2. Proporcjonalność prosta i jej wykres

R1a2VbL25uAgH

Magda i Basia postanowiły upiec dwie blachy tego samego ciasta i chciały się dowiedzieć, ile składników do tego potrzebują, dlatego sięgnęły po przepis. W przepisie wymienione zostały jednak jedynie składniki oraz ich ilości potrzebne do upieczenia jednej blachy ciasta. Basia powiedziała, że aby upiec dwie blachy ciasta wystarczy pomnożyć ilość każdego z produktów z przepisu razy dwa, a Magda, że do każdej ilości należy dodać dwa. Która z nich miała rację?

RBA2EvgaZaixk1

Na ilustracji przedstawiono ciastka, ułożone rzędami obok siebie. — Źródło: Toa Heftiba, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

Z podobną sytuacją spotkasz się, gdy będziesz chciał przygotowywać cisteczka brownie dla każdego z 12 znajomych, mając przed sobą przepis na przyrządzenie trzech brownie.

W tym materiale poznasz wiadomości dotyczące funkcji nazywanej proporcjonalnością prostą.

Twoje cele

Zdefiniujesz funkcję, nazywaną proporcjonalnością prostą.
Naszkicujesz wykres funkcji, będącej proporcjonalnością prostą.
Obliczysz wartości funkcji, będącej proporcjonalnością prostą dla różnych argumentów.
Wykorzystasz funkcję, będącą proporcjonalnością prostą do rozwiązywania problemów matematycznych.

Już wiesz

Dwie zmienne wielkości nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.

W przypadku dodatnich wielkości wprost proporcjonalnychwielkości wprost proporcjonalnewielkości wprost proporcjonalnych, wzrost lub zmniejszenie jednej wielkości tyle samo razy, powoduje odpowiednio wzrost lub zmniejszenie drugiej wielkości tyle samo razy.

Wielkościami wprost proporcjonalnymiwielkości wprost proporcjonalneWielkościami wprost proporcjonalnymi są na przykład:

długość boku trójkąta równobocznego i jego obwód,
długość średnicy koła i jego obwód,
droga i czas przy stałej prędkości.

Zdefiniujmy funkcję, która określa zależność pomiędzy dodatnimi wielkościami wprost proporcjonalnymi.

proporcjonalność prosta

Definicja: proporcjonalność prosta

Funkcję $f$ określoną wzorem $f (x) = a \cdot x$ , gdzie $a > 0$ na zbiorze $ℝ_{+}$ nazywamy proporcjonalnością prostą.

Gdy będziemy używać zapisu $y = f (x)$ , wtedy proporcjonalność prostą wyrazimy wzorem $y = a \cdot x$ .

W powyższej definicji określiliśmy funkcję tylko na zbiorze liczb dodatnich, dla potrzeb wykorzystania własności tej funkcji w zadaniach z kontekstem realistycznym.

Przykłady zależności wprost proporcjonalnych.

Zależność pomiędzy wysokością $h$ trójkąta równobocznego, a długością boku $a$ .
R1RfTZ5BK6tRL
Odpowiednią funkcję w tym przypadku określamy za pomocą wzoru $h (a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$ , gdzie $a > 0$ . Współczynnik proporcjonalności wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Zależność pomiędzy długością średnicy okręgu, a długością promienia.
RxzM8gU27QedN
Odpowiednią funkcję określamy za pomocą wzoru $d (r) = 2 \cdot r$ , gdzie $r > 0$ . Wtedy współczynnik proporcjonalności wynosi $2$ .
Zależność pomiędzy obwodem $L$ $n$ –kąta foremnego, a długością boku $x$ . Odpowiednią funkcję określamy za pomocą wzoru $L (x) = n \cdot x$ , gdzie $x > 0$ . Wtedy współczynnik proporcjonalności jest równy $n$ . Wykresem proporcjonalności prostej (w przypadku, gdy funkcja określona jest tylko w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich) jest półprosta o początku w punkcie o współrzędnych $(0, 0)$ – bez tego punktu – leżąca w $I$ ćwiartce układu współrzędnych.

Naszkicujemy wykres proporcjonalności prostej określonej wzorem $y = 2 \cdot x$ .

