1. Dziedzina funkcji

R1C9Hl3rCJmqE

Wyznaczanie dziedziny funkcji jest bardzo ważną umiejętnością w nauce o funkcjach. Wiemy, że funkcję możemy opisać różnymi sposobami. W jaki sposób wyznaczamy dziedzinę funkcji liczbowej? W jaki sposób możemy wyznaczyć dziedzinę funkcji opisanej za pomocą grafu, tabelki lub zbioru par uporządkowanych? Jak wyznaczamy dziedzinę funkcji, gdy znamy jej opis słowny? Czy jest specjalny sposób wyznaczania dziedziny funkcji opisanej za pomocą wykresu lub wzoru? Poszukamy odpowiedzi na te pytania w poniższym materiale.

Twoje cele

Wyznaczysz dziedzinę funkcji opisanej za pomocą wzoru, tabelki, grafu, opisu słownego lub zbioru par uporządkowanych.
Wyznaczysz dziedzinę funkcji liczbowej opisanej za pomocą wykresu, tabelki lub wzoru.
Odczytasz z wykresu funkcji liczbowej dziedzinę funkcji.

Podczas lekcji będziemy się często powoływać na definicję funkcji. Przypomnijmy ją.

Funkcja

Definicja: Funkcja

Dane są dwa niepuste zbiory $X$ i $Y$ .

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element $y$ ze zbioru $Y$ .

Symbolicznie oznaczamy $f$ : $X \to Y$ i czytamy „funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$ ”.

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji $f$ , a jego elementy argumentami funkcji $f$ . Dziedzinę funkcji oznaczamy symbolicznie $D_{f}$ .

Funkcje możemy opisywać na wiele sposobów. Dla każdego z tych opisów pokażemy sposób wyznaczania dziedziny.

Przykład 1

FunkcjafunkcjaFunkcja $f$ opisana jest słownie.

Funkcja $f$ każdej liczbie naturalnej $x$ takiej, że $x \in ⟨27, 39⟩$ przyporządkowuje jej największy dzielnik, który jest liczbą pierwszą.

Rozwiązanie:

Z opisu funkcji możemy odczytać, że dziedziną tej funkcji są liczby naturalne należące do przedziału $⟨27, 39⟩$ .

Symbolicznie możemy zapisać $D_{f} = \{27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39\}$ .

Przykład 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą grafu.

R1US3BLQJSB12

Ilustracja przedstawia funkcję f opisaną za pomocą grafu. Zbiór x zawiera liczby: minus 4, minus 2, 0, 1, 2, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Zbiór y zawiera liczby: minus 1, 0, 1; Liczbom ze zbioru X przyporządkowano liczby ze zbioru Y rysując strzałki przebiegające od danego elementu z X do przyporządkowanemu mu elementu z Y. Przyporządkowanie jest następujące liczbie minus 4 liczbę minus 1, liczbie minus 2 liczbę minus 1, zeru zero, liczbie 1 liczbę 1, liczbie 2 liczbę 1 i liczbie trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka także liczbę jeden

Rozwiązanie:

Analizując graf odczytujemy dziedzinę funkcji.

Do dziedziny funkcji należą elementy umieszczone w lewej części grafu.

Stąd $D_{f} = {- 2, - 1 \frac{1}{3}, 0, 1, 2 \frac{1}{2}}$ .

Przykład 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$- 3 \sqrt{3}$	$- 2 \sqrt{2}$	$- 1$	$0$	$\sqrt{2}$	$3$	$2 \sqrt{5}$	$6$	$8 \sqrt{2}$
$f (x)$	$27$	$8$	$1$	$0$	$2$	$9$	$20$	$36$	$128$

Rozwiązanie:

Do dziedziny funkcji należą liczby zapisane w pierwszym wierszu tabelki.

Stąd $D_{f} = \{- 3 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{2}, - 1, 0, \sqrt{2}, 3, 2 \sqrt{5}, 6, 8 \sqrt{2}\}$ .

Przykład 4

Na lekcjach chemii posługujemy się tabelką, która zawiera liczby atomowe pierwiastków. Liczba atomowa jest to liczba określająca, ile protonów znajduje się w jądrze danego atomu. Jest ona równa liczbie elektronów niezjonizowanego atomu.

Poniżej przedstawiona jest tabelka częściowa zawierająca liczby atomowe kilku pierwiastków.

Wskażemy dziedzinę tej funkcji, która symbolom pierwiastków przyporządkowuje liczby atomowe tych pierwiastków.

Symbol chemiczny	H	He	Li	Be	B	C	N	O	F	Ne	Na	Mg
Nazwa	wodór	hel	lit	beryl	bor	węgiel	azot	tlen	fluor	neon	sód	magnez
Liczba atomowa	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór pierwiastków chemicznych.

$D_{f} = \{H, He, Li, Be, B, C, N, O, F, Ne, Na, Mg\}$

Możemy przedstawić tę funkcję w postaci grafu. Elementy dziedziny funkcji umieścimy w lewej części grafu.

R1FNAvMgZyKOs

Rysunek przedstawia graf składający się z dwóch zbiorów reprezentowanych przez dwie pionowo ustawione elipsy. Relacja między zbiorami określona jest za pomocą strzałek biegnących ze zbioru X po lewej stronie do zbioru Y po prawej stronie. Zbiór X składa się z symboli pierwiastków: wodoru, helu, litu, berylu, boru, węgla, azotu, tlenu, fluoru, neonu, sodu, magnezu. Każdemu pierwiastkowi przyporządkowany jest dokładnie jeden element ze bioru Y. Elementami zbioru Y są liczby od 1 do 12. Każdy element ze zbioru Y ma swoją parę.

