• Wyznaczysz zbiór wartości funkcji, gdy funkcja będzie opisana za pomocą grafu, tabelki, wykresu, zbioru par uporządkowanych, wzoru.

• Sprawdzisz, czy podana liczba jest wartością danej funkcji.

• Udowodnisz, że podana liczba jest elementem zbioru wartości funkcji.

Wyznaczmy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą grafu.

RJnihrlYokkWf

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory liczbowe: po lewej zbiór $X$, po prawej zbiór $Y$. Oba zbiory sa niepuste. Zbiór $X$ zawiera następujące elementy: $-7;-5-1;0;2;5;7$. Zbiór $Y$ zawiera dwie grupy elementów. Jedna z grup otoczona jest dodatkową elipsą (jest to podzbiór zbioru $Y$). Elementy te są następujące: $-5;-3;1;2;4;7;9$. Poza tym podzbiorem zbiór $Y$ zawiera jeszcze trzy elementy: $0; 3; 5$. Każdy element ze zbioru $X$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element z podzbioru zbioru $Y$ i odwrotnie: każdy element z podzbioru zbioru $Y$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $X$. Elementy ze zbioru $Y$, które nie należą do wyszczególnionego podzbioru, czyli $0; 3; 5$ nie są przyporządkowane do żadnego elementu z $X$. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru $X$ do elementów ze zbioru $Y$. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: $\left(-7;-5\right), \left(-5;-3\right), \left(-1;1\right), \left(0;2\right), \left(2;4\right), \left(5;7\right), \left(7;9\right)$. Graf podpisany jest poniżej następująco: $f: X\to Y$.

Rozwiązanie

Z budowy grafu wiemy, że w lewej części, oznaczonej literą $X$, umieszczone są argumenty funkcji. Zbiór argumentów nazywamy dziedziną funkcji.

Prawa część grafu, oznaczona literą $Y$, zawiera elementy  przeciwdziedziny. To właśnie wśród elementów przeciwdziedziny szukamy zbioru wartości funkcji.

W przypadku rozpatrywanej funkcji zbiór wartości funkcji stanowią liczby $\left\{-5, -3, 1, 2, 4, 7, 9\right\}$.

Możemy zapisać to symbolicznie:

$Z{W}_f=\left\{-5, -3, 1, 2, 4, 7, 9\right\}$

Analizując graf możemy zauważyć, że zbiór wartości funkcji jest podzbiorem przeciwdziedziny funkcji $f$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą tabelki.

Rozwiązanie

Tabelka zbudowana jest w ten sposób, że w pierwszym wierszu umieszczamy argumenty funkcji $f$, czyli elementy dziedziny funkcji, a w drugim wierszu odpowiadające podanym argumentom wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcji $f$ tworzą liczby umieszczone w drugim wierszu, co możemy zapisać symbolicznie:

$Z{W}_f=\left\{0; \frac{2\sqrt{5}}{5}; 1; \sqrt{2}; 1,5; 1,7; \sqrt{3}; 2\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-4, \frac{15}{16}\right), \left(-3, \frac{7}{8}\right), \left(-2, \frac{3}{4}\right), \left(-1, \frac{1}{2}\right), \left(0, 0\right), \left(1, -1\right), \left(2, -3\right), \left(3, -7\right)\right\}$

Rozwiązanie

Uporządkowaną parę liczb tworzymy w sposób następujący:

• liczba zapisana z lewej strony, zwana również poprzednikiem, jest liczbą należącą do dziedziny funkcji;

• liczba zapisana po prawej stronie, zwana również następnikiem, to odpowiadająca poprzednikowi wartość funkcji.

Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji, należy „zebrać” wszystkie następniki z każdej pary.

Możemy zapisać to symbolicznie:

$Z{W}_f=\left\{-7, -3, -1, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ przedstawionej za pomocą opisu słownego.

Funkcja f każdej liczbie naturalnej $x$, takiej, że $x\in \left\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\right\}$ przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez $6$.

Rozwiązanie

Funkcja $f$ określona jest na zbiorze $\left\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\right\}$.

Obliczymy jej wartości dla wszystkich elementów.

$f\left(10\right)=4$

$f\left(11\right)=5$

$f\left(12\right)=0$

$f\left(13\right)=1$

$f\left(14\right)=2$

$f\left(15\right)=3$

$f\left(16\right)=4$

$f\left(17\right)=5$

$f\left(18\right)=0$

$f\left(19\right)=1$

$f\left(20\right)=2$

Zatem zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji $f$, to

$Z{W}_f=\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru. Rozpatrzymy dwa przypadki:

a) $f\left(x\right)=\frac{x+4}{x^2+5}$, gdy $x\in \left\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\right\}$,

b) $f\left(x\right)=2^{x+1}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie

Ad a)

Funkcja $f$ określona jest na zbiorze $\left\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\right\}$.

