4. Zastosowanie logarytmów w fizyce i chemii i nie tylko - M_R_W02_M6 Logarytmy

R10d0xwl1HmBC

4. Zastosowanie logarytmów w fizyce, chemii i nie tylko

RWh2V7Q3G8Mf81

Zdjęcie przedstawia przekrój muszli w kształcie spirali. — Przekrój muszli Nautilus pompilius
Źródło: Chris 73, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Już samo słowo logarytm budzi strach u wielu humanistów, nie mówiąc już o twierdzeniach logarytmicznych. Jednak okazuje się, że logarytmy są przydatne nie tylko po to, aby zwiększać trudność zadań maturalnych, ale można je wykorzystać w całkiem przyjemny sposób, na przykład określając muzyczne interwały, badając kształt muszli, czy sprawdzając poprawność obliczeń księgowych.

W psychologii prawo określające związek między czasem potrzebnym jednostce na podjęcie decyzji a liczbą możliwych wyborów, opisane jest za pomocą logarytmów.

Suwaki logarytmiczne były przez wiele lat wykorzystywane jako przeliczniki miar, służyły do określania dawki leku, towarzyszyły kosmonautom w misji Apollo. Wciąż są używane w chemii analitycznej, przez płetwonurków i jako suwaki – kalkulatory zużycia paliwa.

Twoje cele

Zastosujesz logarytmy w obliczeniach z fizyki.

Zastosujesz logarytmy w obliczeniach z chemii i innych dziedzin wiedzy.

Przekształcisz wyrażenia zawierające logarytmy.
Dobierzesz odpowiedni model matematyczny opisując sytuację z kontekstem realistycznym.

Zastosowanie logarytmów w fizyce

W tym materiale pokażemy kilka zastosowań logarytmów w obliczeniach z fizyki. Przekształcając podane wzory, wykorzystamy własności logarytmów. Dla przypomnienia podamy najpierw definicję logarytmu.

logarytm

Definicja: logarytm

Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ .

Wahadło

Wahadło matematyczne to ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi, nieprzechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

Dla małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

RlTUxD7XnN69C

Grafika przedstawia łuk wyznaczony przez ruch wahadła, z końców łuku biegną dwie ukośne linie łączące się nad łukiem w środku jego rozpiętości. Linie te są oznaczone literą l. Na lewym końcu łuku zaznaczona została kropka. Obok łuku narysowany został rysunek przedstawiający wahadło i pokazujący sposób w jaki ono się porusza. Ramię wahadła jest podpisane litera l.

T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}

gdzie:
$T$ – okres drgań
$l$ – długość wahadła
$g$ – przyspieszenie ziemskie

Zauważmy, że podany wzór obowiązuje nie tylko w odniesieniu do drgań wahadła na Ziemi, ale też na innych planetach. Na Księżycu dane wahadło miałoby $\sqrt{6}$ razy dłuższy okres drgań, gdyż przyspieszenie grawitacyjne jest tam około sześciokrotnie mniejsze niż na Ziemi.

Przykład 1

Obliczymy, jaką długość powinno mieć wahadło, aby jego okres drgań w Warszawie wynosił $1 s$ . Przyjmijmy, że przyspieszenie ziemskie w Warszawie jest równe $981, 2 \frac{cm}{s^{2}}$ .

Rozwiązanie

Wyznaczymy $l$ ze wzoru

$T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ ,

gdzie $T = 1 s$ , $g = 981, 2 \frac{cm}{s^{2}}$ .

Zapisujemy wzór w postaci dogodniejszej dla obliczeń i podstawiamy do wzoru dane.

$2 π \sqrt{\frac{l}{g}} = T$

$2 π \sqrt{\frac{l}{981, 2}} = 1$

Logarytmujemy obie strony równania i przekształcamy.

$\log (2 π \sqrt{\frac{l}{981, 2}}) = \log 1$

$\log 2 π + \log \sqrt{\frac{l}{981, 2}} = 0$

$\log 2 π + 0, 5 (\log l - \log 981, 2) = 0$

$0, 5 \log l = 0, 5 \log 981, 2 - \log 2 π$

Odczytujemy z tablic logarytmicznych przybliżone wartości odpowiednich logarytmówlogarytmlogarytmów.

