2. Własności logarytmów

Rl0Pm81wueISk

Podobno symbolika algebraiczna została zainspirowana szyfrogramami, czyli zaszyfrowanymi wiadomościami.

RzQflH9VKaGx6

Na zdjęciu przedstawiony jest fragment starożytnych hieroglifów z trzynastego wieku przed naszą erą. Hieroglify przedstawiają między innymi różne gatunki ptaków, oczy, misy, krzyże czy regularne poziome zygzaki. — Hieroglify z Wielkiej Sali Hypostylowej w Karnaku (Seti I, XIII w. p.n.e.)
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Początki kryptografii sięgają zamierzchłych czasów. Starożytni Egipcjanie kodowali informacje za pomocą pisma obrazkowego, rozumianego jedynie przez wtajemniczonych. Juliusz Cezar szyfrował plany operacji wojennych, bankierzy szyfrowali wyniki operacji pieniężnych. Matematycy nie chcieli być gorsi i ciągle wymyślali nowe znaki i symbole, których znaczenie często skrzętnie ukrywali.

Jednak dzięki tym znakom i symbolom zapisywanie zawiłych twierdzeń matematycznych stawało się coraz krótsze i bardziej przejrzyste. W tym materiale poznamy kilka z takich twierdzeń, zapisanych za pomocą symboliki logarytmicznej.

Twoje cele

Udowodnisz wzór na logarytm iloczynu.
Zastosujesz wzór na logarytm iloczynu przekształcając wyrażenia arytmetyczne.
Udowodnisz wzór na logarytm ilorazu.
Zastosujesz wzór na logarytm ilorazu przekształcając wyrażenia arytmetyczne.

Logarytm iloczynu

Podamy teraz jedno z podstawowych twierdzeń dotyczących działań na logarytmach. W historii matematyki odegrało ono istotną rolę, gdyż pozwalało zastępować mnożenie dużych liczb dodawaniem tych liczb, co było znacznie łatwiejsze do wykonania (pamiętajmy, że maszyny do liczenia weszły do powszechnego użytkowania dopiero na przełomie XIX i XX wieku).

We wszystkich obliczeniach w tym materiale uwzględniać będziemy założenia wynikające z definicji logarytmu – podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, różną od jedności, liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Twierdzenie o logarytmie iloczynu

Twierdzenie: Twierdzenie o logarytmie iloczynu

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczby $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to:

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Dowód:

Założenie:

$a > 0$ , $a \neq 0$ – podstawa logarytmu,

$x > 0$ , $y > 0$ – liczby logarytmowane.

Teza:

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Dowód

Oznaczmy: $\log_{a} x = p$ , $\log_{a} y = q$ .

Z definicji logarytmu wynika, że:

x = a^{p}

y = a^{q}

Mnożymy stronami otrzymane równości.

x \cdot y = a^{p} \cdot a^{q}

Z własności mnożenia potęg o tych samych podstawach wynika, że:

x \cdot y = a^{p + q}

Korzystamy ponownie z definicji logarytmu.

\log_{a} (x y) = p + q

Zastępujemy liczby $p$ , $q$ odpowiednimi logarytmami. Otrzymujemy tezę.

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Co kończy dowód.

Wzór zapisany w powyższym twierdzeniu można uogólnić na dowolną liczbę czynników:

\log_{a} (x_{1} \cdot x_{2} \cdot . . . \cdot x_{n}) = \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2} + \dots + \log_{a} x_{n}

Możemy powiedzieć (pamiętając o odpowiednich założeniach):

logarytm przy danej podstawie iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów tych liczb przy tej samej podstawie.

Zauważmy, że prawdziwy jest też wzór odwrotny:

\log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2} + . . . + \log_{a} x_{n} = \log_{a} (x_{1} \cdot x_{2} \cdot . . . \cdot x_{n})

Podamy teraz przykłady zastosowania twierdzenia o logarytmie iloczynutwierdzenie o logarytmie iloczynutwierdzenia o logarytmie iloczynu.

Przykład 1

Zapiszemy każdy z podanych logarytmów w postaci sumy liczby wymiernej i niewymiernej.