W tym celu w tabeli przedstawimy wartości tej funkcji dla kilku argumentów:

$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$2$	$4$	$6$

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R18EoQM2iVqQy

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y=2x, który stanowi półprosta ukośna. Półprosta biegnie od niezamalowanego punktu 0;0, przez punkty 1;2, 2;4, 3;6 do plus nieskończoności.

Naszkicujemy wykres funkcji, będącej proporcjonalnością prostą określoną wzorem $y = \frac{2}{3} \cdot x$ .

W tym celu przedstawimy w tabeli wartości tej funkcji dla kilku argumentów:

$x$	$3$	$6$	$9$
$y$	$2$	$4$	$6$

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RvFVTBoysRWzN

Przykład 1

Wyznaczymy wartość parametru $m$ , jeżeli punkty o współrzędnych $A = (\frac{2}{3}, 4)$ i $B = (3, m)$ należą do wykresu tej samej proporcjonalności prostej.

Rozwiązanie

Wzór funkcji, będącej proporcjonalnością prostą zapisujemy w postaci $y = a \cdot x$ .

Do wyznaczenia wartości $a$ podstawiamy współrzędne punktu $A$ i rozwiązujemy równanie:

$4 = a \cdot \frac{2}{3}$ , zatem $a = 6$ .

Funkcja, będąca proporcjonalnością prostą wyraża się wzorem $y = 6 \cdot x$ .

Do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie

$m = 6 \cdot 3$ , zatem $m = 18$ .

Przykład 2

W tabeli przedstawiono argumenty oraz odpowiadające im wartości funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, określonej wzorem $y = a \cdot x$ . Wyznaczymy wartości $m, n, p$ .

$x$	$3$	$5$	$n$	$9$
$y$	$4, 5$	$m$	$12$	$p$

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie

$4, 5 = a \cdot 3$ , zatem $a = \frac{3}{2}$ .

Zatem funkcja wyraża się wzorem $y = \frac{3}{2} \cdot x$ .

Wyznaczamy wartości $m, n, p$ .

$m = \frac{3}{2} \cdot 5$ , zatem $m = \frac{15}{2}$

$12 = \frac{3}{2} \cdot n$ , zatem $n = 8$

$p = \frac{3}{2} \cdot 9$ , zatem $p = \frac{27}{2}$ .

Przykład 3

Sprawdzimy, czy do wykresu tej samej funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, mogą należeć punkty $P$ i $Q$ o współrzędnych $P = (\frac{1}{3}, \frac{5}{6})$ oraz $Q = (4, 10)$ .

Rozwiązanie

Funkcja, będąca proporcjonalnością prostąproporcjonalność prostaproporcjonalnością prostą wyraża się wzorem $y = a \cdot x$ .

Do wyznaczenia wartości $a$ do wzoru funkcji $y = a \cdot x$ podstawiamy współrzędne punktu $P$ i rozwiązujemy równanie:

$\frac{5}{6} = a \cdot \frac{1}{3}$ , zatem $a = \frac{5}{2}$ .

Zatem funkcja, będąca proporcjonalnością prostą wyraża się wzorem $y = \frac{5}{2} \cdot x$ .

Sprawdzimy, czy punkt $Q$ należy do wykresu tej funkcji. W tym celu rozwiążemy równanie:

$10 = \frac{5}{2} \cdot 4$ , zatem $10 = 10$ .

Wobec tego podane punkty należą do wykresu funkcji tej samej proporcjonalności prostej.

Przykład 4

Wiadomo, że do wykresu funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, określonej wzorem $f (x) = a \cdot x$ należy punkt o współrzędnych $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ .

Wyznaczymy:

a) wartość współczynnika proporcjonalności $a$ ,

b) wartość tej funkcji dla $x = 4$ .

Rozwiązanie

a) Jeżeli punkt o współrzędnych $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ należy do wykresu funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2} = a \cdot \frac{1}{3}$ , zatem $a = \frac{3}{2}$

b) Zapiszemy wzór proporcjonalności prostej $f (x) = \frac{3}{2} \cdot x$ .

Wobec tego $f (4) = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$ .

Przykład 5

Na rysunku przedstawiono wykres proporcjonalności prostej określonej wzorem $y = a \cdot x$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R1UKMt0xGei11

Rozwiązanie

Z rysunku możemy odczytać, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(5, 3)$ .

