2. Monotoniczność funkcji, monotoniczność na przedziałach

RSDCNta87LjUk

Ten materiał pozwoli Ci zdobyć wiadomości dotyczące określania przedziałów monotoniczności funkcji na podstawie wykresu. Zajmiemy się rozwiązywaniem ćwiczeń interaktywnych, bazując na teoretycznej części materiału i podanych przykładach.

Twoje cele

Utrwalisz definicję monotoniczności funkcji.
Odczytasz na podstawie podanego wykresu funkcji przedziały monotoniczności tej funkcji.
Przeanalizujesz metody rozwiązywania zadań dotyczących określania przedziałów monotoniczności funkcji na podstawie wykresu.
Dokonasz oceny swojej wiedzy.

Przypomnijmy pojęcia, które już znasz z kilkoma przykładami obrazującymi ich zastosowanie.

Już wiesz

Funkcja $f : X \to Y$ jest to przyporządkowanie, które każdemu elementowi $x \in X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element $y \in Y$ .

Każdą funkcję, oprócz dziedziny i zbioru wartości, może charakteryzować wiele ciekawych własności. Zaliczamy do nich monotoniczność.

monotoniczność funkcji

Definicja: monotoniczność funkcji

Funkcja jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, gdy jest rosnąca, malejąca, stała, nierosnąca lub niemalejąca.

Omówimy jakie warunki muszą spełniać funkcje monotonicznemonotoniczność funkcjifunkcje monotoniczne.

Funkcja rosnąca

Funkcję liczbową $f : X \to Y$ nazywamy rosnącą w podzbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_{1}, x_{2} \in A$ z nierówności $x_{1} < x_{2}$ wynika, że $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

Jeśli funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest rosnąca.

RvIKC34lv2l6A

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres rosnącej funkcji będący krzywą w kształcie litery S. Wykres ten przebiega przez trzecią, drugą i pierwszą ćwiartkę. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w drugiej ćwiartce i ma współrzędne x1;fx1, przy czym współrzędna x1 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna fx1 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Punkt drugi znajduje się w pierwszej ćwiartce i ma współrzędne x2;fx2, przy czym współrzędna x2 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna fx2 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: x1<x2 oraz wartości: fx1<fx2.

Funkcja malejąca

Funkcję liczbową $f : X \to Y$ nazywamy malejącą w podzbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_{1}, x_{2} \in A$ z nierówności $x_{1} < x_{2}$ wynika, że $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Jeśli funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest malejąca.

R49pq61OPgvyW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres malejącej funkcji będący krzywą w kształcie litery odwrócownej litery S. Wykres ten przebiega przez drugą, pierwszą i czwartą ćwiartkę. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w drugiej ćwiartce i ma współrzędne x1;fx1, przy czym współrzędna x1 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna fx1 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Punkt drugi znajduje się w czwartej ćwiartce i ma współrzędne x2;fx2, przy czym współrzędna x2 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna fx2 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: x1<x2 oraz wartości: fx1>fx2.

Funkcja stała

Funkcję liczbową $f : X \to Y$ nazywamy stałą w podzbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_{1}, x_{2} \in A$ z nierówności $x_{1} < x_{2}$ wynika, że $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Jeśli funkcja jest stała w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest stała.

R17JYhRtD8ErP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres stałej funkcji będący poziomą prostą. Wykres ten przebiega przez drugą i pierwszą ćwiartkę. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w drugiej ćwiartce i ma współrzędne x1;fx1, przy czym współrzędna x1 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna fx1 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Punkt drugi znajduje się w pierwszej ćwiartce i ma współrzędne x2;fx2, przy czym współrzędna x2 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna fx2 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: x1<x2 oraz wartości: fx1=fx2.

Funkcja nierosnąca

Funkcję liczbową $f : X \to Y$ nazywamy nierosnącą w podzbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_{1}, x_{2} \in A$ z nierówności $x_{1} < x_{2}$ wynika, że $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ .

Jeśli funkcja jest nierosnąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest nierosnąca.