Obliczymy jej wartości dla poszczególnych argumentów.

$f\left(-3\right)=\frac{-3+4}{9+5}=\frac{1}{14}$

$f\left(-2\right)=\frac{-2+4}{4+5}=\frac{2}{9}$

$f\left(-1\right)=\frac{-1+4}{1+5}=\frac{1}{2}$

$f\left(0\right)=\frac{0+4}{0+5}=\frac{4}{5}$

$f\left(1\right)=\frac{1+4}{1+5}=\frac{5}{6}$

$f\left(2\right)=\frac{2+4}{4+5}=\frac{2}{3}$

$f\left(3\right)=\frac{3+4}{9+5}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$

Zatem zbiór wartości funkcji $f$ możemy zapisać symbolicznie:

$Z{W}_f=\left\{\frac{1}{14}, \frac{2}{9}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\right\}$.

Ad b)

Funkcja $f\left(x\right)=2^{x+1}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Wynika stąd, że jej zbiorem wartości będą wszystkie liczby rzeczywiste będące wartościami  liczbowymi wyrażenia $2^{x+1}$.

Z własności potęgowania wiemy, że gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią, to wartość potęgi też jest liczbą dodatnią.

Do dziedziny funkcji należą wszystkie  liczby rzeczywiste,  zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Symbolicznie możemy zapisać:

$Z{W}_f={ℝ}_{+}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

ROUtVz4BAmObf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią $Y$ od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowane są trzy ukośne odcinki składające się na wykres funkcji $f$. Funkcja działa na przedziale otwartym od minus pięciu do pięciu. Pierwszy odcinek jest ograniczony z lewej strony niezamalowanym punktem $\left(-5;-1\right)$, ma prawy koniec w zamalowanym punkcie $\left(-2;2\right)$. Drugi odcinek ograniczony jest lewostronnie niezamalowanym punktem $\left(-2;1\right)$, prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(\frac{3}{2};3\right)$. Trzeci odcinek jest ograniczony dwoma niezamalowanymi punktami. Z lewej strony punktem $\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, z prawej punktem $\left(5;-2\right)$.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu postępujemy w sposób następujący:

• wyobraźmy sobie prostą równoległą do osi $X$.

• przesuwajmy ją od najniżej położonego punktu na wykresie funkcji.

• gdy prosta przetnie się z wykresem funkcji, rzutujemy ten punkt na oś $Y$.

• postępujemy tak do wyczerpania się miejsc przecięcia wykresu i prostej.

• zaznaczony na osi $Y$ przedział jest zbiorem wartości funkcji.

Korzystając z powyższego sposobu, wyznaczymy zbiór wartości funkcji podanej w treści przykładu.

Wydaje się, że najniżej położonym punktem jest punkt, którego rzędna jest równa $\left(-2\right)$.

Punkt ten jednak  nie należy do wykresu funkcji.

W związku z tym zbiór wartości funkcji będzie lewostronnie otwarty.

Najwyżej położonym punktem należącym do wykresu funkcji jest punkt, którego rzędna jest równa $3$.

Oznacza to, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-2, 3\right.⟩$.

Możemy zapisać to symbolicznie:

$Z{W}_f=\left(-2, 3\right.⟩$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

R1CzK0auVSEmz

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do ośmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Dziedziną funkcji przedstawionej na płaszczyźnie jest przedział od minus sześciu do siemiu i pół. Funkcja składa się z czterech ukośnych odcinków. Pierwszy od lewej ma początek w punkcie o współrzędnych $\left(-6;5\right)$ i koniec w punkcie o współrzędnych $\left(-5;3\frac{1}{2}\right)$. Ten punkt jest równocześnie początkiem drugiego odcinka, którego koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(-2\frac{1}{2};4\frac{1}{2}\right)$. Punkt ten jest równocześnie początkiem trzeciego odcinka, którego koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(3;-1\frac{1}{2}\right)$. W tym punckie równocześnie zaczyna się czwarty odcinek, którego koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(7\frac{1}{2};6\right)$.

Rozwiązanie:

Wyobraźmy sobie prostą równoległą do osi $X$, która przesuwa się od najniżej położonego punktu na wykresie funkcji do góry, do punktu położonego najwyżej.