$\log 981, 2 \approx 2, 9918$

$\log 2 π \approx \log 6, 28 \approx 0, 7980$

Stąd:

$0, 5 \log l \approx 0, 5 \cdot 2, 9918 - 0, 7980$

$0, 5 \log l \approx 1, 4959 - 0, 7980 = 0, 6979$

$\log l \approx 1, 3958$ .

Ponownie sięgamy do tablic logarytmicznych.

$l \approx 24, 88 cm$

Rozwiąż powyższy przykład bez użycia logarytmówlogarytmlogarytmów. Porównaj otrzymane wyniki.

Absolutna wielkość gwiazdowa

Absolutna wielkość gwiazdowa to obserwowana wielkość gwiazdowa (wyrażona w magnitudo), jaką miałby obiekt oglądany z pewnej odległości przy braku pochłaniania światła w przestrzeni międzygwiezdnej.

W przypadku, gdy obiekt znajduje się poza Układem Słonecznym, za odległość odniesienia przyjęto $10$ parseków.
Parsek to jednostka odległości używana w astronomii.
$1$ parsek to około $3, 26$ roku świetlnego.
$1$ parsek to około $3, 1 \cdot 10^{16} m$ .

Absolutna wielkość gwiazdowa jest miarą jasności ciał niebieskich. Obserwowana wielkość gwiazdowa to jasność obserwowana gwiazdy w skali wielkości gwiazdowych.

Zależność między wielkością obserwowaną a absolutną wyraża się wzorem

M = m - 5 (\log r - 1)

gdzie:
$M$ – wielkość absolutna obiektu, określona jako wielkość obserwowana z odległości $10$ parseków,
$m$ – wielkość obserwowana,
$r$ – odległość między obserwatorem a obiektem, wyrażona w parsekach.

Przykład 2

Obliczymy jasność absolutną obiektu znajdującego się w odległości $652$ lat świetlnych, którego jasność obserwowana równa jest $0, 11$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $1$ parsek to $3, 26$ roku świetlnego, zatem $652$ lata świetlne to $200$ parseków.

Zatem:
$m = 0, 11$
$r = 200$ parseków

Podstawiamy te dane do wzoru na wielkość absolutną.

$M = 0, 11 - 5 (\log 200 - 1)$

$M = 0, 11 - 5 (\log 2 + 2 - 1)$

$M \approx 0, 11 - 5 (0, 3010 + 1) = - 6, 395$

Jasność absolutna obiektu jest równa około $(- 6, 395)$ .

Rząd wielkości

Rząd wielkości to przybliżone oszacowanie wartości danej liczby, określające w przyjętej skali przedział, w którym ta wielkość się znajduje. Znajomość rzędu wielkości pozwala na przykład ocenić rozmiar wpływu tej wielkości na wyniki obliczeń.

Rząd wielkości wyrażony jest przez całkowitą potęgę liczby $10$ najbliższą wartości szacowanej liczby.

Na przykład:

liczba $1, 21$ jest rzędu jedności, czyli $10^{0}$ ,

liczba $8 \cdot 10^{8}$ jest rzędu $10^{9}$ ,

liczba $7, 9 \cdot 10^{- 11}$ jest rzędu $10^{- 10}$ .

W matematyce do określania rzędu wielkości używa się też logarytmówlogarytmlogarytmów. Rząd wielkości to najbliższa całkowita wartość logarytmulogarytmlogarytmu dziesiętnego danej liczby.

Przykład 3

Człowiek waży $70 kg$ a świerszcz $0, 007 g$ . Obliczymy, o ile rzędów wielkości masa człowieka jest większa od masy świerszcza.

Rozwiązanie

$0, 007 g = 7 \cdot 10^{- 6} kg$

$\log 70 - \log (7 \cdot 10^{- 6}) = \log \frac{70}{7 \cdot 10^{- 6}} = \log 10^{7} = 7$

Masa człowieka jest o siedem rzędów wielkości większa od masy świerszcza.