Przykład 5

Karolina jest uczennicą klasy pierwszej szkoły ponadpodstawowej. Wśród swoich koleżanek i kolegów przeprowadziła ankietę na temat ich zainteresowań pozaszkolnych. Wyniki ankiety przedstawiła w postaci grafu. Każdy uczestnik ankiety mógł wskazać tylko jeden interesujący go temat. Przeanalizujemy wyniki tego badania, sprawdzimy, czy jest to funkcja i wskażemy jej dziedzinę.

Rozwiązanie:

R1JNHvU1OYwwx

Powyższy graf przedstawia funkcję. Każdemu elementowi ze zbioru $X$ przyporządkowany jest dokładnie jeden element ze zbioru $Y$ . Dziedziną tej funkcji jest zbiór uczniów:

$X = \{$ Ania, Zosia, Kasia, Zuzia, Dominik, Daniel, Michał, Kuba, Antek, Tymon, Damian, Kinga, Klara, Paulina $\}$

Przedstawmy wyniki ankiety w postaci tabelki. Dziedzinę zapiszemy w lewej kolumnie.

Dziedzina	Wartości funkcji
Ania	taniec
Zosia	nauka języków obcych
Kasia	śpiew
Zuzia	sport
Dominik	śpiew
Daniel	sport
Michał	balet
Kuba	gra na instrumencie muzycznym
Antek	sport
Tymon	balet
Damian	gra na instrumencie muzycznym
Kinga	czytanie książek
Klara	gra na instrumencie muzycznym
Paulina	balet

Przykład 6

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego.

Funkcja $f$ każdej dwucyfrowej liczbie naturalnej $x$ należącej do przedziału $⟨10, 25⟩$ przyporządkowuje sumę jej cyfr. Wykonajmy tabelkę oraz graf tej funkcji i wskażmy jej dziedzinę.

Rozwiązanie:

Tabelka funkcji $f$ .

$x$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$
$f (x)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$

Dziedziną funkcji są liczby zapisane w pierwszym wierszu tabelki.

$D_{f} = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25\}$

Przedstawmy graf funkcji $f$ . Dziedzina funkcji umieszczona jest w lewej części grafu.

R13SVriWfCmTT

Rysunek przedstawia graf składający się z dwóch zbiorów reprezentowanych przez dwie pionowo ustawione elipsy. Relacja między zbiorami określona jest za pomocą strzałek biegnących ze zbioru

X

po lewej stronie do zbioru

Y

po prawej stronie. Zbiór

X

składa się z liczb od 10 do 25, zbiór

Y

składa się z liczb od 1 do 10. Każda liczba ze zioru

X

ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru

Y

, natomiast niektóre elementy ze zbioru

Y

są przyporządkowane do kilku elementów ze zbioru

X

. Przyporządkowanie jest następujące: 10 do 1, 11 oraz 20 do 2, 12 i 21 do 3, 13 i 22 do 4, 14 i 23 do 5, 15 i 24 do 6, 16 i 25 do 7, 17 do 8, 18 do 9 oraz 19 do 10.

Polecenie 1

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać zadania, następnie sprawdź swoje rozwiązania z animacją. Po analizie animacji wykonaj wskazane polecenia.

RlDkTVGms3XkW

Polecenie 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki. Wyznacz jej dziedzinę i narysuj graf funkcji.

$x$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$
$f (x)$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

Dziedzina funkcji $D_{f} = \{\frac{1}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, 16\}$ .

R181IJycs5JYI

Polecenie 3

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Sporządź tabelkę tej funkcji i wskaż jej dziedzinę.

Funkcja $f$ każdej liczbie naturalnej $x$ należącej do przedziału $(30, 42)$ przyporządkowuje liczbę jej dzielników.

Tabelka funkcji.

$x$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$	$40$	$41$
$f (x)$	$2$	$6$	$4$	$4$	$4$	$9$	$2$	$4$	$4$	$8$	$2$

Dziedzina funkcji $D_{f} = \{31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41\}$ .

Przykład 7

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(- 4 \frac{2}{3}, - 2), (- 3 \frac{3}{7}, - 4), (- \frac{2}{9}, - \frac{4}{11}), (- 1, - \frac{5}{6}), (2 \frac{3}{4}, 5), (3 \frac{3}{8}, 6 \frac{4}{5}), (4, 7 \frac{3}{5}), (6 \frac{1}{5}, 8 \frac{4}{7})\}$

Rozwiązanie:

Każda para uporządkowana jest postaci $(x, f (x))$ .

Dziedzinę funkcji tworzą wszystkie liczby, które są umieszczone na pierwszym miejscu w każdej parze.

Stąd $D_{f} = \{- 4 \frac{2}{3}, - 3 \frac{3}{7}, - \frac{2}{9}, - 1, 2 \frac{3}{4}, 3 \frac{3}{8}, 4, 6 \frac{1}{5}\}$ .

Wykres funkcji

Definicja: Wykres funkcji

Wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ .

Poniższe przykłady pokażą sposób określania dziedziny funkcji opisanej za pomocą wykresu.

