3. Różnowartościowość funkcji

RHnuaLpEh1SHF

Badanie różnowartościowości funkcji liczbowej jest bardzo ważnym zagadnieniem analizy matematycznej.
Czy wszystkie funkcje liczbowe dzielimy na różnowartościowe i te, które nie są różnowartościowymi?
Czy każda funkcja różnowartościowa jest funkcją monotoniczną?
Czy każda funkcja monotoniczna jest funkcją różnowartościową?
W jaki sposób możemy sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją różnowartościową?

Odpowiedzi na powyższe pytania możesz uzyskać analizując poniższy materiał.

Twoje cele

Sprawdzisz, czy dana funkcja jest różnowartościowa.
Udowodnisz, że dana funkcja jest różnowartościowa.
Wykażesz, że dana funkcja nie jest funkcją różnowartościową.
Poznasz własności funkcji różnowartościowych.

Funkcjęfunkcja różnowartościowaFunkcję nazywamy różnowartościową, jeżeli dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Fakt ten łatwo zobrazować na grafie lub na wykresie:

RKpo3VjSndyOP

Na ilustracji przedstawiono funkcję za pomocą grafu oraz wykresu funkcji. Po lewej stronie znajduje się graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory: po lewej zbiór X, po prawej zbiór Y. Elementy zbioru reprezentują kropki. Każdy element ze zbioru X ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y i odwrotnie: każdy element ze zbioru Y ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru X. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru X do elementów ze zbioru Y. Po prawej stronie znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Wykres funkcji f pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce, następnie przecina oś y , kolejno oś x i wychodzi poza układ współrzędnych w pierwszej ćwiartce układu.

Poniżej mamy przykład funkcji, która nie jest różnowartościowa, ponieważ dla argumentów $(- 4)$ i $3$ przyjmuje tę samą wartość równą $1$ .

R1OL2xkEPcXCj

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę. Wierzchołek paraboli znajduje się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawisu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu. Wymienione punkty połączono poziomą linią przerywaną, z punktów tych poprowadzono również pionowe linie przerywane do osi x.

Funkcja różnowartościowa

Definicja: Funkcja różnowartościowa

Funkcja liczbowa $f : X \to Y$ jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowane są różne wartości, to znaczy, że dla dowolnych argumentów $x_{1}$ , $x_{2}$ z warunku $x_{1} \neq x_{2}$ wynika warunek

f (x_{1}) \neq f (x_{2})

Definicję funkcji różnowartościowej możemy również zapisać krócej.

Funkcja liczbowa $f : X \to Y$ jest funkcją różnowartościową $\Leftrightarrow \forall_{x_{1}, x_{2} \in X} [x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})]$

Zwrot „dla każdego $x$ ” nazywa się kwantyfikatorem ogólnym, kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym wiążącym zmienną $x$ . Kwantyfikator ogólny oznaczamy symbolem $\forall_{x}$ .

Jeżeli funkcja jest opisana za pomocą wykresu, to aby ustalić, czy funkcja jest różnowartościowa, czy nie jest różnowartościowa, wystarczy poprowadzić proste równoległe do osi $X$ i sprawdzić ile punktów wspólnych mają te proste z wykresem funkcji.

Poniższy przykład pokaże nam sposób sprawdzania różnowartościowości funkcji opisanej za pomocą wykresu.

Przykład 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1PFPrW4hJorR
Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do trzynastu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres przypominający kształtem sinusoidę. Wykres zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu skąd przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, minus 3, 0, zamknięcie nawiasu biegnie do pierwszego wierzchołka znajdującego się w drugiej ćwiartce. Dalej wykres biegnie do drugiego wierzchołka znajdującego się w czwartej ćwiartce, po drodze przecinając oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 6, zamknięcie nawiasu oraz oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu. Następnie wykres przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu i wybiega poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres jest podpisany $y = f (x)$ .
RqH9MHneVm09B
Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus ośmiu do czterech i pionową osią y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o kształcie hiperboli. Jedna z części hiperboli znajduje się w całości w ćwiartce drugiej, natomiast druga jej część przechodzi przez pierwszą, czwartą oraz trzecią ćwiartkę przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu oraz oś y w okolicach punktu początek nawiasu, 0, minus 0,5, zamknięcie nawiasu. Wykres jest podpisany $y = f (x)$ .

Sprawdzimy, który z wykresów opisuje funkcję różnowartościową.