Poziom natężenia dźwięku

Miarą siły dźwięku jest natężenie dźwięku. Jednostką natężenia dźwięku jest $\frac{W}{m^{2}}$ . W zakresie słyszalności człowieka dla dźwięku o częstotliwości $1000 Hz$ natężenie dźwięku przyjmuje wartość od $10^{- 12} \frac{W}{m^{2}}$ do $10^{2} \frac{W}{m^{2}}$ . Pierwsza wartość odpowiada progowi słyszalności, druga granicy bólu. Posługiwanie się natężeniem dźwięku nie jest wygodne, bowiem stosunek największej wartości natężenia do najmniejszej wyraża się bardzo dużą liczbą $10^{14}$ . Dlatego wprowadzono pojęcie poziomu natężenia dźwięku, który określa względną wartość natężenia wzorem

L = 10 \log (\frac{I}{I_{0}})

gdzie:
$L$ – poziom natężenia dźwięku,
$I$ – natężenie dźwięku,
$I_{0}$ – natężenie dźwięku odniesienia wynoszące $10^{- 12} \frac{W}{m^{2}}$ .

Jednostką poziomu natężenia dźwięku jest decybel ( $dB$ ).

Poziom natężenia dźwięku
Wartość w $dB$	Opis
$10$	szelest liści przy łagodnym wietrze
$20$	szept
$60$	rozmowa
$70$	samochód
$90$	ruch uliczny
$130$	start samolotu

Przykład 4

Natężenie muzyki na dyskotece jest $100000$ razy większe niż natężenie rozmowy. Obliczymy w decybelach poziom natężenia dźwięku na dyskotece.

Rozwiązanie

Z tabelki zamieszczonej powyżej odczytujemy, że poziom natężenia rozmowy jest równy $60 dB$ .

Wyznaczymy natężenie dźwięku odpowiadające rozmowie.

$60 = 10 \log (\frac{I}{10^{- 12}}) = 10 \log I - 10 \log 10^{- 12} / : 10$

$6 = \log I + 12$

$\log I = - 6$

$I = 10^{- 6} \frac{W}{m^{2}}$

Natężenie muzyki (oznaczamy $I_{1}$ ) jest $100000$ razy większe niż natężenie rozmowy, zatem

$I_{1} = 100000 \cdot I = 10^{5} \cdot 10^{- 6} = 10^{- 1}$

Zatem poziom natężenia muzyki na dyskotece:

$10 \log \frac{I_{1}}{I_{O}} = 10 \log \frac{10^{- 1}}{10^{- 12}} = 10 \cdot 11 = 110$

Odpowiedź: poziom natężenia dźwięków na dyskotece jest równy $110 dB$ .

Skala Richtera

Skala Richtera jest skalą logarytmiczną określającą wielkość trzęsienia Ziemi na podstawie amplitudy drgań wstrząsów sejsmicznych. Skala ta określa energię wytworzoną w czasie wstrząsu. Każdy kolejny stopień oznacza dziesięciokrotnie większą poziomą amplitudę drgań oraz około $32$ -krotnie większą energię.

Skala Richtera	Skutki
$2, 0 - 3, 4$	Wstrząsy odczuwalne przez niewielką grupę ludzi
$2, 0 - 3, 4$	Wstrząsy odczuwalne przez wszystkich, powodujące niewielkie zniszczenia
$6, 2 - 6, 9$	Duże wstrząsy, powodujące znaczne zniszczenia
$7, 0 - 7, 3$	Poważne zniszczenia
$7, 4 - 8, 0$	Ogromne zniszczenia
$8, 1 - 8, 9$	Ogromne zniszczenia, katastrofalne skutki dla wielu miast

Siła trzęsień Ziemi określana w skali Richtera opisana jest wzorem

R = \log \frac{A}{A_{0}}

gdzie:
$A$ – amplituda trzęsienia Ziemi wyrażona w $cm$ ,
$A_{0}$ – amplituda wzorcowa równa $10^{- 4} cm$ .

Przykład 5

Obliczymy amplitudę trzęsienia Ziemi o sile $6$ w skali Richtera.

Rozwiązanie

$6 = \log \frac{A}{10^{- 4}}$

$6 = \log A - \log 10^{- 4}$

$\log A = 6 - 4 = 2$

$\log A = 2$

$A = 10^{2} = 100$ $A = 100$

Amplituda tego trzęsienia Ziemi wynosiła $100 cm$ .

Polecenie 1

Poniżej widzisz mapę myśli, na której przedstawiono zastosowanie logarytmów w fizyce. Podaj swój przykład wykorzystania logarytmów w fizyce. Kliknij przycisk Edytuj, wypełnij pola tekstowe. Następnie wybierz przycisk Generuj.

Poniżej widzisz mapę myśli, na której przedstawiono zastosowanie logarytmów w fizyce. Podaj swój przykład wykorzystania logarytmów w fizyce. Uzupełnij luki pod mapą, wpisując odpowiednie kategorie.

