1. Wielkości wprost proporcjonalne

R1aP7683D7RyV

Istnieje wiele modeli matematycznych, które opisują i pomagają w rozwiązaniu problemów z życia codziennego. Jednym z takich modeli są wielkości wprost proporcjonalne, które spotykamy na przykład w przepisach kulinarnych. Poniżej przedstawiono przepis na wykonanie pączków. Z zaproponowanej ilości składników wykonamy $15$ pączków.

RFtEmklv3rTSv

Na ilustracji przedstawiono pączki posypane pudrem na talerzu. Po lewej stronie wypisano niezbędne składniki. Kolejno: 500 gramów mąki pszennej, 50 gramów świeżych drożdży, 100 gramów masła, 100 gramów cukru, 4 żółtka, jedno jajko, 250 mililitrów mleka. Dodatkowo jedno jajko, oraz do wyboru dowolny dżem, powidła, krem orzechowo-czekoladowy.

Bazując na wiedzy teoretycznej oraz omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Twoje cele

Rozpoznasz wielkości wprost proporcjonalne.
Podasz przykłady wielkości wprost proporcjonalnych.
Wyznaczysz wielkości wprost proporcjonalne.
Wykorzystasz własności proporcji do rozwiązywania zadań.

W życiu codziennym spotykamy się z sytuacjami, gdy iloraz pewnych wielkości jest stały:

iloraz odległości w jakiej uderza piorun do czasu, po jakim usłyszymy grzmot,
iloraz odległości w terenie do odpowiadającej jej odległości na mapie,
iloraz wartości zakupionego towaru do jego masy,
iloraz stawki podatku do kwoty, która podlega opodatkowaniu.

wielkości wprost proporcjonalne

Definicja: wielkości wprost proporcjonalne

Dwie dodatnie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.

W przypadku wielkości wprost proporcjonalnych, wzrost lub zmniejszenie jednej wielkości, powoduje wzrost lub odpowiednio zmniejszenie drugiej wielkości tyle samo razy.

Wielkościami wprost proporcjonalnymi są na przykład:

długość boku kwadratu i jego obwód,
długość promienia koła i jego obwód,
liczba jednakowych pojemników i objętość wody, którą możemy do nich wlać.

Jeżeli wprowadzimy oznaczenia:

$a : b$ – iloraz liczb $a$ i $b$ , gdzie $b \neq 0$ ,

$c : d$ – iloraz liczb $c$ i $d$ , gdzie $d \neq 0$ ,

to równość dwóch ilorazów $a : b = c : d$ nazywa się proporcjąproporcjaproporcją.

Liczby $a$ i $d$ nazywamy wyrazami skrajnymi, a liczby $b$ i $c$ wyrazami środkowymi.

W obliczeniach stosuje się zapis $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , co jest równoważne zapisowi $a \cdot d = b \cdot c$ (iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych). Taki zapis proporcji zastosujemy do rozwiązywania zadań. Mówimy, że do rozwiązywania proporcji stosujemy metodę „na krzyż”.

Przykład 1

W tabeli przedstawiono wielkości $x$ i $y$ , które są wprost proporcjonalne. Wyznacz wartości liczb $k$ , $l$ oraz $m$ .

$x$	$5$	$k$	$9$	$m$
$y$	$8$	$10$	$l$	$12$

Rozwiązanie:

Jeżeli wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne, to możemy ułożyć następujące proporcje:

$\frac{5}{8} = \frac{k}{10}$ , zatem $k = 6, 25$ ,

$\frac{5}{8} = \frac{9}{l}$ , zatem $l = 14, 4$ ,

$\frac{5}{8} = \frac{m}{12}$ , zatem $m = 7, 5$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie zapisane w postaci proporcji $\frac{3 x - 5}{4} = \frac{2 x + 3}{3}$ .

Rozwiązanie:

Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, zatem:

$3 \cdot (3 x - 5) = 4 \cdot (2 x + 3)$ , czyli $9 x - 15 = 8 x + 12$ .

Rozwiązaniem równania jest liczba $x = 27$ .

Przykład 3

W pewnej szkole uczy się $520$ uczniów. Stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy $6 : 7$ . Wyznaczymy liczbę dziewcząt i liczbę chłopców w tej szkole.