Rozwiązanie:

Naszkicujmy kilka prostych równoległych do osi $X$ i sprawdźmy, czy są proste, które mają więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem funkcji $f$ .
Np. prosta $y = 5$ ma trzy punkty wspólne z wykresem funkcji $f$ .
Funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową.
R13UHxxjGX8W3
Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do trzynastu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres przypominający kształtem sinusoidę. Wykres zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu skąd przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, minus 3, 0, zamknięcie nawiasu biegnie do pierwszego wierzchołka znajdującego się w drugiej ćwiartce. Dalej wykres biegnie do drugiego wierzchołka znajdującego się w czwartej ćwiartce, po drodze przecinając oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 6, zamknięcie nawiasu oraz oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu. Następnie wykres przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu i wybiega poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres jest podpisany $y = f (x)$ . Dodatkowo na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostały cztery poziome proste. Pierwsza z nich przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 11,5, zamknięcie nawiasu, druga przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu, trzecia przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu oraz czwarta przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu. Trzy punkty przecięcia się drugiej prostej z wykresem znajdującym się na płaszczyźnie zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami.
Naszkicujmy kilka prostych równoległych do osi $X$ i sprawdźmy, czy są proste, które mają więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem funkcji $f$ .
Proste na rysunku mają po jednym punkcie wspólnym z wykresem funkcji. Gdybyśmy narysowali nieskończenie wiele takich prostych, to okazało by się, że każda prosta równoległa do osi $X$ ma nie więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem funkcji $f$ .
Funkcja $f$ jest funkcją różnowartościowąfunkcja różnowartościowafunkcją różnowartościową.
R1ZpCnQhVpfd7
Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus ośmiu do czterech i pionową osią y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o kształcie hiperboli. Jedna z części hiperboli znajduje się w całości w ćwiartce drugiej, natomiast druga jej część przechodzi przez pierwszą, czwartą oraz trzecią ćwiartkę przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu oraz oś y w okolicach punktu początek nawiasu, 0, minus 0,5, zamknięcie nawiasu. Wykres jest podpisany $y = f (x)$ . Dodatkowo na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostały cztery poziome proste. Pierwsza z nich przecina oś y blisko punktu początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu, druga przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 2,5, zamknięcie nawiasu, trzecia przecina oś y blisko punktu początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu oraz czwarta przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 4, zamknięcie nawiasu.

Przykład 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Funkcja $f$
$x$	$- 4$	$- 3$	$- 1$	$0$	$2$	$3$	$5$
$f (x)$	$- 1$	$0$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Wykażemy, że funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Aby wykazać, że funkcja $f$ , opisana za pomocą tabelki, nie jest funkcją różnowartościową wystarczy przeanalizować zbiór wartości tej funkcji.

Wartość $0$ przyjmuje funkcja dla dwóch argumentów. Są nimi liczby $(- 3)$ i $2$ .

Wartość $1$ przyjmuje funkcja dla dwóch argumentów. Są nimi liczby $0$ i $3$ .

Wartość $2$ przyjmuje funkcja dla dwóch argumentów. Są nimi liczby $(- 1)$ i $5$ .

Zatem funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową.

Przykład 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = - x^{3} + 2$ , gdy $x \in ℝ$

Udowodnimy, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Założenie: $f (x) = - x^{3} + 2$ , $D_{f} = ℝ$ , $x_{1}$ , $x_{2} \in ℝ$ , $x_{1} \neq x_{2}$

Teza: $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$

Dowód:

Obliczymy różnicę wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_{1}$ i $x_{2}$ .

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = (- {x_{1}}^{3} + 2) - (- {x_{2}}^{3} + 2) =$

$= - {x_{1}}^{3} + 2 + {x_{2}}^{3} - 2 = - ({x_{1}}^{3} - {x_{2}}^{3}) =$

$= - (x_{1} - x_{2}) ({x_{1}}^{2} + x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2})$

Z założenia wiadomo, że:

$x_{1} \neq x_{2}$ zatem $x_{1} - x_{2} \neq 0$

wyrażenie $({x_{1}}^{2} + x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2}) \neq 0$

zatem $(x_{1} - x_{2}) ({x_{1}}^{2} + x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2}) \neq 0$

czyli $f (x_{1}) - f (x_{2}) \neq 0$ , stąd $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ .

Ponieważ $x_{1}$ i $x_{2}$ są dowolnymi liczbami ze zbioru $ℝ$ udowodniliśmy więc, że funkcja $f (x) = - x^{3} + 2$ , gdy $x \in ℝ$ jest funkcją różnowartościową.

W dowodzeniu różnowartościowości funkcji liczbowej wygodnie jest stosować poniższą definicję. Jest ona równoważna definicji przedstawionej na początku lekcji.

funkcji różnowartościowej

Definicja: funkcji różnowartościowej

Funkcja liczbowa $f : X \to Y$ jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy z równości wartości tej funkcji wynika równość argumentów, to znaczy, że dla dowolnych argumentów $x_{1}$ , $x_{2}$ z równości $f (x_{1}) = f (x_{2})$ wynika równość $x_{1} = x_{2}$ .

Definicję powyższą możemy zapisać krócej.

Funkcja liczbowa $f : X \to Y$ jest
funkcją różnowartościową $\Leftrightarrow \forall_{x_{1}, x_{2} \in X} [f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}]$

W poniższych przykładach pokażemy zastosowanie tej definicji w dowodzeniu różnowartościowości funkcji liczbowej.

Przykład 4

Zbadamy różnowartościowość funkcji $f (x) = 4 x - 2$ .

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, zatem $D = ℝ$ .

Weźmy dowolne argumenty $x_{1}$ , $x_{2} \in D$ takie, że $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Mamy: $4 x_{1} - 2 = 4 x_{2} - 2$ , zatem $4 x_{1} = 4 x_{2}$ , stąd $x_{1} = x_{2}$ , co oznacza, że funkcja jest różnowartościowa.

R1XgmabOxgD24

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano prostą o równaniu y=4x−2 biegnącą od minus nieskończoności przez punkt 0;-3 do plus nieskończoności.

Przykład 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = \frac{x + 5}{x - 4}$ , gdy $x \in ℝ ∖ \{4\}$ .

Wykażemy, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Założenie: $f (x) = \frac{x + 5}{x - 4}$ , $D_{f} = ℝ ∖ \{4\}$ , $x_{1}$ , $x_{2} \in D_{f}$ , $f (x_{1}) = f (x_{2})$

Teza: $x_{1} = x_{2}$

Dowód:

Z założenia wiemy, że $x_{1}$ , $x_{2} \in D_{f}$ i $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , zatem

$\frac{x_{1} + 5}{x_{1} - 4} = \frac{x_{2} + 5}{x_{2} - 4}$

stąd

$(x_{1} + 5) (x_{2} - 4) = (x_{2} + 5) (x_{1} - 4)$

Po obu stronach równości mnożymy przez siebie sumy algebraiczne.

$x_{1} x_{2} + 5 x_{2} - 4 x_{1} - 20 = x_{1} x_{2} + 5 x_{1} - 4 x_{2} - 20$

Po wykonaniu redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy:

$- 4 x_{1} - 5 x_{1} = - 4 x_{2} - 5 x_{2}$

$- 9 x_{1} = - 9 x_{2} | : (- 9)$

$x_{1} = x_{2}$

$x_{1}$ , $x_{2}$ – są dowolnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji $f$ , więc funkcja $f (x) = \frac{x + 5}{x - 4}$ , gdy $x \in ℝ ∖ \{4\}$ , jest funkcją różnowartościowąfunkcja różnowartościowafunkcją różnowartościową.

Przykład 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru

$f (x) = 3 \sqrt{x - 2}$ , gdy $x \in ⟨2, \infty)$ .

Wykażemy, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Założenie: $f (x) = 3 \sqrt{x - 2}$ , $D_{f} = ⟨2, \infty)$ , $x_{1}$ , $x_{2} \in D_{f}$ , $f (x_{1}) = f (x_{2})$

Teza: $x_{1} = x_{2}$

Dowód:

Z założenia wiemy, że $x_{1}$ , $x_{2} \in D_{f}$ i $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , zatem

$3 \sqrt{x_{1} - 2} = 3 \sqrt{x_{2} - 2} | : 3$

$\sqrt{x_{1} - 2} = \sqrt{x_{2} - 2}$

Z własności pierwiastkowania otrzymujemy:

$x_{1} - 2 = x_{2} - 2$

$x_{1} = x_{2}$

$x_{1}$ , $x_{2}$ – są dowolnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji $f$ , więc funkcja $f (x) = 3 \sqrt{x - 2}$ , gdy $x \in ⟨2, \infty)$ , jest funkcją różnowartościową.