RYShNrX8nR6lZ1

RRjyTeJleG6yF

Polecenie 2

Jeśli liczba zapisana jest w postaci $m \cdot 10^{n}$ , gdzie $m \in ⟨1, 10)$ , to do jej zapisu potrzeba $n + 1$ cyfr. Korzystając z logarytmów określ, ile cyfr będzie w zapisie liczby $8^{20}$ , przyjmując, że $\log 2 = 0, 3010$ .

$\log 8^{20} = 20 \log 8 = 20 \log 2^{3} = 60 \log 2 = 60 \cdot 0, 3010 = 18, 06$

W zapisie liczby $8^{20}$ będzie $19$ cyfr.

Zastosowanie logarytmów w chemii i nie tylko

RTq7Cqi9ubSat

Ilustracja przedstawia dwa zdjęcia. Po lewo umieszczono zdjęcie satelitarne huraganu Katarina, układający się w kształt spirali. Po prawo umieszczono zdjęcie galaktyki spiralnej. — Cyklon Catarina nad południowym Atlantykiem,
marzec 2004 i Galaktyka spiralna
Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Wiele zjawisk i obiektów przyrodniczych ma kształt spirali logarytmicznej. Na przykład taki kształt ma tor ruchu owada lecącego do źródła światła, ruch powietrza w czasie cyklonu czy muszle łodzików – morskich głowonogów. Spiralną strukturę mają też niektóre galaktyki.

Poniżej przykład jednego z najbardziej znanych zastosowań logarytmów w obliczeniach chemicznych – wyznaczanie kwasowości roztworów.

Określanie $p H$ roztworów

Skala $p H$ jest ilościową skalą kwasowości i zasadowości roztworów wodnych związków chemicznych.

Skala ta opiera się na aktywności jonów hydroniowych $[H_{3} O^{+}]$ w roztworach wodnych.

Najczęściej $p H$ oblicza się według wzoru:

p H = - \log [H_{3} O^{+}]

gdzie:
$[H_{3} O^{+}]$ – oznacza stężenie jonów hydroniowych, wyrażone w molach na ${dm}^{3}$ .

R1IBV45tDkHQm

Ilustracja zatytułowana jest „Przykładowe wartości pH”. Poniżej znajdują się dwie kolumny. Kolumna lewa ma nagłówek Substancja, kolumna prawa ma nagłówek pH, a w niej zapisane są wartości pH na tle w takim kolorze, jaki przybiera papierek lakmusowy przy badaniu pH danej substancji. Podamy teraz zaprezentowane wartości pH dla wymienionych substancji. 1. Jednomolowy kwas solny – pH równe 0, kolor czerwony, 2. Coca-cola – pH równe 2,5, kolor pomarańczowy 3. Ocet, – pH równe 2,9 kolor jasnopomarańczowy, 4. Herbata – pH równe 5,4, kolor żółty, 5. Mleko – pH równe 6,5, kolor jasnozielony, 6. Chemicznie czysta woda – pH równe 7, kolor zielony, 7. Woda morska – pH równe 8, kolor niebieski, 8. Mydło – pH w zakresie od dziewięciu do dziesięciu, kolor ciemnoniebieski, 9. Woda amoniakalna – pH równe 11,5, kolor granatowy.

Chemicy zwykle przyjmują uproszczoną wersję wzoru określającego $p H$ roztworu, opartą o stężenia jonów wodorowych.

p H = - \log [H^{+}]

Dla chemicznie czystej wody $p H = - \log 10^{- 7} = 7$ – woda ma odczyn obojętny.

Jeśli:
$p H < 7$	$p H = 7$	$p H > 7$
roztwór ma odczyn kwaśny	roztwór ma odczyn obojętny (woda)	roztwór ma odczyn zasadowy

Przykład 6

Obliczymy, jakie jest $p H$ treści żołądka, jeżeli stężenie jonów wodorowych w badanej próbce jest równe $2, 5 \cdot 10^{- 4} \frac{mol}{{dm}^{3}}$ .

$p H = - \log [2, 5 \cdot 10^{- 4}]$

$p H = - (\log 2, 5 - 4 \cdot \log 10)$

$p H \approx 4 - 0, 4 = 3, 6$

Odpowiedź:

$p H$ treści żołądka wynosi ok. $3, 6$ , czyli treść żołądka ma odczyn kwaśny.

