3. Rozwiązywanie równań liniowych

RdyRmyYo8lmZN

Rozwiązywanie równań nie zawsze daje się zapisać jako proste porównywanie dwóch wielkości. Czasem należy skorzystać z proporcji lub innych, bardziej skomplikowanych form zapisu.

Innym przypadkiem jest konieczność zastosowania nawiasów. Nawiasy w matematyce stosuje się zazwyczaj parzyście, przy czym zamykający nawias jest lustrzanym odbiciem rozpoczynającego nawiasu. Wstawienie nawiasów do równania ma bardzo ważne znaczenie i wpływa na jego rozwiązanie. Nawiasy w matematyce służą do grupowania wyrażeń. Dzięki nawiasom ustalamy również kolejność wykonywania działań. Błędne zinterpretowanie nawiasów lub ich pominięcie determinuje rozwiązanie równania.

Twoje cele

Sprowadzisz wyrażenia algebraiczne zawierające mianownik do wspólnego mianownika.
Rozwiążesz równania zawierające mianownik metodą równań równoważnych.
Rozwiążesz równania zawierające nawiasy metodą równań równoważnych.

Przypomnijmy podstawowe pojęcia związane z równaniami.

Równania równoważnerównania równoważneRównania równoważne

Zbiów rozwiązań równaniaZbiów rozwiązań równania

Podział równań ze względu na liczbę rozwiązań:

R15oEQHGW3Q991

Równość postaci

Definicja: Równość postaci

Jeśli $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ oraz $b \neq 0$ i $d \neq 0$ , to $a$ $d = b$ $c$ .

R1DgFC4tnIm1E

Ilustracja przedstawia twierdzenie matematyczne, które głosi, że jeżeli a podzielone przez b jest równe c podzielone przez d, to a razy d jest równe b razy c.

Przykład 1

\frac{2 x + 4}{3} = \frac{x - 3}{2}

2 \cdot (2 x + 4) = 3 \cdot (x - 3)

4 x + 8 = 3 x - 9

4 x - 3 x = - 9 - 8

x = - 17

Przykład 2

\frac{x - 3}{3} + 2 = \frac{x + 4}{6} - \frac{2 x - 3}{2}

\frac{x - 3}{3} + 2 = \frac{x + 4}{6} - \frac{2 x - 3}{2} | \cdot 6

6 \cdot \frac{x - 3}{3} + 6 \cdot 2 = 6 \cdot \frac{x + 4}{6} - 6 \cdot \frac{2 x - 3}{2}

2 \cdot (x - 3) + 12 = x + 4 - 3 \cdot (2 x - 3)

2 x - 6 + 12 = x + 4 - 6 x + 9

2 x + 6 = - 5 x + 13

2 x + 5 x = 13 - 6

7 x = 7

7 x = 7 | : 7

x = 1

Przykład 3

$x \neq - 4$

\frac{x}{x + 4} = \frac{1}{2}

2 x = x + 4

2 x - x = 4

x = 4

Przykład 4

$\frac{3}{2 + 3 x} = \frac{- 1}{2 x}$ oraz $x \in ℝ ∖ \{- \frac{2}{3}, 0\}$

3 \cdot 2 x = - 1 \cdot (2 + 3 x)

6 x = - 2 - 3 x

6 x + 3 x = - 2

9 x = - 2

x = - \frac{2}{9}

Polecenie 1

Przeanalizuj przedstawioną w animacji metodę rozwiązywania równań zawierających mianownik. Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny równania, gdy niewiadoma znajduje się w mianowniku.

REBX6npfQTHni

Polecenie 2

Rozwiąż równanie:

\frac{2 x + 7}{x + 5} = 2 \frac{1}{3}

x = - 14

Polecenie 3

Sprawdź, czy rozwiązanie równania $\frac{3 x + 1}{2} - \frac{1 - x}{5} = 2 x - \frac{3 - x}{4}$ spełnia równanie $\frac{3}{x + 5} = \frac{2}{x + 3}$ .

Rozwiązaniem równania $\frac{3 x + 1}{2} - \frac{1 - x}{5} = 2 x - \frac{3 - x}{4}$ jest $x = 1 \frac{10}{11}$ .

Rozwiązaniem równania $\frac{3}{x + 5} = \frac{2}{x + 3}$ dla $x \in ℝ ∖ \{- 5, - 3\}$ jest $x = 1$ .

Zatem rozwiązanie równania $\frac{3 x + 1}{2} - \frac{1 - x}{5} = 2 x - \frac{3 - x}{4}$ nie spełnia równania $\frac{3}{x + 5} = \frac{2}{x + 3}$ .