Gdy prosta przetnie się z wykresem funkcji, rzutujemy ten punkt na oś $Y$.

Postępujemy tak do wyczerpania miejsc przecięcia się wykresu i prostej.

Na osi $Y$ otrzymujemy przedział, który jest zbiorem wartości funkcji.

R1evhCKJ8Rmjg

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i przebiega od punktu $-1\frac{1}{2}$ do punktu $6$, przy czym wyróżniono tu też punkt na wysokości $5$.

W przypadku naszego wykresu jest to przedział $⟨-\mathrm{1,5}; 6⟩$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=⟨-\mathrm{1,5}; 6⟩$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

RcUyPKpH3YE0W

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do ośmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do pięciu. Funkcja składa się z czterech części. Pierwsza część to półprosta biegnąca od minus nieskończoności do niezamalowanego punktu o współrzędnych $\left(-5;1\frac{1}{2}\right)$. Półprosta ta przechodzi również na przykład przez punkt $\left(-6;3\right)$. Druga część wykresu to ukośny odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie $\left(-5;\frac{1}{2}\right)$. i końcu w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(-3;-\frac{1}{2}\right)$. Trzecia część to fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie o współrzędnych $\left(0;4\right)$. Lewy koniec znajduje się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(-3;1\right)$, a prawy symetrycznie względem pionowej osi, czyli w punkcie o współrzędnych $\left(3;1\right)$, który również nie jest zamalowany. Czwarta część wykresu to ukośna półprosta o początku w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(3;-1\right)$ przechodząca przez punkt o współrzędnych $\left(4;0\right)$.

Rozwiązanie:

Postępując podobnie, jak w poprzednim przykładzie, odczytujemy na osi $Y$ zbiór wartości funkcji $f$.

R11S60aMoJ6L3

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i przebiega od punktu $-1$ do plus nieskończoności, przy czym wyróżniono tu też punkty końcowe poszczególnych części wykresu i zrzutowano je na oś pionową. Są to punkty na następujących wysokościach: $-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, 1\frac{1}{2}, 4$.

Otrzymaliśmy przedział $\left.⟨-1, \infty \right)$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=\left.⟨-1, \infty \right)$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

R1GJulSXRpjOz

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do pięciu. Funkcja składa się z trzech części. Pierwsza część to łuk wybrzuszony w stronę początku układu współrzędnych, biegnący od zamalowanego punktu o współrzędnych $\left(-7;1\right)$ do niezamalowanego punktu o współrzędnych $\left(-2;5\right)$. Druga część wykresu to poziomy odcinek prawostronnie otwarty o początku w zamalowanym punkcie $\left(-2;1\right)$ i końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(1;1\right)$. Trzecia część to ukośny odcinek prawostronnie otwarty o początku w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(0;-2\right)$ i końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(5;-\frac{1}{2}\right)$.

Rozwiązanie:

Postępując podobnie, jak w poprzednich przykładach, odczytujemy na osi $Y$ zbiór wartości funkcji $f$.

R3sJYhUGKceXd

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i przebiega od zamalowanego punktu na wysokości $-2$ do niezamalowanego punktu na wysokości $-\frac{1}{2}$ i dalej od zamalowanego punktu na wysokości $1$ do niezamalowanego punktu na wysokości $5$. Te wyszczególnione punkty są zrzutowanymi na pionową oś końcami poszczególnych części wykresu.

Otrzymaliśmy zbiór $\left.⟨-2; -\mathrm{0,}5\right)\cup \left.⟨1; 5\right)$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=\left.⟨-2; -\mathrm{0,}5\right)\cup \left.⟨1; 5\right)$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

Sprawdzimy, która z liczb, należących do zbioru $\left\{-2; -\mathrm{0,5}; 0; 5\right\}$ jest wartością funkcji $f$.

RSbFFbtaHhaIq

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do pięciu. Funkcja składa się z trzech części. Pierwsza część to łukowaty fragment krzywej wybrzuszony w stronę początku układu współrzędnych, przy czym wybrzuszenie to jest przesunięte w kierunku górnego końca tej części wykresu. Początek fragmentu krzywej znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(-5\frac{1}{2};1\right)$, a koniec znajduje się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(-2;5\right)$. Druga część wykresu to fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół i wierzchołki w punckie $\left(0;-1\right)$. Lewy koniec fragmentu paraboli znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(-2;-5\right)$, a prawy w zamalowanym punkcie $\left(2;-5\right)$. Trzecia część to łuk znajdujący się w pierwszej ćwiartce układu wybrzuszony w stronę początku układu współrzędnych. Początek łuku znajduje się niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(2;5\right)$, natomiast koniec znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(6;1\right)$.