Przykład 7

Obliczmy przybliżone stężenie jonów wodorowych w wodzie morskiej.

Z informacji podanych wyżej wnioskujemy, że $p H$ wody morskiej wynosi $8$ . Oznaczając szukane stężenie przez $S$ , otrzymujemy:

$8 = - \log S$

Zatem:

$S = 10^{- 8}$

Odpowiedź:

Stężenie jonów wodorowych w wodzie morskiej wynosi około $10^{- 8} \frac{mol}{{dm}^{3}}$ .

Określanie wieku znaleziska

Do określania wieku znaleziska archeologicznego można wykorzystać wynik pomiaru zawartości izotopu węgla ${}^{14}C$ w żyjącym organizmie (roślinnym lub zwierzęcym) - stosunek ilości radioaktywnego izotopu węgla ${}^{14}C$ do izotopu nieradioaktywnego ${}^{12}C$ jest stały i wynosi około $1, 5 \cdot 10^{- 12}$ . Po śmierci organizmu ilość radioaktywnego izotopu ${}^{14}C$ maleje (okres jego połowicznego rozpadu wynosi około $5700$ lat), a ilość izotopu ${}^{12}C$ pozostaje niezmieniona.

W $1946$ r. amerykański fizyk F. Libby zaproponował wzór opisujący masę $m$ próbki promieniotwórczego izotopu o okresie połowicznego rozpadu $T$ , po upływie czasu $t$ .

m = m_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}

gdzie:
$m_{0}$ – początkowa masa próbki.

Przykład 8

Obliczymy wiek znaleziska, w którym zmierzona zawartość izotopu ${}^{14}C$ jest równa $60 %$ początkowej zawartości tego izotopu.

Z informacji zapisanej powyżej wnioskujemy, że $T = 5700$ . Z treści zadania wynika, że $m = 0, 6 m_{0}$ .

Korzystamy ze wzoru: $m = m_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ . Mamy wyznaczyć $t$ .

$0, 6 m_{0} = m_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5700}} | : m_{0}$

$0, 6 = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5700}}$

Logarytmujemy obie strony zapisanego równania.

$\log (0, 6) = \log {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5700}}$

Przekształcamy równanie, korzystając z własności działań na logarytmach.

$\log 6 - \log 10 = \frac{t}{5700} (\log 1 - \log 2)$

$t = \frac{5700 \cdot (\log 6 - 1)}{- \log 2}$

Z tablic logarytmicznych odczytujemy:

$\log 2 \approx 0, 30$

$\log 6 \approx 0, 78$

Wyznaczamy przybliżoną wartość $t$ .

$t \approx \frac{5700 \cdot (0, 78 - 1)}{- 0, 30} = 4180$

Odpowiedź:

Przybliżony wiek znaleziska to około $4180$ lat.

Demografia

Pokażemy teraz zastosowanie logarytmówlogarytmlogarytmów do obliczeń demograficznych. Wykorzystamy wzór na procent składany.

Przykład 9

Średni przyrost naturalny ludności w miejscowości Jedlicze wynosi $20$ promili rocznie. Obliczymy, po ilu latach liczba mieszkańców tej miejscowości wzrośnie o $40 %$ .

Oznaczmy:
$M$ – obecna liczba mieszkańców,
$x$ – szukana liczba lat.

Jeśli teraz liczba ludności wynosi $M$ , to za $x$ lat będzie wynosiła $140 % M$ , czyli $\frac{7}{5} M$ .

Stosujemy wzór na procent składany.

$\frac{7}{5} M = M {(1 + \frac{20}{1000})}^{x}$

Z tego wzoru wyznaczamy $x$ .

$\frac{7}{5} M = M {(1 + \frac{20}{1000})}^{x} | : M$

$\frac{7}{5} = {(1 + \frac{20}{1000})}^{x}$

Logarytmujemy obie strony zapisanego równania.

$\log \frac{7}{5} = x \cdot \log (1, 02)$

$x = \frac{\log (1, 4)}{\log (1, 02)}$

$x \approx 17$

Odpowiedź:

Liczba mieszkańców wzrośnie o $40 %$ po około $17$ latach.