Przykład 8

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RvX2LlwUN5MZk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus trzech do trzech. Na osi x oznaczono zbiór od minus 5,5 do cztery . Przy czym punkt minus 5,5 jest zaznaczony zamalowaną kropką, a punkt 4 jest zaznaczony niezamalowaną kropką. W układzie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch krzywych. Pierwsza jest łamaną składającą się z dwóch ukośnych odcinków. Pierwszy o końcach w zamalowanych punktach nawias minus pięć i pół średnik minus trzy zamkniecie nawiasu i w punkcie nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Drugi odcinek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i z prawej strony jest ograniczony niezamalowanym punktem nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu. Drugą składową wykresu jest obcięta parabola o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w zamalowanym punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Lewe ramię obcięte jest w zamalowanym punkcie nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, prawe ramię obcięte jest w niezamalowanym punkcie nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Wiadomo, że wykres funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych, to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , gdzie $x$ jest argumentem funkcji, a $f (x)$ wartością funkcji dla argumentu $x$ .

W celu odczytania z wykresu funkcji dziedziny tej funkcji należy odczytać wszystkie pierwsze współrzędne punktów wykresu.

Wyobraźmy sobie, że wszystkie pierwsze współrzędne punktów wykresu rzutujemy prostopadle na oś $X$ . Na osi $X$ tworzy nam się zbiór wszystkich argumentów funkcji $f$ , czyli dziedzina funkcji.

W przypadku narysowanego wykresu otrzymujemy $D_{f} = ⟨- 5,5; 4)$ .

Przykład 9

Na lekcjach chemii posługujemy się pojęciem rozpuszczalności.

Rozpuszczalność substancji to maksymalna ilość tej substancji, wyrażona w gramach, którą można rozpuścić w $100$ gramach rozpuszczalnika w danej temperaturze.

Poniżej przedstawione są wykresy rozpuszczalności kilku substancji. Określ dziedzinę funkcji, która temperaturze (w stopniach Celsjusza) przyporządkowuje rozpuszczalność danej substancji (w g na $100$ g wody).

R11BkWwkDm06n

Ilustracja przedstawia wykres rozpuszczalności różnych substancji chemicznych: cukru, azotanu pięć potasu, jodku potasu, octanu sodu, chlorku amonu, chlorku sodu. Oś pionowa Y określa rozpuszczalność substancji w gramach na 100 gram wody. Opisana jest od zera do dwustu pięćdziesięciu z podziałką co pięćdziesiąt. Oś pozioma X określa temperaturę w stopniach Celsjusza i jest opisana od zera do stu z podziałką co 20. Przybliżymy rozpuszczalność poszczególnych związków chemicznych. Rozpuszczalność cukru reprezentuje parabola. Cukier dla zera stopi ma rozpuszczalność około 180 gram na 100 gram wody i wychodzi poza skalę dwustu pięćdziesięciu gram przy pięćdziesięciu stopniach Celsjusza. Rozpuszczalność azotanu pięć potasu opisuje parabola. Azotan pięć potasu dla zera stopni ma rozpuszczalność około 10 gram na 100 gram wody i rośnie, dochodząc do dwustu czterdziestu gram dla stu stopni Celsjusza. Rozpuszczalność jodku potasu reprezentuje ukośna prosta. Jodek potasu ma rozpuszczalność 125 gram na 100 gram wody mającej zero stopni i osiąga rozpuszczalność około 210 gram dla wrzącej wody. Rozpuszczalność octanu sodu reprezentuje łukowata krzywa przypominająca lekko spłaszczoną parabolę. Octan sodu ma rozpuszczalność 120 g na 100 gram wody mającej zero stopni Celsjusza. Dla stu stopni Celsjusza octan ma z kolei rozpuszczalność 170 gram. Rozpuszczalność chlorku amony reprezentuje ukośna prosta. W wodzie o temperaturze 0 stopni Celsjusza rozpuścimy około 25 gram chlorku amonu, a w wodzie mającej 100 stopni Celsjusza rozpuścimy około 70 gram tego związku. Rozpuszczalność chlorku sodu reprezentuje pozioma prosta, co oznacza, że niezależnie od temperatury wody, zawsze rozpuścimy w niej 40 gram chlorku sodu.

Rozwiązanie:

Dziedzinę funkcji odczytujemy na osi poziomej. Do dziedziny funkcji należą liczby określające temperaturę.

Przykład 10

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu. Określimy jej dziedzinę.

R11oIHZGcCM1d

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z ukośnego odcinka lewostronnie otwartego. Niezamalowany punkt początkowy odcinka ma współrzędne -512;-2. Zamalowany punkt końcowy odcinka ma współrzędne -2;112. Dalej wykres ma kształt haka i zaczyna w punkcie otwartym o współrzędnych -2;-112. Od zamalowanego punktu o współrzędnych 1;112 i dalej przyjmuje ona postać ukośnego odcinka aż do zamalowanego punktu 6;314.

Rozwiązanie:

Wiemy, że wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , gdzie $x$ oznacza argument funkcji, $f (x)$ jest wartością funkcji dla argumentu $x$ .

Aby z wykresu odczytać dziedzinę funkcji należy odcięte wszystkich punktów należących do dziedziny zrzutować prostopadle na oś $X$ .

Na osi $X$ powstaje zbiór wszystkich argumentów funkcji, czyli dziedzina funkcji.

