2. Liczba rozwiązań równania liniowego

RsvBIud4AUVoz

Wiesz już, że równania można zilustrować za pomocą wagi, a także, że rozwiązania możesz szukać przez podstawianie kolejnych liczb. Kiedy masz do dyspozycji więcej niż jedną wagę, możesz układać dostępne przedmioty w dowolnej konfiguracji i sprawdzać, kiedy szalki wagi będą w równowadze. Czy ułatwi Ci to znalezienie rozwiązania?

Nie zawsze udaje się odgadnąć lub znaleźć liczbę, która jest rozwiązaniem równania.

Czasem spotykamy się z równaniami, które nie posiadają rozwiązań lub z równaniami, które są spełnione przez wiele liczb rzeczywistych.

W tym materiale poznasz równania, których rozwiązanie nie istnieje. Poznasz też równania spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą.

Ustalimy ile rozwiązań może mieć równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Twoje cele

Sformułujesz definicję równań równoważnych.
Rozpoznasz równania równoważne.
Wykorzystasz wiadomości o równaniach równoważnych do rozwiązywania równań.
Określisz liczbę rozwiązań równania.
Rozpoznasz równania tożsamościowe i równania sprzeczne.

Sprawdzimy, które równanie z występujących w poniższych przykładach spełnia liczba $2$ .

Przykład 1

3 x - 1 = x + 3

Do lewej i prawej strony równania podstawimy w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$ i obliczamy wartość otrzymanego wyrażenia.

L = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5

P = 2 + 3 = 5

Okazało się, że dla $x = 2$ lewa i prawa strona równania przyjmuje tę samą wartość. Oznacza to, że liczba $2$ jest rozwiązaniem tego równania.

L = P

Przykład 2

- 2 \cdot (x - 2) = - 2 x + (1 - 2 x)

Do lewej i prawej strony równania podstawimy w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$ i obliczymy wartość wyrażenia arytmetycznego.

L = - 2 \cdot (2 - 2) = - 2 \cdot 0 = 0

P = - 2 \cdot 2 + (1 - 2 \cdot 2) = - 4 + (1 - 4) = - 4 - 3 = - 7

Okazało się, że dla $x = 2$ lewa i prawa strona równania przyjmują różne wartości. Oznacza to, że liczba $2$ nie jest rozwiązaniem tego równania.

L \neq P

Przykład 3

3 - 2 x = \frac{x}{2} - 2

Podobnie jak w poprzednich przykładach do lewej i prawej strony równania podstawimy w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$ i obliczamy wartość otrzymanego wyrażenia.

L = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = - 1

P = \frac{2}{2} - 2 = 1 - 2 = - 1

Okazało się, że dla $x = 2$ lewa i prawa strona równania przyjmuje tę samą wartość. Oznacza to, że liczba $2$ jest rozwiązaniem tego równania.

L = P

Równania:

$3 x - 1 = x + 3$ i $3 - 2 x = \frac{x}{2} - 2$ spełnia liczba $2$ . Równania te mają taki sam zbiór rozwiązań.

Równania równoważne

Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi, które posiadają taką samą dziedzinę są równoważne wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Rozwiązać równanie oznacza znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu zapisujemy równania równoważne danemu, pamiętając o tym, że:

do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $\frac{1}{2} x - 3 = 2 \cdot (x + 1)$ metodą równań równoważnych.

\frac{1}{2} x - 3 = 2 \cdot (x + 1)

Najpierw pozbędziemy się nawiasu.

\frac{1}{2} x - 3 = 2 x + 2

Od obu stron równania odejmiemy jednomian $2 x$ .

\frac{1}{2} x - 2 x - 3 = 2

Redukujemy wyrazy podobne.

- 1 \frac{1}{2} x - 3 = 2

Do obu stron równania dodamy liczbę $3$ .

- 1 \frac{1}{2} x - 3 + 3 = 2 + 3

Redukujemy wyrazy podobne.

- 1 \frac{1}{2} x = 5

Podzielimy obie strony równania przez liczbę $- 1 \frac{1}{2}$ .

- 1 \frac{1}{2} x = 5 | : (- 1 \frac{1}{2})

x = 5 : (- \frac{3}{2})

x = 5 \cdot (- \frac{2}{3})

x = - \frac{10}{3}

x = - 3 \frac{1}{3}

Rozwiązaniem równania jest liczba $(- 3 \frac{1}{3})$ .

Przykład 5

Sprawdzimy, czy równania $2 x - 3 \cdot (1 - x) = 4$ i $4 x - 2 = 5 - x$ są równoważne.

Aby równania były równoważnerównania równoważnerównania były równoważne muszą mieć ten sam zbiór rozwiązań.