Zmiany ciśnienia atmosferycznego

Aby obliczyć wysokość szczytu górskiego można użyć barometru i skorzystać ze wzoru:

h = 18400 \cdot (\log b_{1} - \log b_{2})

gdzie:
$h$ – wysokość góry,
$b_{1}$ , $b_{2}$ – ciśnienie barometryczne (wyrażone w mm słupka rtęci) odpowiednio u podnóża góry i na jej wierzchołku.

Z tego wzoru można też korzystać, chcąc obliczyć wartość ciśnienia atmosferycznego u podnóża góry lub na jej wierzchołku.

Przykład 10

Obliczymy, jakie jest ciśnienie na wierzchołku góry o wysokości $1150 m$ , jeżeli u podnóża góry ciśnienie wynosi $750 \frac{mm}{Hg}$ . Wynik podamy z dokładnością do $0, 1 \frac{mm}{Hg}$ .

Do wzoru $h = 18400 \cdot (\log b_{1} - \log b_{2})$ wstawiamy $h = 1150 m$ , $b_{1} = 750 \frac{mm}{Hg}$ .

$1150 = 18400 \cdot (\log 750 - \log b_{2})$

Przekształcamy zapisaną równość.

$\frac{1150}{18400} - \log 750 = - \log b_{2}$

$\log 750 - 0, 0625 = \log b_{2}$

Z tablic logarytmicznych odczytujemy wartość $\log 750$ .

$\log 750 \approx 2, 8751$

Stąd

$\log b_{2} \approx 2, 8126$

$b_{2} \approx 10^{2, 8126}$

Ponownie korzystamy z tablic matematycznych.

$b_{2} \approx 649, 53$

Odpowiedź:

Ciśnienie atmosferyczne na wierzchołku góry wynosi około $649, 5 \frac{mm}{Hg}$ .

Wymiar fraktalny

Słowo fraktal pochodzi od łacińskiego frangere (łamać). Jest to bardzo trafna nazwa, bowiem wymiar fraktala zwykle nie jest liczbą całkowitą. Geometrycznie fraktal można zinterpretować jako figurę samopodobną, czyli taką, której części są podobne do całości. Dla figur samopodobnych określa się wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa (wymiarem fraktalnym), będącą uogólnieniem klasycznej definicji wymiaru.

Obliczanie wymiaru fraktala oparte jest na koncepcji tzw. pudełek. Daną figurę pokrywamy mniejszymi („pudełkami”), podobnymi do wyjściowej figury. Wymiar pudełkowy oparty jest na zliczaniu ilości „pudełek” pokrywających zbiór.

Jeśli figura w całej wielkości zawiera $N$ samopodobnych kopi siebie wielkości $s$ , to jej wymiar samopodobieństwa jest równy:

D_{s} = \frac{\log N}{\log \frac{1}{s}}

Dla przykładu wymiar fraktalny płuc szacuje się na ok. $2, 97$ , a powierzchni mózgu na ok. $2, 79$ .

Przykład 11

Obliczymy wymiar fraktalny zbioru Cantora.

R1Mh7rvFcJhT3

Rysunek przedstawia pogrubione poziome linie. Pierwsza od góry linia jest najdłuższa. Od lewej i od prawej narysowane są pod nią dwie kolejne linie o długości jednej trzeciej linii wyjściowej. Pod każdą z linii z drugiego poziomu narysowane są kolejne dwie linie o długości jednej trzeciej długości linii z drugiego poziomu i ponownie linie na trzecim poziomie są narysowane: jedna od lewej strony, druga od prawej. W czwartym wierszu powtórzono tę samą zasadę dla czterech linii z poziomu trzeciego.

Tworzenie zbioru Cantora rozpoczynamy od narysowania odcinka. Odcinek dzielimy na trzy, a następnie „wycinamy” środek. W podobny sposób postępujemy z utworzonymi „pozostałymi” odcinkami. Procedurę powtarzamy w nieskończoność.

Każdy nowo powstały odcinek jest więc podobny do poprzedniego w skali $3$ , a z każdego odcinka powstają dwa nowe.

Zatem:

$N = 2$

$s = \frac{1}{3}$

$D_{s} = \frac{\log 2}{\log (\frac{1}{\frac{1}{3}})} = \frac{\log 2}{\log 3}$

$D_{s} \approx 0, 63$

Odpowiedź:

Wymiar zbioru Cantora jest równy w przybliżeniu $0, 63$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się jeszcze z kilkoma ciekawymi możliwościami wykorzystania logarytmów w różnych dziedzinach życia.