Re8swtdAVWA3a

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres nierosnącej funkcji. Od minus nieskończoności wykres jest poziomą półprostą o końcu w drugiej ćwiartce. Koniec ten jest również końcem ukośnej półprostej, która jest dalszą częścią wykresu i biegnie przez kawałek drugiej, pierwszej i czwartej ćwiartki. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w drugiej ćwiartce na poziomej półprostej i ma współrzędne x1;fx1, przy czym współrzędna x1 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna fx1 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Punkt drugi znajduje się na ukośnej półprostej, jest położony w czwartej ćwiartce i ma współrzędne x2;fx2, przy czym współrzędna x2 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna fx2 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: x1<x2 oraz wartości: fx1>fx2.

Funkcja niemalejąca

Funkcję liczbową $f : X \to Y$ nazywamy niemalejącą w podzbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_{1}, x_{2} \in A$ z nierówności $x_{1} < x_{2}$ wynika, że $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ .

Jeśli funkcja jest niemalejąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest niemalejąca.

RDqanuUSCE7d4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres niemalejącej funkcji. Od minus nieskończoności wykres jest poziomą półprostą o końcu w trzeciej ćwiartce. Koniec ten jest również końcem ukośnej półprostej, która jest dalszą częścią wykresu i biegnie przez kawałek trzeciej, przez początek ukłądu współrzędnych i dalej przez pierwszą ćwiartkę układu. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w trzeciej ćwiartce na poziomej półprostej i ma współrzędne x1;fx1, przy czym współrzędna x1 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna fx1 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OY. Punkt drugi znajduje się na ukośnej półprostej, jest położony w pierwszej ćwiartce i ma współrzędne x2;fx2, przy czym współrzędna x2 zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna fx2 zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: x1<x2 oraz wartości: fx1<fx2.

W poniższych dwóch przykładach przedstawimy przykłady funkcji: pierwsza z nich jest funkcją monotoniczną, druga nie jest funkcją monotoniczną.

Przykład 1

Dana jest funkcja opisana przez zbiór par $\{(- 3, 1), (- 1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7)}$ . Określimy, czy funkcja jest monotoniczna.

Rozwiązanie:

Ponieważ zachodzi zależność:

$f (- 3) = f (- 1) < f (0) < f (1) < f (2)$ , zatem funkcja jest niemalejąca.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy funkcja określona wzorem $f (x) = - x^{2} + 1$ dla $x \in \{- 3, - 1, 0, 2, 3\}$ jest monotoniczna.

Rozwiązanie:

Obliczymy wartości tej funkcji dla podanych argumentów:

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} + 1 = - 8$

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 1 = 0$

$f (0) = - 0^{2} + 1 = 1$

$f (2) = - 2^{2} + 1 = - 3$

$f (3) = - 3^{2} + 1 = - 8$

Z otrzymanych kolejnych wartości tej funkcji wynika, że ta funkcja nie jest monotoniczna.

Mając funkcję zadaną wzorem, możemy wykazać, że jest monotoniczna. Kolejne kroki w dowodzeniu zostały opisane w poniższych przykładach.

Przykład 3

Wykażemy, że funkcja zadana wzorem $f (x) = - 3 x + 1$ jest malejąca.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $x_{1}, x_{2} \in D_{f}$ oraz $x_{1} < x_{2}$ .

Wtedy $f (x_{2}) - f (x_{1}) = - 3 x_{2} + 1 - (- 3 x_{1} + 1) = - 3 x_{2} + 3 x_{1}$ .

Ponieważ $x_{1} < x_{2}$ , zatem $- 3 x_{2} + 3 x_{1} = - 3 (x_{2} - x_{1}) < 0$ , czyli

$f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Stąd, wobec dowolności $x_{1}, x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja jest malejąca.

Przykład 4

Wykażemy, że funkcja określona wzorem $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ dla $x \in (- 1, + \infty)$ jest rosnąca.

Rozwiązanie:

Jeśli $- 1 < x_{1} < x_{2}$ , to:

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = \frac{2 x_{2}}{x_{2} + 1} - \frac{2 x_{1}}{x_{1} + 1} = \frac{2 x_{2} (x_{1} + 1) - 2 x_{1} (x_{2} + 1)}{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)} =$ $= \frac{2 x_{2} - 2 x_{1}}{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)} = \frac{2 (x_{2} - x_{1})}{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)} > 0$ ,

ponieważ $x_{2} > x_{1}$ i $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) > 0$ .

Stąd, wobec dowolności $x_{1}$ i $x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja $f$ jest rosnąca.

Niektóre funkcje rozpatrywane w całej swojej dziedzinie nie są monotoniczne, ale są monotoniczne przedziałami.