Rlsio8pWB7mzk

Ilustracja przedstawia ten sam układ współrzędnych z tą samą funkcją. Tutaj narysowano dodatkowo lewostronnie otwarty odcinek na osi X, będący rzutem dziedziny na tę oś. Odcinek przebiega od niezamalowanego punktu o współrzędnych -512;0 do zamalowanego punktu o współrzędnych 6;0.

W przypadku naszego wykresu dziedziną funkcji $f$ jest zbiór:

$D_{f} = (- 5 \frac{1}{2}, 6⟩$

Przykład 11

W prostokątnym układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji $f$ . Korzystając z wykresu funkcji określimy jej dziedzinę.

R1dHLNdDfsVmB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z ukośnej półprostej biegnącej od minus nieskończoności do zamalowanego punktu o współrzędnych -312;3. Dalej wykres funkcji jest ukośnym odcinkiem otwartym, którego początek znajduje się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych -312;112 i końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych 1;212. Dalej wykres przypomina kształtem wykres funkcji logarytmicznej o początku w niezamalowanym punkcie o współrzędnych 1;0. Wykres biegnie dalej do plus nieskończoności.

Rozwiązanie:

R7tLFRqSKh05F

Ilustracja przedstawia ten sam układ współrzędnych z tą samą funkcją. Tutaj narysowano dodatkowo rzut dziedziny na oś X, która pokrywa się z osią poza niezamalowanym punktem o współrzędnych 1;0.

Dziedzina funkcji $f$ to:

$D_{f} = (- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Przykład 12

Korzystając z wykresu funkcji $f$ , przedstawionym w prostokątnym układzie współrzędnych, określimy dziedzinę tej funkcji.

RT1CzNtn3ey6L

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z dwóch zamalowanych punktów o współrzędnych -5;212. Dalej wykres przyjmuje paraboliczny kształt od niezamalowanego punktu o współrzędnych -3;-1, do niemalowanego punktu o współrzędnych 0;2. Dalej wykres przyjmuje postać ukośnego odcinka od zamalowanego punktu o współrzędnych 1;3 do zamalowanego punktu o współrzędnych 5;5.

Rozwiązanie:

RsE87e4E4gv0c

Ilustracja przedstawia ten sam układ współrzędnych z tą samą funkcją. Tutaj narysowano dodatkowo rzut dziedziny na oś X. Rzut ten przebiega następująco: To niezamalowany punkt o współrzędnych -5;0, dalej odcinek prawostronnie otwarty od minus trzech do zera, dalej rzut składa się z odcinka od współrzędnej jeden do pięć.

Dziedzina funkcji $f$ to:

$D_{f} = \{- 5, - 3\} \cup (- 3, 0) \cup ⟨1, 5⟩$

Przykład 13

Określimy dziedzinę funkcji $f$ przedstawionej za pomocą wykresu.

RTdpPZNH9w6oi

Rozwiązanie:

R1RJTKBjwpR7s

Wykres przedstawia tę samą funkcję, co opisana wyżej, przy czym tutaj dodano rzut dziedziny na oś X. Rzut ten całkowicie pokrywa się z osią.

Do dziedziny funkcji należą wszystkie liczby rzeczywiste:

$D_{f} = ℝ$

Polecenie 4

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w filmie. Spróbuj samodzielnie rozwiązać podane przykłady, następnie sprawdź swoje rozwiązania z podanymi w filmie. Korzystając z podanych rozwiązań, wykonaj samodzielnie poniższe polecenia.

ROSHj5JX0J7Xa

Polecenie 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu. Wyznacz jej dziedzinę.

Re4LrxsOAjw4k

początkowym o współrzędnych -6;1 i końcowym o współrzędnych -4;52. Oba te punkty są wyróżnione jako punkty niezamalowane. Dalej wykres funkcji składa się z ukośnego odcinka o końcach zamalowanych. Początek odcinka znajduje się w punkcie o współrzędnych -4;1 i koniec w punkcie o współrzędnych -52;-1. Dalej wykres funkcji składa się z ukośnego odcinka o początku w końcu poprzedniego odcinka i o końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych 1;1. Następnie wykres funkcji składa się z poziomego odcinka o początku w niezamalowanym punkcie o współrzędnych 1;52 i końcu w zamalowanym punkcie o współrzędnych 3;52. Ostatnią składową wykresu funkcji jest ukośny odcinek o początku w zamalowanym punkcie o współrzędnych 3;52 i o końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych 5;-52.

Wykres funkcji $f$ składa się z pięciu odcinków. Dziedzinę funkcji odczytamy rzutując prostopadle końce tych odcinków na oś $X$ .

RrwF66WFAJwpc

Ilustracja przedstawia wykres funkcji opisany wyżej z tą różnicą, że tutaj zaznaczono rzut dziedziny na osi X. Rzut ten biegnie od minus sześciu (punkt niezamalowany) do jeden (punkt niezamalowany) i od jeden do pięciu (punkt niezamalowany), czyli składa się z dwóch odcinków otwartych.

Dziedzinę funkcji zapiszemy w postaci:

$D_{f} = (- 6, 1) \cup (1, 5)$

Polecenie 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu. Wyznacz dziedzinę i wzór tej funkcji.

RnGrTf12rTwpP

Wykres funkcji $f$ składa się z trzech odcinków. Dziedzinę funkcji odczytamy rzutując prostopadle końce tych odcinków na oś $X$ .