Rhp1lcLVfQacm

Polecenie 4

Po podaniu człowiekowi pewnego leku, substancja czynna przenika do krwioobiegu. Jednak z każdą godziną ilość substancji zmniejsza się o $60 %$ . Podana dawka leku zawierała $200 mg$ substancji. Oblicz, po ilu godzinach zostanie w krwioobiegu tego człowieka mniej niż $50 mg$ substancji czynnej.

$200 \cdot {(0, 4)}^{t} < 50$

${(0, 4)}^{t} < 0, 25$

$t \cdot \log 0, 4 < \log 0, 25$

$t > \frac{0, 60}{0, 40}$

$t > 1, 5$

Odpowiedź:

Po ok. $2$ godzinach.

R3fVJcbm7K7OO1

Ćwiczenie 1

R9ToXK4VixwWY1

Ćwiczenie 2

R9uNi8ytelUyW1

Ćwiczenie 3

RkQ2ZZNBa2n1U2

Ćwiczenie 4

R1M9F2WBmXS1c2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Pierwsza prędkość kosmiczna to najmniejsza prędkość, jaką należy nadać obiektowi względem przyciągającego go ciała niebieskiego, aby poruszał się on po zamkniętej orbicie.
Pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć ze wzoru
$v_{1} = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ ,
gdzie:
$v_{1}$ – pierwsza prędkość kosmiczna,
$G$ – stała grawitacji,
$M$ – masa ciała niebieskiego, $R$ – promień planety.

Oblicz, korzystając z logarytmów, pierwszą prędkość kosmiczną dla Ziemi. Wynik zaokrąglij do jedności. Przyjmij:

$G = 6, 7 \cdot 10^{- 11} N \cdot m^{2} \cdot {kg}^{- 2}$

$M = 6 \cdot 10^{24} kg$

$R = 6, 37 \cdot 10^{6} m$

$\log v_{1} = 0, 5 (\log G + \log M - \log R)$

$\log G \approx - 11 + 0, 83 = - 10, 17$

$\log M \approx 24 + 0, 78 = 24, 78$

$\log R \approx 6 + 0, 8 = 6, 8$

$\log v_{1} \approx - 10, 17 + 24, 78 - 6, 8$

$\log v_{1} \approx 3, 905$

$v_{1} \approx 10^{3, 905} \approx 8035$

$v_{1} \approx 8035 \frac{m}{s} \approx 8 \frac{km}{s}$

Pierwsza prędkość kosmitczna to około $8 \frac{km}{s}$ .

R1Mv5Sx8xwOJA3

Ćwiczenie 7

Punktem o najmniejszym na całej kuli ziemskiej przyspieszeniu ziemskim jest szczyt górski Huascaran w Peru. Wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi tam około dziewięć przecinek siedem sześć trzy dziewięć m/sindeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Poukładaj w odpowiedniej kolejności obliczenia prowadzące do wyznaczenia długości wahadła znajdującego się na szczycie Huascaran, którego okres drgań wynosi dziesięć s. Elementy do uszeregowania: 1. logarytm z l, w przybliżeniu równe, jeden przecinek trzy dziewięć trzy osiem, 2. l, w przybliżeniu równe, dwadzieścia cztery przecinek siedem sześć m, 3. logarytm z dziesięć, w przybliżeniu równe, logarytm z nawias, dwa PI pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, l, mianownik, dziewięć przecinek siedem sześć trzy dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. l, równa się, dziesięć indeks górny, jeden przecinek trzy dziewięć trzy osiem, koniec indeksu górnego, w przybliżeniu równe, dwadzieścia cztery przecinek siedem sześć dwa osiem, 5. dziesięć, w przybliżeniu równe, dwa PI pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, l, mianownik, dziewięć przecinek siedem sześć trzy dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, 6. zero przecinek sześć dziewięć sześć dziewięć, w przybliżeniu równe, zero przecinek pięć logarytm o podstawie pięć z l, 7. jeden, w przybliżeniu równe, zero przecinek siedem dziewięć siedem dziewięć, plus, zero przecinek pięć logarytm o podstawie pięć z l, minus, zero przecinek cztery dziewięć cztery osiem, 8. jeden, w przybliżeniu równe, zero przecinek trzy zero jeden zero, plus, zero przecinek cztery dziewięć sześć dziewięć, plus, zero przecinek pięć logarytm o podstawie pięć z l, minus, zero przecinek pięć, razy, zero przecinek dziewięć osiem dziewięć sześć, 9. jeden, w przybliżeniu równe, logarytm z dwa, plus, logarytm z PI, plus, zero przecinek pięć logarytm o podstawie pięć z l, minus, zero przecinek pięć logarytm o podstawie pięć z dziewięć, przecinek, siedem tysięcy sześćset trzydzieści dziewięć