Przykład 5

Uzasadnimy, że funkcja, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, nie jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

R1IJWDURG8lP4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres y równa się minus jeden przez x, który położony jest w w drugiej i w czwartej ćwiartce. Wykres w ćwiartce drugiej przyjmuje postać łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych i o nieskończonych ramionach, które wypłaszczają się przy ujemnej półosi OX i dodatniej półosi OY. Wykres w ćwiartce czwartej również przyjmuje postać łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych i o nieskończonych ramionach, które wypłaszczają się przy ujemnej półosi OY i dodatniej półosi OX.

Rozwiązanie:

Z wykresu funkcji możemy odczytać, że dziedziną tej funkcji jest zbiór $ℝ ∖ \{0\}$ . Na podstawie wykresu wydaje się też, że funkcja jest rosnąca. Jednak okazuje sie, że tak nie jest.

Niech $x_{1} = - 2$ oraz $x_{2} = 2$ .

Wtedy $f (x_{1}) = f (- 2) = 1 > f (2) = f (x_{2})$ , zatem funkcja nie jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Zauważmy, że funkcja jest przedziałami monotoniczna i jest rosnąca w każdym z przedziałów $(- \infty, 0)$ oraz $(0, \infty)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją, a następnie wykonaj polecenie.

RzSvSIxXOJle3

Polecenie 2

Wykaż, że funkcja określona wzorem $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ dla $x \in (- 2, + \infty)$ jest rosnąca.

Jeśli $- 2 < x_{1} < x_{2}$ , to

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = \frac{x_{2}}{x_{2} + 2} - \frac{x_{1}}{x_{1} + 2} = \frac{x_{2} (x_{1} + 2) - x_{1} (x_{2} + 2)}{(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)} =$ $= \frac{2 x_{2} - 2 x_{1}}{(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)} = \frac{2 (x_{2} - x_{1})}{(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)} > 0$ ,

ponieważ $x_{2} > x_{1}$ i $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) > 0$ .

Stąd, wobec dowolności $x_{1}$ i $x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja $f$ jest rosnąca.

Funkcje które nie są monotoniczne, tzn. nie są monotoniczne w całej swojej dziedzinie, mogą być monotoniczne na pewnych przedziałach zawartych w dziedzinie. Poniżej określamy przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca lub nierosnąca.

Już wiesz

Funkcja jest rosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości.
Funkcja jest malejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartości jej maleją.
Funkcja jest stała, jeżeli dla wszystkich argumentów przyjmuje stałą, tę samą wartość.
Funkcja jest nierosnąca, jeżeli jej wartości nie rosną wraz ze wzrostem argumentów.
Funkcja jest niemalejąca, jeżeli jej wartości nie maleją wraz ze wzrostem argumentów.

Przy określaniu monotoniczności funkcji na podstawie wykresu, będziemy podawać maksymalne przedziały, w których funkcja rośnie, maleje, jest stała, nierosnąca lub niemalejąca.

Przykład 6

Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji, na podstawie jej wykresu.

Rxm7VqmbKziUu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Wykres funkcji składa się z pięciu połączonych ze sobą odcinków. Odcinek pierwszy jest ukośny, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach -7;6 i -3;-2. Odcinek drugi jest ukośny, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach -3;-2 i -2;2. Odcinek trzeci jest poziomy, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach -2;2 i 4;2. Odcinek czwarty jest ukośny, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach 4;2 i 5;0. Odcinek piąty jest ukośny, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach 5;0 i 8;-3.

funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨ - 3, - 2 ⟩$ ,
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨ - 7, - 3 ⟩$ oraz $⟨ 4, 8 ⟩$ ,
funkcja jest stała w przedziale $⟨ - 2, 4 ⟩$ ,
funkcja jest nierosnąca w przedziale $⟨ - 2, 8 ⟩$ ,
funkcja jest niemalejąca w przedziale $⟨ - 3, 4 ⟩$ .

Możemy znaleźć przykłady funkcji, które są rosnące, malejące bądź stałe w całej swojej dziedzinie. A także takich, które są monotoniczne tylko w przedziałach. Mówimy wtedy, że funkcja jest przedziałami monotoniczna.

Przykład 7

Określimy przedziały monotoniczności funkcji na podstawie wykresu.