Rozwiązanie:

Postępujemy analogicznie, jak w poprzednich przykładach.

R3lLIGv82dkhm

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i przebiega od zamalowanego punktu na wysokości $-5$ do zamalowanego punktu na wysokości $-1$ i dalej od zamalowanego punktu na wysokości $1$ do niezamalowanego punktu na wysokości $5$. Te wyszczególnione punkty są zrzutowanymi na pionową oś końcami poszczególnych części wykresu.

Otrzymaliśmy zbiór $⟨-5, -1⟩\cup \left.⟨1, 5\right)$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=⟨-5, -1⟩\cup \left.⟨1, 5\right)$.

Sprawdzamy, która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji $f$:

$-2\in ⟨-5, -1⟩$, czyli należy do zbioru wartości funkcji $f$. To znaczy, że istnieje takie $x\in D_f$, że $f\left(x\right)=-2$.

$-\mathrm{0,5}\notin Z{W}_f$, to znaczy, że nie istnieje takie $x\in D_f$, że $f\left(x\right)=-\mathrm{0,5}$.

Podobnie liczby $0$ i $5$ nie należą do zbioru wartości funkcji $f$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

RcWddSv87RqCf

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Wykres składa się z poziomego odcinka o końcach w zamalowanych punktach o współrzędnych: $\left(-4;2\frac{1}{2}\right)$ oraz $\left(4\frac{1}{2};2\frac{1}{2}\right)$.

Rozwiązanie:

Z wykresu możemy odczytać, że funkcja $f$ przyjmuje tylko jedną wartość, równą $\mathrm{2,5}$ dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji.

RILyS93rKDrdi

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i jest to w tym przypadku zbiór jednoelementowy zawierający punkt na wysokości $2\frac{1}{2}$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=\left\{\mathrm{2,5}\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

RzseUeRc1UKGF

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do czterech. Wykres składa się z siedmiu punktów o następujących współrzędnych: $\left(-4;1\right), \left(-3;-1\right), \left(-2;2\right), \left(-1;3\right), \left(1\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right), \left(3;-1\frac{1}{2}\right), \left(4\frac{1}{2};-3\right)$.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $f$ składa się ze skończonej liczby punktów.

Zbiór wartości funkcji $f$ tworzą drugie współrzędne punktów należących do wykresu funkcji.

R65JiMpbJ2Uzx

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i jest to w tym przypadku zbiór siedmioelementowy zawierający punkty na wysokościach: $-3, -1\frac{1}{2}, -1, -\frac{1}{2}, 1, 2, 3$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=\left\{-3; -\mathrm{1,5}; -1;-\mathrm{0,5}; 1; 2; 3\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=-2x+3$, gdzie $x\in \left\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\right\}$.

Rozwiązanie:

Dziedzina jest zbiorem skończonym. Obliczamy wartości funkcji dla wszystkich liczb należących do dziedziny funkcji.

$f\left(-2\right)=-2·\left(-2\right)+3=4+3=7$

$f\left(-1\right)=-2·\left(-1\right)+3=2+3=5$

$f\left(0\right)=-2·0+3=3$

$f\left(1\right)=-2·1+3=1$

$f\left(2\right)=-2·2+3=-4+3=-1$

$f\left(3\right)=-2·3+3=-6+3=-3$

Zatem zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $\left\{-3, -1, 1, 3, 5, 7\right\}$.

Zapisujemy $Z{W}_f=\left\{-3, -1, 1, 3, 5, 7\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=-3x+2$, gdzie $x\in ⟨-3, 3⟩$.

Rozwiązanie:

Wyznaczenie zbioru wartości funkcji na podstawie jej wzoru jest zazwyczaj dość trudne. Z tego względu, aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji korzystamy z wykresu funkcji.

W celu naszkicowania wykresu funkcji $f$ wykonamy tabelkę częściową.

Obliczmy wartości funkcji dla wybranych liczb z dziedziny.

$f\left(-3\right)=-3·\left(-3\right)+2=9+2=11$

$f\left(-\mathrm{2,5}\right)=-3·\left(-\mathrm{2,5}\right)+2=\mathrm{7,5}+2=\mathrm{9,5}$

$f\left(-1\right)=-3·\left(-1\right)+2=3+2=5$

$f\left(0\right)=-3·0+2=2$

$f\left(1\right)=-3·1+2=-3+2=-1$

$f\left(\mathrm{2,5}\right)=-3·\mathrm{2,5}+2=-\mathrm{7,5}+2=-\mathrm{5,5}$

$f\left(3\right)=-3·3+2=-9+2=-7$

Naszkicujmy wykres tej funkcji.