Aby udowodnić, że funkcja nie jest różnowartościową, wystarczy pokazać dwa różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość.

Przykład 7

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru

$f (x) = - 5 x^{2}$ , gdy $x \in ℝ$ .

Wykażemy, że funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową.

Rozwiązanie:

Obliczmy wartość funkcji $f$ dla dwóch wybranych argumentów, np. $(- 2)$ i $2$ .

$f (- 2) = - 5 \cdot {(- 2)}^{2} = - 5 \cdot 4 = - 20$

$f (2) = - 5 \cdot 2^{2} = - 5 \cdot 4 = - 20$

$f (- 2) = f (2)$

Pokazaliśmy więc, że funkcja $f$ przyjmuje taką samą wartość dla dwóch różnych argumentów.

Zatem funkcja $f (x) = - 5 x^{2}$ , gdy $x \in ℝ$ nie jest funkcją różnowartościową.

Wszystkie funkcje rosnące i wszystkie funkcje malejące są funkcjami różnowartościowymi. Wystarczy przeanalizować definicję funkcji rosnącej i definicję funkcji malejącej. Sprawdzimy, czy każda funkcja różnowartościowa jest funkcją monotoniczną.

Przykład 8

Poniższe rysunki przedstawiają wykresy funkcji, które są różnowartościowe i nie są monotoniczne.

RFa118Vz0hhzk
Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu pionową osią y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres składający się z dziewięciu punktów zaznaczonych zamalowanymi kropkami, o następujących współrzędnych: początek nawiasu, minus 4 , 1, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 0, minus 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 2, 4, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 3, 5, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 4, 6, zamknięcie nawiasu. Wykres jest podpisany $y = f (x)$ . Dodatkowo na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostały cztery poziome proste. Pierwsza z nich przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu, druga przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu, trzecia przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu oraz czwarta przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu.
RKBhOoL1zV6Hm
Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o składający się z dwóch części. Pierwsza z części zaczyna się w punkcie początek nawiasu, minus 5, 0, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony zamalowaną kropką. Z tego punktu biegnie ukośna linia prosta to punktu początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu, który również jest zaznaczony zamalowaną kropką. Druga część wykresu zaczyna się w punkcie początek nawiasu, 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony zamalowaną kropką i biegnie ukośną linią prostą do punktu początek nawiasu, 4, minus 2, zamknięcie nawiasu, który również jest zaznaczony zamalowaną kropką. Wykres jest podpisany $y = f (x)$ . Dodatkowo na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostały cztery poziome proste. Pierwsza z nich przecina oś y blisko punktu początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu, druga przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu, trzecia przecina oś y blisko punktu początek nawiasu, 0, 0,5, zamknięcie nawiasu oraz czwarta przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu.

Ważne!

Jeżeli funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu, to możemy sprawdzić, czy jest różnowartościowa, szkicując proste równoległe do osi $X$ i określając ile punktów wspólnych ma dana prosta z wykresem funkcji. Funkcja różnowartościowafunkcja różnowartościowaFunkcja różnowartościowa ma z każdą z prostych równoległych do osi $X$ co najwyżej jeden punkt wspólny.

Jeżeli funkcja jest opisana za pomocą wzoru, to sprawdzamy jej różnowartościowość korzystając z definicji.

Każda funkcja rosnąca/malejąca jest funkcją różnowartościową, ale nie każda funkcja różnowartościowa jest funkcją monotoniczną.

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami wykresów funkcji różnowartościowych i funkcji, które nie są różnowartościowe. Zmieniaj wzór funkcji oraz równanie prostej równoległej do osi $X$ .

R1AxBs4SJU4Db

Polecenie 2

Dana jest funkcja $f (x) = x^{3} + 3$ . Zbadaj, czy funkcja $f$ jest różnowartościowa.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, $D = ℝ$ .

Weźmy dowolne $x_{1}$ , $x_{2} \in D$ takie, że $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Mamy ${(x_{1})}^{3} + 3 = {(x_{2})}^{3} + 3$ , stąd ${(x_{1})}^{3} = {(x_{2})}^{3}$ , zatem $x_{1} = x_{2}$ , co oznacza, że funkcja jest różnowartościowa.

Polecenie 3

Dana jest funkcja $f (x) = x^{2} - 2$ . Zbadaj, czy funkcja $f$ jest różnowartościowa.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, $D = ℝ$ .