R1CYJS2YJiD7B

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus siedmiu do siedmiu i od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch łuków. Łuk pierwszy znajduje się w trzeciej i w czwartej ćwiartce. Jest on wybrzuszony w kierunku punktu 2;0, a jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe w stronę ujemnej półosi OX i prawe do prostej zadanej równaniem x równa się dwa. Łuk drugi znajduje się w pierwszej ćwiartce. Jest on wybrzuszony w kierunku punktu 2;0, a jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do prostej zadanej równaniem x równa się dwa, a prawe do dodatniej półosi OX.

Funkcja przedstawiona na wykresie nie jest malejąca w całej swojej dziedzinie, ale jest malejąca w przedziałach $(- \infty, 2)$ oraz $(2, \infty)$ .

Ważne!

Każda funkcja rosnąca jest funkcją niemalejącą.
Każda funkcja malejąca jest funkcją nierosnącą.

Oprócz określania przedziałów monotoniczności funkcjimonotoniczność funkcjimonotoniczności funkcji możemy również szkicować wykresy funkcji, które są monotoniczne w określonych przedziałach na podstawie podanych warunków.

Przykład 8

Naszkicujemy wykres funkcji $f : (- 3, 5) \to ℝ$ , która spełnia warunki:

funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $(- 3, - 1 ⟩$ i w przedziale $⟨ 3, 5)$ ,
funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $⟨ - 1, 3 ⟩$ .

Wykres można przedstawić następująco:

RijUFsbkgqsfK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z trzech połączonych ze sobą odcinków. Pierwsza część wykresu to odcinek lewostronnie otwarty ograniczony z lewej strony niezamalowanym punktem -3;32Łuk drugi znajduje się w pierwszej ćwiartce. Jest on wybrzuszony w kierunku punktu 2;0, a jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do prostej zadanej równaniem x równa się dwa, a prawe do dodatniej półosi OX. Prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie -1;-2. Drugą składową wykresu jest ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach -1;-2 i 3;3. Trzecią składową wykresu jest ukośny odcinek prawostronnie otwarty o lewym końcu w punkcie 3;3 i ograniczony z prawej strony niezamalowanym punktem 5;32.

W niektórych przypadkach, mając podanych kilka punktów, które należą do wykresu funkcji, możemy stwierdzić, że nie jest to funkcja monotoniczna w całej swojej dziedzinie.

Przykład 9

Sprawdzimy, czy do wykresu funkcji malejącej mogą należeć punkty ze zbioru:

$\{(- 5, 3), (- 4, 2), (- 2, 1), (1, 2), (3, - 1)\}$ .

Te punkty nie mogą należeć do wykresu funkcji malejącej, ponieważ:

Oznaczmy $f$ jako zadaną funkcję. Wtedy mamy:

$- 2 < 1$ , ale $f (- 2) = 1 < f (1) = 2$ .

Ponieważ nie zachodzi warunek, że jeśli $x_{1} < x_{2}$ , to $f (x_{1}) > f (x_{2})$ , zatem punkty nie mogą należeć do wykresu funkcji malejącej.

Polecenie 3

Uruchom kolejne przyciski i przeanalizuj infografikę dotyczącą wyznaczania przedziałów monotoniczności funkcji na podstawie wykresu, a następnie wykonaj polecenie.

Przeanalizuj infografikę dotyczącą wyznaczania przedziałów monotoniczności funkcji na podstawie wykresu, a następnie wykonaj polecenie.

R14VQoInk5Vbb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z pięciu połączonych ze sobą odcinków. Pierwszą składową jest poziomy odcinek lewostronnie otwarty ograniczony z lewej strony niezamalowanym punktem nawias, minus, pięć, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie nawias, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Komentarz: Funkcja jest stała w przedziale nawias, minus, pięć, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu ostrego. Drugą składową wykresu jest ukośny odcinek przechodzący przez początek układu współrzędnych o końcach w zamalowanych punktach nawias, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu oraz nawias, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Komentarz: Funkcja jest rosnąca w przedziale nawias ostry, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu ostrego. Trzecią składową wykresu jest ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach nawias, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu oraz nawias, cztery, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu. Komentarz: Funkcja jest malejąca w przedziale nawias ostry, jeden przecinek cztery, zamknięcie nawiasu ostrego. Czwartą składową wykresu jest ukośny odcinek o końcach znajdujących się w zamalowanych punktach nawias, cztery, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu oraz nawias, pięć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Komentarz: Funkcja jest rosnąca w przedziale nawias ostry, cztery przecinek pięć, zamknięcie nawiasu ostrego. Piątą składową wykresu jest poziomy odcinek prawostronnie otwarty o lewym końcu w zamalowanym punkcie nawias, pięć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu i ograniczonym z prawej strony niezamalowanym punktem nawias, sześć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Komentarz: Funkcja jest stała w przedziale nawias ostry, pięć przecinek sześć, zamknięcie nawiasu.