$\log_{2} 24 = \log_{2} (8 \cdot 3) = \log_{2} 8 + \log_{2} 3 = 3 + \log_{2} 3$

$\log_{3} 45 = \log_{3} (9 \cdot 5) = \log_{3} 9 + \log_{3} 5 = 2 + \log_{3} 5$

$\log_{0,1} 200 = \log_{0,1} (100 \cdot 2) = \log_{0,1} 100 + \log_{0,1} 2 = - 2 + \log_{0,1} 2$

Przykład 2

Zapiszemy sumy logarytmów w postaci logarytmu iloczynu i zapiszemy otrzymaną liczbę bez użycia logarytmu.

$\log 5 + \log 2 = \log (5 \cdot 2) = \log 10 = 1$

$\log_{4} 32 + \log_{4} 2 = \log_{4} (32 \cdot 2) = \log_{4} 64 = 3$

$\log_{12} 2 + \log_{12} 3 + \log_{12} 4 + \log_{12} 6 = \log_{12} (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6) = \log_{12} 144 = 2$

Przykład 3

Znajdziemy liczbę $x$ taką, że $1 + \log 2 + \log x = 3 - \log 2$ .

Do obu stron równania dodajemy $\log 2$ .

$1 + \log 2 + \log x + \log 2 = 3$

Zapisujemy liczby $1$ i $3$ za pomocą logarytmów.

$\log 10 + \log 2 + \log x + \log 2 = \log 1000$

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu.

$\log (10 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x) = \log 1000$

Porównujemy liczby logarytmowane – korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.

$40 x = 1000$

$x = 25$

Liczba $25$ jest dodatnia (liczba logarytmowana musi być dodatnia), zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź:

szukana liczba to $25$ .

Przykład 4

Wiedząc, że $\log_{3} 5 \approx 1,47$ i $\log_{3} 2 \approx 0,63$ , obliczymy przybliżone wartości liczb $\log_{3} 15$ , $\log_{3} \frac{1}{6}$ , $\log_{3} 2 \frac{1}{4}$ .

$\log_{3} 15 = \log_{3} 3 + \log_{3} 5 \approx 1 + 1,47 = 2,47$

$\log_{3} \frac{1}{6} = \log_{3} \frac{1}{3} + \log_{3} \frac{1}{2} = - \log_{3} 3 - \log_{3} 2 \approx - 1 - 0,63 = - 1,63$

$\log_{3} 2 \frac{1}{4} = \log_{3} \frac{9}{4} = \log_{3} 9 + \log_{3} \frac{1}{4} = 2 - 2 \cdot \log_{3} 2 \approx 2 - 2 \cdot 0,63 = 0,74$

Przykład 5

Wiedząc, że $\log_{2} 3 = m$ obliczymy $A = \log_{2} \sqrt{54}$ .

Zapisujemy liczbę podpierwiastkową w postaci iloczynu, którego jednym z czynników jest potęga liczby $2$ .

$A = \log_{2} \sqrt{54} = \log_{2} \sqrt{2 \cdot 27}$

Zapisujemy logarytm iloczynu w postaci sumy logarytmów.

$A = \log_{2} \sqrt{2} + \log_{2} \sqrt{27}$

Ponieważ $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ i $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}}$ , stąd

$A = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 2 + \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 27 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 3^{3}$

Podstawiając $\log_{2} 3 = m$ , otrzymujemy

$A = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} m$

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady, a następnie porównaj z prezentowanymi rozwiązaniami.

R1Ajl7AJSXtn9

Polecenie 2

Wykaż, że jeżeli $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to $\log x y + \log x^{2} y^{2} + \log x^{3} y^{3} = 6 \cdot \log x y$ .

$L = \log (x y \cdot x^{2} y^{2} \cdot x^{3} y^{3}) = \log {(x y)}^{6} = 6 \cdot \log x y = P$

Logarytm ilorazu

Podamy teraz kolejne twierdzenie dotyczące działań na logarytmach. W historii matematyki odegrało ono istotną rolę gdyż pozwalało zastępować dzielenie dużych liczb, odejmowaniem tych liczb, co było znacznie łatwiejsze do wykonania.

