = 10 b + a$ . Szukany ciąg ma zatem postać $(10 b + a, 2 a, 2 b)$ . Z twierdzenia o trzech kolejnych wyrazach ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie $4 a = 10 b + a + 2 b$ , stąd $a = 4 b$ . Wypisane wyżej warunki dla liczb $a$ i $b$ spełniają tylko dwie pary rozwiązań tego równania $\{\begin{cases} a = 4 \\ b = 1 \end{cases}$ oraz $\{\begin{cases} a = 8 \\ b = 2 \end{cases}$ . Oznacza to, że istnieją dwie liczby o danej własności $14$ oraz $28$ .

Ćwiczenie 15

R10ryctr9D1I5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$

Zauważmy, że $a_{9} = \frac{a_{9 - 5} + a_{9 + 5}}{2} = \frac{a_{4} + a_{14}}{2}$ , stąd $a_{14} = 2 a_{9} - a_{4} = 2 \cdot 17 - 1 = 33$ .

sposób $II$

Ponieważ $a_{9} - a_{4} = 5 r$ , mamy $r = \frac{16}{5}$ . Ze wzoru na czwarty wyraz ciągu $a_{4} = a_{1} + 3 r$ , czyli $1 = a_{1} + 3 \cdot \frac{16}{5}$ . Stąd $a_{1} = - \frac{43}{5}$ . Zatem $a_{14} = a_{1} + 13 r = - \frac{43}{5} + 13 \cdot \frac{16}{5} = \frac{165}{5} = 33$ .

Ćwiczenie 16

R1TmeVX5LD5T2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$

Z własności ciągu arytmetycznego $2 a_{3} = a_{2} + a_{4}$ , stąd mamy $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 3 a_{3}$ . Ponieważ $a_{3} = \frac{a_{3 - 2} + a_{3 + 2}}{2} = \frac{a_{1} + a_{5}}{2} = \frac{4 + 17}{2} = \frac{21}{2} = 10,5$ . Ostatecznie mamy więc $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 3 \cdot \frac{21}{2} = \frac{63}{2} = 31,5$ .

sposób $II$

Ze wzoru na piąty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

a_{5} = a_{1} + 4 r = 4 + 4 r

stąd $4 + 4 r = 17$ , czyli $r = \frac{13}{4}$ . Suma
$a_{2} + a_{3} + a_{4} = a_{1} + r + a_{1} + 2 r + a_{1} + 3 r =$
$= 3 a_{1} + 6 r = 3 \cdot 4 + 6 \cdot \frac{13}{4} = 31,5$ .

Ćwiczenie 17

Niech $a$ , $b$ , $c$ będą dowolnymi dodatnimi liczbami, takimi że ciąg $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$ jest arytmetyczny. Udowodnij, że ciąg liczb $(\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b})$ też jest arytmetyczny.

RSU3Vz7pEXrnm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokażemy, że $\frac{2}{c + a} = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b}$ .
Prawa strona jest równa

P = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} = \frac{2 b + a + c}{(b + c) (a + b)} = \frac{(2 b + a + c) (c + a)}{(b + c) (a + b) (c + a)} =

= \frac{(2 b + a + c) (c + a)}{(b + c) (a + b) (c + a)} = \frac{a^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c}{(b + c) (a + b) (c + a)}

Lewa strona jest równa

L = \frac{2}{c + a} = \frac{2 (b + c) (a + b)}{(b + c) (a + b) (c + a)} = \frac{2 b^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c}{(b + c) (a + b) (c + a)} =

= \frac{a^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c}{(b + c) (a + b) (c + a)}

Z założenia, że ciąg $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$ jest arytmetyczny, wiemy, że $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ , co kończy dowód.