Rozwiązanie:

Jeżeli przez $x$ oznaczymy liczbę dziewcząt w tej szkole, to liczba chłopców wynosi $520 - x$ oraz $0 < x < 520$ .

Układamy i rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{x}{520 - x} = \frac{6}{7}$ .

Zatem $7 \cdot x = 6 \cdot (520 - x)$ , czyli

$x = 240$ ,

$520 - x = 280$ .

Liczba dziewcząt uczęszczających do tej szkoły wynosi $240$ , a chłopców $280$ .

Przykład 4

Motocykl pokonał trasę $180 km$ w ciągu $4, 5 h$ . Obliczymy, jaką długość miałaby trasa, którą pokonałby ten motocykl w ciągu $6$ godzin, gdyby utrzymał tę samą średnią prędkość.

Rozwiązanie:

Jeżeli przez $x$ oznaczymy trasę pokonaną w ciągu $6 h$ , to do wyznaczenia długości tej trasy rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{180}{4, 5} = \frac{x}{6}$ , zatem $6 \cdot 180 = 4, 5 \cdot x$ , czyli $x = 240$ .

Przy tej samej prędkości, motocykl w ciągu $6 h$ pokonałby trasę długości $240 km$ .

Przykład 5

Odcinek podzielono na dwa mniejsze odcinki, których stosunek długości wynosi $3 : 5$ . Wyznaczymy, jaka jest długość tego odcinka, jeżeli mniejsza część jest o $10$ krótsza od większej części.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – długość krótszej części odcinka,

$x + 10$ – długość dłuższej części odcinka.

Układamy i rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{3}{5} = \frac{x}{x + 10}$ , zatem $5 \cdot x = 3 \cdot (x + 10)$ .

Po rozwiązaniu równania otrzymujemy, że $x = 15$ , zatem krótsza część odcinka ma długość $15$ , a dłuższa $25$ .

Wobec tego cały odcinek ma długość $40$ .

Przykład 6

Wiadomo, że $40$ ziarenek kawy waży $4, 8 g$ . Obliczymy, ile waży jedno ziarenko kawy.

Rozwiązanie:

Jeżeli przez $x$ oznaczymy masę jednego ziarenka kawy, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{4, 8}{40} = \frac{x}{1}$ , zatem $x = 0, 12$ .

Jedno ziarenko kawy ma masę $0, 12 g$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj działanie schematu interaktywnego, dotyczącego rozwiązywania równania w postaci proporcji, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R18qvdvGCASYm

Polecenie 2

Rozwiąż równania:

a) $\frac{x - 1}{3} = \frac{2}{x + 1}$

b) $\frac{2 x - 3}{x - 2} = \frac{5}{3}$

c) $\frac{x - 5}{x} = \frac{2 x}{x - 1}$

a) Dziedziną równania jest zbiór $x \in ℝ ∖ \{- 1\}$ .

Zatem $(x - 1) \cdot (x + 1) = 2 \cdot 3$ .

Wobec tego $x^{2} = 7$ , czyli $x = \sqrt{7}$ oraz $x = - \sqrt{7}$ .

b) Dziedziną równania jest zbiór $x \in ℝ ∖ \{2\}$ .

Zatem $3 \cdot (2 x - 3) = 5 \cdot (x - 2)$ .

Wobec tego $x = - 1$ .

c) Dziedziną równania jest zbiór $x \in ℝ ∖ \{0, 1\}$ .

Zatem $(x - 5) \cdot (x - 1) = 2 x \cdot x$ , co po uporządkowaniu sprowadza się do równania $- x^{2} - 6 x + 5 = 0$ .

Obliczamy:

$∆ = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5 = 36 + 20 = 56$ ,

$x_{1} = \frac{6 - 2 \sqrt{14}}{- 2} = - 3 + \sqrt{14}$ ,

$x_{2} = \frac{6 + 2 \sqrt{14}}{- 2} = - 3 - \sqrt{14}$ .

Polecenie 3

W poniższym schemacie przygotuj algorytm wyliczający wybraną wartość parametru z proporcji.