Jeżeli podstawimy współrzędne tego punktu do wzoru $y = a \cdot x$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie

$3 = a \cdot 5$ , zatem $a = \frac{3}{5}$ .

Funkcję można opisać wzorem $y = \frac{3}{5} \cdot x$ .

Przykład 6

Wykażemy, że funkcja, będąca proporcjonalnością prostą, zadana wzorem $f (x) = a \cdot x$ , określona na zbiorze $ℝ_{+}$ jest zawsze rosnąca.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $x_{1}, x_{2} \in D_{f}$ oraz $x_{1} < x_{2}$ .

Wtedy $f (x_{2}) - f (x_{1}) = a \cdot x_{2} - a \cdot x_{1} = a \cdot (x_{2} - x_{1})$ .

Ponieważ $a > 0$ oraz $x_{1} < x_{2}$ , zatem $a \cdot (x_{2} - x_{1}) > 0$ , czyli

$f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Stąd, wobec dowolności $x_{1}, x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja jest rosnąca.

Ważne!

W sytuacjach rzeczywistych dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji $f (x) = a x$ może być rozmaita. Jeśli nie wystąpią oczywiste ograniczenia, będziemy przyjmować, że funkcja $f$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej.

Przykład 7

Narysujmy wykres proporcjonalności prostej danej wzorem $f (x) = 2 x$ . Sporządzimy tabelę wartości funkcji.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$

R76L9H1LK9KCK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono pięć punktów o współrzędnych: nawias minus dwa średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Czy możemy powstałe punkty połączyć prostąprostaprostą i w ten sposób otrzymać wykres proporcjonalności prostej $f$ ?

Tak, ponieważ dziedziną podanej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

RRL75FK8RMNON

W przypadku, gdyby dziedziną funkcji byłby zbiór $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ to wykres byłby taki jak na pierwszej grafice.

Wykres proporcjonalności prostej

Twierdzenie: Wykres proporcjonalności prostej

Niech $a$ będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Wykresem funkcji:

f (x) = a x

jest prostaprostaprosta o równaniu:

y = a x

przechodząca przez punkt $O = (0, 0)$ i $A = (1, a)$ .

Powyższe twierdzenie ułatwia rysowanie wykresu funkcji $f (x) = a x$ .

Ważne!

To, że wykres proporcjonalności prostej przechodzi przez punkty $O = (0, 0)$ i $A = (1, a)$ , wynika z faktu, że:
dla $x = 0$ jest $y = f (0) = a \cdot 0 = 0$ ,
dla $x = 1$ jest $y = f (1) = 1 \cdot a = a$ .

Przykład 8

Narysujmy wykres proporcjonalności prostej:
$f (x) = \frac{1}{2} x$ .
Aby go narysować, wystarczy zauważyć, że np.:
$f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ ,
a następnie narysować prostą przechodzącą przez punkty $O = (0, 0)$ i $A = (2, 1)$ .

R1CE78PC123CP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do dwa. W układzie zaznaczono dwa punkty i prostą o równaniu y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, która przechodzi przez te punkty. Pierwszy punkt ma współrzędne nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, punkt drugi podpisano literą A i ma on współrzędne nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Przykład 9

Narysujmy wykres proporcjonalności prostej:
$f (x) = - \frac{1}{3} x$ .

Zauważmy, że np.:
$f (3) = - \frac{1}{3} \cdot 3 = - 1$ ,
następnie poprowadźmy prostą przez punkty $O = (0, 0)$ i $A = (3, - 1)$ .

R1PR4VA6XB8BC

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem, a następnie przeanalizuj zmiany położenia wykresu funkcji, będącej proporcjonalnością prostą w zależności od wartości współczynnika $a$ .

R14uRGnjkhd0Y

Polecenie 2

Wiadomo, że do wykresu funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, określonej wzorem $f (x) = a \cdot x$ należy punkt o współrzędnych $(4, \frac{1}{2})$ .

Wyznaczymy wartość współczynnika $a$ , a następnie naszkicujemy wykres tej funkcji.

a) Jeżeli punkt o współrzędnych $(4, \frac{1}{2})$ należy do wykresu proporcjonalności prostej, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2} = a \cdot 4$ , zatem $a = \frac{1}{8}$

Zapisujemy wzór funkcji, będącej proporcjonalnością prostą: $f (x) = \frac{1}{8} \cdot x$ .