Twierdzenie o logarytmie ilorazu

Twierdzenie: Twierdzenie o logarytmie ilorazu

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczby $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to:

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Dowód

Założenie:

$a > 0$ , $a \neq 0$ – podstawa logarytmu,

$x > 0$ , $y > 0$ – liczby logarytmowane.

Teza:

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Dowód

Oznaczmy: $\log_{a} x = p$ , $\log_{a} y = q$ .

Z definicji logarytmu wynika, że:

x = a^{p}

y = a^{q}

Dzielimy stronami otrzymane równości.

x : y = a^{p} : a^{q}

Z własności dzielenia potęg o tych samych podstawach wynika, że:

\frac{x}{y} = a^{p - q}

Korzystamy ponownie z definicji logarytmu.

\log_{a} \frac{x}{y} = p - q

Zastępujemy liczby $p$ , $q$ odpowiednimi logarytmami. Otrzymujemy tezę.

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Co kończy dowód.

Możemy powiedzieć: logarytm przy danej podstawie ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów tych liczb przy tej samej podstawie.

Zauważmy, że prawdziwy jest też wzór odwrotny.

\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a} \frac{x}{y}

Podamy teraz przykłady zastosowania twierdzenia o logarytmie ilorazutwierdzenie o logarytmie ilorazutwierdzenia o logarytmie ilorazu.

Przykład 6

Zapiszemy podane logarytmy w postaci różnicy liczby wymiernej i niewymiernej.

$\log_{2} \frac{8}{3} = \log_{2} 8 - \log_{2} 3 = 3 - \log_{2} 3$

$\log_{3} (9 : 5) = \log_{3} 9 - \log_{3} 5 = 2 - \log_{3} 5$

$\log_{0,1} 50 = \log_{0,1} \frac{100}{2} = \log_{0,1} 100 - \log_{0,1} 2 = - 2 - \log_{0,1} 2$

Przykład 7

Zapiszemy różnice logarytmów w postaci logarytmu ilorazu i zapiszemy otrzymaną liczbę bez użycia logarytmu.

$\log 20 - \log 2 = \log \frac{20}{2} = \log 10 = 1$

$\log_{4} 48 - \log_{4} 3 = \log_{4} \frac{48}{3} = \log_{4} 16 = 2$

$(\log_{12} 1 - \log_{12} 24) - \log_{12} 6 = \log_{12} (\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{6}) = \log_{12} \frac{1}{144} = - 2$

Przykład 8

Znajdziemy liczbę $x$ taką, że $1 + \log 2 + \log x = 3 - \log 2$ .

Zapisujemy liczby $1$ i $3$ za pomocą logarytmów.

$\log 10 + \log 2 + \log x = \log 1000 - \log 2$

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu dla lewej strony równania i z twierdzenia o logarytmie ilorazu dla prawej strony równania.

$\log (10 \cdot 2 \cdot x) = \log \frac{1000}{2}$

Porównujemy liczby logarytmowane – korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.

$20 x = 500$

$x = 25$

Liczba $25$ jest dodatnia (liczba logarytmowana musi być dodatnia), zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź:

Szukana liczba to $25$ .

Przykład 9

Wiedząc, że $\log_{3} 5 \approx 1,47$ i $\log_{3} 2 \approx 0,63$ , obliczymy przybliżone wartości liczb $\log_{3} 2,5$ , $\log_{3} \frac{2}{5}$ , $\log_{3} 6 \frac{1}{4}$ .

$\log_{3} 2,5 = \log_{3} \frac{5}{2} = \log_{3} 5 - \log_{3} 2 \approx 1,47 - 0,63 = 0,84$

$\log_{3} \frac{2}{5} = \log_{3} 2 - \log_{3} 5 \approx 0,63 - 1,47 = - 0,84$

$\log_{3} 6 \frac{1}{4} = \log_{3} \frac{25}{4} = \log_{3} 25 - \log_{3} 4 = 2 \cdot \log_{3} 5 - 2 \cdot \log_{3} 2$

$\log_{3} 6 \frac{1}{4} \approx 2 \cdot 1,47 - 2 \cdot 0,63 = 2,94 - 1,26 = 1,68$

Przykład 10

Wiedząc, że $\log_{2} 3 = m$ obliczymy $A = \log_{2} \sqrt{13,5}$ .