RQ35zmz9uxMP2

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dwunastu do trzynastu oraz z pionową osią $Y$ od minus ośmiu do jedenastu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji w postaci ukośnego odcinka o  końcach w punktach o współrzędnych: $\left(-3;11\right)$ oraz $\left(3;-8\right)$.

Wykresem funkcji $f\left(x\right)=-3x+2$ dla $x\in ⟨-3, 3⟩$ jest odcinek.

Zbiór wartości odczytujemy na osi pionowej $Y$. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨-7, 11⟩$.

Zapisujemy $Z{W}_f=⟨-7, 11⟩$.

R13wzYcUxAXea

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwunastu do trzynastu i z pionową osią od minus ośmiu do dwunastu. Na płaszczyźnie narysowano ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach nawias, minus, trzy, średnik, jedenaście, zamknięcie nawiasu i nawias, trzy, średnik, minus, siedem, zamknięcie nawiasu. W aplecie na osi y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli przedział nawias ostry, minus, siedem przecinek jeden jeden zamknięcie nawiasu ostrego.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwunastu do trzynastu i z pionową osią od minus ośmiu do dwunastu. Na płaszczyźnie narysowano ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach nawias, minus, trzy, średnik, jedenaście, zamknięcie nawiasu i nawias, trzy, średnik, minus, siedem, zamknięcie nawiasu. W aplecie na osi y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli przedział nawias ostry, minus, siedem przecinek jeden jeden zamknięcie nawiasu ostrego.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6CVZX7G6

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=-5x+1$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)=-5x+1$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$, jest określona dla każdego $x$ rzeczywistego, czyli jej zbiorem wartości będą wszystkie liczby rzeczywiste będące wartościami wyrażenia algebraicznego $-5x+1$. Będą to również wszystkie liczby rzeczywiste.

Zapisujemy $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}$.

R1Vh0qwxGDvzY

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do siedmiu i z pionową osią od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący ukośną prostą przebiegającą przez punkty nawias, minus, jeden, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu i nawias, jeden, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu. W aplecie na osi y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli całą oś reprezentującą zbiór liczb rzeczywistych.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do siedmiu i z pionową osią od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący ukośną prostą przebiegającą przez punkty nawias, minus, jeden, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu i nawias, jeden, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu. W aplecie na osi y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli całą oś reprezentującą zbiór liczb rzeczywistych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6CVZX7G6

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\sqrt{x+2}$, gdy $x\in \left.⟨-2, \infty \right)$.

Rozwiązanie:

Możemy wykonać to dwoma sposobami.

Sposób pierwszy – naszkicujemy wykres funkcji $f$ i z wykresu odczytamy zbiór wartości funkcji.

R1OAbLGaFsZBM

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do dziesięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji $y=\sqrt{x+2}$ o początku w punkcie $\left(-2;0\right)$.

$Z{W}_f=\left.⟨0, \infty \right)$

Sposób drugi – funkcja $f\left(x\right)=\sqrt{x+2}$, jest określona dla każdego $x\ge -2$. Wartość wyrażenia $\sqrt{x+2}$ jest zawsze liczbą nieujemną. Z tego faktu wynika, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨0, \infty \right)$.

Zapisujemy $Z{W}_f=\left.⟨0, \infty \right)$.

RPqwucWaksIQa

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do dziesięciu i z pionową osią od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący poziomo położonym łukiem o lewym końcu w punkcie nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i nieograniczony prawostronnie. W aplecie na osi y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli dodatnią półoś reprezentującą zbiór nawias ostry zero, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do dziesięciu i z pionową osią od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący poziomo położonym łukiem o lewym końcu w punkcie nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i nieograniczony prawostronnie. W aplecie na osi y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli dodatnią półoś reprezentującą zbiór nawias ostry zero, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6CVZX7G6

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=2x^2+1$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy wykres funkcji.

Rg5hQ48SfaWK6

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji $y=2x^2+1$. Wykresem funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi do góry o wierzchołku w punkcie $\left(0;1\right)$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨1, \infty \right)$.

Zapisujemy $Z{W}_f=\left.⟨1, \infty \right)$.