Ćwiczenie 8

Oblicz za pomocą logarytmów, z jaką prędkością początkową wystrzelono do góry pocisk, jeśli osiągnął on wysokość $2000 m$ . Przyjmij, że przyspieszenie grawitacyjne wynosi $10 \frac{m}{s^{2}}$ . Wynik podaj z dokładnością do $0, 1 \frac{m}{s}$ .

Skorzystamy ze wzoru

$v = \sqrt{2 g h}$ ,
gdzie
$v$ – prędkość początkowa (w $\frac{m}{s}$ ),
$g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ ,
$h = 2000$ .

Logarytmujemy obie strony zapisanej równości.

$\log v = 0, 5 \log (2 g h)$

Przekształcamy prawą stronę równości.

$\log v = 0, 5 (\log 2 + \log g + \log h)$

Do otrzymanej równości wstawiamy odpowiednie liczby.

$\log v = 0, 5 (\log 2 + \log 10 + \log 2000)$

Obliczamy.

$\log v = 0, 5 (\log 2 + 1 + \log 2 + 3) = \log 2 + 2$

Ponieważ $\log 2 \approx 0, 3$ , stąd:

$\log v \approx 2, 3$

$v \approx 10^{2, 3} \approx 199, 5$

Pocisk wystrzelono z prędkością około $199, 5$ $\frac{m}{s}$ .

R1ZJRbNLC49Yq1

Ćwiczenie 9

RrWprR67OH64l1

Ćwiczenie 10

RhOWI8zzL8nYI2

Ćwiczenie 11

RheTZ8y94AaFA2

Ćwiczenie 12

R1JNpXTEUx97r2

Ćwiczenie 13

R1JRyCgiPLNJT2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Szybkość wiatru w pobliżu centrum tornada zależy od odległości, jaką tornado może pokonać.

Opisuje to wzór:

$v = 93 \cdot \log s + 65$ ,

gdzie:
$v$ – prędkość w milach na godzinę,
$s$ – długość drogi w milach.

Określ prędkość tornada, które pokonało dystans $100$ mil.

$v = 93 \cdot \log 100 + 65 = 93 \cdot 2 + 65 = 251$

Prędkość tornada wynosiła $251$ mil na godzinę.

Ćwiczenie 16

Oblicz, ile procent światła przenika do lasu na głębokość $10 m$ , jeśli średnio na $1 m^{2}$ rośnie jedno drzewo, a średnica pni drzew na wysokości $150 cm$ jest równa $40 cm$ .

Skorzystaj ze wzoru:

$- 0, 43 \cdot n \cdot d \cdot l = \log \frac{I}{I_{0}}$ ,

gdzie:
$n$ – liczba drzew rosnących na $1 m^{2}$ ,
$d$ – średnica drzew,
$l$ – głębokość lasu,
$I$ – natężenie światła na głębokości $l$ ,
$I_{0}$ – natężenie światła padającego na brzeg lasu.

$- 0, 43 \cdot 1 \cdot 0, 4 \cdot 10 = \log \frac{l}{I_{0}}$

$- 1, 72 = \log \frac{I}{I_{0}}$

$\frac{I}{I_{0}} \approx 0, 02 = 2 %$

Przenika tylko $2 %$ światła.

Słownik

logarytm

logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$

3. Własności logarytmów - wzór na zamianę podstawy logarytmu

M_R_W02_M6 Logarytmy

4. Zastosowanie logarytmów w fizyce, chemii i nie tylko

Zastosowanie logarytmów w fizyce

Wahadło

Absolutna wielkość gwiazdowa

Rząd wielkości

Poziom natężenia dźwięku

Skala Richtera

Zastosowanie logarytmów w chemii i nie tylko

Określanie pH roztworów

Określanie wieku znaleziska

Demografia

Zmiany ciśnienia atmosferycznego

Wymiar fraktalny

Słownik

Określanie $p H$ roztworów