Działania na pierwiastkach

W tym materiale poznasz pojęcia i twierdzenia związane z pierwiastkami.

• Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej $a$ nazywamy liczbę nieujemną $b$ taką, która podniesiona do drugiej potęgi jest równa $a$.
  Zatem, dla dowolnej liczby nieujemnej $a$: $\sqrt{a}=b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b^2=a$ i $b\ge 0$.

• Pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$, która podniesiona do trzeciej potęgi jest równa $a$.
  Zatem, dla dowolnej liczby $a$: $\sqrt[3]{a}=b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b^3=a$.

Zauważmy, że powyższe definicje różnią się założeniami dla liczb $a$ i $b$. Ponieważ $b^2$ jest zawsze liczbą nieujemną, to pierwiastki kwadratowe obliczamy wyłącznie z liczb nieujemnych. Natomiast $b^3$ może być zarówno ujemne, jak i nieujemne, dlatego pierwiastek sześcienny obliczamy z dowolnej liczby $a$.
Podobnie możemy zapisać definicje pierwiastka stopnia $n$ większego niż $1$, pamiętając o odpowiednim założeniu dotyczącym liczby podpierwiastkowej.

• Jeśli $n$ jest liczbą parzystą większą od $1$, to pierwiastkiem stopnia $n$ z liczby nieujemnej $a$ nazywamy liczbę nieujemną $b$ taką, która podniesiona do potęgi $n$ jest równa $a$.

  $\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a$

• Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą większą od $1$ to pierwiastkiem stopnia $n$ z liczby $a$ nazywamy liczbę $b$ taką, która podniesiona do potęgi $n$ jest równa $a$.

  $\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a$