W matematyce wyróżniamy nawiasynawiasy w matematycenawiasy:

okrągłe $($ $)$ ,
kwadratowe $[$ $]$ ,
klamrowe ${$ $}$ .

Nawiasów pozbywamy się zaczynając od najbardziej wewnętrznego. Jeżeli pozbędziemy się nawiasu okrągłego, to nawias kwadratowy możemy zastąpić nawiasem okrągłym, a klamrowy - nawiasem kwadratowym.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie

2 - (x + 4) + 3 \cdot (2 x - 1) = 3 + 2 \cdot (4 - x)

Najpierw pozbędziemy się nawiasów.

2 - x - 4 + 6 x - 3 = 3 + 8 - 2 x

Redukujemy wyrazy podobne.

5 x - 5 = 11 - 2 x

Do obydwu stron równania dodajemy $5$ i jednocześnie dodajemy $2 x$ .

5 x + 2 x = 11 + 5

Redukujemy wyrazy podobne.

7 x = 16

Dzielimy obie strony równania przez $7$ .

7 x = 16 | : 7

x = \frac{16}{7}

x = 2 \frac{2}{7}

Rozwiązaniem równania jest liczba $2 \frac{2}{7}$ .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie

- 2 \cdot \{3 - [- 2 \cdot (4 x + 2) - 3 \cdot (1 - x)]\} + x = 4 \cdot (x - 1)

Najpierw pozbywamy się wewnętrznych nawiasów. Nawias klamrowy stał się nawiasem kwadratowym. Nawias zwykły zastąpił nawias kwadratowy.

- 2 \cdot [3 - (- 8 x - 4 - 3 + 3 x)] + x = 4 x - 4

Wykonujemy działania w nawiasie zwykłym, znajdującym się w nawiasie kwadratowym. Jeżeli przed nawiasem znajduje się minus, należy zmienić wszystkie znaki znajdujące się w nawiasie na przeciwne.

- 2 \cdot [3 - (- 5 x - 7)] + x = 4 x - 4

Pozbywamy się nawiasu zwykłego, zamieniając jednocześnie nawias kwadratowy na zwykły.

- 2 \cdot (3 + 5 x + 7) + x = 4 x - 4

Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych w nawiasie zwykłym.

- 2 \cdot (10 + 5 x) + x = 4 x - 4

Pozbywamy się nawiasu zwykłego.

- 20 - 10 x + x = 4 x - 4

- 13 x = 16 | : (- 13)

x = - \frac{16}{13}

x = - 1 \frac{3}{13}

Rozwiązaniem równania jest liczba $- 1 \frac{3}{13}$ .

Przykład 7

Rozwiąż równanie $- (- x - 1) - x - \{- 2 x - [- x - 4 \cdot (2 - 2 x) + (- 1 + x)] + 3 x\} = 1$ .

Rozwiązanie równania zaczynamy od pozbywania się zwykłych nawiasów.

$x + 1 - x - [- 2 x - (- x - 8 + 8 x - 1 + x) + 3 x] = 1$

Redukujemy wyrazy podobne.

$1 - [- 2 x - (8 x - 9) + 3 x] = 1$

Pozbywamy się kolejnego nawiasu.

$1 - (- 2 x - 8 x + 9 + 3 x) = 1$

Redukujemy wyrazy podobne.

$1 - (- 7 x + 9) = 1$

$1 + 7 x - 9 = 1$

$7 x = 9$

$x = \frac{9}{7}$

Rozwiązaniem równania jest liczba $1 \frac{2}{7}$ .

Przykład 8

Wstawimy w miejsce $. . .$ takie wyrażenie algebraiczne, aby równanie

$- 3 \cdot [- (2 x - 1) + 4] - \{- [x - (2 - x) + 1] + 2 x\} = - 2 + . . .$ z niewiadomą $x$ było sprzeczne.

Najpierw przekształcimy lewą stronę równania:

$L = - 3 \cdot [- (2 x - 1) + 4] - \{- [x - (2 - x) + 1] + 2 x\} =$

$= - 3 \cdot (- 2 x + 1 + 4) - [- (x - 2 + x + 1) + 2 x] =$

$= - 3 \cdot (- 2 x + 5) - [- (2 x - 1) + 2 x] = 6 x - 15 - (- 2 x + 1 + 2 x) =$

$= 6 x - 15 - 1 = 6 x - 16$

Czyli równanie możemy zapisać w postaci:

$6 x - 16 = - 2 + \dots$

$6 x - 14 = \dots$

Zatem, aby równanie było sprzeczne w wyznaczone miejsce można wpisać np. wyrażenie algebraiczne $6 x - 20$ .