R1RIFMVMrEBad

Ilustracja przedstawia wykres funkcji opisany wyżej z tą różnicą, że tutaj zaznaczono rzut dziedziny na osi X. Rzut ten biegnie od minus pięciu (punkt zamalowany) do zera (punkt zamalowany) i od jeden (punkt niezamalowany) do pięciu (punkt zamalowany), czyli składa się z dwóch odcinków, przy czym drugi wymieniony jest lewostronnie otwarty.

Dziedzina funkcji równa jest sumie przedziałów:

$D_{f} = ⟨- 5, 0⟩ \cup (1, 5⟩$

Funkcję $f$ możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 x}{5} + 3, & dla x \in ⟨- 5, 0⟩ \\ \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, & dla x \in (1, 3) \\ 3, & dla x \in ⟨3, 5⟩ \end{cases}$

Bardzo często obok wzoru opisującego funkcję, zapisana jest jej dziedzina. W jaki sposób postępujemy, gdy mamy tylko wzór funkcji? Jak wówczas określamy jej dziedzinę? Odpowiedzi na powyższe pytania uzyskasz, analizując poniższe przykłady.

Pamiętamy, że przez dziedzinę funkcji zapisanej za pomocą wzoru, rozumiemy zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których są wykonalne wszystkie działania zapisane we wzorze funkcji. Oznacza to, że dziedziną funkcji liczbowej jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których można obliczyć wartość funkcji.

Przykład 14

Rozpatrzymy następujące funkcje opisane wzorami. Określimy dziedzinę każdej z tych funkcji.

a) $f (x) = - 2 x + 5$

b) $f (x) = \sqrt{x + 3}$

c) $f (x) = \frac{x^{3}}{x - 4}$

d) $f (x) = \frac{5}{\sqrt{x - 6}}$

Rozwiązanie:

Ad. a)

W zbiorze liczb rzeczywistych wykonalne jest mnożenie i dodawanie, tzn., każdą liczbę rzeczywistą możemy pomnożyć przez $(- 2)$ oraz do wyniku dodać liczbę pięć. Wynik tego działania też będzie liczbą rzeczywistą. Stąd wnioskujemy, że dziedziną funkcji $(x) = - 2 x + 5$ jest zbiór liczb rzeczywistych i zapisujemy $D_{f} = ℝ$ .

Ad. b)

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczyć tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest liczbą rzeczywistą nieujemną. Wynika z tego, że wartość funkcji $f$ możemy obliczyć wtedy, gdy spełniona jest nierówność

$x + 3 \geq 0$ , czyli wtedy, gdy $x \geq - 3$ .

Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{x + 3}$ jest przedział $⟨- 3, \infty)$ .

Zapisujemy, że $D_{f} = ⟨- 3, \infty)$ .

Ad. c)

Dowolną liczbę rzeczywistą można podnieść do sześcianu, od każdej liczby rzeczywistej można odjąć liczbę cztery, dzielenie sześcianu liczby rzeczywistej przez $x - 4$ jest możliwe tylko wtedy, gdy $x - 4 \neq 0$ . W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez $0$ jest niewykonalne.

Otrzymujemy: $x \neq 4$ .

Dziedziną funkcji $(x) = \frac{x^{3}}{x - 4}$ jest zbiór $ℝ ∖ \{4\}$ , czyli $D_{f} = ℝ ∖ \{4\}$ .

Ad. d)

Określając dziedzinę tej funkcji należy uwzględnić objaśnienia z poprzednich podpunktów, tzn. $x - 6 \geq 0$ i $x - 6 \neq 0$ .

Warunki te można zastąpić jedną nierównością: $x - 6 > 0$ .

Stąd wynika, że $x > 6$ , czyli $D_{f} = (6, \infty)$ .

Ważne!

Określając dziedzinę funkcji opisanej za pomocą wzoru musimy pamiętać, że:

pierwiastki stopnie parzystego można obliczać tylko z liczb rzeczywistych nieujemnych.
mianownik ułamka musi być zawsze liczbą różną od $0$ .

Przykład 15

Wyznaczymy dziedziny następujących funkcji:

$f (x) = - 2 x + 5$ ,
$f (x) = \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 5}$ ,
$f (x) = \sqrt{x + 7}$ ,
$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 8}}$ .

Rozwiązanie:

W zbiorze liczb rzeczywistych możemy każdą liczbę pomnożyć przez $(- 2)$ oraz do każdej liczby rzeczywistej możemy dodać liczbę $5$ .
Z tego faktu możemy wywnioskować, że dziedziną funkcji $f (x) = - 2 x + 5$ jest zbiór $ℝ$ .
Zapisujemy to $D_{f} = ℝ$ .
Dowolną liczbę rzeczywistą można podnieść do sześcianu i odjąć od niej liczbę $8$ . Dzielenie jest możliwe tylko wtedy, gdy dzielnik jest liczbą różną od $0$ .
Jest to możliwe wtedy, gdy $x^{2} - 5 \neq 0$ .
Otrzymujemy: $x^{2} \neq 5$ wtedy, gdy $x \neq \sqrt{5}$ i $x \neq - \sqrt{5}$ .
Czyli dziedziną funkcji $f (x) = \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 5}$ jest zbiór $ℝ ∖ \{- \sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ .
Możemy to zapisać: $D_{f} = ℝ ∖ \{- \sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ .
We wzorze opisującym funkcję, znajduje się pierwiastek kwadratowy.
Wiemy, że pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej.
Stąd wnioskujemy, że wartość funkcji $f$ możemy obliczyć tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność $x + 7 \geq 0$ , czyli $x \geq - 7$ .
Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{x + 7}$ jest przedział $⟨- 7, \infty)$ .
Możemy to zapisać: $D_{f} = ⟨- 7, \infty)$ .
W mianowniku ułamka mamy wyrażenie umieszczone pod znakiem pierwiastka kwadratowego. Wiemy, że pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej.
Pierwiastek kwadratowy umieszczony jest w mianowniku ułamka. Wiadomo, że dzielenie przez $0$ jest niewykonalne w zbiorze liczb rzeczywistych.
W celu wyznaczenia dziedziny funkcji $f$ , należy rozwiązać nierówność $x - 8 > 0$ , czyli $x > 8$ .
Dziedziną funkcji $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 8}}$ jest przedział $(8, \infty)$ .
Możemy to zapisać: $D_{f} = (8, \infty)$ .

Przykład 16

Wyznaczymy dziedzinę funkcji:

$f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{7}{x + 5}$ ,
$f (x) = \frac{\sqrt{7 - x}}{x + 3}$ ,
$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 4}} + \frac{5}{\sqrt{x - 4}}$ ,
$(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} + 4 x + 4}$ .

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{7}{x + 5}$ , należy rozważyć dwa warunki, które musi jednocześnie spełnić liczba $x$ :
$4 - x \geq 0$ i $x + 5 \neq 0$ .
Zbiorem rozwiązań nierówności $4 - x \geq 0$ jest przedział $(- \infty, 4⟩$ .
Jednocześnie $x \neq - 5$ .
Zapisujemy dziedzinę funkcji $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{7}{x + 5}$ w postaci sumy przedziałów $(- \infty, - 5) \cup (- 5, 4⟩$ .
Zatem: $D_{f} = (- \infty, - 5) \cup (- 5, 4⟩$ .
Podobnie, jak w podpunkcie a., należy rozważyć dwa warunki, które musi jednocześnie spełnić liczba $x$ :
$7 - x \geq 0$ i $x + 3 \neq 0$ .
Zatem dziedziną funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{7 - x}}{x + 3}$ jest suma przedziałów
$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7⟩$ .
Możemy to zapisać: $D_{f} = (- \infty, - 3) \cup (- 3, 7⟩$ .
Wzór funkcji zapisany jest w postaci sumy dwóch ułamków. W mianownikach tych ułamków zapisane są wyrażenia pod pierwiastkami kwadratowymi. Liczba $x$ musi spełniać jednocześnie dwa warunki:
$x + 4 > 0$ i $x - 4 > 0$ .
Możemy je zapisać: $x > - 4$ oraz $x > 4$ .
Zatem dziedziną funkcji $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 4}} + \frac{5}{\sqrt{x - 4}}$ jest przedział $(4, \infty)$ .
Stąd $D_{f} = (4, \infty)$ .
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} + 4 x + 4}$ , należy rozpatrzyć dwa warunki, które musi spełnić jednocześnie liczba $x$ :
$x + 2 \geq 0$ i $x^{2} + 4 x + 4 \neq 0$ .
Rozwiązaniem nierówności pierwszej jest przedział $⟨- 2, \infty)$ .
Drugi warunek możemy zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
${(x + 2)}^{2} \neq 0$ , stąd $x \neq - 2$ .
Zatem dziedziną funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} + 4 x + 4}$ jest przedział $(- 2, \infty)$ .
Dziedzinę funkcji $f$ możemy również zapisać: $D_{f} = (- 2, \infty)$ .

Czy wpływ na dziedzinę funkcji mają tylko pierwiastki kwadratowe i mianowniki ułamków?

Kolejne przykłady pozwolą odpowiedzieć na powyższe pytanie.

Przykład 17

Wyznacz dziedzinę funkcjidziedzina funkcji liczbowejdziedzinę funkcji:

$f (x) = \log_{2} (6 - 2 x)$ ,
$f (x) = \log_{(x - 3)} (3 x - 6)$ .

Rozwiązanie:

Z definicji logarytmu wiemy, że aby obliczyć wartość logarytmu, liczba logarytmowana musi być liczbą rzeczywistą dodatnią.
Wartość funkcji $f$ możemy obliczyć tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność
$6 - 2 x > 0$ , czyli $x < 3$ .
Dziedziną funkcji $f (x) = \log_{2} (6 - 2 x)$ jest przedział $(- \infty, 3)$ .
Stąd $D_{f} = (- \infty, 3)$ .
Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od $1$ .
W celu wyznaczenia dziedziny funkcji $f$ , musimy rozpatrzeć warunki dotyczące zarówno podstawy logarytmu, jak i liczby logarytmowanej. Dla przejrzystości rachunków, wyznaczymy oba zbiory osobno, a następnie wyznaczymy dziedzinę funkcji.
Najpierw zajmijmy się określeniem dziedziny ze względu na założenia podstawy logarytmu. Mamy zatem
$x - 3 > 0 \land x - 3 \neq 1$ , co daje nam
$x > 3 \land x \neq 4$ .
Zapiszemy rozwiązanie za pomocą przedziałów $x \in (3, 4) \cup (4, \infty)$ .
Teraz zajmijmy się warunkiem dotyczącym liczby logarytmowanej, która musi być nieujemną liczbą rzeczywistą. Zapiszemy
$3 x - 6 > 0$
$3 x > 6$
$x > 2$ .
Zatem ze względu na liczbę logarytmowaną $x \in (2, \infty)$ .
Zauważmy, że założenia podstawy logarytmu dają nam węższy zbiór, dla którego funkcja ma sens. Dziedzina całej funkcji jest iloczynem obu wyżej wyznaczonych zbiorów. Jako, że pierwszy zbiór zawiera się w drugim, to z rachunku zbiorów wynika, że $D_{f} = (3, 4) \cup (4, \infty)$ .