Zapisujemy liczbę podpierwiastkową w postaci ułamka, który następnie skracamy.

$A = \log_{2} \sqrt{\frac{135}{10}} = \log_{2} \sqrt{\frac{27}{2}}$

Zapisujemy logarytm ilorazu w postaci różnicy logarytmów.

$A = \log_{2} \sqrt{27} - \log_{2} \sqrt{2}$

Ponieważ $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}}$ i $\log_{2} 2 = 1$ , stąd

$A = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 27 - \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 2 = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 3^{3} - \frac{1}{2}$

Podstawiając $\log_{2} 3 = m$ , otrzymujemy

$A = \frac{3}{2} m - \frac{1}{2}$

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady, a następnie porównaj z prezentowanymi rozwiązaniami.

RejPCOivlYUbm

Polecenie 4

Wykaż, że jeżeli $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to $\log x y + (\log x^{2} y^{2} - \log x^{3} y^{3}) = 0$ .

$L = \log x y + \log \frac{x^{2} \cdot y^{2}}{x^{3} \cdot y^{3}} = \log x y + \log \frac{1}{x y}$

$L = \log \frac{x y}{x y} = \log 1 = 0$

$L = P$

Logarytm potęgi

Podamy teraz i udowodnimy twierdzenie o logarytmie potęgitwierdzenie o logarytmie potęgitwierdzenie o logarytmie potęgi bardzo przydatne w obliczeniach, szczególnie w naukach technicznych i w astronomii, gdzie często zachodzi konieczność potęgowania dużych liczb.

Twierdzenie o logarytmie potęgi

Twierdzenie: Twierdzenie o logarytmie potęgi

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczba $x$ jest liczbą dodatnią i $p \in ℝ$ , to:

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

Dowód

Założenie:

$a > 0$ , $a \neq 0$ – podstawa logarytmu,

$x > 0$ – liczba logarytmowana,

$p \in ℝ$ – wykładnik potęgi.

Teza:

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

Dowód

Oznaczmy: $\log_{a} x = k$ .

Z definicji logarytmu wynika, że:

x = a^{k}

Podnosimy obie strony zapisanej równości do potęgi $p$ .

x^{p} = {(a^{k})}^{p}

Z twierdzenia o potędze potęgi wynika, że ${(a^{k})}^{p} = a^{k \cdot p}$ .

Stąd:

x^{p} = a^{k \cdot p}

Zatem $k \cdot p$ jest wykładnikiem potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $x^{p}$ . Czyli:

\log_{a} x^{p} = k \cdot p = p \cdot k

Zastępujemy liczbę $k$ odpowiednim logarytmem. Otrzymujemy tezę:

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

Co kończy dowód.

Możemy powiedzieć: przy podstawie dodatniej i różnej od $1$ logarytm potęgi liczby dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu tej liczby przy tej samej podstawie.

Zauważmy, że prawdziwy jest też wzór odwrotny.

p \cdot \log_{a} x = \log_{a} x^{p}

Przykład 11

Zapiszemy podane logarytmy potęg w postaci iloczynu liczby wymiernej i logarytmu.

$\log_{2} 7^{9} = 9 \cdot \log_{2} 7$

$\log_{3} (5^{3} \cdot 5^{2}) = \log_{3} 5^{5} = 5 \cdot \log_{3} 5$

$\log_{0,1} 8^{- 1} = - \log_{0,1} 8$

$\log_{\sqrt{3}} 10^{\frac{3}{7}} = \frac{3}{7} \cdot \log_{\sqrt{3}} 10$

Ważne!

W przypadku, gdy wykładnik potęgi liczby logarytmowanej jest liczbą naturalną większą bądź równą $2$ , wykładnik ten zwyczajowo oznacza się $n$ .

Wzór zapisany w twierdzeniu o logarytmie potęgi można wówczas zapisać w postaci:

\log_{a} x^{n} = n \cdot \log_{a} x

Przykład 12

Zapiszemy podane liczby bez użycia logarytmów.