Rhatj8w9Z2f6w

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu i z pionową osią od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący parabolą o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w punkcie nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. W aplecie na osi Y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli przedział nawias ostry jeden, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu i z pionową osią od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący parabolą o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w punkcie nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. W aplecie na osi Y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli przedział nawias ostry jeden, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6CVZX7G6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=2^{x-1}$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$.

Która, z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji $\left\{-2, -\frac{1}{2}, 1, 2, 4\right\}$?

Rozwiązanie:

Możemy wykonać to dwoma sposobami.

Sposób pierwszy – naszkicujemy wykres funkcji $f$, z wykresu odczytamy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji i sprawdzimy, która z podanych liczb należy do tego zbioru.

R12yp7AFFuDf9

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji $y=2^{x-1}$. Funkcja posiada asymptotę, która pokrywa się z poziomą osią $X$.

$Z{W}_f={\mathrm{ℝ}}_{+}$

Do zbioru wartości funkcji należą liczby rzeczywiste dodatnie. Z tego wynika, że do zbioru wartości funkcji $f$ należą liczby $\left\{1, 2, 4\right\}$.

Sposób drugi – sprawdzimy, rozwiązując odpowiednie równanie, czy podana liczba należy, czy nie należy do zbioru wartości funkcji $f$. Jeżeli rozwiązaniem równania będzie liczba należąca do dziedziny funkcji $f$, to podana liczba będzie należała do zbioru wartości funkcji $f$.

$2^{x-1}=-2$ – otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ wartość potęgi jest zawsze liczbą dodatnią, gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią. Stąd wniosek, że liczba $-2$ nie należy do zbioru wartości funkcji $f$.

$2^{x-1}=-\frac{1}{2}$ – otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ wartość potęgi jest zawsze liczbą dodatnią, gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią. Stąd wniosek, że liczba $-\frac{1}{2}$ nie należy do zbioru wartości funkcji $f$.

$2^{x-1}=1$

$2^{x-1}=2^0$

$x-1=0$

$x=1$ – otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji $f$. Stąd wnioskujemy, że liczba $1$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

$2^{x-1}=2$

$2^{x-1}=2^1$

$x-1=1$

$x=2$ – otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji $f$. Stąd wnioskujemy, że liczba $2$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

$2^{x-1}=4$

$2^{x-1}=2^2$

$x-1=2$

$x=3$ – otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji $f$. Stąd wnioskujemy, że liczba $4$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

Rczcqqb4hiJpM

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do siedmiu i z pionową osią od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji potęgowej f będący nieskończonym łukiem znajdującym się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. W aplecie na osi Y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli przedział nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do siedmiu i z pionową osią od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji potęgowej f będący nieskończonym łukiem znajdującym się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. W aplecie na osi Y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli przedział nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6CVZX7G6

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-x,& \mathrm{gdy} x\in ⟨-4, 2⟩\\ x-3,& \mathrm{gdy} x\in \left(2, 6\right.⟩\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest dwoma wyrażeniami. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy jej wykres. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia.

$f_1\left(x\right)=-x$, gdy $x\in ⟨-4, 2⟩$ oraz $f_2\left(x\right)=x-3$, gdy $x\in \left(2, 6\right.⟩$.

Dla każdej z tych funkcji wykonamy tabelkę częściową.

Naszkicujemy w układzie współrzędnych wykres funkcji $f$ i odczytamy z wykresu zbiór wartości funkcji.

RzWkI7hVlRu9Z

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z dwóch ukośnych odcinków. Odcinek po lewej ma końce w punktach: $\left(-4;4\right)$ oraz $\left(2;-2\right)$ i przechodzi przez początek układu współrzędnych. Druga część wykresu funkcji to odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie $\left(2;-1\right)$ i końcu w zamalowanym punkcie $\left(6;3\right)$. Dodatkowo zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji, który jest pionowym odcinkiem leżącym na osi $Y$. Początek odcinka jest w punkcie $\left(0;-2\right)$, a jego koniec znajduje się w punkcie $\left(0;4\right)$.

Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi $Y$. Zapisujemy go symbolicznie $Z{W}_f=⟨-2, 4⟩$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2+3,& \mathrm{gdy} x\in \left(-\infty , 1\right.⟩\\ -3,& \mathrm{gdy} x\in \left(1, \infty \right)\end{array}\right.$

Sprawdzimy, która z podanych liczb $\left\{-5; -3,5; -2; 4; 7,5; 9\right\}$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest dwoma wyrażeniami. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia.

$f_1\left(x\right)=x^2+3$, gdy $x\in \left(-\infty , 1\right.⟩$.