Podsumujmy dotychczasowe informacje dotyczące sposobu wyznaczania dziedziny funkcji opisanej za pomocą wzoru:

Jeżeli we wzorze funkcji występuje ułamek, to wyrażenie zapisane w mianowniku musi być zawsze różne od zera.
Jeżeli we wzorze funkcji występuje pierwiastek kwadratowy w liczniku, to wyrażenie podpierwiastkowe musi być zawsze większe lub równe zeru; jeśli w mianowniku, to musi być większe od zera.
Jeżeli we wzorze funkcji występuje logarytm o znanej podstawie, to wyrażenie logarytmowane musi być zawsze większe od zera.
Jeżeli we wzorze funkcji występuje logarytm i w podstawie logarytmu jest argument, to wyrażenie zapisane w podstawie logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią i różną od jedności.

Polecenie 7

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Spróbuj samodzielnie rozwiązać pokazane przykłady, następnie sprawdź swoje rozwiązania. Wykonaj wskazane polecenia.

R1ACueBwQGW3H

Korzystając z informacji przedstawionych w animacji, wykonaj polecenia.

Polecenie 8

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru:

$f (x) = \frac{x^{3} + 5}{x^{2} - 4} + \frac{\sqrt{2 x - 8}}{x^{2} - 9}$ .

Liczba $x$ musi spełniać jednocześnie trzy warunki:

$(x^{2} - 4 \neq 0) \land (x^{2} - 9 \neq 0) \land (2 x - 8 \geq 0)$

Warunek pierwszy: $x \neq - 2 \land x \neq 2$ .

Warunek drugi: $x \neq - 3 \land x \neq 3$ .

Warunek trzeci: $x \geq 4$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział:

$D_{f} = ⟨4, \infty)$ .

Polecenie 9

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru:

$f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{\log_{(x - 3)} (3 x - 5)}{- 2 x + 5}$ .

Liczba $x$ musi spełniać jednocześnie pięć warunków:

$(x + 3 \geq 0) \land (x - 3 > 0) \land (x - 3 \neq 1) \land (3 x - 5 > 0) \land (- 2 x + 5 \neq 0)$

Z warunku pierwszego wynika, że $x \in ⟨- 3, \infty)$ .

Z warunku drugiego wynika, że $x \in (3, \infty)$ .

Z warunku trzeciego wynika, że $x \neq 4$ .

Z warunku czwartego wynika, że $x \in (\frac{5}{3}, \infty)$ .

Z warunku piątego wynika, że $x \neq \frac{5}{2}$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest suma przedziałów:

$D_{f} = (3, 4) \cup (4, \infty)$ .

Polecenie 10

Przeanalizuj uważnie animację. Zastanów się w jaki sposób wyznaczamy dziedzinę funkcji opisanej różnymi sposobami. Po obejrzeniu animacji wykonaj samodzielnie wskazane polecenia.

Zapoznaj się z animacją. Zastanów się w jaki sposób wyznaczamy dziedzinę funkcji opisanej różnymi sposobami. Po obejrzeniu animacji wykonaj samodzielnie wskazane polecenia.

RERUPgEvi1pHr

Polecenie 11

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1WyamTKfGv11

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych odcinków i łuku między nimi. Od lewej mamy ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach: nawias minus pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias minus dwa i pół średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Łuk zaczyna się w prawym końcu odcinka i biegnie w dół, przecinając oś Y w punkcie y równa się minus trzy. Jest to najniżej położony punkt łuku. Stąd łuk biegnie w górę do zamalowanego punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu. W punkcie tym zaczyna się drugi odcinek, którego prawy koniec znajduje się w zamalowanym punkcie nawias sześć i pół średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu.

Odczytaj z wykresu dziedzinę tej funkcji.

Jaka jest dziedzina tej funkcji?

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨- 5, 6 \frac{1}{2}⟩$ .

Można zapisać dziedzinę w inny sposób: $D_{f} = ⟨- 5, 6 \frac{1}{2}⟩$ .

Polecenie 12

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f (x) = \frac{x + 3}{|x - 4| - 6}$

Wzór funkcji zapisany jest w postaci ułamka zwykłego.

Wiemy, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie możemy dzielić przez $0$ .

Stąd:

$|x - 4| - 6 \neq 0$

$|x - 4| \neq 6$

$x - 4 \neq 6$ i $x - 4 \neq - 6$

$x \neq 10$ i $x \neq - 2$

$D_{f} = ℝ ∖ \{- 2, 10\}$

Ćwiczenie 1

R19Pv65J5wi3V

Połącz w pary wzór opisujący funkcję z jej dziedziną. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z x, minus, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, minus, pięć, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego

Ćwiczenie 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki. Wskaż dziedzinę funkcji $f$ .