$\log_{2} 2^{3} = 3 \cdot \log_{2} 2 = 3 \cdot 1 = 3$

$\log 100^{100} = 100 \cdot \log 10^{2} = 200 \cdot \log 10 = 200 \cdot 1 = 200$

$\log_{5} 125^{- 2} = \log_{5} 5^{- 6} = - 6 \cdot 1 = - 6$

Przykład 13

Zapiszemy każdy z iloczynów w postaci logarytmu potęgi, a następnie w postaci logarytmu pewnej liczby.

$3 \cdot \log 5 = \log 5^{3} = \log 125$

$2 \cdot \log_{3} 4 = \log_{3} 4^{2} = \log_{3} 16$

$- 5 \cdot \log_{7} 2 = \log_{7} 2^{- 5} = \log_{7} \frac{1}{32}$

Wiemy, że obliczanie pierwiastka stopnia $n$ ( $n$ – liczba naturalna taka, że $n \geq 2$ ) liczby dodatniej jest szczególnym przypadkiem potęgowania.

Prawdziwa więc jest podana niżej wersja twierdzenia o logarytmie potęgi.

Twierdzenie o logarytmie pierwiastka

Twierdzenie: Twierdzenie o logarytmie pierwiastka

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczba $x$ jest liczbą dodatnią i $n$ jest liczbą naturalną taką, że $n \geq 2$ , to:

\log_{a} \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_{a} x

Przykład 14

Zapiszemy podane liczby bez użycia symbolu pierwiastka.

$\log_{11} \sqrt{8} = \frac{1}{2} \cdot \log_{11} 8$

$\log_{3} \sqrt[3]{81} = \frac{1}{3} \cdot \log_{3} 81 = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}$

$\log_{2} \sqrt[7]{8} = \frac{1}{7} \cdot \log_{2} 8 = \frac{1}{7} \cdot 3 = \frac{3}{7}$

Przykład 15

Zapiszemy podane liczby w postaci logarytmu pierwiastka.

$\frac{1}{2} \cdot \log 5 = \log \sqrt{5}$

$\frac{2}{3} \cdot \log_{2} 10 = \frac{1}{3} \cdot \log_{2} 10^{2} = \log_{2} \sqrt[3]{100}$

$- \frac{3}{2} \cdot \log 7 = \log 7^{- \frac{3}{2}} = \log \sqrt{{(\frac{1}{7})}^{3}}$

Zastosujemy teraz poznane twierdzenia do przekształcania wyrażeń arytmetycznych.

Przykład 16

Zapiszemy każde z wyrażeń w najprostszej postaci. W tym celu skorzystamy również z twierdzeń o logarytmie iloczynu i logarytmie ilorazu.

$6 \cdot \log 2 \sqrt{5} - 2 \cdot \log 2 = \log \frac{8000}{4} = \log 2000 = \log (2 \cdot 1000) = \log 2 + \log 1000 = \log 2 + 3$

$2 \cdot \log_{4} 4 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot \log_{4} 9 = \log_{4} \frac{48}{3} = \log_{4} 16 = 2$

$\log_{12} 2^{2} + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} 36 - \log_{12} 2 = \log_{12} (\frac{24}{2}) = \log_{12} 12 = 1$

Przykład 17

Znajdziemy liczbę $x$ taką, że $1 - 3 \cdot \log 3 + \log x^{2} + \log 54 = 3 - \frac{1}{4} \cdot \log 16 + \log x$ .

Zapisujemy liczby $1$ i $3$ za pomocą logarytmów oraz liczbę $(3 \cdot \log 3)$ za pomocą logarytmu potęgi.

$\log 10 - \log 3^{3} + \log x^{2} + \log 54 = \log 1000 - \log 2 + \log x$

Zapisujemy wyrażenia z niewiadomą po lewej stronie równości. Pozostałe wyrażenia zapisujemy po prawej stronie równości.

$2 \cdot \log x - \log x = \log 1000 - \log 2 - \log 10 + \log 3^{3} - \log 54$

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu i z twierdzenia o logarytmie ilorazu.

$\log x = \log \frac{1000 \cdot 27}{2 \cdot 10 \cdot 54}$

$\log x = \log 25$

Porównujemy liczby logarytmowane – korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.