Weźmy dowolne $x_{1}$ , $x_{2} \in D$ takie, że $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Mamy ${(x_{1})}^{2} - 2 = {(x_{2})}^{2} - 2$ , stąd ${(x_{1})}^{2} = {(x_{2})}^{2}$ , zatem $|x_{1}| = |x_{2}|$ , więc $x_{1} = x_{2}$ lub $x_{1} = - x_{2}$ , co oznacza, że funkcja nie jest różnowartościowa.

Polecenie 4

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w prezentacji multimedialnej. Spróbuj samodzielnie rozwiązać wskazane zadania, następnie porównaj swoje rozwiązania z tymi, które pokazane są w prezentacji.

R1TpKm9eMFgtE

Slajd pierwszy przedstawia definicję pierwszą funkcji różnowartościowej. Funkcja liczbowa $f : X \to Y$ jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości to znaczy, że dla dowolnych $x_{1}$ , $x_{2}$ z warunku $x_{1} \neq x_{2}$ wynika warunek $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ . Slajd drugi przedstawia przykład pierwszy. Funkcja $f$ jest opisana za pomocą wykresu znajdującego się na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech i pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Wykres przypomina kształt tangensoidy, rozpoczyna się w trzeciej ćwiartce, następnie przecina oś $X$ i biegnie do punktu początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu występuje przegięcie wykresu i biegnie on dalej przez pierwszą ćwiartkę aż poza płaszczyznę układu współrzędnych. Wykres jest podpisany $y = f (x_{1})$ . Sprawdźmy, czy funkcja jest funkcją różnowartościową. Slajd trzeci zawiera kontynuację przykładu pierwszego. Na rysunku przedstawiony jest fragment funkcji $f$ , w związku z tym rozważania dotyczące różnowartościowości funkcji $f$ ograniczymy tylko do tej części wykresu. Szkicujemy proste równoległe do osi x i sprawdzamy, ile punktów wspólnych ma każda prosta z wykresem funkcji. Zatem na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus czterech do czterech znajduje się wykres, którego kształt przypomina kształt tangensoidy, rozpoczyna się on w trzeciej ćwiartce, następnie przecina oś x i biegnie do punktu początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu występuje przegięcie wykresu i biegnie on dalej przez pierwszą ćwiartkę aż poza płaszczyznę układu współrzędnych. Dodatkowo na płaszczyźnie zaznaczone zostały dwie proste: pierwsza o równaniu $x = 1$ , a druga o równaniu $x = - 3$ . Każda prosta przecina się z wykresem w jednym punkcie. Punkty przecięcia się prostych z wykresem zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami. W związku z tym, że każda prosta równoległa do osi x ma tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji to możemy stwierdzić, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową. Slajd czwarty przedstawia przykład drugi. Funkcja $f$ jest opisana za pomocą wykresu znajdującego się na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus czterech do czterech. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie początek nawiasu, 0, minus 4, zamknięcie nawiasu. Wykażemy, że funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową. Slajd piąty przedstawia kontynuację przykładu drugiego. Aby wykazać, ze funkcja nie jest funkcją różnowartościową wystarczy wskazać dwa różne argumenty dla których funkcja przyjmuje taką samą wartość. W przypadku wykresu funkcji wystarczy naszkicować jedną prostą równoległą a do osi x, która przecina wykres funkcji w więcej niż jednym punkcie. Na przykład prosta y, równa się, cztery ma dwa punkty wspólne z wykresem funkcji są to punkty o współrzędnych: początek nawiasu, minus 2, 4, zamknięcie nawiasu i początek nawiasu, 2, 4, zamknięcie nawiasu. Zatem funkcja $f$ nie jest funkcją różnowartościową. Rozwiązanie na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus czterech do czterech jest wykres, który ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie początek nawiasu, 0, minus 4, zamknięcie nawiasu. Dodatkowo na płaszczyźnie znajduje się prosta o równaniu y, równa się, cztery. Prosta ma dwa punkty wspólne z wykresem, które zostały zaznaczone za pomocą zamalowanych kropek. Slajd szósty przedstawia przykład trzeci. Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, plus, cztery, gdy x, należy do, liczby rzeczywiste. Korzystając z definicji pierwszej, udowodnimy, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową. Slajd siódmy zawiera kontynuację przykładu trzeciego. Zapisujemy, założenie, tezę i przeprowadzamy dowód. Nasze założenie brzmi: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, plus, cztery, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego należy do, liczby rzeczywiste oraz x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest różne od x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Teza jest następująca: f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest różne od f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Dowód: Wygodniej jest obliczyć różnicę wartości funkcji $f$ dla argumentów x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwa x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, minus, dwa x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, plus, dwa x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, minus, cztery, równa się, minus, dwa x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dwa x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa nawias ostry x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu Z założenia wiadomo, że x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest różne od x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, czyli x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego jest różne od zera. Zatem minus, dwa nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest różne od zera. Stąd f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest różne od zera, czyli f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest różne od f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego są dowolnymi liczbami, że zbioru liczb rzeczywistych. Zatem funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, plus, cztery, gdy x, należy do, liczby rzeczywiste jest funkcją różnowartościową, co należało dowieść. Slajd ósmy zawiera definicję drugą funkcji różnowartościowej równoważną definicji pierwszej. Funkcja liczbowa f: X, strzałka, Y jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy z równości wartości tej funkcji wynika równość argumentów, to znaczy, że dla dwóch dowolnych argumentów x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego z równości f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu wynika równość x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Slajd dziewiąty przedstawia przykład czwarty. Korzystając z definicji drugiej wykażemy, że funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, minus, początek ułamka, x, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, przecinek, gdy x, należy do, liczby rzeczywiste różnica nawias klamrowy, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego jest funkcją różnowartościową. Slajd dziesiąty zawiera kontynuację przykładu czwartego. Zapisujemy założenie, tezę i przeprowadzamy dowód. Założenie jest następujące: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, minus, początek ułamka, x, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, przecinek, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste różnica nawias klamrowy, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu Teza brzmi: x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego Slajd jedenasty również zawiera kontynuację przykładu czwartego. Znajduje się tutaj dowód. Z założenia wiadomo, że x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego oraz f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu Zatem cztery, minus, początek ułamka, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, cztery, minus, początek ułamka, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka Stąd minus, początek ułamka, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, czyli początek ułamka, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec ułamka, po zlikwidowaniu ułamków otrzymujemy x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, po wymnożeniu nawiasów mamy x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i statecznie x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnegosą dowolnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji $f$ Zatem funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, minus, początek ułamka, x, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, przecinek, gdy x, należy do, liczby rzeczywiste różnica nawias klamrowy, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego jest funkcją różnowartościową, co należało udowodnić.

