• Udowodnisz wzór na zmianę podstawy logarytmu.

• Przekształcisz wyrażenia arytmetyczne zawierające logarytmy.

• Zapiszesz w prostszej postaci wyrażenia algebraiczne, korzystając z poznanych wzorów logarytmicznych.

• Dobierzesz odpowiednią strategię, rozwiązując nietypowe problemy matematyczne zawierające logarytmy.

Jeżeli $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $b\ne 1$ i $c>0$, to ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}$.

Obliczymy ${\log }_{4}8$.

Zarówno $4$, jak i $8$ to wielokrotności liczby $2$. Nasuwa się więc wniosek, że warto zapisać ${\log }_{4}8$ za pomocą logarytmów o podstawie $2$.

${\log }_{4}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}=\frac{3}{2}$

Znajdziemy liczbę $x$ spełniającą warunek ${\log }_{2}x+2{\log }_{4}x+3{\log }_{8}x=6$.

Sprowadzimy  wszystkie logarytmy do tej samej podstawy. Mamy podobną sytuację jak w Przykładzie 1 – podstawy logarytmów są potęgami liczby $2$. Zatem zmieniamy podstawy logarytmów tak, aby w każdym logarytmie podstawa była równa $2$.

${\log }_{2}x+2·\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}+3·\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}8}=6$

Obliczamy wartości logarytmów.

${\log }_{2}x+2·\frac{{\log }_{2}x}{2}+3·\frac{{\log }_{2}x}{3}=6$

$3{\log }_{2}x=6/:3$

${\log }_{2}x=2$

Korzystamy z definicji logarytmu.

$x=2^2=4$

Liczba $4$ jest dodatnia, zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź: szukana liczba jest równa $4$.

Wyznaczymy ${\log }_{81}54$ wiedząc, że ${\log }_{3}2=a$.

Dążymy do tego, aby zapisać dany logarytm za pomocą pewnej liczby wymiernej      i ${\log }_{3}2$. Najwygodniej będzie więc zmienić podstawę logarytmu ${\log }_{81}54$ od razu na podstawę $3$.

${\log }_{81}54=\frac{{\log }_{3}54}{{\log }_{3}81}=\frac{{\log }_3(27·2)}{4}$

W liczniku otrzymanego ułamka zastosujemy wzór na logarytm iloczynu.

${\log }_{81}54=\frac{{\log }_{3}27+{\log }_{3}2}{4}=\frac{3+{\log }_{3}2}{4}$

Podstawiamy ${\log }_{3}2=a$.

${\log }_{81}54=\frac{3+a}{4}$

Wykażemy, że wartość wyrażenia $W={\log }_{2}3·{\log }_{3}4·{\log }_{4}5·\dots ·{\log }_{15}16$ jest liczbą naturalną.

W rozpatrywanym wyrażeniu każdy z logarytmów ma inną podstawę. Co więcej podstawy są liczbami parzystymi, jak również nieparzystymi. Dla podstaw nieparzystych trudno jest ustalić wspólną podstawę. Za to dla podstaw parzystych dogodną podstawą jest zwykle $2$. Zatem zmieniamy podstawy logarytmów na $2$.

$W=\frac{{\log }_{2}3}{1}·\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}3}·\frac{{\log }_{2}5}{{\log }_{2}4}·\dots ·\frac{{\log }_{2}16}{{\log }_{2}15}$

Po skróceniu otrzymujemy $W={\log }_{2}16=4$, $4\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Co należało wykazać.

Znajdziemy liczbę $x$ spełniającą warunek ${\log }_{7}4+{\log }_{49}x={\log }_{\frac{1}{7}}2$.

Z definicji logarytmu wynika, że poszukiwana liczba $x$ musi być dodatnia.  Zapisujemy każdy z logarytmów za pomocą logarytmów o podstawie $7$.

${\log }_{7}4+\frac{{\log }_{7}x}{{\log }_{7}49}=\frac{{\log }_{7}2}{{\log }_7\frac{1}{7}}$

Obliczamy wartości logarytmów zapisanych w mianownikach.

${\log }_{7}4+\frac{{\log }_{7}x}{2}=\frac{{\log }_{7}2}{-1}$

Mnożymy obie strony równości przez $2$.

$2{\log }_{7}4+{\log }_{7}x=-2{\log }_{7}2$

Przenosimy na prawą stronę $2{\log }_{7}4$ i wyłączamy przed nawias wspólny czynnik.

${\log }_{7}x=-2{\log }_{7}2-2{\log }_{7}4$

${\log }_{7}x=-2\left({\log }_{7}2+{\log }_{7}4\right)$

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu, a następnie ze wzoru na logarytm potęgi.

${\log }_{7}x=-2{\log }_{7}8$

${\log }_{7}x={\log }_7\frac{1}{64}$

Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej wynika, że $x=\frac{1}{64}$.

Liczba $\frac{1}{64}$ jest dodatnia, zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź: liczbą spełniającą warunek określony w treści zadania jest $\frac{1}{64}$.

Znajdziemy liczbę $x$ spełniającą warunek ${\log }_{x}10+{\log }_{x^4}10=5$.

Tym razem będziemy poszukiwać liczby znajdującej się w podstawie logarytmu, zatem dodatniej i różnej od $1$.

Oczywistym jest, że drugi z logarytmów zapiszemy za pomocą logarytmów o podstawie $x$.

${\log }_{x}10+{\log }_{x^4}10=5$

${\log }_{x}10+\frac{{\log }_{x}10}{{\log }_x{x}^4}=5$

${\log }_{x}10+\frac{{\log }_{x}10}{4}=5$

Mnożymy obie strony równości przez $4$ i wykonujemy wskazane działania.

$4{\log }_{x}10+{\log }_{x}10=20$

$5{\log }_{x}10=20/:5$

${\log }_{x}10=4$

Z definicji logarytmu wynika, że

$x^4=10$

$x=\sqrt[4]{10}$, bo $x>0$.

Znaleziona liczba jest dodatnia i różna od $1$, spełnia więc warunki zadania.

Obliczymy przybliżoną wartość liczby ${\log }_{2}6$.

Zapisujemy dany logarytm za pomocą logarytmów o podstawie $10$.

${\log }_{2}6=\frac{\log 6}{\log 2}$

Z tablic logarytmicznych odczytujemy: $\log 6\approx 0,78$ i $\log 2\approx 0,3$.

Zatem ${\log }_{2}6\approx \frac{0,78}{0,3}=2,6$.

$a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $b\ne 1$ i $c>0$, to ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}$