Wobec tego wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R1L7PFdB5oax0

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej wzorem y=18x, który stanowi półprosta ukośna. Półprosta biegnie od niezamalowanego punktu 0;0, przez punkt 4;12 do plus nieskończoności.

Polecenie 3

Zapoznaj się z zadaniami w animacji i następnie rozwiąż polecenia poniżej.

R15lGC1pQHYle

Polecenie 4

W $2 kg$ pewnego roztworu wodnego kwasu solnego znajduje się $400 g$ czystego kwasu. Ile gramów czystego kwasu znajduje się w $5 kg$ tego roztworu?

Stężenie procentowe danego roztworu wynosi $\frac{400}{2000} \cdot 100 % = 20 %$ . Wobec tego w $5000 g$ roztworu znajduje się $20 % \cdot 5000 = 1000 g$ czystego kwasu.

Polecenie 5

Ania stwierdziła, że jej zegarek w ciągu doby spóźnił się o $11$ minut. Czy to prawda, że zegarek Ani w ciągu minuty spóźnia się o pół sekundy?

Nieprawda, bo spóźnienie o $11$ minut na dobę oznacza spóźnienie o $11$ sekund na $24$ minuty: $\frac{11 \min}{24 h} = \frac{11 \cdot 60 s}{24 \cdot 60 \min} = \frac{11 s}{24 \min}$ , a spóźnienie o pół sekundy na minutę oznacza spóźnienie o $12$ sekund w ciągu $24$ minut: $\frac{0, 5 s}{1 \min} = \frac{12 s}{24 \min}$ .

Polecenie 6

Mateusz dostaje od swoich rodziców co miesiąc kieszonkowe w wysokości $200 zł$ . Postanowił, że $40 %$ z każdego kieszonkowego, będzie odkładać na nowy telefon, który kosztuje $1600 zł$ . Po ilu miesiącach uda mu się kupić upragniony telefon?

Kwota odkładana przez Mateusza co miesiąc wynosi $200 \cdot \frac{40}{100} = 80 [zł]$ . Zebrana suma pieniędzy na telefon jest wprost proporcjonalna do ilości minionych miesięcy, a współczynnik $a$ jest równy odkładanej kwocie. Rozwiązując równanie $1600 = 80 \cdot x$ , dostajemy, że $x = 20$ . Zatem dopiero po $20$ miesiącach Mateusz może kupić nowy telefon.

RQni3EmzAV8W01

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R30DnOWsKkHoF

R5YqTbM8YJRtJ

RTSLSW2SxPmjj1

Ćwiczenie 3

R1aO1cF5jpMJr2

Ćwiczenie 4

RNIola7qZK8Az2

Ćwiczenie 5

R1CQPTpwbzP222

Ćwiczenie 6

RYQJXWbNlEzrc3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wiadomo, że do wykresu funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, określonej wzorem $y = a \cdot x$ należy punkt o współrzędnych $(\frac{2}{5}, \frac{1}{3})$ . Wyznacz wartość współczynnika $a$ oraz naszkicuj wykres tej funkcji.

Jeżeli funkcja, będąca proporcjonalnością prostą jest określona wzorem $y = a \cdot x$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{3} = a \cdot \frac{2}{5}$ , zatem $a = \frac{5}{6}$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R1pEnW37lDsb3

Rd76lSHoenbwt1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Jaka jest wartość $a$ , jeżeli wielkości $x$ i $y$ , prezentowane w tabeli, są wprost proporcjonalne?

$x$	$a$	$12$
$y$	$- 6$	$30$

RGtAPXZ6mrP0H

RK2bYPSTlDOs01

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Na rysunku obok przedstawiono wykres proporcjonalności prostej określonej wzorem:

R18chRkcs19nL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 3 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono ukośną prostą y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, która przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik minus cztery zamknięcie nawiasu.

RG4n53uYbGO0Z

Ćwiczenie 13

R1DBDEZBXZNT4

R2UT76CRJE835

Ćwiczenie 14

Czy zależność prezentowana w tabeli opisuje wielkości wprost proporcjonalne?

$x$	$6$	$15$	$20$
$y$	$15$	$37, 5$	$50$

Tak, $y = 2, 5 x$ .