$x$	$- 3 \sqrt{3}$	$- 2$	$- 1$	$\frac{1}{5}$	$\frac{7}{8}$	$2$	$3 \frac{2}{3}$
$f (x)$	$- \frac{\sqrt{3}}{9}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$5$	$\frac{8}{7}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{11}$

RTCgRz8UOSq0j

Ćwiczenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu jak na rysunku poniżej.

RjqVjv0tO2A3X

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z trzech obiektów. Pierwszy obiekt to krzywa składająca się z dwóch ukośnych odcinków i dwóch łuków układających się w kształt pomiędzy literą v i u. Od lewej mamy ukośny odcinek ograniczony niezamalowanym punktem nawias minus 5 średnik dwa i pół zamknięcie nawiasu i o prawym końcu w zamalowanym punkcie nawias minus trzy i pół średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie w dół pierwszy łuk, który przecina oś X w punkcie x równa się minus trzy. Prawy koniec łuku znajduje się w zamalowanym punkcie nawias minus dwa średnik minus jeden i pół. Z tego punktu biegnie w górę drugi łuk, który przecina oś X w punkcie x równa się minus jeden. Prawy koniec drugiego łuku znajduje się w punkcie nawias zero średnik dwa. Z tego punktu biegnie ukośny odcinek ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugą składową wykresu funkcji jest ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach nawias 2 średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu oraz nawias 4 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Trzecią składową wykresu jest zamalowany punkt o współrzędnych nawias 5 średnik jeden i pół.

RZNTOoum5nQO9

R1IpHRRdl3YuI2

Ćwiczenie 4

RUuwZbeFXHwPt2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$
$f (x)$	$3$	$4$	$6$	$8$	$12$	$14$	$18$	$20$	$24$

RzjD4TDxSPR6O

R5jbbdwxKoarl3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

R12EqKSe3J6GX

R1bBxIZ3YPpMb

Połącz wykres funkcji z jej dziedziną. Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięciu i pionową osią y od minus 5 do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji będący łukiem. Wykres funkcji ma swój początek w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias ostry, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięciu i pionową osią y od minus 5 do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch obiektów. Pierwszy z nich to łuk, który ma swój początek w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus trzy i pół średnik dwa zamknięcie nawiasu, następnie przecina on oś x oraz oś y i jest prawostronnie ograniczony punktem o współrzędnych nawias dwa średnik dwa i pół zamknięcie nawiasu. Drugą składową wykresu jest ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach: nawias trzy średnik zero pół zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik trzy i pół zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias ostry, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięciu i pionową osią y od minus 5 do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch obiektów. Pierwszy z nich to łuk, który pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych i ma swój koniec w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi składnik również ma kształt łuku, jego początek znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu. Łuk wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias ostry, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięciu i pionową osią y od minus 5 do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji o kształcie hiperboli składający się z dwóch obiektów. Pierwszy składnik wykresu znajduje się w całości w drugiej ćwiartce układu i ma początek w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus pięć średnik zero pół zamknięcie nawiasu a następnie biegnie on do nieskończoności, jego asymptotami są osie układu współrzędnych. Drugi składnik znajduje się w czwartej ćwiartce układu i biegnie od minus nieskończoności i ma swój koniec w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias cztery średnik minus zero pół zamknięcie nawiasu, wykres wypłaszcza się do osi układu współrzędnych. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias ostry, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy przecinek pięć, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 9

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$- 2 \frac{3}{4}$	$- 1 \frac{7}{9}$	$- \frac{5}{21}$	$\frac{5}{7}$	$1 \frac{2}{3}$	$2$	$3 \frac{2}{3}$	$4$	$5$
$f (x)$	$- \frac{4}{11}$	$- \frac{9}{16}$	$- 4 \frac{1}{5}$	$\frac{7}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{11}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{5}$

RDZcWjTMAwYmE

Ćwiczenie 10

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą poniższego grafu.

RoPeyIrchvGvE

R1PymPwC6TlMR

RZWBwihFvQlI221

Ćwiczenie 11

R1ZslI4rQFISC21

Ćwiczenie 12

RGI9M6OTc1o5u2

Ćwiczenie 13

RHP57ksYF9Aje2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$- 1 - \sqrt{2}$	$1 - \sqrt{2}$	$\sqrt{2} - 1$	$2 \sqrt{2}$	$2 + 2 \sqrt{2}$
$f (x)$	$1 + \sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1$	$\sqrt{2}$	$2 \sqrt{2}$

RsLWoZdKW1ERY

Ćwiczenie 16

Nauczyciel wychowania fizycznego przeprowadził test sprawnościowy. Jednym z elementów tego testu był bieg na $60 m$ .

Wyniki tego biegu zapisał w tabelce.

Imię ucznia	Wynik (w sekundach)
Ania	$9, 8$
Zosia	$9, 6$
Kasia	$10, 1$
Paulina	$10, 4$
Zuzia	$9, 7$
Karolina	$10, 2$
Antek	$8, 7$
Janek	$8, 6$
Kuba	$9, 1$
Michał	$8, 9$
Damian	$9, 2$
Daniel	$9, 6$
Staś	$8, 8$

RjEWQl4Gcdv9Z

Ćwiczenie 17