Wtedy otrzymamy:

$6 x - 14 = 6 x - 20$

Czyli $6 = 0$ , a to jest sprzeczność.

Polecenie 4

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Spróbuj samodzielnie rozwiązać podany przykład. Sprawdź poprawność Twojego rozwiązania z rozwiązaniem przedstawionym na interaktywnych zdjęciach. Przeczytaj wskazówki umieszczone na slajdach.

Roy5C2meqDbvH

RZ9hgCEdXU8xy

R5z967tbxtlfb

RwZeFgWeQTxBP

R8OzSmGGFtZZS

RCOwCn011zXR9

Polecenie 5

W podanym równaniu dopisz nawias tak, aby rozwiązaniem była liczba $- 2 \frac{1}{11}$ .

2 \cdot [x - 3 x + 4] = 7 x - 1

2 \cdot [x - 3 \cdot (x + 4)] = 7 x - 1

Polecenie 6

W podanym równaniu dopisz nawias lub nawiasy tak, aby rozwiązaniem równania była liczba $- 1 \frac{6}{11}$ .

2 \cdot [x - 3 x + 4] = 7 x - 1

2 \cdot [x - 3 \cdot (x + 4)] = 7 \cdot (x - 1)

R1FQJnKV0V3Kf1

Ćwiczenie 1

R1FCWFGEoofUz1

Ćwiczenie 2

R1OWcfFxZwEQa1

Ćwiczenie 3

R19ddPFpegzLQ2

Ćwiczenie 4

R1Lar1kjEvsSO

Ćwiczenie 5

RQ9UmxFzaSfeJ2

Ćwiczenie 6

RcsxyTuqRCtSf2

Ćwiczenie 7

R1NfWs9wCr3BM2

Ćwiczenie 8

R1PrLiW198bqT3

Ćwiczenie 9

R1FZdSfWFtJbT3

Ćwiczenie 10

Połącz w pary równanie z jego rozwiązaniem. początek ułamka, x, plus, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, trzy x, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, 3. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, jedenaście, koniec ułamka początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, 3. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, jedenaście, koniec ułamka początek ułamka, trzy x, minus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, cztery x, równa się, początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, 3. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, jedenaście, koniec ułamka początek ułamka, dwa x, plus, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, 3. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, jedenaście, koniec ułamka początek ułamka, cztery x, minus, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, trzy x, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, x Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, 3. minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, jedenaście, koniec ułamka

Pokaż ćwiczenia:

R1I3x1N3MW8621

Ćwiczenie 11

Wybierz takie wyrażenie algebraiczne , aby równanie miało nieskończenie wiele rozwiązań. dwa nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus 1. x, minus, trzy, 2. nawias, dwa x, minus, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 3. x, minus, sześć, 4. nawias, x, minus, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 7. nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, 8. nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu
trzy x, plus, pięć, równa się, trzy1. x, minus, trzy, 2. nawias, dwa x, minus, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 3. x, minus, sześć, 4. nawias, x, minus, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 7. nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, 8. nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu plus, dwa
początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, minus, dwa x, równa się, trzy, minus, trzy1. x, minus, trzy, 2. nawias, dwa x, minus, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 3. x, minus, sześć, 4. nawias, x, minus, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 7. nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, 8. nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu
dwa x, minus, trzy nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, pięć, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka1. x, minus, trzy, 2. nawias, dwa x, minus, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 3. x, minus, sześć, 4. nawias, x, minus, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 7. nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, 8. nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu

R1Gf08wJGRWNx1

Ćwiczenie 12

R1CZYQwWoDmcm2

Ćwiczenie 13

R12YbSp5RMYF52

Ćwiczenie 14

RDISr22BA9PnT2

Ćwiczenie 15

R1JgejKe65QTR2

Ćwiczenie 16

R1T2Nj6NKoJ6t3

Ćwiczenie 17

R2zmJjEcYamWZ3

Ćwiczenie 18

Słownik

zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które spełniają dane równanie

równania równoważne

równania, które posiadają ten sam zbiór rozwiązań

nawiasy w matematyce

służą do ustalenia kolejności wykonywania działań

2. Liczba rozwiązań równania liniowego

4. Zadania prowadzące do równań liniowych

3. Rozwiązywanie równań liniowych

Słownik