Ćwiczenie 15

Automat produkuje papierowe detale, przy czym do wyprodukowania $24 000$ sztuk zużywa $4, 32 kg$ papieru. Ile gramów papieru potrzeba, żeby wyprodukować $70$ takich detali?

$12, 6 g$

Ćwiczenie 16

W pięciolitrowym kanistrze jest $6, 25 kg$ benzyny. Jaką pojemność ma naczynie, które po wypełnieniu benzyną waży $26 kg$ , a puste waży $2 kg$ ?

$19, 2 l$

Ćwiczenie 17

Treść zadań na sprawdzian z matematyki mieści się na jednej stronie. W ciągu $10$ sekund drukarka wydrukowała $8$ kartek z treścią zadań. Ile czasu bedzie potrzebował ten model, by wydrukować materiały dla trzydziestosześcioosobowej klasy?

$45 s$

Ćwiczenie 18

Za $25 kg$ jabłek trzeba zapłacić $30 zł$ . Ile kosztuje $8 kg$ tych jabłek?

$9, 6 zł$

Ćwiczenie 19

Naszkicuj w zeszycie wykres proporcjonalności prostej $f$ , określonej wzorem:

Opisz wykres proporcjonalności prostej $f$ i podaj dwa przykładowe punkty, przez które przebiega wykres każdej z funkcji, określonej wzorem:

$f (x) = 3 x$ ,
$f (x) = - 3 x$ ,
$f (x) = \frac{1}{5} x$ ,
$f (x) = - \frac{2}{3} x$ .

RZJcvHWJXeWZH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono cztery ukośne proste, wszystkie przecinają się w środku układu współrzędnych i przebiegają przez następujące punkty:

wykres funkcji $f (x) = 3 x$ przebiega przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu oraz między innymi przez punkty $\left(-1;-3\right), \left(0;0\right), \left(1;3\right)$ , a wykres jest nachylony do dodatniej półosi $OX$ pod kątem ostrym,
wykres funkcji $f (x) = - 3 x$ przebiega przez drugą i czwartą ćwiartkę układu oraz między innymi przez punkty $\left(-1;3\right), \left(0;0\right), \left(1;-3\right)$ , a wykres jest nachylony do dodatniej półosi $OX$ pod kątem rozwartym,
wykres funkcji $f (x) = \frac{1}{5} x$ przebiega przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu oraz między innymi przez punkty $\left(-5;-1\right), \left(0;0\right), \left(5;1\right)$ , a wykres jest nachylony do dodatniej półosi $OX$ pod kątem ostrym (jest to kąt o znacznie mniejszej mierze, niż funkcja z podpunktu a),
wykres funkcji $f (x) = - \frac{2}{3} x$ przebiega przez drugą i czwartą ćwiartkę układu oraz między innymi przez punkty $\left(-3;2\right), \left(0;0\right), \left(3;-2\right)$ , a wykres jest nachylony do dodatniej półosi $OX$ pod kątem rozwartym (jest to kąt o znacznie większej mierze, niż funkcja z podpunktu b).

Ćwiczenie 20

Statek płynął ze stałą prędkością w dół rzeki, a po godzinie postoju zawrócił do miejsca, z którego wypłynął. Płynąc w dół rzeki, statek pokonał $30 km$ w ciągu $1, 5 h$ . Opisz:

w jakiej odległości $s$ od punktu startu statek znalazł się po $x$ minutach od momentu wypłynięcia w dół rzeki, $0 < x < 90$ ;
w jakiej odległości $a$ od miejsca postoju statek znalazł się po $y$ minutach od momentu wypłynięcia w górę rzeki, jeżeli prędkość prądu rzeki wynosi $5 \frac{km}{h}$ .

Ustal, dla jakich $y$ to zadanie ma sens.

Skoro statek pokonał $30 km$ w ciągu $1, 5 h$ , to płynął z prędkością $20 \frac{km}{h}$ . Jedna godzina to $60$ minut, stąd: $s (x) = \frac{1}{3} x (\frac{km}{min})$
Prędkość statku wynosi: $v_{s} = 20 \frac{km}{h} - 5 \frac{km}{h} - 5 \frac{km}{h} = 10 \frac{km}{h}$ Stąd: $a (y) = \frac{10}{60} y [\frac{km}{\min}]$ Trasę $30 km$ statek przepłynie w ciągu $3 h$ , czyli $180 \min$ . Zatem: $a (y) = \frac{1}{6} y [\frac{km}{\min}]$ dla $y \in ⟨0, 180⟩$

Ćwiczenie 21

Ustal, jaką wartość ma współczynnik proporcjonalności $a$ , jeżeli po zwiększeniu argumentu $x$ o $3$ wartość $y$ proporcjonalności prostej zwiększa się o $15$ .