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem pierwszego równania metodą równań równoważnych.

2 x - 3 \cdot (1 - x) = 4

2 x - 3 + 3 x = 4

5 x - 3 = 4

5 x = 4 + 3

5 x = 7 | : 5

x = \frac{7}{5}

x = 1 \frac{2}{5}

Teraz rozwiążemy drugie równanie metodą równań równoważnych.równania równoważnerównań równoważnych.

4 x - 2 = 5 - x

4 x + x - 2 = 5

5 x - 2 = 5

5 x = 5 + 2

5 x = 7 | : 5

x = \frac{7}{5}

x = 1 \frac{2}{5}

Liczba $1 \frac{2}{5}$ jest rozwiązaniem obu równań liniowych. Równania te nie posiadają innych rozwiązań, poza liczbą $1 \frac{2}{5}$ . Zatem równania te posiadają ten sam zbiór rozwiązań, czyli są równoważne.

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładem pokazującym metodę rozwiązywania równań za pomocą równań równoważnych.

RurcKbQ3yax6m

Polecenie 2

Rozwiąż równanie metodą równań równoważnych

$3 \cdot (\frac{2}{3} x - 2) - 2 x = \frac{1}{4} \cdot (2 x - 8)$

$x = - 8$

Przykład 6

Sprawdzimy, ile rozwiązań ma równanie $x^{2} + 4 = 0$ .

Jeżeli do równania w miejsce $x$ podstawimy liczbę $3$ to lewa strona równania będzie przyjmowała wartość $13$ , a prawa wartość $0$ . Jeżeli podstawimy liczbę $(- 3)$ sytuacja będzie analogiczna.

Czy uda się znaleźć taką liczbę rzeczywistą $x$ , dla której wartość wyrażenia po lewej stronie równania będzie się równała $0$ ? Jest to niemożliwe, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu przyjmuje nieujemną wartość. Po dodaniu liczby $4$ wartość wyrażenia będzie zawsze dodatnia.

Zatem nie ma liczby rzeczywistej $x$ , która spełnia równanie $x^{2} + 4 = 0$ .

Przykład 7

Zastanowimy się teraz, ile rozwiązań ma równanie $x^{2} = 4$ .

Na pewno wiesz, że liczba $2$ podniesiona do kwadratu daje liczbę $4$ . Czy jest to jednak jedyna liczba spełniająca nasze równanie?

Istnieje inna liczba, która podniesiona do kwadratu jest równa $4$ . To liczba $(- 2)$ .

Zatem są dwie liczby spełniające równanie $x^{2} = 4$ .

W dalszych przykładach skoncentrujemy się na równaniach stopnia pierwszego z jedną niewiadomą. Są to równania, w których niewiadoma występuje w pierwszej potędze.

Przykład 8

Określimy liczbę rozwiązań równania $2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$ .

Po pozbyciu się nawiasu otrzymamy równanie: $2 x + 4 = 2 x + 4$ .

Równanie to jest równoważne równaniu $0 = 0$ , które jest spełnione przez dowolną liczbę rzeczywistą.

Zatem rozwiązaniem równania $2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$ jest dowolna liczba rzeczywista.

Przykład 9

Określimy liczbę rozwiązań równania $2 x + 2 = 2 \cdot (x + 2)$ .

Po pozbyciu się nawiasu otrzymamy równanie: $2 x + 2 = 2 x + 4$ .

Równanie to jest równoważne równaniu $2 = 4$ , które nie jest spełnione przez żadną liczbę rzeczywistą.

Równanie nie ma rozwiązania.

Przykład 10

Określimy liczbę rozwiązań równania $3 x + 1 = 2 \cdot (x + 2)$ .

Rozwiążemy równanie metodą równań równoważnych.

3 x + 1 = 2 \cdot (x + 2)

3 x + 1 = 2 x + 4

3 x - 2 x = 4 - 1

x = 3

Równanie $3 x + 1 = 2 \cdot (x + 2)$ ma jedno rozwiązanie. Jest to liczba $3$ .

Ważne!

Równanie pierwszego stopniarównanie pierwszego stopnia (liniowe)Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:

nie mieć żadnego rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

Równanie sprzeczne

Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznymrównanie sprzecznerównaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe / tożsamość

Definicja: Równanie tożsamościowe / tożsamość

Równanie, które jest spełnione przez wszystkie liczby nazywamy tożsamością lub równaniem tożsamościowym.równanie tożsamościowerównaniem tożsamościowym.

Podział oraz przykłady równań:

R15oEQHGW3Q991

Polecenie 3

Zapoznaj się z infografiką przedstawiającą rodzaje równań oraz z klasyfikacją równań ze względu na liczbę rozwiązań.