Polecenie 4

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f$ z wykresu.

R1azj8kMKPHcf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch półprostych i z dwóch odcinków układających się w kształt litery W. Pierwszą składową wykresu jest półprosta biegnąca od minus nieskończoności do zamalowanego punktu -1;0. Drugą składową wykresu jest odcinek o końcach w zamalowanych punktach -1;0 oraz 1;2. Trzecią składową wykresu jest ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach 1;2 oraz 3;0. Czwartą składową wykresu jest ukośna półprosta o końcu w punkcie 3;0, biegnąca między innymi przez punkt 4;1.

Funkcja $f$ jest rosnąca dla $x \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ oraz dla $x \in ⟨ 3, \infty)$

Funkcja $f$ jest malejąca dla $x \in (- \infty, - 1 ⟩$ oraz dla $x \in ⟨ 1, 3 ⟩$

R1WzpTxHD9AtO1

Ćwiczenie 1

RUwLaolufS2z41

Ćwiczenie 2

R1Gvg2tBb2Ww82

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RHIy9JMY46p0Q

Rq5rMWAX2R2NG

R10r4Y30qQRDU2

Ćwiczenie 5

Funkcja f jest określona wzorem f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x dla x, należy do, nawias klamrowy, minus, jeden przecinek zero, przecinek, jeden przecinek dwa, przecinek, trzy zamknięcie nawiasu klamrowego. Uzupełnij:
f nawias, minus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się 1. minus, siedem, 2. minus, dziewięć, 3. trzy, 4. minus, cztery, 5. dwa, 6. jest malejąca, 7. jest nierosnąca, 8. nie jest monotoniczna, 9. jest rosnąca, 10. jest niemalejąca, 11. cztery, 12. jeden, 13. minus, pięć, f nawias zero zamknięcie nawiasu, równa się 1. minus, siedem, 2. minus, dziewięć, 3. trzy, 4. minus, cztery, 5. dwa, 6. jest malejąca, 7. jest nierosnąca, 8. nie jest monotoniczna, 9. jest rosnąca, 10. jest niemalejąca, 11. cztery, 12. jeden, 13. minus, pięć, f nawias jeden zamknięcie nawiasu, równa się 1. minus, siedem, 2. minus, dziewięć, 3. trzy, 4. minus, cztery, 5. dwa, 6. jest malejąca, 7. jest nierosnąca, 8. nie jest monotoniczna, 9. jest rosnąca, 10. jest niemalejąca, 11. cztery, 12. jeden, 13. minus, pięć, f nawias dwa zamknięcie nawiasu, równa się 1. minus, siedem, 2. minus, dziewięć, 3. trzy, 4. minus, cztery, 5. dwa, 6. jest malejąca, 7. jest nierosnąca, 8. nie jest monotoniczna, 9. jest rosnąca, 10. jest niemalejąca, 11. cztery, 12. jeden, 13. minus, pięć, f nawias trzy zamknięcie nawiasu, równa się 1. minus, siedem, 2. minus, dziewięć, 3. trzy, 4. minus, cztery, 5. dwa, 6. jest malejąca, 7. jest nierosnąca, 8. nie jest monotoniczna, 9. jest rosnąca, 10. jest niemalejąca, 11. cztery, 12. jeden, 13. minus, pięć,
co oznacza, że funkcja f 1. minus, siedem, 2. minus, dziewięć, 3. trzy, 4. minus, cztery, 5. dwa, 6. jest malejąca, 7. jest nierosnąca, 8. nie jest monotoniczna, 9. jest rosnąca, 10. jest niemalejąca, 11. cztery, 12. jeden, 13. minus, pięć

RSyUQBnB8FoND2

Ćwiczenie 6

RVmEyOKlNJUPj3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

REavX1pPMkUuw

Ćwiczenie 9