Polecenie 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = |2 x - 4|$ .

Wyznacz dziedzinę tej funkcji i wykaż, że funkcja $f$ nie jest różnowartościowa.

Dziedzina funkcji $D_{f} = ℝ$ .

Aby udowodnić, że funkcja nie jest różnowartościową, wystarczy wskazać dwa różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość.

Np. $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$ .

$f (1) = |2 \cdot 1 - 4| = |2 - 4| = |- 2| = 2$

$f (3) = |2 \cdot 3 - 4| = |6 - 4| = |2| = 2$

Funkcja $f$ przyjmuje taką samą wartość dla dwóch różnych argumentów.

Zatem funkcja $f (x) = |2 x - 4|$ , gdy $x \in ℝ$ nie jest funkcją różnowartościową.

Polecenie 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = \sqrt{x - 2}$ , gdy $x \in ⟨2, \infty)$ .

Udowodnij, że funkcja $f$ jest funkcją różnowartościową.

Założenie: $f (x) = \sqrt{x - 2}$ , $D_{f} = ⟨2, \infty)$ , $x_{1}$ , $x_{2} \in D_{f}$ , $f (x_{1}) = f (x_{2})$

Teza: $x_{1} = x_{2}$

Dowód:

Z założenia wiadomo, że $x_{1}$ , $x_{2} \in D_{f}$ , $f (x_{1}) = f (x_{2})$

Zatem

$\sqrt{x_{1} - 2} = \sqrt{x_{2} - 2}$

$x_{1} - 2 = x_{2} - 2$

$x_{1} = x_{2}$

$x_{1}$ , $x_{2}$ – są dowolnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji $f$ .

Zatem funkcja $f (x) = \sqrt{x - 2}$ , gdy $x \in ⟨2, \infty)$ jest funkcją różnowartościową.

Ćwiczenie 1

R4Maa26KkuILv

RhFTQ35WNbrrN

Ćwiczenie 2

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest $\{- 1, 2, 3, 5, 7\}$ . Wyznacz liczbę $m$ tak, aby tabela opisywała funkcję różnowartościową.