RubKNiyJ3R6tt1

RqDHUrCrDjry0

Ćwiczenie 1

R1LWEUK8yvV5M

Ćwiczenie 2

R1HzJUgu1lnRp

Ćwiczenie 3

Polecenie 4

Jakie są rodzaje równań ze względu na liczbę rozwiązań? Do każdego z rodzajów podaj po minimum trzy przykłady równań.

Polecenie 5

Dopisz do równania takie wyrażenie algebraiczne lub arytmetyczne, aby równanie $2 x + 4 = x + \dots$ było:

a) tożsamościowe,

b) sprzeczne,

c) oznaczone.

a) $x + 4$ ,

b) np.: $x + 1$ ,

c) np.: $1$ .

R93wGN6l2bebd1

Ćwiczenie 1

R1Nby3bFFyiDp1

Ćwiczenie 2

REBStDZiQ7IgS2

Ćwiczenie 3

RzZyVJQqFnD4p2

Ćwiczenie 4

RscHo9NhF4RHI2

Ćwiczenie 5

RKcEwcGIK0vjV2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

R1Z15G4MLUO2R

R51B46ECXCRLS

R7tl5S13qP51x2

Ćwiczenie 8

RM3my91CC0Ags3

Ćwiczenie 9

R1WbxNmXcrjQJ3

Ćwiczenie 10

Pokaż ćwiczenia:

RrUZRtyJqe6yG1

Ćwiczenie 11

RLBbuNXjPajQi1

Ćwiczenie 12

RHUQC662JEE6K

Ćwiczenie 13

R1QEr4ji5ESrS2

Ćwiczenie 14

RNHqslPnUpQem2

Ćwiczenie 15

Brak rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa nawias, trzy, plus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, minus, sześćdziesiąt osiem, przecinek, 2. zero, razy, x, równa się, dwadzieścia osiem, 3. pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 4. cztery, razy, x, równa się, minus, jeden, 5. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, jeden, 6. trzy x, minus, trzy, równa się, trzy x, plus, trzy, 7. pięć x, plus, jeden, równa się, jeden, plus, pięć x, 8. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, minus, sześćdziesiąt cztery, 9. siedem x, plus, dwa, równa się, dwadzieścia siedem x, plus, dwa, równa się, dwa, 10. minus, trzy x, plus, siedem, równa się, minus, trzy x, 11. minus, x, równa się, minus, x, 12. zero, razy, x, równa się, zero Jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa nawias, trzy, plus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, minus, sześćdziesiąt osiem, przecinek, 2. zero, razy, x, równa się, dwadzieścia osiem, 3. pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 4. cztery, razy, x, równa się, minus, jeden, 5. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, jeden, 6. trzy x, minus, trzy, równa się, trzy x, plus, trzy, 7. pięć x, plus, jeden, równa się, jeden, plus, pięć x, 8. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, minus, sześćdziesiąt cztery, 9. siedem x, plus, dwa, równa się, dwadzieścia siedem x, plus, dwa, równa się, dwa, 10. minus, trzy x, plus, siedem, równa się, minus, trzy x, 11. minus, x, równa się, minus, x, 12. zero, razy, x, równa się, zero Nieskończenie wiele rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa nawias, trzy, plus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, minus, sześćdziesiąt osiem, przecinek, 2. zero, razy, x, równa się, dwadzieścia osiem, 3. pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 4. cztery, razy, x, równa się, minus, jeden, 5. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, jeden, 6. trzy x, minus, trzy, równa się, trzy x, plus, trzy, 7. pięć x, plus, jeden, równa się, jeden, plus, pięć x, 8. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, minus, sześćdziesiąt cztery, 9. siedem x, plus, dwa, równa się, dwadzieścia siedem x, plus, dwa, równa się, dwa, 10. minus, trzy x, plus, siedem, równa się, minus, trzy x, 11. minus, x, równa się, minus, x, 12. zero, razy, x, równa się, zero

R1FNo0vW8oSYm2

Ćwiczenie 16

R14BrzzhVnPUB3

Ćwiczenie 17

Rkb2cod581wVa3

Ćwiczenie 18

Słownik

równania równoważne

równania z tymi samymi niewiadomym, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań

równanie sprzeczne

równanie pierwszego stopnia, które nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych

równanie tożsamościowe

równanie pierwszego stopnia, którego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste

równanie pierwszego stopnia (liniowe)

równanie, w którym niewiadoma występuje w pierwszej potędze

1. Równania liniowe

3. Rozwiązywanie równań liniowych

2. Liczba rozwiązań równania liniowego

Słownik