$f_2\left(x\right)=-3$, gdy $x\in \left(1, \infty \right)$.

Wykresem funkcji $f_1$ jest część paraboli. Zbiorem wartości funkcji $f_1$ jest przedział $\left.⟨3, \infty \right)$.

Wykresem funkcji $f_2$ jest półprosta równoległa do osi $X$. Początek półprostej nie należy do wykresu funkcji. Zbiór wartości funkcji $f_2$ jest zbiorem jednoelementowym $\left\{-3\right\}$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest suma przedziałów. Możemy zapisać to $Z{W}_f=\left.⟨3, \infty \right)\cup \left\{-3\right\}$.

Sprawdzimy nasze przypuszczenia analizując wykres funkcji $f$.

R5pdKUcA1Zgs7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do trzech oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z dwóch części. Pierwsza część to fragment paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie $\left(0;3\right)$. Ta część przebiega dla iksów od minus nieskończoności do jeden włącznie. Fragment paraboli jest ucięty w punkcie $\left(1;4\right)$, który należy do wykresu funkcji, zatem jest zamalowany. Druga część wykresu to pozioma półprosta otwarta zaczynająca się w punkcie $\left(1;-3\right)$. Poza tym zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji, który składa się z dwóch części: punktu oraz pionowej półprostej. Punkt ma współrzędne $\left(0;-3\right)$, a półprosta ma początek w punkcie $\left(0;3\right)$ i biegnie po osi $Y$ do plus nieskończoności.

Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi $Y$.

$Z{W}_f=\left.⟨3, \infty \right)\cup \left\{-3\right\}$

Korzystając z wyznaczonego zbioru wartości funkcji $f$, sprawdzamy, która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji.

Zauważamy, że do zbioru wartości funkcji $f$, należy tylko jedna liczba ujemna. Tą liczbą jest $\left(-3\right)$. Wśród podanych liczb nie ma tej liczby. Do zbioru wartości należą liczby dodatnie większe lub równe liczbie $3$. Na podstawie tych informacji możemy zapisać, że spośród podanych liczb do zbioru wartości funkcji $f$ należą liczby $4$; $7,5$; $9$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2,& \mathrm{gdy} x\in \left(-\infty , 1\right.⟩\\ 3x,& \mathrm{gdy} x\in \left(1, 3\right.⟩\\ 5,& \mathrm{gdy} x\in \left(3, 7\right.⟩\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. Naszkicujemy wykres tej funkcji i zbiór wartości odczytamy z wykresu.

R11eZKr62Nuk1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do siedmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do dziesięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z trzech części. Pierwsza część to fragment paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$. Ta część przebiega dla iksów od minus nieskończoności do jeden włącznie. Fragment paraboli jest ukośny odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie $\left(1;3\right)$ i końcu w zamalowanym punkcie $\left(3;9\right)$. Trzecia część wykresu funkcji to poziomy odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie $\left(3;5\right)$ i końcu w zamalowanym punkcie $\left(7;5\right)$. Poza wykresem funkcji zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji będący pionową półprostą leżącą na osi $Y$. Początek tej półprostej znajduje się w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie ona w kierunku plus nieskończoności.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨0, \infty \right)$.

Zapisujemy to symbolicznie $Z{W}_f=\left.⟨0, \infty \right)$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+3,& \mathrm{gdy} x<-1\\ 2·\left|x\right|,& \mathrm{gdy} x\in ⟨-1, 1⟩\\ 3-x,& \mathrm{gdy} x>1\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. Naszkicujemy wykres tej funkcji i zbiór wartości odczytamy z wykresu.

R15MMG5ITrpKZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z czterech części. Kształt wykresu funkcji przypomina wielką literę M symetryczną względem osi $Y$. Pierwsza jego część to ukośna półprosta o początku w punkcie $\left(-1;2\right)$, przechodząca przez punkt $\left(-3;0\right)$. Druga część wykresu funkcji to ukośny odcinek o początku w punkcie $\left(-1;2\right)$ i końcu w początku układu współrzędnych. Trzecia część wykresu funkcji to ukośny odcinek o początku w punkcie $\left(0;0\right)$ i końcu w punkcie $\left(1;2\right)$. Punkt $\left(1;2\right)$ jest jednocześnie początkiem ukośnej półprostej będącej ostatnią składową wykresu. Półprosta ta przechodzi również przez punkt $\left(3;0\right)$. Poza wykresem funkcji zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji będący pionową półprostą leżącą na osi $Y$. Początek tej półprostej znajduje się w punkcie $\left(0;2\right)$ i biegnie ona w kierunku minus nieskończoności.

Zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji $f$ odczytujemy na osi $Y$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty , 2\right.⟩$.

Zapisujemy to symbolicznie $Z{W}_f=\left(-\infty , 2\right.⟩$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-x-2,& \mathrm{gdy} x<-2\\ 2x-2,& \mathrm{gdy} x\in ⟨-2, 1⟩\\ \frac{4}{x},& \mathrm{gdy} x>1\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych. Zbiór wartości odczytamy na osi pionowej $Y$.

R1Re9at3PswlU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus siedmiu do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z trzech części. Pierwsza jego część to ukośna półprosta otwarta biegnąca po iksach od minus nieskończoności przez punkt $\left(-4;2\right)$, ograniczona niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-2;0\right)$. Druga część wykresu funkcji to ukośny odcinek o początku w zamalowanym punkcie $\left(-2;-6\right)$ i końcu w zamalowanym punkcie $\left(1;0\right)$. Trzecia część wykresu funkcji to fragment wykresu funkcji homograficznej. Część ta znajduje się tylko w pierwszej ćwiartce układu i jest wybrzuszona w stronę początku układu współrzędnych. Trzecia część wykresu jest ograniczona niezamalowanym punktem $\left(1;4\right)$ i biegnie dalej do plus nieskończoności, malejąc. Oś $X$ jest dla tego fragmentu asymptotą poziomą. Poza wykresem funkcji zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji będący pionową półprostą leżącą na osi $Y$. Początek tej półprostej znajduje się w punkcie $\left(0;-6\right)$ i biegnie ona w kierunku plus nieskończoności.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨-6, \infty \right)$.

Zapisujemy to symbolicznie $Z{W}_f=\left.⟨-6, \infty \right)$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}3,& \mathrm{gdy} x\le -2\\ \left|x-1\right|,& \mathrm{gdy} x\in \left(-2, 3\right)\\ -x+5,& \mathrm{gdy} x\ge 3\end{array}\right.$

Uzasadnimy, że do zbioru wartości funkcji $f$ należą liczby: $-2$; $-1$; $2,5$; $3$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech wyrażeń. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych. Zbiór wartości odczytamy na osi pionowej $Y$.

R8ksNxq97g7OL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$ składający się z trzech części. Pierwsza jego część to pozioma półprosta biegnąca po iksach od minus nieskończoności do zamalowanego punktu $\left(-2;3\right)$. Druga część wykresu funkcji to fragment wykresu funkcji moduł z x przesuniętej o jedną jednostkę w prawo. Wykres ten jest obcięty i leży między zamalowanymi punktami o współrzędnych z lewej strony $\left(-2;3\right)$ i z prawej strony $\left(3;2\right)$. Trzecia część wykresu funkcji to ukośna półprosta o początku w zamalowanym punkcie $\left(3;2\right)$, przechodząca przez punkt $\left(5;0\right)$. Poza wykresem funkcji zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji będący pionową półprostą leżącą na osi $Y$. Początek tej półprostej znajduje się w punkcie $\left(0;3\right)$ i biegnie ona w kierunku minus nieskończoności.

Odczytujemy z wykresu, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty , 3\right.⟩$.

Zapisujemy to symbolicznie $Z{W}_f=\left(-\infty , 3\right.⟩$.

Liczba $3$ należy do zbioru wartości funkcji ponieważ wynika to ze wzoru opisującego funkcję. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ takiej, że liczba  $x$ jest mniejsza lub równa $\left(-2\right)$, wartość funkcji jest stała i równa $3$.

Wartości ujemne może przyjmować funkcja opisana za pomocą trzeciego wyrażenia. Sprawdzimy to, wykonując odpowiednie obliczenia.

$-x+5=-2$

$-x=-7$

$x=7$

Liczba $7\in \left.⟨3, \infty \right)$, stąd wniosek, że $\left(-2\right)$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

$-x+5=-1$

$-x=-6$

$x=6$

Liczba $6\in \left.⟨3, \infty \right)$, stąd wniosek, że $\left(-1\right)$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

Wykażemy, że liczba $2,5$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

Rozwiązujemy odpowiednie  równanie.

$\left|x-1\right|=2,5$

$x-1=-2,5$ lub $x-1=2,5$

$x=-1,5$ lub $x=3,5$

Liczba $-1,5\in \left(-2, 3\right)$, stąd wniosek, że liczba $2,5$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.