$a = \frac{15}{3} = 5$

Ćwiczenie 22

Do wykresu proporcjonalności prostej $f (x) = a x$ należy punkt $A = (2, - 6)$ . Oblicz $f (- 1)$ . Dla jakiego $x$ wartość funkcji $f$ wynosi $8$ ?

$f (- 1) = 3, f (x) = 8$ dla $x = - \frac{8}{3}$

Ćwiczenie 23

Marek odczytał z wykresu proporcjonalności prostej, że leżą na nim punkty $A = (2, 5)$ i $B = (- 3, - 7)$ . Wykaż, że Marek się pomylił.

Marek pomylił się, $\frac{5}{2} \neq \frac{- 7}{- 3}$ .

Ćwiczenie 24

Cztery koty łapią cztery myszy w ciągu czterech dni. Ile czasu potrzebuje jeden kot, aby złapać trzy myszy?

Jeśli cztery koty łapią cztery myszy w ciągu $4$ dni, to jeden kot łapie jedną mysz w ciągu $4$ dni, czyli jeden kot łapie trzy myszy w ciągu $12$ dni.

Ćwiczenie 25

Marek wybrał się pieszo do swojego kolegi Darka. Idąc ze stałą prędkością, po półgodzinnym marszu stwierdził, że zostało mu do przejścia jeszcze $5 km$ , a po godzinie marszu miał jeszcze $3 km$ do celu. W jakiej odległości od Darka mieszka Marek?

Marek przeszedł $2 km$ w czasie pół godziny, zatem w czasie $1$ godziny przeszedł $4 k m$ . Skoro do domu Darka pozostały $3 km$ , to odległość między domami Darka i Marka wynosi $7 km$ .

Ćwiczenie 26

Liczba $a$ jest różną od zera liczbą rzeczywistą. Na rysunku zaznaczono punkty $O$ , $A$ , $B$ należące do wykresu funkcji $f (x) = a x$ . Wykaż, że punkty $O = (0, 0)$ , $A = (1, a)$ i $B = (x_{1}, a x_{1})$ , gdzie $x_{1} \neq 0$ i $x_{1} \neq 1$ , są współliniowe.

R13frhPUrzKYw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez trzecią i pierwszą ćwiartkę układu oraz przecina środek układu współrzędnych i punkty A oraz B. Z punktu A i B poprowadzono pionowe i poziome linie przerywane, łączące punkty z osiami. Z punktu A poprowadzono pionową linię na oś x do liczby 1 i poziomą linię do osi y, miejsce to jest podpisane literą a. Z punktu B poprowadzono pionową linię na oś x do zapisu x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i poziomą linię do osi y, miejsce to jest podpisane a x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego.

Punkty są współliniowe, jeśli należą do jednej prostej. Skoro punkty $O = (0, 0)$ , $A = (1, a)$ i $B = (x_{1}, a x_{1})$ , gdzie $x_{1} \neq 0$ i $x_{1} \neq 1$ należą do wykresu funkcji $f (x) = a x$ , to leżą na prostej o równaniu: $y = a x$ , gdzie $a \neq 0$ , co należało udowodnić.

Słownik

wielkości wprost proporcjonalne

dwie zmienne wielkości dodatnie, przy założeniu, że iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały

proporcjonalność prosta

funkcja określona wzorem $f (x) = a x$ , gdzie $a > 0$ na zbiorze $ℝ_{+}$

dziedzina funkcji

zbiór wszystkich argumentów funkcji

prosta

zbiór punktów opisanych następującym równaniem ogólnym $A x + B y + C = 0$ , gdzie $A$ i $B$ nie mogą być jednocześnie równe zeru

1. Wielkości wprost proporcjonalne

3. Funkcja liniowa i jej wykres

2. Proporcjonalność prosta i jej wykres

Słownik