R1YEH1dOfPI7i

Przygotuj w języku Python algorytm wyliczający wybraną wartość parametru z proporcji.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

R1DCKW4mES1jP

Linia 1. lista podkreślnik a znak równości None. Linia 2. wynik znak równości None. Linia 3. b znak równości None. Linia 4. a znak równości None. Linia 5. c znak równości None. Linia 6. d znak równości None. Linia 8. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Rozwiązywanie proporcji a prawy ukośnik b znak równości c prawy ukośnik d kropka. Linia 9. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 10. def Rozwi podkreślnik C4 podkreślnik 85zywanie podkreślnik proporcji otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 11. global lista podkreślnik a przecinek wynik przecinek b przecinek a przecinek c przecinek d. Linia 12. lista podkreślnik a znak równości otwórz nawias kwadratowy apostrof a apostrof przecinek apostrof b apostrof przecinek apostrof c apostrof przecinek apostrof d apostrof zamknij nawias kwadratowy otwórz nawias kwadratowy 0 zamknij nawias kwadratowy. Linia 13. if lista podkreślnik a znak równości znak równości apostrof a apostrof dwukropek. Linia 14. b znak równości 1. Linia 15. c znak równości 1. Linia 16. d znak równości 1. Linia 17. if d wykrzyknik znak równości 0 dwukropek. Linia 18. print otwórz nawias okrągły apostrof a znak równości c asterysk b prawy ukośnik d znak równości apostrof plus str otwórz nawias okrągły licz podkreślnik a otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 19. else dwukropek. Linia 20. print otwórz nawias okrągły apostrof Nie dzielimy przez 0 apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 21. elif lista podkreślnik a znak równości znak równości apostrof b apostrof dwukropek. Linia 22. a znak równości 3. Linia 23. c znak równości 1. Linia 24. d znak równości 1. Linia 25. if c wykrzyknik znak równości 0 dwukropek. Linia 26. print otwórz nawias okrągły apostrof b znak równości a asterysk d prawy ukośnik c znak równości apostrof plus str otwórz nawias okrągły licz podkreślnik b otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 27. else dwukropek. Linia 28. print otwórz nawias okrągły apostrof Nie dzielimy przez 0 apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 29. elif lista podkreślnik a znak równości znak równości apostrof c apostrof dwukropek. Linia 30. a znak równości 3. Linia 31. b znak równości 1. Linia 32. d znak równości 1. Linia 33. if b wykrzyknik znak równości 0 dwukropek. Linia 34. print otwórz nawias okrągły apostrof c znak równości a asterysk d prawy ukośnik b znak równości apostrof plus str otwórz nawias okrągły licz podkreślnik c otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 35. else dwukropek. Linia 36. print otwórz nawias okrągły apostrof Nie dzielimy przez 0 apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 37. else dwukropek. Linia 38. a znak równości 3. Linia 39. b znak równości 1. Linia 40. c znak równości 1. Linia 41. if a wykrzyknik znak równości 0 dwukropek. Linia 42. print otwórz nawias okrągły apostrof d znak równości c asterysk b prawy ukośnik a znak równości apostrof plus str otwórz nawias okrągły licz podkreślnik d otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 43. else dwukropek. Linia 44. print otwórz nawias okrągły apostrof Nie dzielimy przez 0 apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 46. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 47. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 48. def licz podkreślnik a otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 49. global lista podkreślnik a przecinek wynik przecinek b przecinek a przecinek c przecinek d. Linia 50. wynik znak równości str otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły c asterysk b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik d zamknij nawias okrągły plus apostrof apostrof. Linia 51. return wynik. Linia 53. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 54. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 55. def licz podkreślnik b otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 56. global lista podkreślnik a przecinek wynik przecinek b przecinek a przecinek c przecinek d. Linia 57. wynik znak równości str otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły a asterysk d zamknij nawias okrągły prawy ukośnik c zamknij nawias okrągły plus apostrof apostrof. Linia 58. return wynik. Linia 60. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 61. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 62. def licz podkreślnik c otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 63. global lista podkreślnik a przecinek wynik przecinek b przecinek a przecinek c przecinek d. Linia 64. wynik znak równości str otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły a asterysk d zamknij nawias okrągły prawy ukośnik b zamknij nawias okrągły plus apostrof apostrof. Linia 65. return wynik. Linia 67. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 68. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 69. def licz podkreślnik d otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 70. global lista podkreślnik a przecinek wynik przecinek b przecinek a przecinek c przecinek d. Linia 71. wynik znak równości str otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły c asterysk b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik a zamknij nawias okrągły plus apostrof apostrof. Linia 72. return wynik. Linia 75. Rozwi podkreślnik C4 podkreślnik 85zywanie podkreślnik proporcji otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