$x = 25$

Liczba $25$ jest dodatnia (liczba logarytmowana musi być dodatnia), zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź:

Szukana liczba to $25$ .

Przykład 18

Wiedząc, że $\log_{2} 3 = m$ obliczymy $K = \log_{2} \sqrt{13, 5} + \log_{2} \sqrt[3]{9}$ .

Zapisujemy w pierwszym ze składników liczbę podpierwiastkową w postaci ułamka, który następnie skracamy. W drugim składniku liczbę podpierwiastkową zapisujemy w postaci potęgi.

$K = \log_{2} \sqrt{\frac{135}{10}} + \log_{2} 3^{\frac{2}{3}} = \log_{2} \sqrt{\frac{27}{2}} + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} 3$

Zapisujemy logarytm ilorazu w postaci różnicy logarytmów.

$K = \log_{2} \sqrt{27} - \log_{2} \sqrt{2} + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} 3$

Ponieważ $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}}$ i $\log_{2} 2 = 1$ , stąd

$K = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 27 - \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 2 + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} 3 = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 3^{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} 3$

Podstawiając $\log_{2} 3 = m$ , otrzymujemy

$K = \frac{3}{2} m - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} m = 2 \frac{1}{6} m - \frac{1}{2}$

Polecenie 5

Zapoznaj się z filmem samouczkiem. W zapisie i dowodzie twierdzenia o logarytmie potęgi użyliśmy tu nieco innych oznaczeń, niż w podobnym materiale w sekcji „Przeczytaj”. Zastanów się, dlaczego.

RpXW4rnK4lZ5D

Polecenie 6

Wykaż, że jeżeli $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to $\log x y + (\log x^{2} y^{2} - \log x^{3} y^{3}) = 0$ .

$L = \log x y + (2 \cdot \log x y - 3 \cdot \log x y) = \log x y - \log x y = 0$

$L = P$

R1NMhqaq21NjA1

Ćwiczenie 1

R1aUTruWUPWrR1

Ćwiczenie 2

R1KBSvhdo1DRW2

Ćwiczenie 3

R1KLWS8OXTWpD2

Ćwiczenie 4

RwSAKYYbVlayr2

Ćwiczenie 5

R11JndwtNBJro2

Ćwiczenie 6

RhRVC9TJw4sz02

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wiadomo, że $\log_{2} 7 = a$ i $\log_{2} 3 = b$ . Wykaż, że $\log_{2} 882 = 1 + 2 \cdot (a + b)$ .