Funkcja $f$
$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$3$	$5$	$2$	$m$	$7$

R1cSm9PPHLCue

R10G2p6huKzRZ2

Ćwiczenie 3

RdOUieFzCFgaZ2

Ćwiczenie 4

R5uosvMqaET5c2

Ćwiczenie 5

Rd3Wxhf1yOsoj2

Ćwiczenie 6

R8THhKMXhK8zB3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

RkeTbZSH8ywpe

R1GFjgbmLKelC

Ćwiczenie 9

R1bogFC3VZR4B

RDaB5vFURBpkz

R9AQEoPYAUmG61

Ćwiczenie 10

RjVtCmrd1tyLg1

Ćwiczenie 11

R1Upsfa9od4C32

Ćwiczenie 12

RsJDmO042yD4o2

Ćwiczenie 13

Dostępne opcje do wyboru: jest różnowartościowa, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, należy do, D, nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, dwa tysiące dwadzieścia jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dwa tysiące dwadzieścia jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, nie jest różnowartościowa, różnowartościowość, D, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, dwa tysiące dwadzieścia jeden, zamknięcie nawiasu, D, równa się, liczby rzeczywiste, podzieleniu stronami przez dwa tysiące dwadzieścia jeden. Polecenie: Przeciągnij odpowiednie elementy, aby uzyskać poprawne uzasadnienie różnowartościowości funkcji. Niech dana będzie funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, mianownik, x, plus, dwa tysiące dwadzieścia jeden, koniec ułamka. Zbadamy luka do uzupełnienia funkcji f.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji: luka do uzupełnienia .

Weźmy dowolne luka do uzupełnienia , takie, że f nawias, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu

Mamy: początek ułamka, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dwa tysiące dwadzieścia jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, dwa tysiące dwadzieścia jeden, koniec ułamka.

Przekształcając odpowiednio ułamek otrzymujemy: luka do uzupełnienia , stąd x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, dwa tysiące dwadzieścia jeden x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, dwa tysiące dwadzieścia jeden x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego,

Po redukcji wyrazów podobnych mamy: dwa tysiące dwadzieścia jeden x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa tysiące dwadzieścia jeden x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, zatem, po luka do uzupełnienia otrzymujemy: x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, co oznacza, że funkcja luka do uzupełnienia .

Rw8XfMCKdUVLb2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Dane jest funkcja $g (x) = \frac{5}{x - 2}$ . Zbadaj, czy funkcja $g (x)$ jest funkcją różnowartościową.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g (x) = \frac{5}{x - 2}$ : $D = ℝ ∖ \{2\}$ .

Weźmy dowolne $x_{1}$ , $x_{2} \in D$ takie, że $g (x_{1}) = g (x_{2})$

Mamy: $\frac{5}{x_{1} - 2} = \frac{5}{x_{2} - 2}$ .

Przekształcając odpowiednio ułamek otrzymujemy $5 (x_{2} - 2) = 5 (x_{1} - 2)$ , stąd $5 x_{2} - 10 = 5 x_{1} - 10$ , zatem $5 x_{2} = 5 x_{1}$ , więc $x_{1} = x_{2}$ , co oznacza, że funkcja jest różnowartościowa.

Ćwiczenie 16

Dana jest funkcja $h (x) = - 3 |x| + 6$ . Zbadaj, czy funkcja $h$ jest funkcją różnowartościową.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $h (x) = - 3 |x| + 6$ .

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, $D = ℝ$ .

Weźmy dowolne $x_{1}$ , $x_{2} \in D$ takie, że $h (x_{1}) = h (x_{2})$ .

Mamy: $- 3 |x_{1}| + 6 = - 3 |x_{2}| + 6$ , stąd $- 3 |x_{1}| = - 3 |x_{2}|$ .

Dzieląc stronami przez $(- 3)$ , otrzymujemy $|x_{1}| = |x_{2}|$ , więc $x_{1} = x_{2}$ lub $x_{1} = - x_{2}$ , co oznacza, że funkcja nie jest różnowartościowa.

Słownik

funkcja różnowartościowa

funkcja liczbowa, która każdą swoją wartość przyjmuje tylko jeden raz

2. Monotoniczność funkcji, monotoniczność na przedziałach

4. Parzystość i okresowość funkcji (DODATEK)

3. Różnowartościowość funkcji

Słownik