lista_a = None
wynik = None
b = None
a = None
c = None
d = None

"""Rozwiązywanie proporcji a/b = c/d.
"""
def Rozwi_C4_85zywanie_proporcji():
  global lista_a, wynik, b, a, c, d
  lista_a = ['a', 'b', 'c', 'd'][0]
  if lista_a == 'a':
    b = 1
    c = 1
    d = 1
    if d != 0:
      print('a=c*b/d=' + str(licz_a()))
    else:
      print('Nie dzielimy przez 0')
  elif lista_a == 'b':
    a = 3
    c = 1
    d = 1
    if c != 0:
      print('b=a*d/c=' + str(licz_b()))
    else:
      print('Nie dzielimy przez 0')
  elif lista_a == 'c':
    a = 3
    b = 1
    d = 1
    if b != 0:
      print('c=a*d/b=' + str(licz_c()))
    else:
      print('Nie dzielimy przez 0')
  else:
    a = 3
    b = 1
    c = 1
    if a != 0:
      print('d=c*b/a=' + str(licz_d()))
    else:
      print('Nie dzielimy przez 0')

"""Opisz tę funkcję...
"""
def licz_a():
  global lista_a, wynik, b, a, c, d
  wynik = str((c * b) / d) + ''
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def licz_b():
  global lista_a, wynik, b, a, c, d
  wynik = str((a * d) / c) + ''
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def licz_c():
  global lista_a, wynik, b, a, c, d
  wynik = str((a * d) / b) + ''
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def licz_d():
  global lista_a, wynik, b, a, c, d
  wynik = str((c * b) / a) + ''
  return wynik


Rozwi_C4_85zywanie_proporcji()

RETzYpWQ8Tj581

Ćwiczenie 1

R91AgcaUmw96B1

Ćwiczenie 2

RDiIoI0wXSgNZ1

Ćwiczenie 3

RNZCZA963EJL7

Ćwiczenie 4

R1TuXjFvobw8H2

Ćwiczenie 5

R9u6XQ9Y1fat92

Ćwiczenie 6

R1ZyCqUG9z3aq3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Rozwiąż zadania:

a) Na upieczenie $18$ babeczek potrzeba $540 dag$ mąki. Ile mąki potrzeba na wykonanie $30$ takich babeczek?

b) Zegarek spóźnia się $3$ sekundy w ciągu $2$ minut. Po jakim czasie spóźnienie będzie wynosiło $1, 5$ minuty?

a) Jeżeli przez $x$ oznaczymy ilość potrzebnej mąki, to rozwiązujemy równanie, zapisane w postaci proporcji:

$\frac{18}{540} = \frac{30}{x}$ .

Zatem $x = 900$ .

Odpowiedź: Na upieczenie $30$ takich babeczek potrzeba $900 dag$ mąki.

b) $1, 5 \min = 90 s$

Jeżeli przez $x$ oznaczymy czas, po którym spóźnienie będzie wynosiło $1, 5$ minuty, to rozwiązujemy równanie, zapisane w postaci proporcji:

$\frac{3}{120} = \frac{90}{x}$ , zatem $x = 3600$ .

$3600 s = 1 h$ .

Odpowiedź: Spóźnienie będzie wynosiło $1, 5$ minuty po upływie $1$ godziny.

Słownik

proporcja

równość dwóch ilorazów

2. Proporcjonalność prosta i jej wykres

M_R_W04_M1 Funkcja liniowa i jej wykres

1. Wielkości wprost proporcjonalne

Słownik