Zauważ, że $882 = 2 \cdot 49 \cdot 9$

$\log_{2} 882 = \log_{2} (2 \cdot 49 \cdot 9)$

$\log_{2} 882 = \log_{2} 2 + \log_{2} 49 + \log_{2} 9$

$\log_{2} 882 = 1 + 2 a + 2 b = 1 + 2 \cdot (a + b)$

R1Hp9M1GVjbFv2

Ćwiczenie 9

R19Q2TByh4KO32

Ćwiczenie 10

R1UbSPmbNmkmT2

Ćwiczenie 11

RuP6K8suD2Mhh2

Ćwiczenie 12

R8qttESwVRLkZ2

Ćwiczenie 13

R7kTRjdbBNo8Y2

Ćwiczenie 14

R1cGhFvrOIsj93

Ćwiczenie 15

R19P4WRc5KtyL3

Ćwiczenie 16

R1Q2W4Jmz2rVC1

Ćwiczenie 17

RYOFf9iS6DwOj1

Ćwiczenie 18

R1Bx3ExL293j32

Ćwiczenie 19

R2Ss3roxAdHUQ2

Ćwiczenie 20

R4ZwUJcRa0SAd2

Ćwiczenie 21

R1droxKByz7LF2

Ćwiczenie 22

Połącz w pary równe wyrażenia, wiedząc, że a, b, c to liczby dodatnie, różne od a. logarytm z początek ułamka, a b, mianownik, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. logarytm z a, minus, logarytm z nawias, jeden, plus, a, zamknięcie nawiasu, 2. minus, logarytm z nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, plus, logarytm z c, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, logarytm z a b, minus, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 4. logarytm z a b, minus, dwa, razy, logarytm z c logarytm z nawias kwadratowy, c, podzielić na, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego Możliwe odpowiedzi: 1. logarytm z a, minus, logarytm z nawias, jeden, plus, a, zamknięcie nawiasu, 2. minus, logarytm z nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, plus, logarytm z c, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, logarytm z a b, minus, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 4. logarytm z a b, minus, dwa, razy, logarytm z c logarytm z pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, a b, mianownik, c, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. logarytm z a, minus, logarytm z nawias, jeden, plus, a, zamknięcie nawiasu, 2. minus, logarytm z nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, plus, logarytm z c, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, logarytm z a b, minus, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 4. logarytm z a b, minus, dwa, razy, logarytm z c logarytm z początek ułamka, a c, mianownik, a c, plus, c, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. logarytm z a, minus, logarytm z nawias, jeden, plus, a, zamknięcie nawiasu, 2. minus, logarytm z nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, plus, logarytm z c, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, logarytm z a b, minus, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 4. logarytm z a b, minus, dwa, razy, logarytm z c

R1QOw2gjCTd842

Ćwiczenie 23

Ćwiczenie 24

Wiadomo, że $\log_{2} 7 = a$ i $\log_{2} 3 = b$ . Wykaż, że $\log_{2} \frac{1}{882} = - 1 - 2 \cdot (a + b)$ .

Zauważ, że $882 = 2 \cdot 49 \cdot 9$

$\log_{2} \frac{1}{882} = \log_{2} 1 - \log_{2} 882$

$\log_{2} \frac{1}{882} = 0 - \log_{2} (2 \cdot 9 \cdot 49)$

$\log_{2} \frac{1}{882} = - (\log_{2} 2 + \log_{2} 9 + \log_{2} 49)$

$\log_{2} \frac{1}{882} = - 1 - 2 a - 2 b = - 1 - 2 \cdot (a + b)$

Rm1oOd7AAjDcK2

Ćwiczenie 25

R1dbafZYjmD4Q2

Ćwiczenie 26

R10csnXVKeSXL2

Ćwiczenie 27

R6VBmOaXAh8bj2

Ćwiczenie 28

RQhfvRLFxpwbY2

Ćwiczenie 29

R1AFkA9Nr4iIE2

Ćwiczenie 30

R1AFnXBrBjqxf3

Ćwiczenie 31

R1JCE5TXZjCSK3

Ćwiczenie 32

RCMqZGs4EgBSF1

Ćwiczenie 33

RKt9IxO6xNHkz1

Ćwiczenie 34

R13rOHEExSgdL2

Ćwiczenie 35

R1QpSdrTWpdId2

Ćwiczenie 36

R7bRSmZ2yXcaq2

Ćwiczenie 37

Rejxxld8idKVe2

Ćwiczenie 38

Połącz w pary równe wyrażenia, wiedząc, że a, b, c to liczby dodatnie, różne od jeden. logarytm z początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, mianownik, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa, razy, logarytm z początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka, plus, logarytm z b, 2. dwa, razy, logarytm z nawias, a, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, logarytm z nawias, a, plus, c, zamknięcie nawiasu, 3. logarytm z a b, minus, dwa, razy, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 4. logarytm z a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka zero przecinek pięć, razy, logarytm z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, c Możliwe odpowiedzi: 1. dwa, razy, logarytm z początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka, plus, logarytm z b, 2. dwa, razy, logarytm z nawias, a, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, logarytm z nawias, a, plus, c, zamknięcie nawiasu, 3. logarytm z a b, minus, dwa, razy, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 4. logarytm z a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka dwa, razy, logarytm z pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, a b, mianownik, c, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa, razy, logarytm z początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka, plus, logarytm z b, 2. dwa, razy, logarytm z nawias, a, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, logarytm z nawias, a, plus, c, zamknięcie nawiasu, 3. logarytm z a b, minus, dwa, razy, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 4. logarytm z a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka logarytm z nawias, a, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa, razy, logarytm z początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka, plus, logarytm z b, 2. dwa, razy, logarytm z nawias, a, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, logarytm z nawias, a, plus, c, zamknięcie nawiasu, 3. logarytm z a b, minus, dwa, razy, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 4. logarytm z a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, logarytm z pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka

R1WnVHwR7P4fP21

Ćwiczenie 39

Umieść liczby A, B, C, D, E, F w odpowiednich polach. Liczby wymierne Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, logarytm o podstawie cztery z cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, razy, logarytm o podstawie cztery z dwa koniec pierwiastka, 2. C, równa się, logarytm z indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pięć, plus, logarytm z indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa, plus, dwa, razy, logarytm z pięć, razy, logarytm z dwa, 3. D, równa się, logarytm o podstawie pięć z dwadzieścia pięć indeks górny, dwa tysiące dwadzieścia, koniec indeksu górnego, minus, dwa, razy, logarytm o podstawie siedem z początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. E, równa się, dwa, razy, logarytm o podstawie dwa z pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, zero przecinek dwa pierwiastek kwadratowy z logarytm o podstawie dwa z szesnaście koniec pierwiastka, 5. F, równa się, dwa, razy, logarytm o podstawie trzy z pięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, logarytm o podstawie trzy z osiem indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. B, równa się, zero przecinek dwa, razy, logarytm z dwa, plus, zero przecinek cztery, razy, logarytm z cztery, minus, zero przecinek pięć, razy, logarytm z pięć Liczby niewymierne Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, logarytm o podstawie cztery z cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, trzy, razy, logarytm o podstawie cztery z dwa koniec pierwiastka, 2. C, równa się, logarytm z indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pięć, plus, logarytm z indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa, plus, dwa, razy, logarytm z pięć, razy, logarytm z dwa, 3. D, równa się, logarytm o podstawie pięć z dwadzieścia pięć indeks górny, dwa tysiące dwadzieścia, koniec indeksu górnego, minus, dwa, razy, logarytm o podstawie siedem z początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. E, równa się, dwa, razy, logarytm o podstawie dwa z pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, zero przecinek dwa pierwiastek kwadratowy z logarytm o podstawie dwa z szesnaście koniec pierwiastka, 5. F, równa się, dwa, razy, logarytm o podstawie trzy z pięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, logarytm o podstawie trzy z osiem indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. B, równa się, zero przecinek dwa, razy, logarytm z dwa, plus, zero przecinek cztery, razy, logarytm z cztery, minus, zero przecinek pięć, razy, logarytm z pięć

Ćwiczenie 40

Wiadomo, że $\log_{2} 7 = a$ i $\log_{2} 3 = b$ . Wykaż, że $3 \cdot \log_{2} \sqrt[3]{49} + \frac{1}{3} \cdot \log_{2} 9 + \frac{1}{3} \cdot \log_{2} 3 = 2 a + b$ .

Wyłącz przed nawias $\frac{1}{3}$ i zastosuj w nawiasie twierdzenie o logarytmie iloczynu.

$L = \log_{2} 49 + \frac{1}{3} \cdot (\log_{2} 9 + \log_{2} 3)$

$L = 2 \cdot \log_{2} 7 + \frac{1}{3} \cdot \log_{2} 27 = 2 a + \log_{2} 3 = 2 a + b = P$

RnvNMUp8QoyOw2

Ćwiczenie 41

R14PegPsFZdDr2

Ćwiczenie 42

R1qCfhgm6T4xh2

Ćwiczenie 43

RRa705MKN2zI52

Ćwiczenie 44

RqVXyWl78r7gd2

Ćwiczenie 45

Rf6gPSJyIrXkH2

Ćwiczenie 46

RdlBZ8Fn3K5mi3

Ćwiczenie 47

RHQxBmj2HLvSr3

Ćwiczenie 48

Słownik

twierdzenie o logarytmie iloczynu

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczby $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to:

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

twierdzenie o logarytmie ilorazu

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczby $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to:

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

twierdzenie o logarytmie potęgi

jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczba $x$ jest liczbą dodatnią i $p \in ℝ$ , to:

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

1. Określenie logarytmu

3. Własności logarytmów - wzór na zamianę podstawy logarytmu